2026-10-09 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 10 部 質量ギャップの証明へ向けて — 階段の一段目を組む突き合わせ・既知の定理との距離・書誌 · Kiichi, Shiori and Rin

突き合わせ — 記録の数と既知の数

判定は四つです。

• 一致：同じ量を同じ条件で比べ、誤差か表示の桁の内で合う。
• 条件つきの一致：合うが、合い方が一つの選択（格子の刻み・箱・規約・外挿の形）に依る。
• 不一致：同じ量として比べると誤差を超えてずれる。理由が分かっていても不一致と書く。
• 比べられない：量・条件が違い、照合の相手が見当たらない。

比べる前に三つをそろえます。規約（同じ $C_P$ が Dirichlet 形の正規化で値を変える、10-13 の表 4）、条件（格子の刻み $\varepsilon$・境界・模型の中か外か）、数の種類（閉じた式・計算機援用の上界・浮動小数の読み・族の下界）です。とくに一段目では、照合の相手が「閉じた式で答えの分かる模型」であることが多く、そこで合うことは道具が正しく動くことの確かめ（陽性対照）で、二重井戸の上の主張の確かめではありません。

10-05 の表 1 は命題 4.5 全体について既知の定理の届く所を並べました。表 1 はそれを条件ごとに割り、各条件で最も近い既知の結果と、何が違うかを一行で書いたものです。

表 1 から、既知の道具は「次元を止めた谷の間の漸近」「一本のキンク」「体積に一様だが粗い上界」「別の模型での同じ型の定理」の四か所にあり、長い経路の上でキンクの気体の拡散の時間 $\xi^2/D$ まで鋭い上界を与える定理は、探した範囲で見当たりません。どの行も、四つの条件の一つを丸ごと既知の定理に置き換えることはできず、条件の中の段（判定法・型・係数）を引く形になります。

一段目の四つの条件の仮定の表で「既知の定理を引く」とした行を全て拾い、原典か、言明を再述した二次資料で確かめました。拾った項目は 55 で、そのうち条件の表の列に直接入る主要な項目が 26 です。表 2 は主要な 26 の行き先です。

取得が要る 4 項目は、統合表では「仮」の行（10-12 表 1 の [010]・[024]・P0 の一部など）として数えています。原典の本文で確かめられない引用は「典」に入れない、というのがこの部の規則（10-00 §01）です。

ずれの型 — 設定の一語。確かめる前の記録と原典の間に、ずれが 15 件ありました。数学が変わらない付け替え（凸な領域の版を別の定理で引く・帰属を直す・頁を直す）が 12 件、仮定の行の書き直しが要るものが 3 件です。書き直しの 3 件は、(a) 箱の上の固有関数の角までの正則性を「標準」として置いていた行（角のある箱と非対称な重みでは標準の結果から出ないので、仮定の行に分けた）、(b) 端の値についての単調性の連続版の定理番号が未確認の行（未確認と行に残した）、(c) 対数 Sobolev の補題を中心化しない形で使っていた行（原典の再述は中心化した形）です。

ずれは、どれも設定の一語——境界があるか、有限か、中心化するか——で起きていました。そして、ずれが出たのは、記録の側で出典を「記憶」と書いていた行よりも、「標準」と書いていた行でした。「標準」と書いた行は確かめる動機が弱いからです。この部の五分類に「標準」という分類が無いのは、このためです。引く定理は「原典か二次資料で言明を確かめた（典）」「本書で証明を置く（初）」「確かめていない（仮）」のどれかに必ず割ります。

一段目の道具（判定法・区間演算の機械・箱への帰着）は、答えが閉じた式で分かる模型に先に当てて、正しく動くことを確かめてから二重井戸に当てました。表 3 はその照合の一覧で、比は「記録の側 ÷ 既知の側」です。

表 3 の一致の行は、どれも「答えの分かる模型で道具が正しく動いた」ことの確かめで、二重井戸の上の行の正しさを示すものではありません。条件つきの一致の行の条件は、格子の刻み（行 26・28）、有限の $\hbar$（行 28）、比べる相手の定数項の欠け（行 27）です。行 21 は、判定法が真の値より 1.30 倍大きく出る損を、答えの分かる模型で測った行で、二重井戸の上で判定法の上界と要る値を比べるときの目安になります（10-09 §05）。

一段目の数のうち、照合の相手が見当たらないものを並べます。どれも、組み立てが仮定 H の上の半分に最も近づいた所にある数で、そこにだけ照合の相手がありません。

• 二つの格子の刻みの間の換算。キンクの拡散係数と比 $R$ の下界の読みは刻み $\varepsilon=0.25$、相関長の表と命題 4.5 の段は $\varepsilon=\tfrac12$ で、二つの刻みの間の換算は書いていません（10-04 の範囲の表）。
• 芯の対数 Sobolev 定数の $1/\hbar$ の係数。Feynman–Kac の筋で要る量で、Monte Carlo の読みと経路ごとの上界の幅が三桁あります（10-09 §05）。
• $\sup|\nabla\psi|^2$ の読み。閾の 0.54 倍の内という読みで、上界ではありません。同じ量の既知の値は探した範囲で見当たりません。
• 命題 P5 の持ち上げの仮定。二サイトの塊の測った値を測った範囲の外へ線形に持ち上げる仮定で、比べる相手は持ち上げた先の値そのものです（10-09 §05）。
• 階層的な自由場との比べ。表 3 の行 32。既知の数 $L^{-2N}$ は在り、記録の側の数がまだありません。

四次元格子の側で記録が計算した数（一ループの傾き $\kappa$・取りこぼし $\delta(b)$・比 $m/\sqrt\sigma$・質量の上界・$C_P$ と自己相関の時間・強結合の閾値・確率時間の指数）を、既存の計算と格子の一次資料の数に照らした一表を残します。比は「記録の側 ÷ 既存の側」で、比べられない行は空けます。各行の詳細と規約の換算は、四次元格子の側の章（10-02）と第 5 部の出典表にあります。

四次元格子の側は、一致 6・条件つきの一致 8・不一致 2・比べられない 3 です（行 3 と 4 は同じ不一致の二つの読み）。一段目の側（表 3 の行 20〜32）は、一致 8・条件つきの一致 4・比べられない 1 です。二つを合わせて読むと、一致の行は既知の値の計算し直しか、答えの分かる模型での道具の確かめで、照合の相手が無い行は、どちらの側でも仮定 H に最も近づいた数（四次元格子の側の $\tau_{\rm int}/\xi^2$、一段目の側の芯の係数と持ち上げの仮定）に集まっています。

ヤン–ミルズの存在と質量ギャップの解決を主張する外部の文書を二つ読み、その中身の正否ではなく、主張の組み立ての読み方として役に立つ型を二つ取り出しました。出典は書かず、型だけを書きます。この本は、それらの文書の正否を判定しません。

1. 結論を途中の段の前提に置く型。ある文書は、定理と証明の形で段を積み、途中の段（クラスター性・真空の一意性・指数減衰）が「後で示す」質量ギャップの正を前提に置き、質量ギャップの正そのものは物理の関係式と次元解析で支えていました。段ごとに読むと各段は前提から結論を導いていますが、段を番号つきの節点に並べると、最後の結論から途中の段へ戻る辺ができ、番号の規則が破れます。段ごとの検査では見えず、依存グラフに並べると見える型です。
2. 名前は対象、中身は数の型。もう一つの文書は、主定理を Lean で閉じていました。主定理の連言を定義まで遡ると、「スペクトルに入る」が結論と同じ命題として定義されていたり、隙間の値が字面で置いた有理数だったりして、作用素・場・測度は名前としてだけ現れていました。機械検査を通り、公理の一覧が清くても見えず、定義を遡ると見える型です（10-13 §05）。

この二つの型は、この本の組み立てにも同じように当てて確かめるべきものです。一段目の統合のグラフでは、全ての辺で番号の規則を確かめ、仮定の行の言明が結論の量を含まないことを読んで確かめました（10-12 §03）。Lean の定理は、結論の側に定義を遡る必要のある名前が無いこと（実数の不等式だけ）を、10-13 の六つの問いで確かめられます。

この部は仮定 H を検討の軸に置き、その一段目の数と道具を外の数と道具に照らしました。別の視点は第 11 部で扱います。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 突き合わせ・一致・条件つきの一致・不一致・比べられない・陽性対照・較正・既知の定理との距離・設定の一語・結論を途中の段の前提に置く型・名前は対象、中身は数の型。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：10-15 残件と費用 — 定理までの距離 — 統合表の仮定の行ごとに残件と費用を並べ、一段目の中の距離と二段目以後の距離を分ける。

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