2026-10-09 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 11 部 今後の考察凸性の天井・稀さの通貨・規則の候補 · Kiichi, Shiori and Rin

凸性の代わりに稀さで払う — 群の上の繰り込みと対数 Sobolev

この節は〔三〕の読者に向けた十段落の要約です。証明と原典の条件は §02 以下にあります。

1. 階層模型は、格子を入れ子の箱に置き換えて、繰り込みの一段が書き下せるようにした模型です。スカラー場の四次元の階層 $|\phi|^4$ では、平衡の性質（Bauerschmidt–Brydges–Slade の本）と、確率力学の緩和の遅さ（Bauerschmidt–Bodineau：隙間が自由場と同じ冪で消える）の両方が定理になっています 典。後者は仮定 H と同じ型の文です。
2. Bauerschmidt–Bodineau の方法は、各尺度で「粗い場を止めたときの細かい揺らぎの測度が一様に凸」という仮定を入口にします 典。原典自身が、大きな場での凸性を、方法を階層模型の外へ広げる主な課題と書いています。
3. 群 $SU(2)$ は閉じた空間（三次元の球面）です。閉じた空間の上では、凸性を課すとポテンシャルの振れ幅が直径の二乗で抑えられ、測度は一様な分布の定数倍の範囲から出られません（§03 の補題 1）初。弱結合では、測度は単位元の近くに集まる必要があるので、凸性の仮定は弱結合の尺度で原理的に成り立ちません。
4. 平らな空間の $\phi^4$ では、大きな場は本来凸で、凸でないのは小さな場（二つの井戸の間）です。群の上では逆に、単位元の近く（小さな場）が凸で、遠い側の半球（大きな場）が必ず凸でなくなります（§04）初。
5. ただし、凸でない側にいる確率は $e^{-\beta}$ の程度に小さい（§03 の命題 3）初。壁は消えず、確率の小さい所へ押し込まれます。
6. 第 10 部の一段目の壁（頂上の一サイトの対角 $\tfrac{15}{4}$ が結合の和 $4$ に $\tfrac14$ 届かないこと）も、凸性の不足を台地の稀さで払う形でした。Poincaré 不等式は出口の速さを測る通貨で、稀さを払えるのはエントロピーの通貨です（10-10 型 4）。稀さで払う段は、対数 Sobolev の型の不等式を通る必要があります。
7. 凸性の代わりに稀さで払う道具には、Lyapunov の条件（悪い集合から戻る漂流）と、場に依る定数があります。第 10 部の作用の障壁の評価は、芯の双安定の費用を、局所の項の稀さで払えた例でした（余裕は約 95 倍、$\hbar=0$ の読みの上で）。
8. 一リンクの測度は井戸が一つで、緩和の定数は $\beta$ について指数では悪くなりません。二重井戸の $\tfrac14$ の型の壁は一リンクには戻りません 見。
9. 規則の形に書き直すと「稀さで払う測度の類」になります（§07）。紫外の側では粗視化の一段ごとに類が閉じる形が書けそうですが、閉じ込めの尺度で稀さの率が尽き、強結合の側の曲率の道具との間に「結合の窓」が残ります。これは三段目の難しさの二つ目（11-07 §06）の言い直しです 見。
10. 確率量子化（SPDE）の道は同じ Langevin 力学を使いますが、目的は測度の構成で、解の理論は $d\lt4$ でだけ劣臨界です 典。四次元の H にも局所の H にも道具を与えません。

緩和の定数（Poincaré 定数、対数 Sobolev 定数）を上から押さえる道具の多くは、ポテンシャルの二階微分の下界、つまり凸性を入口にします。三つを並べます。

Bakry–Émery。Riemann 多様体 $M$ の上の確率測度 $\mu=e^{-V}d\mathrm{vol}/Z$ について、

です 典（Bauerschmidt–Bodineau–Dagallier の総説の定理 3.6 の、尺度が一つの場合）。条件は全ての点での下界です。

Brascamp–Lieb。$\mathbb R^n$ の上で $\operatorname{Hess}V\gt0$ なら $\operatorname{Var}_\mu(f)\le\mathbb E_\mu\langle\nabla f,(\operatorname{Hess}V)^{-1}\nabla f\rangle$ 典（Bauerschmidt–Bodineau の補題 2.7 が使う形）。これも各点の凸性を使います。

階層模型の帰納。Bauerschmidt–Bodineau は、Gauss の共分散を尺度ごとに $C=C_0+\cdots+C_N$ と分け、繰り込んだポテンシャル $e^{-V_{j+1}(\phi)}=\mathbb E_{C_j}e^{-V_j(\phi+\zeta)}$（場の加法 $\phi+\zeta$）を作り、次の仮定を置きます 典（arXiv:1809.02075 §2.3）。

ここで $Q$ は粗い場の空間への射影、$\varepsilon_j$ は原典の記号です（0+1 次元の格子間隔 $\varepsilon$ とは別）。(A1) と二つの構造の仮定の下で、一段ごとに Brascamp–Lieb の二次形式が $D\le C/(1-\varepsilon)+D_+/(1-\varepsilon)^2$ と受け渡され、全段の積は $\exp\bigl(2\sum_l(\varepsilon_l+O(\varepsilon_l^2))\bigr)$ で押さえられます（定理 2.1・系 2.2）典。結論はスペクトルの隙間（Poincaré の型）で、対数 Sobolev の結果ではありません。対数 Sobolev を多重尺度で流す形は同じ著者たちの後の仕事（Polchinski 流、§05）です。原典は「この方法を階層模型の外へ広げるには、確率の評価でなく凸性が要り、大きな場での凸性が主な課題」と書いています 典。

破れる三か所。(a) 0+1 次元の二重井戸の頂上。芯の作用の Hessian の一つの行は、頂上で対角 $4-\tfrac14$ が隣との結合の和 $4$ に届かず（10-09 の (11)）、全てのサイトが頂上にある面の上で長さ $k\ge8$ の塊の最小固有値は負になります 初。凸性の道具はどれも、この $\tfrac14$ を台地の稀さで払う必要がありました。(b) 群の反対側の半球。§03 の命題 3 で、一リンクの Wilson の重みの Bakry–Émery の曲率が遠い側の半球で負になることを見ます。(c) 階層模型の帰納の (A1)。群に値をとる場では、(A1) は「粗い場を止めた繊維の上の測度の Bakry–Émery」と読むのが自然で 見、§03 の補題 1 により弱結合の尺度では成り立ちえません。

この節が言えている範囲：(1)(2) と定理 2.1 は原典の言明の写しです。(c) の読み方（群の (A1) を繊維の Bakry–Émery と読むこと）は見立てで、群の上の帰納の正確な定式化はこの本にありません。

初 証明。$V$ の最大点を $p$ とします（$M$ はコンパクト）。任意の $q\in M$ について、$p$ から $q$ への最短の測地線 $\gamma:[0,L]\to M$（速さ 1、$L=d(p,q)\le D$）を取ります（コンパクトな多様体は完備なので Hopf–Rinow の定理で存在する）。$h(t):=V(\gamma(t))$ と置くと、$p$ は境界の無い多様体の上の最大点なので $h'(0)=dV_p(\gamma'(0))=0$。測地線に沿っては $h''(t)=\operatorname{Hess}V(\gamma'(t),\gamma'(t))\ge-K$ です。積分して $h'(t)\ge-Kt$、もう一度積分して $h(t)\ge h(0)-Kt^2/2$。$t=L$ で $V(q)\ge\max V-KL^2/2\ge\max V-KD^2/2$。$q$ は任意なので (3) です。∎

Lean の検査はありません（一次元の版「$h''\ge-K$・$h'(0)=0$ なら $h(0)-h(x)\le Kx^2/2$」は候補として残しています）。証明の要は「最大点で一階微分が消える」ことで、ここに境界が無いこと（閉じていること）が効いています。平らな $\mathbb R^n$ には最大点が無いので、同じ評価は出ません。

初 証明。$\operatorname{Hess}V\ge-\operatorname{Ric}=-2g$ なので補題 1 を $K=2$・$D=\pi$ で使うと $\operatorname{osc}V\le\pi^2$。$Z=\int e^{-V}d\mathrm{Haar}\ge e^{-\max V}$ なので、密度は $e^{-V}/Z\le e^{\max V-\min V}\le e^{\pi^2}$ です。類関数の Haar の分布は $\frac2\pi\sin^2\theta\,d\theta$（$\theta\in[0,\pi]$）で、$\sin\theta\le\theta$ から $\mathrm{Haar}(\theta\le r)\le\frac2\pi\cdot\frac{r^3}3$。Wilson の重み $V=\beta(1-\cos\theta)$ は $\operatorname{osc}V=2\beta$ なので、$2\beta\gt\pi^2$ なら (4) の前の不等式に反します。∎

(4) の読み方。弱結合の Wilson の測度は、確率の大半を半径 $\beta^{-1/2}$ の程度の球に集めます。(4) の右辺は $r^3$ で小さくなるので、$\beta$ が大きいと、Bakry–Émery の型の凸性を持つ測度にはそれができません。凸性を課すと、測度は Haar から定数倍 $e^{\pi^2}$ より遠くへ離れられない、というのが補題の中身です。

初 証明。(i) 単位の球面の上の $\theta$ だけの関数 $f$ は、測地極座標 $g=d\theta^2+\sin^2\theta\,g_{S^2}$ で $\operatorname{Hess}f=f''\,d\theta^2+f'\cot\theta\,(g-d\theta^2)$ です（動径の向きは測地線に沿う二階微分、球面の向きは $\theta$ 一定の球の第二基本形式 $\cot\theta$ から）。$f=\beta(1-\cos\theta)$ では $f''=\beta\cos\theta$、$f'\cot\theta=\beta\sin\theta\cot\theta=\beta\cos\theta$ なので $\operatorname{Hess}V_\beta=\beta\cos\theta\,g$。単位の $S^3$ では $\operatorname{Ric}=2g$。最小は $\theta=\pi$ の $2-\beta$ です。(ii) $\cos\theta\lt-2/\beta\lt0$ なら $\theta\gt\pi/2$ で、$V_\beta=\beta(1-\cos\theta)\gt\beta+2$。(iii) $N_\beta$ の上で $e^{-V_\beta}\le e^{-\beta-2}$、Haar の測度は 1 以下なので $\int_{N_\beta}e^{-V_\beta}\le e^{-\beta-2}$。分母は、$r=\beta^{-1/2}\le1$ の球の上で $1-\cos\theta\le\theta^2/2$ から $V_\beta\le\tfrac12$、$\theta\le1$ で $\sin\theta\ge\theta-\theta^3/6\ge\tfrac56\theta$ から $\mathrm{Haar}(\theta\le r)\ge\frac2\pi\cdot\frac{25}{36}\cdot\frac{r^3}3=\frac{25}{54\pi}r^3$。よって $Z_\beta\ge e^{-1/2}\frac{25}{54\pi}\beta^{-3/2}$ で、割ると (5) です（$\frac{54\pi}{25}e^{-3/2}=1.514\cdots$）。∎

(5) は粗い上界で、反対極の近く（$\theta\approx\pi$、$V_\beta\approx2\beta$）の確率はさらに小さく $e^{-2\beta}$ の程度です。補題 1 から出る必要条件 $\beta\le\pi^2/2$ より、(i) の $\beta\lt2$ のほうが鋭い。補題 1 の役目は Wilson の重みに限らないことで、どんな重みでも、凸性を課せば (4) の範囲に閉じ込められる、という所にあります。

この節が言えている範囲：補題 1・系 2・命題 3 は証明を置いた文です。言っているのは一つの多様体の上の一つの測度の凸性で、繊維の上の条件つきの測度（多くのリンクの積の上の測度）の凸性については §05 の見立てを通してしか言いません。

平らな空間の $\phi^4$（一つのサイトの $V(\phi)=\lambda(\phi^2-v^2)^2$ の型）では、$V''(\phi)=4\lambda(3\phi^2-v^2)$ は $|\phi|\lt v/\sqrt3$ でだけ負です。凸でないのは小さな場（二つの井戸の間の頂上の近く）で、大きな場では $V$ は $\phi^4$ で育ち凸です。Bauerschmidt–Bodineau が「大きな場の凸性」を課題と書いたのは、繰り込んだ後の有効なポテンシャルが大きな場でも凸に留まるかを、一様に示す必要があるためでした。

群の上では逆です。命題 3 の (i) のとおり、単位元の近く（小さな場、$\theta\lt\pi/2$）では $\operatorname{Hess}V_\beta\gt0$ で Gauss に近く、遠い側の半球（大きな場）では $\operatorname{Hess}V_\beta\lt0$ です。これは Wilson の重みに固有のことではありません。閉じた多様体の上の滑らかな関数は最大点を持ち、最大点では $\operatorname{Hess}V\le0$ です。大きな場の凸でない所は、位相の理由で必ず在ります 初。一方、命題 3 の (iii) のとおり、そこにいる確率は $e^{-\beta}$ の程度です。

図 1　凸な場所と凸でない場所（横軸は場の大きさ。φ⁴ は |φ|、群は単位元からの角 θ）

  φ⁴（平らな空間）：
     |φ| 小 ―――――― |φ| ≈ v ―――――――――― |φ| 大
     凸でない（頂上）    井戸の底（凸）         凸（φ⁴ で育つ）
     → 凸でない所は「小さな場」。確率は井戸の間を渡る頻度で決まる

  SU(2)（閉じた球面）：
     θ 小 ―――――――― θ = π/2 ―――――――――― θ = π（反対極）
     凸（Gauss に近い）   境目                凸でない（最大点で必ず）
     → 凸でない所は「大きな場」。確率は e^(−β) の程度（命題 3）

壁は消えず、確率の小さい所へ押し込まれる。平らな空間では、凸でない頂上を避ける道具（大きな場の凸性を課す・小さな場を別に扱う）が考えられました。群の上では、凸でない所は避けられず（補題 1）、その代わり確率が指数で小さい（命題 3）。だから群の上の道具は、凸性で押すのでなく、確率で押す道具でなければなりません 見。

稀さの率が測れた例。二次元 $U(1)$ の幅 2 の帯では、一枚のプラケットの巻き付き（高さ $2\beta$ の障壁を越える稀な事象）の生の率の傾きが、Kramers の率 $\beta e^{-2\beta}$ の傾き $2-1/\beta$ に 1〜3% で乗りました（$\beta=3..6$・外周凍結・後付けの検査、11-02 §05）読。群の上の繰り込みとこの数の関係は見立てです。

稀さを局所の量で払えない最も小さい例。0+1 次元の二重井戸では、最も短い窓（一つの時刻）でも局所の比は 1 にならず、ちょうど $\omega_b/m$ です（11-03 の (7)・11-04 §07）初（Lean LatticeGauge.LocalHDoubleWell.one_slice_ratio、仮定：$0\lt\varepsilon$・$0\lt m$・$0\lt\omega$。束が保証するのは代数だけ）。凸でない頂上の影響は、窓をどれだけ短くしても比に残ります。群の上への含意は見立てです 見。

この節が言えている範囲：凸でない所が位相の理由で必ず在ることと、その確率の上界 (5) は証明つきです。「確率で押す道具でなければならない」は見立てです。

模型。四次元の階層的なゲージ模型として、Migdal–Kadanoff の近似の再帰がちょうど成り立つ格子（Ito 1984 典）を考えます。縦のプラケットの結合を場所ごとに $0$ か $\infty$ に置くと、プラケットの重み $g$ の再帰が $g\mapsto(g^{*4})^4$（四枚を貼り合わせる畳み込みと、四枚を重ねる冪）の形で書き下せます。四次元の $SU(N)$ で全ての結合から強結合へ流れて閉じ込めることが述べられています（Ito 1985 典（要旨））。この模型は平行移動と回転の不変性を持たず、その定理は四次元のヤン–ミルズの問題の言明の一部になりません。動かす座標の選び方で緩和の型が変わることは 11-02 §02 で見ました（木の座標では Gauss 近似の隙間がちょうど $\beta$ で段数に依らず、リンクの座標では一辺の二乗に反比例して小さくなる）。

表 1 は、Bauerschmidt–Bodineau の帰納の部品を、群 $SU(2)$ に値をとるこの模型に一行ずつ写したものです。「当たる」は形がそのまま立つ、「変わる」は対応する形があるが中身が替わる、「当たらない」は立たない、の意味で、補題 1 の行のほかは見立てです。

まとめ。分散の分解と補題 2.8 の型の恒等式は群の上でも立ちます。立たないのは、凸性を各点で使う二か所（補題 2.7・2.9）で、補題 1 により、弱結合の尺度ではどう定数を工夫しても立ちません。原典の「大きな場の凸性」の壁は、群の上では消えずに必須になり、ただし壁の上の確率が $e^{-c\beta}$ に下がります 見。

群の上の Polchinski 流。Bauerschmidt–Bodineau–Dagallier の総説の定理 3.6 は、Gauss の共分散の流れ $C_t$ に沿って、条件

から対数 Sobolev の定数 $2/\gamma$ を出します 典。$\dot\lambda_t$ は負でもよく、凸でない時間帯は $e^{-2\lambda_t}$ の膨らみとして払われます。曲がった空間の版（計量の流れと $\operatorname{Ric}$ を含む形、定理 3.20）も述べられていて、原典は「この一般化の興味深い応用を現在知らない」と書きます 典。群に値をとる場の置き場の候補です 見。群の上でこの流れを書くと、自然な半群は熱核との畳み込み $V_t=-\ln(e^{-V}*K_t)$ で、要るのは $\inf\operatorname{Hess}V_t$ の下からの評価です。これまでの Migdal–Kadanoff の再帰の評価（剛性の再帰・強結合に入るまでの段数が $\beta+4\log\beta+20$ 以下という紙の記録 仮（この本に証明を置かない））は、どれも上からの評価（$\sup\operatorname{Hess}$）で、二つをつなぐ量が $\inf\operatorname{Hess}V_t$ の流れです。弱結合の時間帯では $\inf\operatorname{Hess}V_t\approx-\beta$（反対極）で、$e^{-2\lambda_t}$ がどれだけ膨らむかは評価していません 見。最初の数は一リンクの重みの一段（問 F7、11-08）です。

一リンクには $\tfrac14$ の型は戻らない。$e^{(\beta/2)\operatorname{tr}U}d\mathrm{Haar}=e^{\beta\cos\theta}d\mathrm{Haar}$ は井戸が一つで（$\theta=\pi$ は密度の最小、二つ目の極小は無い）、隙間は大きな $\beta$ で単位元の Hesse 行列 $\beta$ に近づき、指数では悪くならない見込みです 見（半古典の一般論。球面の上の場つきの Boltzmann 測度の一様な対数 Sobolev の原典は書誌だけで確かめていない）。二重井戸の頂上の $\tfrac14$ の型の壁（井戸が二つ）は、一リンクには現れません。繊維の上では、粗い値が $-1$ に近い所の縮退した族が多項式の損を生む見込みです（表 1）。

この節が言えている範囲：表 1 の判定は、補題 1 の行を除いて見立てです。階層模型の結果は、どの判定についても四次元のヤン–ミルズに含意を持ちません。

通貨。第 10 部の 10-10 型 4 は、Poincaré 不等式が測るのは出口の速さで、稀さを払えるのはエントロピーの通貨だ、と述べました（10-10 型 4）。式では、集合 $B$ が $\mu(B)\le e^{-s}$ を満たすとき

です 初（10-09 の (3)）。分散と Dirichlet 形の比は関数の定数倍で変わらないので、稀な集合に台を持つ関数を入れると稀さは分子と分母で打ち消し、Poincaré の段では稀さが効きません。稀さを払う段は、対数 Sobolev（エントロピー）の型の不等式を通る必要があります。群の上の道具の候補が、Poincaré の帰納（離散の尺度の Brascamp–Lieb）でなく、尺度ごとの Bakry–Émery を対数 Sobolev の形で流す型（§05 の (6)）になるのはこのためです 見。

Holley–Stroock の摂動。$\mu'=e^{-U}\mu/Z$ で $U$ が有界なら、$\mu'$ の Poincaré 定数（と対数 Sobolev 定数）は $\mu$ のものの $e^{\operatorname{osc}U}$ 倍以下です 仮（記憶にある標準の形。この章では原典を確かめていない）。凸でない所を「振れ幅」で払う道具で、費用は稀さに依らず振れ幅の指数です。一リンクの Wilson の重みを Haar からの摂動と見ると $\operatorname{osc}U=2\beta$ で、損は $e^{2\beta}$ です。第 10 部では、頂上の帯だけをこの摂動で払う案（R15）が、一サイトの振れ $\operatorname{osc}/\hbar=3.7／11／37$ を指数に入れて鎖で長さ倍になり、許容の 2000〜4900 倍外になりました（10-10 §03、型 5）読。

Lyapunov の条件。生成作用素 $L$ について、$W\ge1$ と良い集合 $G$ があって

（悪い集合から良い集合へ戻る漂流）が成り立ち、$G$ の上で局所の Poincaré 不等式（定数 $C_G$）が成り立つなら、全体の Poincaré 定数は $(1+bC_G)/a$ 以下です 典（Bakry–Barthe–Cattiaux–Guillin 2008 の型。言明は二次資料の再述で確かめた、10-14 §03。一次元ガウスでの陽性対照は 10-14 §04 の 20 行目）。凸性を使うのは良い集合 $G$ の上だけで、悪い集合は「戻ってくる速さ」で払います。群の上では、良い集合を単位元の近く、悪い集合を遠い側の半球に取るのが自然で、損は多項式の見込みです 見。ただし (8) は Poincaré の結論で、稀さそのものを使う形ではありません。稀さを使うには、(8) の型を対数 Sobolev の形（エントロピーの通貨）に移す段が要ります 見。

場に依る定数。Bauerschmidt–Bodineau は注 2.4 で、(A1) の $\varepsilon$ を粗い場に依らせ $\varepsilon=\varepsilon(\phi)$ としてもよい（ただし一様に 1 未満）と書き、「使いにくい」と添えています 典。悪い粗い場で $\varepsilon$ が大きくなることを許す方向ですが、一様に 1 未満を要する限り補題 1 の天井は越えません。越えるには、悪い場の確率で重みをつけた平均の形の条件に替える必要があります 見。

稀さで払えた例 — 作用の障壁の余裕。第 10 部の一段目では、命題 H4 の箱の側の芯の端が頂上を越えると、条件づけの壁の上に二つ目の最小点が現れ、芯の Poincaré 定数が $e^{\Delta S/\hbar}$ の型で増えました（10-11 §06）。これは芯の中の凸でない所の費用です。その費用を、命題 H4 の局所の項に掛かる稀さ $D/(C\xi)^2\le d\,e^{-2S_0/\hbar}$（キンクの対の生成の稀さ）が払います：行 (ΔScore) $C_P\le c_*\hbar^{-p}e^{\Delta S_*/\hbar}$ と $\xi$ の読みの下で、局所の項は $e^{-(2S_0-\Delta S_*-\delta)/\hbar}$ で消えます 初（10-11 の (12)。Lean LatticeGauge.CoreActionGap.cloc_term_poly・cloc_term_vanishes、仮定：(ΔScore)・$\xi$ の読み・$\Delta S_*\lt2S_0$）。$\hbar=0$ の読みでは $\Delta S^0_*\le1.4\times10^{-2}$ で、$2S_0=4/3$ との比は $1.05\times10^{-2}$ 以下、余裕は約 95 倍でした 読（Lean LatticeGauge.CoreActionGap.measured_ratio、仮定：測った上界 $\Delta S^0\le0.01401$、結論は比 $\le1.06\times10^{-2}$ の形）。凸でない所を凸性で消すのでなく、それより強い稀さの因子で払う、という形がこの章の型の小さな実例です。ただし (ΔScore) そのものは仮定の行で、$\hbar=0$ の読みと下界の $\hbar\ln C_P$ でしか支えていません。

この節が言えている範囲：(7) と作用の障壁の代数は証明つき、Lyapunov の条件は二次資料で言明を確かめた型、Holley–Stroock は記憶の標準形です。群の上でどれがどの損で効くかは見立てです。

この章で見たことを、規則の形に書き直してみます。「新しい数学を作るなら、何を数学の規則にすればよいか」という問いの言い方に沿った試みで、ここに書く規則は候補です。無矛盾性も、既存の結果を言い直せることも確かめていません。どれも三段目（連続極限と OS 公理）を閉じる見込みを約束しません 見。他の候補（尺度の公理化・ループの代数・保存量と区画・漸近自由の公理・曲率の規則）と組み合わせの一覧は 11-08 §02 に置きます。

(Q4) は第 10 部の通貨の型を規則にしたものです（10-10 型 4：Poincaré は出口の速さ、稀さはエントロピーの通貨）。

最初の定理の候補。(a) 一つの測度について：$\mu\in\mathcal C$ なら対数 Sobolev の定数が $F(\kappa_{\rm BE},s,a,b)$ 以下で、$F$ は $s$ について指数でない。平らな空間では、Lyapunov の条件と局所の不等式を合わせる型がこれに当たり（§06）、Holley–Stroock の摂動は $e^{\operatorname{osc}}$ を払います。(b) 閉じること：$SU(2)$ の一リンクの Wilson の重みに熱核を一段かけても類に留まり、$s'\ge s-O(1)$。これが問 F7（11-08 §01）の最初の一歩です。類関数（単位元からの角 $\theta$ の一変数の関数）では熱核の畳み込みは指標の展開の係数に Casimir の値の指数を掛けるだけなので、良い集合の上の曲率の下限と悪い集合の重さの写り方を、一変数の紙の計算と小さな数値で追えます 見。

既にある部品。平らな場では、Bauerschmidt–Brydges–Slade の本の付録の重み（regulator）$\tilde G(X,\phi)$ が四つの性質——(i) 交わらない集合で積に分かれる、(ii) $\tilde G(X,\phi+\phi')\le\tilde G^2(X,\phi)\,\tilde G^2(X,\phi')$、(iii) $\mathbb E_+\tilde G^t(X)\le2^{|B(X)|}$、(iv) $\tilde G^t\le\tilde G_+$——を持ち、そこから一段の評価 $\|\mathbb E_+\theta K(X)\|_{\tilde G_+}\le2^{|B(X)|}\|K(X)\|_{\tilde G}$ が出ます（補題 A.6.1）典。大きな場の稀さを重みのノルムで書き、粗視化の一段の期待値で閉じることの実例です。群の上で要るのはこの「一段で閉じる」ことの群版で、性質 (ii) が場の加法を使っている所が、群の積 $u_1u_2$ に替わります。Bauerschmidt–Bodineau–Dagallier の多重尺度 Bakry–Émery（§05 の (6)、$\dot\lambda_t$ は負でもよい）と、その曲がった空間の版（定理 3.20）も部品の候補です 典。エントロピーの安定性の補題（各点の Hesse 行列の代わりに共分散の上界を条件にする形、補題 3.21）は線形の傾け $e^{(h,\zeta)}$ を使うので、群には直接写りません 見。

粗視化の一段と組む — 結合の窓。尺度の公理化（粗視化の半群と、その上の流れ）とこの類を組むと、段ごとの類 $\mathcal C_j=\mathcal C(\kappa_j,s_j,a_j,b_j)$ を粗視化の核が $\mathcal C_j\to\mathcal C_{j+1}$ と写す形が書けます。最初の定理の候補は「有限の箱・紫外の側で、実効の結合 $\beta_j$ が $\beta_*$ 以上の間は $s_{j+1}\ge s_j-c$・$\kappa_{j+1}\ge\kappa_j(1-c/\beta_j)$ の型で類が閉じる」です 見。閉じた先では実効の測度が一様な対数 Sobolev を持ち、そこから先は強結合の側の道具（群の Ricci 曲率で払う型。小さな $\beta$ で対数 Sobolev と質量ギャップを与える Shen–Zhu–Zhu の結果 典（要旨））に渡せます。ところが稀さの率 $s_j$ は実効の結合に比例し（命題 3 の (5) で $s\approx\beta$）、閉じ込めの尺度で $\beta_j=O(1)$ になると尽きます。曲率の通貨は狭い範囲でしか効きません。二つの間に、どちらの通貨も足りない結合の窓が残ります。この窓は、三段目の難しさの二つ目——紫外と赤外をつなぐ展開が無いこと——を規則の言葉で言い直したもので、新しい障害ではありません（11-07 §06・11-07 表 3）見。

階層的なゲージ模型（§05）では、静的な流れが強結合へ入るまでの段数が有限で、紫外の側・窓・強結合の側の三つが一つの模型の中で揃います。規則の候補を最初に試すならこの模型です。ただし、その静的な流れは多体の残りを持たない一変数の漸化式なので、窓を横切ることが易しいのは模型の構造のためで、結果は四次元のヤン–ミルズに何も含意しません 見。

根との関係 見。三段目の三つの根（11-07 §05）のうち、この類が正面から効くのは三つ目（大局的なゲージ固定が無く、大きな場が凸性で制御できない）です。補題 1 が「群では凸性の類が空」と言う所に、代わりの類を置くからです。一つ目（段数に一様）には尺度の公理化と組んだときだけ効き、(Q5) の漸化式が段数に一様な定数を出すかが要です。二つ目（紫外と赤外をつなぐ）には効きません——上の結合の窓が、その効かなさの姿です。

この節が言えている範囲：規則は候補で、定理の候補は候補です。既存の部品（重みの四性質と補題 A.6.1・多重尺度の Bakry–Émery）は各原典の条件（平らな場・階層・Gauss の共分散の流れ）の中でだけ成り立ちます。

確率量子化は、ヤン–ミルズの測度を、それを不変測度に持つ Langevin 力学（確率偏微分方程式）の長時間の極限として作る道です（6-09）。力学はこの本の $C_P$ が測る Langevin 力学と同じ種類ですが、目的は測度の構成で、緩和の速さ（H）は問いません。

正則性構造の解の理論の鍵の条件は劣臨界性で、それは $d\lt4$ のときに限り成り立ちます（Chevyrev の総説 §1.2 典）。二次元では、ゲージ軌道の空間の上の Polish な状態空間と Markov 過程が作られ、ヤン–ミルズの測度がその不変測度であることが示されています（Chandra–Chevyrev–Hairer–Shen、Chevyrev–Shen 典（要旨））。三次元では、熱流で均した一形式の空間という新しい状態空間と、局所の時間の解・ゲージ共変な繰り込みまでで、三次元のヤン–ミルズの測度は周期の箱 $\mathbb T^3$ の上でも未構成です（Chevyrev の総説 §1・§4 典）。

この道は、格子の繰り込み群を延ばすのでなく、対象の置き場（状態空間）と構成の手段（確率力学）を作り直す方向に出ています（11-07 §05）見。ただし、劣臨界性の条件は、この新しい道具も四次元でちょうど臨界になることを示します。結合が無次元であること（11-07 §01 の (c)）の一つの現れです。この道は、四次元の H にも局所の H にも道具を与えません。

この節が言えている範囲：劣臨界性の条件と三次元の未構成は総説の本文の言明、二次元・三次元の個々の結果は要旨の写しです。この本は正則性構造を道具として使っていません。

(a) 階層模型。階層模型の結果は、四次元のヤン–ミルズに何も含意しません（平行移動と回転の不変性を欠く）。表 1 の判定も、階層模型の中の見立てです。

(b) 群の上の Polchinski 流。熱核との畳み込みで流す形を、多重尺度の Bakry–Émery の条件まで定式化した資料は、探した範囲で見当たりません（「無い」ではありません）。

(c) 繊維。粗い値が $-1$ に近い所の縮退した族の向きの隙間が $O(1)$ に落ちること、長い弧が鞍点であることは見立てです（連続の測地線の Morse 指数からの類推）。

(d) 力学。階層的なゲージ模型の Glauber 力学・Langevin 力学の隙間や対数 Sobolev の言明は、探した範囲で見当たりません。

(e) 原典の種類。Bauerschmidt–Bodineau 2019 の帰納は Poincaré の型（スペクトルの隙間）の結果で、対数 Sobolev の結果ではありません。対数 Sobolev を流す形は同じ著者たちの後の仕事と総説の定理です。

(f) 規則の候補。§07 の類は候補で、無矛盾性・既存の結果の言い直し・定理の候補のどれも確かめていません。「結合の窓は根の二つ目の言い直し」は見立てで、窓の幅の数はどの模型でも測っていません。

(g) 作用の障壁の例。余裕 95 倍は 0+1 次元の $\hbar=0$ の読みで、行 (ΔScore) は仮定の行です。群の上の繰り込みに同じ形の余裕があるかは言いません。

(h) 確率量子化。四次元が臨界であることは、四次元で道具が作れないことの証明ではありません。原典の条件の言明を写しただけです。

機械検査の欄が保証するのは実数の代数と算術だけで、$\Delta S$ が芯の作用の障壁であること、$C_P$ が経路の測度の Poincaré 定数であることは Lean の外です（10-13）。補題 1・系 2・命題 3 には機械検査がありません。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 典 BE     Bakry–Émery：曲率の下界 ⇒ 対数 Sobolev・Poincaré
[02] 典 BB     階層模型の帰納の (A1)・定理 2.1・系 2.2            スカラー・階層
[03] 初 TOP    頂上の一サイトの対角 15/4 と結合の和 4             0+1（10-09）
[04] 初 L1     補題 1：osc V ≤ KD²/2                              閉じた多様体
[05] 初 C2     系 2：SU(2) で凸なら μ ≤ e^(π²) Haar ⟸ [04]
[06] 初 P3     命題 3：一リンクの曲率 (2 + β cos θ)・確率 (5)
[07] 初 MAX    閉じた多様体の最大点で Hess ≤ 0
[08] 読 KR     帯の生の率が Kramers の傾きに 1〜3%               二次元 U(1)・後付け
[09] 初 ONE    0+1 の一サイトの比 ω_b/m                           Lean one_slice_ratio
[10] 見 A1G    群の (A1) は弱結合で立たない ⟸ [02][04]
[11] 見 TAB    表 1 の判定 ⟸ [10]
[12] 典 BBD    多重尺度の Bakry–Émery・曲がった空間の版
[13] 仮 MK     強結合に入るまでの段数（紙の記録）
[14] 見 NOQ    一リンクに 1/4 の型は戻らない ⟸ [06]
[15] 初 CUR    通貨の不等式 (7)                                    10-09 の (3)
[16] 仮 HS     Holley–Stroock の費用 e^osc                         記憶
[17] 典 LY     Lyapunov の条件 (8)                                 二次資料
[18] 典 EPS    場に依る ε（一様に 1 未満）
[19] 仮 DSC    行 (ΔScore)                                         0+1
[20] 読 DSV    ΔS⁰ ≤ 1.4·10⁻²・余裕約 95 倍                       ħ = 0 の読み
[21] 初 CLOC   局所の項が消える (12) ⟸ [19]                       Lean cloc_term_poly
[22] 見 PROB   群の上の道具は確率で押す ⟸ [05][06][07][15]
[23] 典 BBS    重みの四性質・補題 A.6.1                            平らな場
[24] 見 CLASS  稀さで払う測度の類（候補）⟸ [04][15][17][23]
[25] 典 SZZ    強結合の対数 Sobolev と隙間                         要旨
[26] 見 WIN    結合の窓は根の二つ目の言い直し ⟸ [06][24][25]
[27] 典 SPDE   劣臨界性 d < 4・三次元も未構成
[28] 見 NOSQ   確率量子化は四次元の H に道具を与えない ⟸ [27]

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。証明を置いた節点は [04]〜[07] で、どれも一つの多様体の上の一つの測度についての文です。この章の結論の側の節点 [22]・[24]・[26]・[28] は全て「見」で、質量ギャップの節点も、仮定 H の節点もありません。[21]（稀さで払えた例）は [19] の仮定の行の上の代数で、[22] 以下の前提には入りません。0+1 次元の例は型の例であって、群の上の文の根拠ではないからです。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 凸性の天井・Bakry–Émery の曲率の下限 $\kappa_{\rm BE}$・Brascamp–Lieb・繊維・凸と非凸の場所の逆転・稀さの率 $s$・通貨（エントロピー）・Holley–Stroock の摂動・Lyapunov の条件・場に依る定数・群の上の Polchinski 流・稀さで払う測度の類・結合の窓・劣臨界性。意味は A-02 用語集 と 11-A1 にあります。

次に読む章：11-07 四次元だからこそ — 四次元で効いていることを、無次元の結合と位相の二点に限って。

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