2026-10-09 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 10 部 質量ギャップの証明へ向けて — 階段の一段目を組む条件 (H2)・七つの道筋・環の継ぎ目 · Kiichi, Shiori and Rin

(H2) の地図 — 七つの道筋と環の継ぎ目

条件 (H2) の言明は 10-05 §03 のとおりです。写しておきます。

箱の割り方で (H2) に残るもの。10-05 の箱の割り方では、鞍点の族に沿う向き（キンクの位置）を遅い変数に取ったので、その向きの縦の輸送は (H4) の行 (KG)・(X) が受け持ちます（10-05 §04 段 2 の注）。(H2) に残るのは、キンクの配置を止めた後の管と芯の行、すなわち (H2^tube) と (T0′_P) です。この章の地図はこの二つの行を支える道具の地図です。

なぜ難しいか。芯 $Q_k=(-x_c,0)^k$（$x_c=0.89$、谷 $-1$ の側から頂上 $0$ の手前までの箱を $k$ サイト並べたもの）の上では、作用が頂上でほとんど平らで、一サイトの曲率が負になります（§05 の表 4 の行 W、詳しくは 10-09 §06）。凸性の道具（Bakry–Émery）は芯の全体には当たらず、芯の長さ $k$ は相関長まで伸びるので、定数が $k$ に一様であることを別の手で示す必要があります。

二つの場所 — 橋の管と環の継ぎ目

(H2) の行は、経路の形の違う二つの場所で現れます。

• 橋の管。両端を二つの谷に止めた区間（橋）にキンクが一本ある配位の、キンクの周りの管。芯は管の中で頂上の近くにとどまる区間です。箱の中の (H2^tube)・(T0′_P) はこちらの形です。
• 環の継ぎ目。周期的な短い経路（環、長さ $T\ll\xi$）にキンクと反キンクが一対ある配位で、対の間隔 $\ell$ が縮んで二つが出会う所。対が消える直前の配位は頂上の台地そのものです（§03）。橋の管の議論はキンクが離れていることを使うので、継ぎ目では別の扱いが要ります。

どちらの場所でも、芯の定数を押さえる道具は同じ型です。芯の中のサイトに「谷の側か頂上の側か」の粗い印を付け、ある一サイトの周りの 17 サイトの範囲（サイトの窓 $W$）の印の周辺の対数 Sobolev 定数 $A_W$ と、窓の外へ伸びる鎖の縮みの比 $q$ を組み合わせます。この「窓の外の鎖」の縮みの条件 $q\lt1$ が道筋 1 と道筋 6 の外の鎖、$A_W$ の大きさが道筋 2・3・5 の中心です。サイトの窓 $W$ と、計算機援用で扱う $\hbar$ の範囲（$\hbar$ の窓 $[3\cdot10^{-4},3\cdot10^{-3}]$）は別のものです。「窓の外の鎖」「窓の中の段」の窓はサイトの窓、「窓の全体」「窓の下の端」の窓は $\hbar$ の窓で、紛れるときは「サイトの」を付けます。

(H2) の芯の行を閉じるために立てた道筋は七つです。番号は道筋の名で、順序や重さを表しません。表 1 の「分類」は 10-00 §01 の五分類の記号で、一つの道筋に二つ以上の分類が混ざるときは主なものから並べます。

表 1 の読み方を三つ添えます。

(a) 計算機援用の行は二つだけ。道筋 1 と道筋 6 の外の鎖です。どちらも「計算した $\hbar$ の窓の中で、区間演算の出力の表を前提に不等式が成り立つ」という意味の閉じ方で、窓の外と $\hbar\to0$ については何も言いません（10-08）。

(b) 道筋 1 が閉じても (H2) は閉じない。道筋 1 の比 $q_{\rm free}$ は、サイトの窓の対数 Sobolev 定数 $A_W$ の上界の一つの因子 $S_W=1+2\bigl(16+1/(1-q_{\rm free})\bigr)$ に入るだけです（§06 の依存グラフの [12]）。いまの上界の組み立てでは $A_W$ の上界は要る値の外にあり（17 サイトの窓の因子の積の形で 4〜5 桁、3 サイトの窓で要る側を上げた形でも 29〜74 倍、10-09 §03）、残る一命題（道筋 5）は別の筋で攻めています。

(c) 道筋 7 は対象の外と決めた。冪の H は $\hbar\to0$ の言明なので、最終的には (H1)〜(H4) を $\hbar\to0$ の漸近で言う必要があり、固定した窓の計算機援用だけでは届きません。窓の外は紙の漸近が要ります。この部では、窓の中の行の分類を確かめることを先にし、揃え方は 10-12・10-15 で述べます。

環は長さ $T\ll\xi$ の周期的な経路で、キンクと反キンクが一対あり、負の側にいる弧の長さを $\ell$ とします。10-05 §02 (c) の縮約した台地の模型は、この $\ell$ だけを残したものでした。継ぎ目は $\ell$ が小さくなって対が消える所です。

継ぎ目は頂上の台地そのもの

負の弧の長さを $\ell$ に固定した連続の最小作用 $S(\ell)$ は、$\ell\to0^+$ で $0$ ではなく $S_0$ に近づきます（経路は頂上に触れて戻る）。$\ell\le\pi\sqrt2$ では最小の配位はキンクを持たず、頂上 $0$ の上に平らに乗る台地で、作用は $S_0+\ell/8$ です。$\ell\gt\pi\sqrt2$ で窪みが生じ、作用は $2S_0$ に近づきます（$2S_0-S\approx8e^{-\ell}$）仮（連続の変分の議論と格子の最小の浮動小数の照合。証明は本に置かない）。格子（$\varepsilon=\tfrac12$）でも、負の側の長さ $m$ サイトの最小は $m\le9$ で $S_{\rm lat}(1)+(m-1)/16$ に乗ります 読（浮動小数の最小、差 $\le5\times10^{-11}$）。継ぎ目の配位は、芯（頂上の近くにとどまる区間）そのもので、橋の管の芯と同じ難しさがここに現れます。

$\ell$ の向きは易しい。$\ell$ だけの一次元の輸送は、継ぎ目まで含めて押さえられます。継ぎ目の帯・襟・台地のそれぞれで、一次元の Poincaré 定数を 4 倍以内で挟む Muckenhoupt の量が $64S_0\hbar$・$L_0^2/(8D)$・$T^2/D$ 以下になり、代数は機械検査が通っています 仮（一次元の模型の上の紙の評価。模型への縮約そのものが仮定）。難しいのは座標の側で、継ぎ目では符号の変わる回数が遅い変数になりません。そこで符号に依らない区画、すなわち $|z|\lt\theta$（$\theta=\tfrac12$）のサイトの連なり（塊）を単位に畳みます。他を止めた $k$ サイトの塊の作用は、$V''\ge-\tfrac12$ から $k\le7$ で凸です 初（三重対角の行列 $\mathrm{tridiag}(-2,4+w,-2)$、$w\ge-\tfrac14$ の最小固有値 $8\sin^2\frac{\pi}{2(k+1)}-\tfrac14$ は $k\le7$ で正）。

外の鎖と内の鎖

環のサイトの窓 $W$（17 サイト）には、塊が一つ（長さ $k\le7$、無くてもよい）・窓の他のサイトは谷の側・窓の外は符号の決まった側、という印を付けます。窓の対数 Sobolev 定数の組み立てには、二種類の鎖の縮みの比が入ります。

• 外の鎖：サイトの窓の外へ伸びる鎖。符号の決まった領域 $[0,\infty)$ を動き、鏡像 $x\mapsto-x$ で $(-\infty,0]$ に写すと、橋の芯の外の鎖と同じ型の鎖になります。作用は鏡像で不変ですが 初（$V$ が偶関数）Leanchain_action_reflect（仮定なし。測度の像と Stein の核の反転は Lean の外）、橋の鎖と同じ鎖ではありません。橋の箱には下の壁 $-x_c$ があり、環の外の鎖には無いからです。
• 内の鎖：サイトの窓の中の段。段ごとに箱が「谷の側」「塊」と替わり、塊の箱 $(-\tfrac12,\tfrac12)$ は $0$ を跨ぎます。

二つの鎖の違いは、壁の角で読めます。壁の位置 $b$ での古典の角の比は $r(b)=\Delta/(\Delta-\varepsilon^2V'(b))$ で、$V'(b)=0$ の壁（外の鎖の壁 $0$）でちょうど 1、力が箱の外へ押す壁で 1 を越えます 初（比の符号の代数）Leancorner_eq_one（仮定：$\Delta\ne0$）・corner_gt_one（仮定：$0\lt c\lt\Delta$）。比の式そのものは包絡線の計算から来ていて、その正則性は 仮 です。塊の上の壁 $+\tfrac12$ では $\varepsilon^2V'(\tfrac12)=-3/64$ で、力が壁へ向かうので角は 1 を越えます（孤立した壁の古典の値 $1.2857$）。

表 2 を一行で言えば、外は閉じ（窓の中・ピン $\le0$ の条件つき）、内は有限の係数です。ここでの「閉じ」は、計算した $\hbar$ の窓の中で外の鎖の縮みが計算機援用の不等式になったという意味で、環の上で (H2) が閉じた意味ではありません。外の鎖の結果は、箱に条件づけた鎖で一度閉じ（上界 $0.998888525$）、その後に条件づけない鎖へ広げた（尾の項を区間演算の剰余に入れ、深いピンは閉じた形の上界で覆った）ものです。広げたことで、条件づけた鎖を元の測度へ戻すための四つの仮定の行が要らなくなりました。

内の鎖が 1 を越える理由と、区間化の費用。内の鎖の律速は、塊の箱の遠い壁の際にピンがある段で、上の外へ押す角そのものです（古典の値 $1.2857$ に近い）。外の鎖の区間の機械は、右の壁が $0$ で $V'(0)=0$・箱が一つ・ピンと格子が同じ、という前提の上に組まれていて、入力を差し替えるだけでは内の鎖に使えません。内の鎖を区間演算に載せる費用の見積もりは、紙 1〜2 段＋台本 1〜2 本＋約 50 本・約 42 時間（一コア）で、得られるのは有限の係数 $\bar q\approx1.3$ の上界だけです。この係数は $A_W$ に $\bar q^{32}\approx10^{3.6}$ 倍で入るので、区画の枠組みの閉じる条件（10-09 §02）を満たす道にはなりません。

環の継ぎ目に残る行。(lim)（段を限りなく重ねた極限が各 $\hbar$ で不動点の囲いに入ること）・(END_rand)（鎖の端の値が一点でなく分布で与えられる場合）・C2′（台地の長さで条件づけた比）・境の段・内の鎖の区間化。どれも 仮 か 読 のままです。

サイトの窓の対数 Sobolev 定数の上界は、いまの組み立て（命題 LSσ_W）では因子の積 $A=c_W\cdot C_{\rm 1D}^W\cdot S_W\cdot T_W$ の形です。$c_W$ は印の周辺の測度の定数で、最小の重み $\pi_*$ と印の動力学の隙間 $\mathrm{gap}_W$ から作り、$S_W$・$T_W$ は鎖の縮みの比から作ります。道筋 2 は、因子の値を三点の浮動小数から区間演算へ移すための紙の還元と本数の見積もりです。

合計 約 42 本・約 21 時間（一コア）の見積もりです。この 42 本は走らせない判断にしました。理由は積の形そのものの床です。$S_W\ge1+2/(1-q_{\rm free})$・$T_W\ge|W|$・$c_W\ge\ln\bigl(1/\nu(\sigma_i=\text{谷の側})\bigr)\approx E_U/\hbar$ から、因子の真の値を入れても $A\gtrsim1.4\times10^4〜1.4\times10^6$ で 読（見積もり）、区画の枠組みの要る値（10-09 §03、数十〜数百）の数十倍から数万倍の外にあります。区間演算で因子を確かめても、この形のままでは閉じる条件に届きません。道筋 2 の紙の還元（遮蔽・端の列）は、積でない形の上界（道筋 5 の筋）にもそのまま入る道具として残します。

表 1〜表 3 の行を、五分類の書式で一表にします。分類は一行に一つで、機械検査の欄は分類の外です。行の記号は §06 の依存グラフの節点と対応します。

表 4 の「機」の二行（QF・QO）は、どれも前提の行 IA の上の計算機援用で、Lean が確かめたのは「区間演算の出力の表を仮定に置いた組み立て」です（10-08 §07）。「初」の行 CORE は、仮定の行 LSW の上の代数で、芯の隙間の下界が示されたことを意味しません。

表 4 の行を番号つきの節点にします。「⟸」の右の前提の番号は、左の結論の番号より必ず小さく置きます（この部で共通の書式、10-05 §07）。

[01] 仮 IA     区間演算の前提（IEEE の正しい丸め・和の誤差・自前の exp）  ħ：—
[02] 仮 LIM    (lim)・(END_rand)・正則性                              ħ：—
[03] 仮 LSW    (LS_W♭) A_W < A_max(ħ)                                 ħ：—
[04] 仮 SM     道筋 4 の小さな仮定                                      ħ：—
[05] 仮 PROD   命題 LSσ_W（積の形 A_W ≤ c_W·C_1D·S_W·T_W）              ħ：—
[06] 読 N2     道筋 2 の定数                                            ħ：三点
[07] 読 QIN    環の内の鎖 q_in ≈ 1.24〜1.28                             ħ：四点
[08] 読 EDGE   境の段 q ≈ 1.004〜1.045                                  ħ：四点
[09] 機 QF     q_free ≤ 0.998854904 ⟸ [01]                              ħ：窓
               Lean win_qfree_window_le_of_interval_table（仮定：区間演算の出力の表）
[10] 機 QO     q_out ≤ 0.998888530（ピン ≤ 0）⟸ [01][02]                ħ：窓
               Lean unc_window_lt_one_of_table（仮定：区間演算の出力の表）
[11] 初 SIG    区画の枠組み (Σ.1)〜(Σ.5) ⟸ [02][04]                     ħ に依らない
               Lean cell_sum_sup・comp_close（仮定は 10-09 の表）
[12] 初 SWB    橋の S_W ≤ 1779.6 ⟸ [09]                                 ħ：窓
[13] 初 SWR    環の S_W ≤ 122745 ⟸ [07][08][10]                          ħ：窓
               Lean sw_inner_le（仮定：q_in ≤ 13/10・q_out ≤ 0.998888530）
[14] 読 AV     積の形の A_W ≈ 2.5·10⁶〜4.7·10⁷ ⟸ [05][06][12]             ħ：三点
[15] 初 CORE   芯の隙間の k に一様な正の下界 ⟸ [03][11]                   ħ：—
               Lean comp_close（仮定：Barta・(Σ.3)・Bochner の三つの不等式）
[16] 初 T0P    10-05 の行 (T0'_P) の形 ⟸ [02][15]                        ħ：—

確かめ方。[09] は [01]、[10] は [01][02]、[11] は [02][04]、[12] は [09]、[13] は [07][08][10]、[14] は [05][06][12]、[15] は [03][11]、[16] は [02][15] だけを右に持ち、どの行も右の番号が左より小さいので、円はありません。

このグラフで読むこと。(1) 芯の行 [16] に至る道は [15] を通り、[15] は仮定の行 [03]（道筋 5 の残る一命題）に依ります。(2) 計算機援用の [09][10] は [12][13] を通して積の形の値 [14] に入るだけで、[14] は [03] を満たしません（要る値の外）。つまり計算機援用の二行は、いまのグラフでは [16] への道の上にありません。積でない形の上界が [03] を満たしたとき、その上界の中に $q$ の比が入れば、[09][10] は [03] の根拠の一部になります。(3) 読みの行 [06][07][08] は、どれも上界の証明には使っていません。

仮定の行の言明が結論の量を含んでいないことも確かめておきます。結論の量は芯の測度の隙間（[15]）と行 (T0′_P) の定数（[16]）です。[03] はサイトの窓の印の周辺の対数 Sobolev 定数、[04] は区画の入力の定数、[05] は積の形の上界の組み立て、[02] は極限と正則性で、どれも芯の隙間そのものを含みません。

この部は仮定 H を検討の軸に置き、(H2) はその一段目の柱の一つとして扱っています。別の視点は第 11 部で扱います。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 道筋・芯・サイトの窓・窓（$\hbar$ の）・窓の外の鎖・Stein の核の比・環・継ぎ目・塊・外の鎖・内の鎖・境の段・壁の角・計算機援用・積の形の床。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：10-08 計算機援用とは何か — 窓の中の鎖の条件 — 区間演算で浮動小数の計算を不等式の証明に変える仕組みと前提を、窓の外の鎖の縮みの条件を例に説明する。

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