2026-10-09 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 10 部 質量ギャップの証明へ向けて — 階段の一段目を組む条件 (H1)・命題 H1・六つの節点 · Kiichi, Shiori and Rin

(H1) 相の中の局所 Poincaré

言明。二重井戸の経路の格子（$\varepsilon=\tfrac12$）で、全てのサイトを $x_i\ge0$ に制限した測度 $\mu^{(+)}$ を考えます。条件 (H1) は「$C_P(\mu^{(+)})$ が $\hbar$ と長さに依らない定数以下」です。凸な芯の Bakry–Émery は谷の奥（$x_i\ge a\gt1/\sqrt3$）にしか効かず、谷の中の小旅行は長さ $\xi$ の区間に指数で多く入るので、この測度は凸ではありません（10-04 §06）。

組み立て。12 サイトごとに一つのサイトを残し（粗い側）、その間の 11 サイトを、両端を固定した橋（細かい側）とします。分散を「残したサイトを止めた条件つきの分散」と「その期待値の分散」に分け、細かい側は橋の中をさらに三つの小さな橋と二つのサイトに割って押さえ、粗い側は残したサイトの鎖を一サイトの隙間と隣どうしの結合の強さで判定します。粗い側の判定の要は

という余白の不等式で、これを端の値の全ての組について確かめるのに区間演算を使います。

命題 H1。$\hbar$ の六つの節点の各点で、端と隣の値 $[0,2.5]$ の全てについて余白 $\ge0.067$ が計算機援用で確かめられ、残りの行（仮定と既知の定理）の上で $C_P(\mu^{(+)})\le C$、$C\le1.6\times10^{10}$（紙と区間演算の入力だけ）です。数値の読みを入力にすると $C\le658$ です。どちらも環の長さに依りません。

残り。節点の間の $\hbar$ は、$\beta=1/\hbar$ を傾けの三つ目の向きにする方法で部分区間ごとに埋める型ができ、費用は一コアで数十時間の見積もりです。$\hbar\lt0.005$ は部分区間が無限個要るので別の方法（$\hbar\to0$ の漸近）が要り、端の値 $\gt2.5$、定数の鋭さ、箱の中で使う切れ端の版、引いた定理の書誌の確認が残ります。

相の測度。環 $N=12n$ サイト（$n\ge3$）の格子の作用

から、全てのサイトで $x_i\ge0$ の配位に制限した測度 $\mu^{(+)}\propto e^{-S/\hbar}\mathbf 1\{x_i\ge0\ \forall i\}$ を作ります。直交象限は凸なので、壁 $x_i=0$ で反射する Langevin 力学（Neumann 条件）の平衡がこの測度です。Dirichlet 形は $\mathcal E(f)=(\hbar/\varepsilon)\sum_i\mathbb E|\partial_if|^2$ です。経路は谷 $x=1$ の側にとどまり、キンクを持ちません。これが「キンクの無い相」です。

箱の中で使う版（10-05 §04 段 2 の (H1^seg)）は、環の代わりに両端の値を持つ長さ $\le C\xi$ の切れ端で、端の値にも一様であることを求めます。

何が難しいか。三つの素朴な道がどれも $\hbar$ について指数の損を出します。

• 凸な芯：$x_i\ge a\gt1/\sqrt3$ に制限すれば Bakry–Émery で $C_P\le2/(3a^2-1)$ ですが、芯の外への小旅行の作用（$a=1/\sqrt3$ で 0.1535）はキンクの作用 $2/3$ より小さく、長さ $\xi$ の区間に $e^{(S_0-c_a)/\hbar}$ 個の小旅行が入ります 初（10-04 §06）。
• 全体の摂動（Holley–Stroock の型）：凸な作用との差の振れ幅は経路の長さに比例し、定数は $e^{T\delta/\hbar}$ の型になります 典（Holley–Stroock の摂動の補題。Ledoux の命題 6.1 の再述で型を確認）。
• 一サイトずつの摂動：一サイトあたりの非凸性は $\varepsilon/(8\hbar)$ ですが、隣どうしの結合 $(x_{i+1}-x_i)^2/(2\varepsilon)$ が強いので、一サイトずつ切り離して扱えません 読。

数値は (H1) と矛盾しません。壁つきの環の Langevin 力学で磁化の積分自己相関の時間を測ると、$\hbar=0.3／0.15／0.1／0.07$ で $0.86／1.40／1.50／1.39$ と $\hbar$ に依らない大きさでした 読（観測量一つの自己相関は Poincaré 定数の下界しか与えず、上界の証拠ではない）。

残したサイトと橋。サイト $y_j:=x_{12j}$ を残し、$y_j$ と $y_{j+1}$ の間の 11 サイト $x_{12j+1},\dots,x_{12j+11}$ を、両端を $y_j,y_{j+1}$ に固定した橋とします。分散を残したサイト $y$ で分けると

です（行 (T5)：分散の分解は初等、使う関数の正則性・稠密性は仮定）。最近接の相互作用なので、$y$ を止めると橋どうしは独立で、$y$ の周辺の測度は残したサイトの最近接の鎖です（行 (T2)：Markov 性）。

細かい側：橋の中の入れ子。11 サイトの橋は凸ではありません（橋の Hessian の最小固有値は $(1/\varepsilon)\lambda_{\min}(L_{11})-\varepsilon/2=-0.11$）。そこで橋の中のサイト 4 と 8 をもう一段残し、三つの小さな橋（3 サイト）と二つのサイト $(x_4,x_8)$ に割ります。

• 3 サイトの小さな橋は対数凹です：Hessian $\ge(1/\varepsilon)\lambda_{\min}(L_3)-\varepsilon/2=2(2-\sqrt2)-\tfrac14\approx0.92$。Bakry–Émery で隙間 $\rho_f=0.922$ 初（曲率の下界）典（凸な領域の Bakry–Émery）。
• 小さな橋と二つのサイトの交差は Brascamp–Lieb の不等式で $\kappa_f=1.98$ 典。
• 二つのサイト $(x_4,x_8)$ の周辺の測度の隙間 $\lambda_c\ge1.3\times10^{-4}$（端の値 $[0,4]^2$・$\hbar\in(0,0.2]$）機（行 (T3)）。

三つを入れ子の二尺度の代数で合わせると、橋の隙間は $t^2-(\rho_f+\lambda_c+\kappa_f^2/\rho_f)t+\rho_f\lambda_c=0$ の小さい根以上で、$\lambda_S\ge2.3\times10^{-5}$ です 初（根の算術）。

粗い側：一サイトの隙間と結合。隣の値 $c,d$ を止めた $y_j$ の一次元の条件つきの測度は $\propto e^{-U(t)/\hbar}$ で、

です（$\mathbb E_{a,b}$ は両端 $a,b$ の橋の期待値）。その Poincaré の隙間を $\hbar$ 倍したものを $\hbar\rho(c,d)$、橋の両端の結合の強さを

とします（二つ目の等号は $\partial_a\log Z(a,b)$ を $b$ で微分する恒等式 初、非負は $e$ が $a$ について増えることから 典（FKG の相関不等式））。粗い側の鎖の隙間は、Helffer の判定の Poincaré 版（Ledoux の命題 3.1）を環の Gershgorin の形で使うと、余白

以上です 典（Ledoux の命題 3.1）初（Gershgorin の形）Leanring_gershgorin（環の二次形式の不等式、仮定：$\kappa\ge0$）。(1) は $\lambda\gt0$ のことです。

交差と率の代数。細かい側と粗い側をつなぐ交差の強さは $\kappa^2=2(v/\hbar)\lambda_S/\varepsilon^2$、$v/\hbar\le2\bigl(644/1455+(60/97)^2/\lambda_c\bigr)\le5888$ です（行 (T4)）初（算術）LeanT4_paper_numeric（仮定：$\lambda_c\ge1.3\times10^{-4}$）典（Brascamp–Lieb）。$\lambda$ と $\lambda_S$ はどちらも平らな Dirichlet 形 $\int|\nabla f|^2$ に対する隙間を $\hbar$ 倍した単位です。このとき、$0\le t\lt\lambda$ が

を満たせば $C_P(\mu^{(+)})\le\varepsilon/t$ です 初 LeanH1_assembly（仮定に名前をつけた代数：分解 (3)〔hT5〕・細かい側〔hFine、Lean の $\rho$ は本文の $\lambda_S$〕・粗い側の判定の結論〔hLedoux〕・余白 $\lambda\le\hbar\rho-2\hbar\kappa$〔hT1〕・$0\lt\lambda$・交差〔hT4〕・率の条件 (7)）。

組み立ての全体を、分散の分解の木にすると次のとおりです。

Var f = E[Var(f|y)] + Var(E[f|y])                                 （T5：分散の分解）
 ├ 細かい側：y を止めた 11 サイトの橋
 │    └ 入れ子 {4,8}：小さな橋 BE ρ_f=0.922・交差 BL κ_f=1.98・二つのサイト λ_c（T3）→ λ_S
 ├ 粗い側：残したサイトの環（最近接・T2）── Helffer の判定の Poincaré 版（Gershgorin の形）
 │    └ (T1)：一サイトの隙間 ħρ（Muckenhoupt・FKG の帯・尾）− 2·結合 ħκ（傾けの Taylor・求積の区間）≥ λ
 └ 交差：κ² = 2(v/ħ)λ_S/ε²（T4 ← T3）
 → 率の条件 tκ² ≤ λ_S(λ_S−t)(λ−t)（H1_assembly）→ C_P ≤ ε/t

要の行は余白 (6) で、隣と端の値 $[0,2.5]$ の全ての組について、六つの節点で表 1 の値が得られています。

区間演算の実装は、float64 の演算に外向きの幅を足す形です（非負の和の丸めを相対 $10^{-10}$、区間の四則を相対 $10^{-12}$ だけ外へ広げ、$e^{-700}$ を下回る重みは上から置き換え、$\varepsilon V/\hbar\gt690$ の領域は尾の上界で覆う）。演算ごとに向きを指定した丸めではなく、IEEE の正しい丸めを前提にした幅の上乗せです。この前提は表 2 の行 A1 に同じ行で書きます。六組の値から余白 $\ge0.067$ が出る算術は LeanT1_margin_six_nodes（仮定なし・数）、一つの節点で区間の出力から余白へ渡る段は T1_node_margin（仮定：区間の出力の二つの不等式と $0.067\le r-2k$）です。

区間を節点の連続体へ広げる道具。表 1 は「隣と端の値の全ての組」についての値で、有限個の箱の計算から連続体へ渡すのに三つの補題を使います。

• $\hbar\rho$ の側：一次元の測度の Poincaré 定数を Hardy 型の量 $B$ で $B\le C_P\le4B$ と挟む Muckenhoupt の評価 典、隣の値についての $e(c,t)$ の単調性（FKG）で節点の値から隣の連続体へ帯を作る補題 典（FKG）、$t$ が大きい側の尾の補題（Holley の比較の連続版と傾けたガウスの橋）仮（連続版の定理番号を原典で確かめていない）。
• $\hbar\kappa$ の側：端の値の箱の中心の測度を傾け、キュムラント母関数の二次の Taylor 展開と Hölder の剰余で箱の全体を押さえる補題 K2 初（Taylor の剰余と Hölder の不等式）。この式は中心化の定数を何に選んでも正確です。
• 二つの上界の小さい方も上界、反転の対称性 $\hbar\kappa(a,b)=\hbar\kappa(b,a)$ で半分を覆う 初 Leanmin_of_two_upper・symm_upper（仮定：二つの上界／対称性と片側の上界）。

$\hbar=0.01$ と $0.005$ で余白を正にした手。$\hbar$ が小さいと $\hbar\kappa$ の上界が膨らみ、粗い計算では $\hbar=0.01$ で $0.634$ と余白が負でした。律速は場所ごとに違い、三つの手で下げています。(i) 端の角 $(0,0)$ では、補題 K2 の中心化の定数を部分長方形ごとにその範囲の中央値で取り直す（式は任意の中心で正確なので、上界だけが下がる）。(ii) 二次の項は箱の幅 $\delta$ の二乗で効くので、$\delta$ を半分にする。(iii) 大きい端 $(2.5,2.5)$ では、橋が一歩で井戸へ大きく跳ぶため求積の誤差が律速で、求積の刻みを半分にする。$\hbar=0.005$ では $\hbar\rho$ の側の求積を細かくして下界が $0.6945$ から $0.92182$ へ上がります。表 1 の最後の二行がこれらの手の結果です 機。

定数。(8) の $C\le1.6\times10^{10}$ は、紙と区間演算の入力（$\lambda\ge0.067$・$\lambda_S\ge2.3\times10^{-5}$・$v/\hbar\le5888$）で率の条件 (7) を $t=3.2\times10^{-11}$ が満たすことからの $\varepsilon/t$ です 初（算術）LeanH1_rate_paper_six_nodes（仮定なし・数）。二つのサイトの隙間を数値の $\lambda_c=0.57$ にすると $\lambda_S\ge0.093$・$v/\hbar\le1.0015$ で $t=7.6\times10^{-4}$、$C\le658$ です 読（入力が浮動小数の読み）LeanH1_rate_numeric_six_nodes（仮定なし・数）。二つの値の差の大半は $\lambda_c$ の紙の値の弱さから来ます。

命題 H1 の入力を五分類の書式で一表にします。紙の証明をこの本に置くものは「初」、置かないものは「仮」、区間演算は実装の前提を同じ行に書いて「機」、引く定理は書誌の確かめの水準で「典」か「仮」に分けます。

表 2 の「機」の行 A1・A9 は、計算した節点と範囲の中の不等式です。範囲の外の $\hbar$ と端の値については何も言わず、それを受け持つのが B1〜B5 の「仮」の行です。

命題 H1 は六つの点の文です。条件 (H1) は $\hbar$ の連続体の文なので、点の間を埋める必要があります。この節は、そのための方法と、方法を一つの部分区間で試した結果と、全域の費用の見積もりを述べます。

(a) $\beta$ を傾けの三つ目の向きに。$\beta=1/\hbar$ は測度 $e^{-\beta S}$ に重みの指数として入るだけなので、$\hbar$ の区間 $[\hbar_1,\hbar_2]$ を $\beta$ の区間 $[\beta_{\rm lo},\beta_{\rm hi}]$ と見て、補題 K2 の端の値の二つの向きの傾けに、三つ目の向き（観測量 $-S$）を足します。余白 (6) の中で $\beta$ が入る所は六つ（重み・傾けの幅・前因子・求積の刻み・尾・単調性の帯）で、どれも区間のどちらの端で最悪になるかが決まります 初。一歩の比 $r=\beta_{\rm hi}/\beta_{\rm lo}$ の目安は、作用の揺らぎ $\operatorname{Var}(\beta S)$（橋の自由度のほぼ半分、$11/2$ の近く 読）から $r\approx1.17$ で、$\hbar\in[0.005,0.2]$ は 24 の部分区間で覆えます 初（$0.2/1.17^{24}\le0.005$）Leannodes_reach_117（仮定なし・数）。

(b) 弦の形は壊れる。端の値 $(a,b)$ を止めると $f(\beta)=\hbar\kappa(a,b;1/\beta)$ は $\beta$ について滑らかで、二階微分の下界 $f''\ge-C$ から弦の上界

が出ます 初 Leanchord_beta_upper（仮定：$f\in C^2$・$f''\ge-C$・$0\le C$・$\beta_{\rm lo}\le\beta_{\rm hi}$・端の上界）。ところが $f''$ は連結したキュムラントで、絶対値の積（Hölder）で押さえると真の値の $5\times10^3$〜$1.8\times10^6$ 倍になり 読、$r=1.17$ では剰余が $0.25$〜$0.64$ と、許される量を大きく超えます Leanholder_r117_exceeds（数）。

(c) 段ごとの型（区間で $\hbar$ を持つ型）。規格化しない積分 $J_X(\beta)=\int Xe^{-\beta H}dx$（$X\ge0$ は端の観測量の積の重み）を $\beta$ の三点で求め、二次式で補間します。補間の誤差は $|\omega(\tau)|/6\cdot\sup|J_X'''|$、$\max|\omega|=2\Delta^3/(3\sqrt3)$ です 初（$\omega$ は三つの節点で 0 になる三次式。$g(t)=J_X(t)-p_X(t)-K\omega(t)$ が補間の三点と $\tau$ の四点で 0 になるように $K$ を選ぶと、Rolle の定理を三回使って $g'''$ が零点を持ち、$K=J_X'''(\eta)/6$）。三階微分は $|y|^3\le c_3(\lambda_+)e^{\lambda_+y}+c_3(\lambda_-)e^{-\lambda_-y}$ と $J_X$ の対数凸性で、ずらした四つの $\beta$ の積分の端の最大で押さえます 初。$\beta$ の区間をさらに小片に割ると、各小片の上で期待値は一次分数の形になり、その値は小片の両端の値の間にあるので、区間の hull で包めます 初 Leanmobius_between（仮定：分母が小片の両端で正）・lebesgue_le（仮定：$|u|\le1$）・cube_le_exp_split（仮定：$\lambda_\pm\gt0$）。この型は単調性を一度も使いません。剰余は打ち消しを要しない生の積分の三次の量で入り、(b) の Hölder の損は現れません。

(d) 一つの部分区間での試し。$\hbar\in[0.008547,0.01]$（$r=1.17$）、端の値の長方形 $[0,0.18]^2$ で (c) を区間演算で走らせた結果が表 3 です 機（表 1 と同じ実装の前提）。

取り分。$\hbar=0.01$ の部分区間で要るのは、全ての箱で「点の上界＋膨らみ $\le\hbar\rho/2=0.4335$」です。全ての箱に同じ量を許すと、最悪の箱（上界 $0.39996$）が決める一様な取り分は $0.4335-0.39996\approx0.0335$ で、表 3 の膨らみ $0.0464$ はこれを超えます。一方、表 3 の長方形の中の箱の取り分は $0.4335-0.19\approx0.24$ で、その内に入ります。

律速。剰余ではなく、節点の上界そのものが $\beta$ とともに増える分（求積の幅が $\beta$ で広がる）が律速です。最悪の箱の上界 $0.39996$ は大半が求積の幅で、同じ箱の浮動小数の値は $0.0076$ です 読。この箱を含む帯を細かい求積で計算し直すと、箱の上界は $0.0751$ に下がりますが 機、全域の最大は $0.39971$ にしか下がりません。上界が $0.19$ を超える箱が、端の値の正方形の四辺に沿った額縁に約 3.2 万個、粗い設定のまま残っているからです。

費用。全域 $\hbar\in[0.005,0.2]$ の見積もりが表 4 です（一コアの計算時間・どれもまだ走らせていない見積もり）。部分区間一つの費用は点の計算の約 3.4 倍（表 3 の試しの実測）、$\hbar$ が小さいほど一点の費用は大きくなります。

二つの模型のどちらが正しいかは、一つの長方形の試しからは決まりません。額縁を先に計算し直す道は、額縁の上界が $0.318$ を割れば模型によらず $r=1.17$ で通るので、費用の見積もりの幅も狭めます。$\hbar\rho$ の側（一次元の測度・自由度 23）は、同じ目安で $r\approx1.12$・33 の部分区間と読まれます 読。

正確には、表 3 は一つの部分区間の一つの長方形の結果で、その部分区間を閉じたことにはなりません。部分区間を閉じるには、その部分区間で全ての長方形を (c) の型で計算する必要があります。

命題 H1 から条件 (H1) へ、また箱の中で使う (H1^seg) へ進むのに残る行を、表 5 に並べます。費用の欄は、見積もりがあるものだけに書きます。

命題 D は否定の型の小さな命題です。二点 $\{0,1\}$ の測度 $(1-p,p)$ の分散 $p(1-p)$ は、$p$ を尤度比の順序で上げても単調ではありません（$3/16\lt1/4\gt3/16$）初 Leantilt_variance_not_monotone（仮定なし・数）。対称な二重井戸を一次で傾けた族でも同じで、FKG だけからは「隙間が隣について単調」は出ません。

表 2 の行を、10-05 §07 と同じ書式で節点の一覧にします。前提の番号は結論の番号より必ず小さく置きます。

[01] 機 A1   (T1a) 余白 ≥ 0.067（隣と端 [0,2.5]²）                 六節点
[02] 初 A2   補題 K2（傾けの Taylor・中心は任意）                    ħ に依らない
[03] 典 A3   Muckenhoupt の挟み B ≤ C_P ≤ 4B                         ħ に依らない
[04] 典 A4   MTP₂ の相関不等式（e の単調性・ħκ ≥ 0）                 ħ に依らない
[05] 仮 A5   Holley の比較の連続版（尾の補題）                       六節点
[06] 典 A6   Helffer の判定の Poincaré 版（Ledoux 命題 3.1）           ħ に依らない
[07] 機 A9   (T3) λ_c ≥ 1.3×10⁻⁴（端 [0,4]²）                         (0,0.2]
[08] 仮 A10  Poincaré–Miranda の定理                                  (0,0.2]
[09] 典 A12  Brascamp–Lieb（交差 κ_f・(T4)）                          ħ に依らない
[10] 仮 A15  (T5) 正則性・稠密性                                      —
[11] 初 A8   (T2) 残したサイトは最近接の鎖                            ħ に依らない
[12] 初 A14  (T5) 分散の分解 (3) ⟸ [10]                               ħ に依らない
[13] 初 余白 λ の連続体の文 ⟸ [01][02][03][04][05]                   六節点
                Lean T1_margin_six_nodes（数）・T1_node_margin（仮定：区間の出力）
[14] 初 A7   粗い側の隙間 ≥ λ（Gershgorin）⟸ [06][11][13]             六節点
                Lean ring_gershgorin（仮定：κ ≥ 0）
[15] 初 A11  入れ子 λ_S ≥ 2.3×10⁻⁵ ⟸ [07][08][09]                    (0,0.2]
[16] 初 A13  (T4) v/ħ ≤ 5888 ⟸ [07][09]                               (0,0.2]
                Lean T4_paper_numeric（仮定：λ_c ≥ 1.3×10⁻⁴）
[17] 初 A16  率の代数 C_P ≤ ε/t ⟸ [12][14][15][16]                    六節点
                Lean H1_assembly（仮定：hT5・hFine・hLedoux・hT1・0 < λ・hT4・率の条件）
[18] 初 A17  命題 H1：C ≤ 1.6×10¹⁰ ⟸ [17]                             六節点
                Lean H1_rate_paper_six_nodes（数）

どの「⟸」の行でも右の番号が左より小さいので、円はありません。葉のうち「仮」は [05][08][10]、「機」は [01][07] です。数値の入力による $C\le658$（行 A18）は [17] の代数に読みの値を入れたもので、このグラフの結論 [18] には入りません。表 2 の B1〜B5 の行は命題 H1 の前提ではなく、命題 H1 から条件 (H1) と (H1^seg) へ進むための行で、統合のグラフ（10-12）で [18] と条件 (H1) の節点の間に入ります。

この章の組み立ては、仮定 H を取っ掛かりとした一段目の中の一つの条件の扱い方です。別の視点は第 11 部で扱います。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 相（キンクの無い相）・残したサイト・橋・入れ子・Helffer の判定・余白・節点・部分区間・取り分・膨らみ・額縁・切れ端の版 (H1^seg)・計算機援用・区間演算。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：10-07 (H2) の地図 — 七つの道筋と環の継ぎ目 — 鞍点の族に沿う輸送 (H2) を七つの道筋に割った地図と、環の継ぎ目（外の鎖は窓の全体で閉じ、内の鎖は有限の係数）を一枚にする。

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