2026-10-09 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 10 部 質量ギャップの証明へ向けて — 階段の一段目を組む格子の方向 G0〜G15′・格子の壁 GA1〜GE4 · Kiichi, Shiori and Rin

四次元格子で試した道と壁 — 下からは届き、上からは届かない

この章の道と壁は、10-01 §08 の構成の筋の矢印のどれかを押そうとしたものです。帯の文を上下の半分に割って書き直すと次の形です。

$\delta(b)$ は一段の取りこぼし（§02）、(S5) は $a^2C_P\asymp1$、(S4) は物理単位の隙間、極限の性質は (S1)(S2)(S3)(S6)(S7)(S8) です（10-01 表 1）。H↓ は $C_P\gtrsim\xi_{\rm RG}^2$（一つの試験関数で足りる）、H↑ は $C_P\lesssim\xi_{\rm RG}^2$（すべての試験関数についての不等式）です。(1) のどの矢印も証明されていません。

道（格子の方向）は、一つの問いと、それに当てた一組の道具の組です。記号は G0〜G15′ で、G9′・G15′ は元の問いを持ち直したものです。壁（格子の壁）は、ある道がある道具で、ある矢印の手前で止まった理由を一文にしたもので、記号 GA1〜GE4 の英字が型を表します（§06）。旧版の第 10 部の「方向 0〜15′」「壁 A1〜E4」と同じ番号に G を付けたものです。

例。G12（H↓ を与える試験関数）は (1) の H↓ を押し、GA1（試験関数は $C_P$ を下からしか押さえない）で H↑ の手前に止まりました。G0（強結合の曲率）は (1) に乗らず、左の外側に居ます。強結合の一様評価は $C_P=O(1)$ で、(S5) の反対側だからです（10-01 §06）。

一段は、格子間隔を $a$ から $ba$ に粗くし、細かい変数の一部を積分して粗い格子の作用を作る写像です（6-05）。ここでの記帳は (i) 閉じた形で積分できるリンクを選び、(ii) 残る作用を指標で書き、(iii) 粗いプラケットの基本表現の係数を $\beta'$ と読む、の三手で、元のリンクの一部を残す「間引き」の型です（同じ型の近似が Migdal–Kadanoff）。面積則・次元勘定・一ループの係数は既知の書き直しで、成果に数えません。

完全な族。積分するリンクどうしが同じプラケットに乗らなければ、残りを止めたとき各リンクの重みは独立に分かれて積分できます。どのプラケットからも一本ずつ消す族を完全な族と呼びます。

初 辺は $2(d-1)$ 枚のプラケットに乗るので、組 $(P,\ell\in P\cap F)$ を二通りに数えると族の密度は $|F|/|E|=1/4$ です。同じ頂点に接する垂直な二辺は一枚のプラケットの隣り合う二辺なので、頂点 $x$ に接する族の辺の本数 $f_x$ は一つの軸の二本までで、平均 $d/2$ と比べて $d\le4$ が出ます。存在まで含めた分類は表 1 で、LeanPerfectFamily.perfectK_one_iff（仮定：$2\le d$。結論：周期 $L$ の箱 $(\mathbb Z/L)^d$ に辺の完全な族が在る $\iff d\le4$ かつ $L$ が偶数）と no_perfectZ_of_five（仮定：$d\ge5$。$\mathbb Z^d$ に無い）が言明です。探した範囲で先行の記録は見当たりませんが、既知かもしれません。この 4 は格子の組合せの数で、時空の四次元とは関係のない一致です。

一リンク積分。族の辺 $\ell$ の乗る 6 枚には他の族の辺が無いので、$U_\ell$ はステープル（プラケットから $\ell$ を除いた三辺の積）の和 $M$ とだけ組になり、積分は $|M|$ だけで決まります。

左は $SU(2)$ の熱浴法の標準の式 典（5-07）、右の両側評価は Leanlog_F0_le・log_F0_ge（仮定：引数が非負だけ）。残る辺の条件つき密度は六つの源の積で一リンクの型に閉じず、この技は一度きりです 仮（紙の議論はあるが、この本には証明を置かない）。

記帳の欠損。完全な族を積分すると、4 辺が残る「無傷の」プラケットは一枚も無くなり、結合は壊れたプラケットから生まれ直すしかありません。残る辺の割合 $e$ と無傷のプラケットの割合 $q$ について、組を数えると

です 初（二重の数え上げ）LeanIncidence.intact_frac_le（仮定：接続が正則。結論：$q\le e$）。段を重ねても届きません：完全な段の列では残る辺が $(2^k+1)/2^{k+1}\gt1/2$ で no_blocking（仮定：完全な段の列）、各段で消す割合が 1/4 以下の任意の列でも辺を $1/16$ まで減らすと残る 4-ループは $1/65536$ 以下です blocking_shortfall（仮定：割合 $\le1/4$）。記帳の壁は曲率でもパッキングでもなく、無傷のプラケットだけを数える記帳の仕方にあった、というのがこの小節の読みです。

円板と弱結合の一段。円板の形の $A$ 枚の内部を積分すると、指標展開のどのチャネルでも係数が $A$ 乗されます：$u(\beta')=u(\beta)^A$、$2\times2$ の円板で $\beta'=\beta^4/64+O(\beta^6)$ 典（強結合の面積則と二次元の間引きの書き直し、5-02・6-02）。面積について半群で全域で $\beta'\lt\beta$ LeandiscStep_semigroup・step_lowers_coupling（仮定：円板の形の面）。弱結合のガウス近似では、円板の $b^2$ 枚が直列、横の $b^{d-2}$ 層が並列に効いて

です。$\beta b^{d-4}$ は結合の次元勘定で、$d=4$ で周辺的です 典（4-04）。辺を共有しない面の寄与は 1 に届かず LeankappaDisj_lt_one（仮定：$b\ge2$）、面の記帳は $\beta'=\kappa(b)\beta$ の掛け算の形で、一ループの引き算の形 $\beta'=\beta-\kappa\ln b$ になりません。

一ループの傾きと取りこぼし。ツリーの $\beta'=\beta$ の上に、速いモード（運動量が $\pi/(ba)$ と $\pi/a$ の間）の一ループの補正が乗ります。これを格子の窓の積分で測ると

の形になります。$\kappa=4Nb_0=11/(3\pi^2)=0.3715110$ は既知の一ループの係数です 典（4-06）。窓の差から読んだ傾きは $b=32\to64$ で 1.000028、$\kappa$ を掛けて 0.371521 で、$11/(3\pi^2)$ と相対 $2.8\times10^{-5}$ で合います 読（一ループ核の模型の中の一致。非摂動の確かめではない）。取りこぼしの係数は $c_2=0.0197(5)$（重み $w$）・$0.4200(5)$（重み $w^2$）、$b=2$ で $\delta(2)=0.1335$・$0.2284$ です 読（同じ模型の当てはめ）。反対側で、実際の格子の $a\sqrt\sigma$（10-01 の表 2）から読む実効的な傾き $\Delta\beta/\ln(a_1/a_2)$ は $\beta=2.25\to2.60$ で 0.304 で、一ループの 0.3715 にも二ループの 0.397 にも届いていません 読。段ごとの形 $\xi(\beta-\kappa\ln b)=\xi(\beta)/b$ を全ての $b\ge1$ で仮定すると $\xi(\beta)=\xi(0)e^{\beta/\kappa}$ が出ます 初 Leanxi_eq_exp（仮定：その関数等式。連続性も単調性も仮定しない）。物理の内容は仮定の関数等式（一ループの走りを等式として置いたもの）の側にあります。

答えの形。$b$ を固定して段を重ねると、取りこぼしは段ごとに同じ量ずつ溜まり、$\delta(b)\ne0$ なら和は発散します。段の尺度を $b_k=k+2$ と大きくする列なら $\sum_kc_2/(k+2)^2\lt\infty$ で収まります 初 Leanfixed_step_bounded_iff（仮定：一定の誤差 $\varepsilon_j=d\ge0$。結論：部分和が有界 $\iff d=0$）。例えば仮の値 $c_2=1$ で、$b=2$ 固定なら 1000 段で累計 250、$b_j=j+2$ なら累計は $\pi^2/6-1=0.645$ に収まります（閉じた式の値）。この取りこぼしを (1) の最初の矢印に結ぶのが、二つの冪の代数です。

$\theta$ は取りこぼしの溜まりの指数（$b$ 固定なら $\delta(b)/\ln b$）、$\eta$ は動的な冪 $\eta_{\rm dyn}$ です。$0\le\eta\le2$・$\theta\ge0$ なら $p=0\iff\eta=0\wedge\theta=0$ 初 Leandrain_exponent・drainExp_eq_zero_iff（仮定：(7) の冪の形と符号）。言葉で言えば「仮定 H（$\eta=0$）の下で、(S4) ⟺ $\sum_k\delta(b_k)\lt\infty$」で、これが旧版の「答えの形」です。この言明は H のほかに、(7) の冪の形、段の誤差を加法的で有界とする模型、$\delta$ が一ループ核の模型の値であること、の上に立ちます 仮。段の誤差の部分和が有界なら $a_k^2C_P^{(k)}$ が正の帯に留まる、という代数も閉じています LeanS4_two_sided（仮定：部分和 $|\sum_{j\lt k}\varepsilon_j|\le M$・係数の正。これを $a_k^2C_P^{(k)}$ と読むのは本文の側）。

核を替えて $\delta(2)=0$ にする道は、一径数の族 $c_1(q)=\alpha+(1-\alpha)\cos q$ の $\alpha_0=1.4400$ で在りますが、隣の重みが負です 読。正の重みの核では $c_2\gt0$ です Leanc2_ge_of_nonneg_weights（仮定：$c_2$ が核の量 $S\ge0$ の増加するアフィン関数 $A+\kappa S$、$A,\kappa\gt0$、という測定した依り方。無条件の主張ではない）。負の重みは反射正値性とぶつかりうるので、調べた族の中では取りこぼしの消去と量子論に戻れる条件が両立しません。族の外は未決です。

表 2 は十七の道を一行ずつ並べたものです。「止まった所」の欄の記号は §06 の壁で、「残ったもの」の欄は Lean で閉じた代数（仮定を括弧に）か、札つきの言明です。

押す矢印ごとに見ると偏りがあります。H↓ と (1) の外には、止まった道が集まっています。H↑ を狙った道は G10 と G15′ の二本だけで、G10 は交差項で止まり、G15′ は (P) の下でだけ挟めています。回転対称性の回復 (S6) と非自明性 (S8) には、どの道も届いていません。(S3)(S6) は一段の写像を何回合成しても出てこない種類の主張です（GB7）。

G6・G12・G13・G14 は、どれも下からの評価を狙い、同じ形の所で止まりました。$C_P$ は試験関数についての上限、隙間は状態についての下限なので、一つの試験関数・一つの演算子が与えるのはどちらも片側だけです。

典 変分原理（1-10）。$\Omega$ は真空、$H$ は転送行列のハミルトニアン、$m_{\rm eff}(k)=\ln(C(k)/C(k+1))$ は時間 $k$ の有効質量です。H↓ は「ある $f$」の言明なので試験関数で届きうる側、H↑ は「すべての $f$」なので届かない側です。

局所演算子（G12）。一つの演算子 $O_x$ を平行移動して重みで足した族では、重みの自由は最良の一運動量に潰れます LeanprofileQuotient_isGreatest（仮定：運動量は有限個・分母の Fourier 変換が正）。分子は感受率で、半径 $\xi$ までの積分で見積もると

です（相関の冪の形を仮定）。$\eta_s$ は演算子ごとの静的な冪で、動的な $\eta_{\rm dyn}$ とは別の量です（8-05）。ゲージ不変な局所演算子の最低次元は $\operatorname{tr}F^2$ の 4 典 なので、比は $\xi$ とともに伸びません Leaneta_ge_two_of_bounded_susc（仮定：感受率が一様に有界。有界性は相関の形と $\Delta=4$ という物理の仮定から来る）。素のリンク角では、ゲージを固定しない測度で各リンク角が一様で独立になり、比は $\beta$ にも体積にも依らず 1 です 初（Haar 測度の不変性からの直接の計算。Elitzur の定理と同じ機構）。

ゲージ固定（G13）。ゲージ固定した長波長のモードは非局所で次元の壁を避けますが、代表の選び方が一価でなければなりません。軌道の上で温度 $T$ の重み付き平均を取れば一価で連続です LeanorbitAvg_gauge_invariant・orbitAvg_continuous。いちばん小さい例の $U(1)$ の輪（辺 $L$ 本）では、平均したモードの振幅が鈍い固定で $(I_1/I_0)^{L-1}$ と $L$ とともに指数で消え、鋭い固定では一周の角 $\Phi=\pi$ で跳びます 初（Fourier 級数で閉じた式）。同じ汎関数が「コピーを選ぶ道具」と「長波長を均す道具」を兼ねるので、二つの要求が一本のつまみの両端に分かれます。四次元のコンパクト $U(1)$ で測った数値（コピー間の散らばりが標準偏差の 3.25 倍など）は 読 で、$SU(2)$ では測っていません。

分光（G6・G14）。空間三方向だけの平滑化は一つの時刻の面に載り、相関は $C(k)=\sum_nw_ne^{-E_nk}$（$w_n\ge0$）の形を保ちます 典（5-03）。この形があれば有効質量は単調に減り Leanmeff_antitone（仮定：非負の重みの表示）、どの $k$ でも最も低いエネルギーの上界です meff_ge_of_corr。下界には別の入力が要ります。

初 Leangap_ge_of_overlap（仮定：非負の重みの表示と重なりの下界 $q$）。下界の値段は重なりの下界ちょうど一つで、$q$ が無ければ重み $\varepsilon$ の軽い状態はどの $k$ でも相関を $\varepsilon$ しか変えません light_admixture_invisible（二準位の具体例）。有限個の測定から隙間の下界が出ないことは、ギャップと指数的なクラスター性の同値という既知の枠組みの言い換えです 典（4-11）。数値の側では、平滑化した演算子の有効質量が $\beta=2.6$・$12^4$ で $\le0.501\pm0.071$ と、原典の $am(0^{++})=0.514(8)$ に下から接しました 読（Monte Carlo・上界の読み）。時間の向きにも均す四次元の流れは一つの面に載らず、有効質量が単調に増える形で上界の性質を壊します 初（自由場の閉じた式）。測る費用は、一辺 $L$ の箱の最も柔らかいモードの緩和時間 $\propto L^2$ から $\ge cL^{d+2}$ です cost_ge（仮定：緩和時間の下界と、相対精度に要る掃引の回数）。

三つの道は同じ壁に着きました。どれも「ゲージ不変な演算子と最も軽い揺らぎの重なりが下から押さえられる」ことを要し、それは「軽い状態が他に隠れていない」ことを含む、すべての状態についての言明です。H↑ と同じ形です。

H↑ は $C_P$ の上界です。上界を出す道具は型が限られ、代表は二つです。

典 左は測度 $e^{-U}$ の曲率の下界から（1-10）、右は一次元でだけ計算できる「その点より手前の質量 × その点から先の抵抗」の最大 $B$ から $C_P$ を 4 倍の幅で挟みます。

曲率を尺度ごとに（G0・G10）。H↑ の型の不等式が定理として立つ既知の場所は、曲率・直径・凸性・強結合と、二・三次元の連続のスカラー場の高温相で格子の正則化に一様な多重尺度の Bakry–Émery だけです 典（Bauerschmidt–Dagallier の定理 1.1、判定は Bauerschmidt–Bodineau の定理 2.5）。四次元のゲージ場では、一リンク積分のあとの曲率は強結合でしか正になりません（G0）。Gribov 領域の上の曲率を有限次元の模型で調べると、正になるのは強結合の側だけで、非凸性は零運動量のモードから来ました 読（$L=2,3,4$ の標本の上）。零モードを外したあとに残る紫外の揺らぎは、一段の勾配流では越えられません：流れは全単射でゲージの作用と可換なので関数の空間を小さくせず Leancomp_class_eq_of_equivariant_bijection、得は計量の取り替えにしか無く、押し出した測度の曲率は流れの時間とともに負に深くなりました 読（開いた箱 $\ell=3$・$\beta=2.3,4$ の典型点・$t\le0.5$ で測った範囲）。

管の欠損（G15）。鎖 (ii) の下の半分 $m^2\gtrsim\sigma$ を、閉じた管の転送作用素 $\mathcal T$ と周長の作用素 $\hat\ell$ の不等式に移しました。

初（右は相加相乗平均）Leanmass_sq_ge_of_tube（仮定：転送作用素のノルムが $e^{-2\sqrt{c\sigma}}$ 以下。結論：$m^2\ge4c\sigma$）。$1/\ell$ の冪は、係数 $c$ が無次元になる唯一の冪です。中身は $T(c,1)$ の側にあり、それ自身の証明の型はありません。強結合の面の展開が収束する領域では一尺度の下の半分そのものが偽で linear_regime_breaks_onescale（仮定：収束域の挟み込み）、柱の模型の数え上げでは欠損の符号が正にも負にもなり、Wulff 形は菱形で、$T(c,1)$ は異方性を引いたあとにだけ立ちます linear_deficit_breaks_inv（陰性対照）。最後の形は「短い輪での局所化した $T$・大きな輪での Casimir の床・その間のつなぎ目」の三つの仮定で mass_bound_localized、床だけでは下界は出ません casimir_only_no_bound。

尺度の一次元鎖（G15′）。ホログラフィーの模型では隙間は動径の一変数の固有値問題で、その変数の上では帯の文 $C_P\asymp\xi^2$ が証明を要しない恒等式になります 初（基底状態変換 $H=P^\dagger P$ と変分原理）。これを格子に持ち込むため、尺度 $s=\ln\ell$ の上に一次元の鎖を置き、(11) の右の離散版で $C_P$ を挟みました。

Leanconditional_scale_bound（仮定：射影 (P)・非負で部分和が有界な取りこぼし・幾何級数の重み。有限鎖の Hardy の挟み込みは既知の再証明）。陰性対照として、一定の取りこぼしでは有界性が崩れます const_defect_scale_unbounded。中身は (P) の側にあり、(P) は「分散を尺度ごとに分けられる」「各段の条件つき Poincaré 定数が一様」「段をまたぐ伝導度が押さえられる」「状態空間が尺度の一本の線である」の四つに割れて、後の三つは示されていません 仮。(P) は H より弱くありません。一次元の鎖は H↑ を示したのではなく、H↑ を (P) に言い換えました。

境界と位相電荷（G11・G15′）。周期の箱では、状態空間が位相電荷 $Q$ ごとの枚に分かれ、紫外の端でだけつながります。可逆な力学では、どの観測量でも

が成り立ち 典 Leantau_int_le・rayleigh_le_tau（有限の可逆な連鎖。既知の事実の再証明）、測った $\tau_{\rm int}$ はどれも $C_P$ の下界です。原典は HMC 型の力学で位相電荷の二乗の有効な動的指数を「約 5」と報告していて 読（Schaefer–Sommer–Virotta 2011）、HMC と Langevin が同じ普遍類という予想 仮 と (14) を重ねると、周期の箱では $C_P\gtrsim a^{-5}$ で H↑ は破れます。予想の上の条件つきの読みです。「約 5」は $SU(3)$ の値で、$SU(2)$ の同じ測りは探した範囲で一本（HMC・周期境界・小さな箱・三点）、$a^{-2}$ に近いと報告されています 読（Abe–Morikawa–Suzuki 2025。10-01 §05 の注）。開いた境界がこの障壁を外すのは、物理の一辺を止めた有限の箱の中だけです（部分領域の電荷を試験関数にした勘定 仮。原典でも、開いた境界の $Q^2$ の自己相関時間は時間方向の長さにほぼ比例して伸びる 読）。先に体積を無限にするこの本の順では救いにならない見込みで、仮定 H の言明そのものを、位相の区画ごとの文か、台を相関長の数倍に限った局所の文に直す方向が候補になります（10-01 §05 の注。直し方は 第 11 部 で扱います）。

こうして上の側の道は、どれも難しさの移った先を名指して止まりました。

矢印は右から左の一方向だけで、右辺はどれも仮定です。

壁は、ある道がある道具で (1) のある矢印の手前で止まった理由を一文にしたものです。型は五つで、英字が型を表します：原理（GA）は不等式の向きから出て道具の細部に依らないもの、構造（GB）は選んだ族・記帳・級数の中で要求が両立しないもの（族の外は未決）、道具（GC）は要る不等式の型は分かっているのに示す道具が無いもの、仮定（GD）は条件つきの言明の足場、測定と文献（GE）は数値・箱・一次資料で決まらなかったものです。どの壁も「越えられない」ことの証明ではありません。

原理の壁（GA）。GA1 と GA2 は (8) の二つの片側で、測定を何回重ねても動きません。例えば標準正規分布（$C_P=1$、$f=x$ が等号）で、$x$ を含まない奇数次の多項式の族の比の最大は族を大きくすると 1 に近づきますが、族の中の数だけでは 1 が最終の値か分かりません 読（族の下界）。1 だと分かるのは族の外の入力（$V''=1$ の凸性から $C_P\le1$）があるからで、H↑ に要るのはこの種の入力です。

構造の壁（GB）。選んだ族の中の両立不能で、族の外については何も言いません。GB1〜GB3 は §04 の三つの道の止まり方、GB4 は反射正値性と取りこぼしの消去の緊張で、問題文が連続の正則化について言う「反射正値性を失うと回復の方法が少ない」と向きの逆な同じ緊張です。GB5〜GB7 は記帳と級数の形の限界です。

道具の壁（GC）。H↑ の列に集まります。GC1〜GC3 は §05 の三つの移り先で、GC4 だけは数学の障害ではなく検査の道具の不足です。曲率の定理が在る $\beta\lt0.2722$ と分光が使う $\beta=2.60$（相関長 1.95 格子間隔）は約 9.6 倍離れていて、そのあいだを一様に渡る評価が GC1 の中身です。

仮定の壁（GD）。帯の文 $a^2C_P\asymp1$ は三つの比の積 $(a^2/\sigma)(\sigma/m^2)(m^2/\lambda_1)$ に割れ、中心の同値は H のほかの足場にも立っています。各仮定は第 1〜8 部の概念に当たります：H と鎖 (ii)(iii) は「尺度は一つ」（4-07）の Poincaré 定数での言い換えの候補、鎖 (i) は動的指数 $z=2$（8-03）、鎖 (ii) は一尺度（7-12）、鎖 (iii) は漸近スケーリング（5-05）の記帳の長さでの特殊化です。類比であって数学的な同値ではありません。

測定と文献の壁（GE）。計算か入手で動きますが、動いても (1) の論理は変わりません。代表は箱の大きさで、$12\times0.15896=1.91$（$\beta=2.55$）、$12\times0.13395=1.61$（$\beta=2.60$）と、どちらも物理の長さ $1/\sqrt\sigma$ を 3 個含まない小さな箱です 読。

H↑ の列の壁は GA1・GC1・GC3・GD3 で、測定と文献の壁（GE）がありません。H↑ の手前には、測れば動く壁が無いということです。出題者が「新しい考えが要る」と書いたのも体積に一様なギャップの側で（Jaffe–Witten §6.5）典、測定の動かない壁が集まった所と同じ場所です。

十七の道から残ったものの多くは、仮定を引数に明示した有限の不等式と代数です。表 4 は本文で引いた定理を、言明が何についての文かで並べたものです。どの定理も Lean の中では実数・数列・有限集合の上の和についての文で、それが Wilson 測度の量であることは本文が付けた読みです。Wilson 測度の期待値・相関・隙間についての定理はありません（10-13）。

条件つきの行の中身は仮定の側にあり、定理はその仮定を一歩も示しません。格子の定理の二行（完全な族の分類と有効作用の Hesse 形式の下界）だけが、格子の形だけを仮定した格子の上の定理です。前者は格子の組合せの事実、後者は相関長が格子間隔の 1/10 程度の強結合の側で効く評価で、どちらも連続極限からは遠い所の話です。

数値の側で残ったのは読みです 読：一ループ核の模型の傾きと既知の係数の一致（相対 $2.8\times10^{-5}$、模型の中）、$c_2$ の値（二つの重みと二つのゲージ）、原典の格子の $a\sqrt\sigma$ から読む実効的な傾き 0.304、平滑化した演算子の有効質量の上界 $0.501\pm0.071$（$\beta=2.6$・$12^4$）、コンパクト $U(1)$ のゲージ固定のコピーの散らばり、Gribov 領域の曲率が正になる強結合の範囲（有限次元の模型の標本）、勾配流の押し出し測度の曲率（測った典型点）。どれも上界・下界の証明には使っていません。

§04〜§06 をまとめると、四次元格子のまま仮定 H の上の側（H↑、すべての $f$）を攻める道具が無い、ということです。下の側の道具（試験関数・分光）は原理の壁で止まり、上の側の道具（曲率・管・一次元鎖）はどれも一つの仮定に難しさを移した所で止まりました。どこで止まったかは、道具ごとに次の表のとおりです。右の列は、同じ道具を一段目の模型（0+1 次元の二重井戸の経路の測度、10-04）に持ち込んだとき、何が替わるかの見込みです。

替わらないものもあります。H↑ が「すべての $f$」についての不等式であること、そして下の側の道具では原理的に届かないこと（GA1）は一段目でも同じです。だから一段目でするのは、上の側の組み立てを、仮定の行を名指した命題の形で先に作ることです。仮定 H は次元によらない文なので（10-01 §05）、同じ文を、物差しが径数について指数で伸び、遅い動きが「相を移る」動きで、比べる量が正確に分かる最小の模型で組みます。

一段目を閉じても、四次元格子に持ち上がる保証はありません。持ち上がる見込みがあるのは文の形と道具の形で、定数や径数の範囲は持ち上がりません（10-03 §06）。この章の壁の表は、一段目の道具が二段目で再びどの壁に当たりうるかを読むための表として残します。

仮定 H は取っ掛かりとして選んだ一つの言い換えで、この章の道と壁も H を軸にした検討の範囲のものです。H と別の視点は第 11 部で扱います。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 一段の記帳・完全な族・一リンク積分・取りこぼし $\delta(b)$・答えの形・格子の方向 G0〜G15′・格子の壁 GA1〜GE4・更新形・重なりの下界・$T(c,1)$・射影の仮定 (P)・位相電荷・陰性対照。意味は A-02 用語集 にあります。

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