2026-10-09 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 10 部 質量ギャップの証明へ向けて — 階段の一段目を組む区画の枠組み・閉じる条件・共通の壁 · Kiichi, Shiori and Rin

区画の枠組みと道筋 5 の三本の筋

芯 $Q_k=(-x_c,0)^k$ は、経路が頂上の近くにとどまる $k$ サイトの区間で、ここでは作用の Hessian が負の向きを持ちます。芯の測度の隙間（行 (T0′_P)）を $k$ に一様に押さえるには、負の曲率のある場所が稀であることを使って払う必要があります。区画の枠組みは、その払い方を五つの段に分けたものです。

1. 区画の和。配位の空間を箱の直積に割っても、Dirichlet 形・分散・エントロピーは区画ごとの和に分かれ、区画の数は定数に入りません。
2. 周辺の形の Gibbs。稀な集合 $B$（測度 $e^{-\ell}$ 以下）の上の重みは、エントロピーと $\ln2$ で払えます：$\ell\int_Bg^2\le\mathrm{Ent}+\ln2\int g^2$。
3. 成分ごとの局所化。勾配の成分ごとに、そのサイトの周りの 17 サイト（サイトの窓）の印の周辺の対数 Sobolev 定数 $A_W$ で 2. を当てると、和に $k$ が入りません。
4. 体積の局所性。稀さの指数 $\ell_{\min}$ は $k$ に依りません。
5. 合成。以上と Barta・Bochner の二つの不等式を組むと、芯の隙間 $\lambda$ について $\lambda(1+bA_W/\ell_{\min})\ge\kappa-b(A_Wc_H+D_W+\ln2)/\ell_{\min}$ です。右辺が正になる条件が閉じる条件 $b(A_Wc_H+D_W+\ln2)\lt\kappa\ell_{\min}$ です。

閉じる条件を $A_W$ について書き直したものが要る値 $A_{\max}=(\kappa\ell_{\min}/b-D_W-\ln2)/c_H$ で、三つの $\hbar=3\cdot10^{-3}／10^{-3}／3\cdot10^{-4}$ で欠陥を三サイトで定める道の元の形は $3\cdot10^{-3}$ で負（どの $A_W$ でも閉じない）・$0.20$・$7.13$ で、道具の選び方を二つ直すと $25.1／90.3／312.3$ まで上がります 読（測った稀さの指数の上の算術）。一方 $A_W$ の上界は、いまの組み立てでは $1857／2794／9106$ の桁で 読（見積もりを含む）、29〜74 倍足りません。

残る一命題「$A_W\lt A_{\max}$」は三本の筋で攻めました。成分ごとの筋は要る値の 1.4〜5.5 倍の所で止まり、スカラーの筋は $\hbar\in[3\cdot10^{-4},10^{-3}]$ で仮定の表つきの命題（命題 P5）になり、Feynman–Kac の筋は Monte Carlo の読みで閾の 0.54 倍の内にありますが上界は閾の $10^3$ 倍です。三本とも、頂上で一サイトの対角 $4-\tfrac14=15/4$ が隣との結合の和 $4$ に届かない、という同じ場所で止まります（§06）。

設定。芯 $Q_k=(-x_c,0)^k$（$x_c=0.89$）、両端の値 $z_0,z_{k+1}\le-x_c$ を止め、$\mu\propto e^{-S/\hbar}\mathbf 1_{Q_k}$、$\mathcal E(f)=\hbar\int|\nabla f|^2d\mu$（箱の面では Neumann）とします。$-L$ の最初の非零の固有値を $\lambda$、固有関数を $f$、$u=\nabla f$ とし、

と置きます。$N_j$ はサイト $j$ の欠陥の集合（$j$ とその隣のどれかが閾 $-\theta_B$ より頂上の側にある配位、$\theta_B=0.57$）です。各サイトに印 $\sigma_j=\mathbf 1[z_j\gt-\theta]$ を付け、サイト $j$ の周りの窓 $W_j$ の印の組を $\sigma_{W_j}$ と書きます。区画とは、印の型ごとの箱の直積 $\Omega_\sigma=\prod_jI_{\sigma_j}$ です。

(Σ.1) 区画の和

任意の箱の直積の分割 $\mathcal P$ について、(a) $\sum_P\mu(P)\mathcal E_P(f)=\mathcal E(f)$（面は測度 0 で、$|\nabla f|^2$ は各区画の上で同じ関数）、(b) $\operatorname{Var}_\mu f=\sum_P\mu(P)\operatorname{Var}_{\mu_P}f+\operatorname{Var}_\nu(\mathbb E[f\mid\mathcal P])$（全分散の公式。エントロピーも同じ形の連鎖律）、(c) 区画ごとに $\operatorname{Var}_{\mu_P}f\le C_P\mathcal E_P(f)$ なら第一項は $(\sup_PC_P)\,\mathcal E(f)$ 以下です 初。区画の数は、和が 1 になる重み $\mu(P)$ にしか現れません。Leanvar_split_cells（仮定なし）・cell_sum_sup（仮定：$w_i\ge0$・$E_i\ge0$・$C_i\le C_{\max}$）。

(Σ.2) 周辺の形の Gibbs の段

Gibbs の変分不等式。確率測度 $\nu$、$G\ge0$、関数 $F$ について

初 証明。$\tilde G=G/\int G$ と置き、Jensen の不等式で $\ln\int e^Fd\nu\ge\ln\int_{\tilde G\gt0}e^{F-\ln\tilde G}\tilde G\,d\nu\ge\int(F-\ln\tilde G)\tilde G\,d\nu$。両辺に $\int G$ を掛けると (2) です。∎

(2) で $F=t\mathbf 1_B$、$p=\nu(B)\le e^{-\ell}$ とすると $\ln\int e^F=\ln(1-p+pe^t)$ で、$t=\ell$ なら $\le\ln2$ です Leangibbs_ln2_cell（仮定：$p\ge0$・$\ell\ge0$・$pe^\ell\le1$）。$B$ が粗い変数 $\mathcal F$ で決まる集合なら、$G=\mathbb E[g^2\mid\mathcal F]$ と取って

です。稀な集合の上の重みを、粗い変数の周辺のエントロピーで払う形です。

(Σ.3) 成分ごとの局所化

入力として、全ての $j$ と $g$ で窓の周辺の対数 Sobolev 不等式

を仮定し 仮、$N_j\subset B_j$（$B_j$ は $\sigma_{W_j}$ で決まる集合、$\ell_{\min}=\min_j\ln(1/\mu(B_j))$）とします。(3) を $g=u_j$ に当てて $j$ で足すと、$\sum_j\mathcal E(u_j)=Z$・$\sum_j\int u_j^2=X$ から

です 初 Leancomp_sum_le（仮定：$0\lt\ell\le\ell_j$・各成分の不等式）。$k$ が入りません。対照として、勾配を成分に分けずにスカラーの $g$ のまま一つの和集合 $\bigcup_jB_j$ に (3) を当てると、定数関数 $g\equiv1$ を入れるだけで欠陥の項が $\sum_j\mu(B_j)$ 以上になり、$k$ に一様になりません 初 Leanscalar_not_uniform（仮定：$p\gt0$。結論は「全ての $k$ で $kp\le d$ となる $d$ は無い」）。$k$ に一様であることと、条件に $A_W$ が入ることは交換条件です。

(Σ.4) 体積の局所性

$\ell_{\min}$ は欠陥の集合の稀さの指数で、$k$ に依りません。欠陥を三サイトで定める道では、測った値 $\hbar\ln\mu(N_j)$ から $\ell_{\min}=38.3／121.9／406.8$（$\hbar=3\cdot10^{-3}／10^{-3}／3\cdot10^{-4}$）です 読（転送行列の浮動小数。$3\cdot10^{-4}$ は外挿で、測り直した値は $420.0$）。欠陥を長さ 8 以上の塊で定める道では $\ell_{\min}\ge E_8/\hbar-\ln V_{\rm loc}$（$E_8=0.402$・$\ln V_{\rm loc}=2.3$）読。橋の上で同じことを言うには、切れ端の転送作用素の剰余が端の値に一様に小さいこと (PF_seg) が要ります 仮。

(Σ.5) 合成

次の三つの不等式を組みます。

• Barta：$\lambda X\ge\kappa X-bY$。成分ごとの作用素 $\mathcal M=-L+\operatorname{Hess}S$（$u=\nabla f$ は $\mathcal Mu=\lambda u$ を満たす）に重み $\psi$ を当てた行の不等式 $(\mathcal M\psi)_j\ge(\kappa-b\mathbf 1_{N_j})\psi_j$ から来ます。$\kappa=3/1000$ は欠陥の外での行の下界、$b=493/1000$ は箱の全体での最悪の行から決まる欠陥の深さです 仮（行の評価の紙は本に置かない）。
• (5)：(Σ.3) そのもの。
• Bochner：$Z=\lambda X-\int u\cdot\operatorname{Hess}S\,u\,d\mu\le(\lambda+c_H)X$、$\operatorname{Hess}S\ge-c_H$、$c_H=\tfrac14$。恒等式は Bochner の公式の積分形 典（Ledoux の講義の命題 1.3、原典の本文で確認）で、箱の平らな面で境界の項が消えることと固有関数の角までの滑らかさは 仮 です。

(5) に Bochner を入れ、それを Barta に入れると

です 初 Leancomp_close（仮定：$X\gt0$・$b,A\ge0$・$\ell\gt0$・Barta・(5)・Bochner の三つの不等式）。右辺が正、すなわち

なら、芯の隙間 $\lambda$ は $k$ に依らない正の数で下から押さえられます。(7) が閉じる条件です。五つの段のうち、(Σ.1)〜(Σ.3)・(Σ.5) の組み立ては初等の証明を本文に置き、仮定として残るのは入力 (LS_W)・(PF_seg)・Barta の行・Bochner の正則性と、(7) を満たすほど $A_W$ が小さいかどうか、です。仮定として残るのは構造ではなく定数の大きさです。

(7) を $A_W$ について解くと、要る値

が出ます 初（(7) の移項）。$A_W$ がこれより小さいことが残る一命題 (LS_W♭) で、10-07 §02 の道筋 5 です。

定数の出所。(7) の六つの定数を、構造から来るものと道具の選び方から来るものに仕分けます。

$A_W$ が $c_H$ と掛かって条件に入る理由は、(5) の右辺の $A_WZ$ を Bochner で $(\lambda+c_H)X$ に替えるとき、$\lambda$ の部分は左辺に移せますが $c_HX$ は $\lambda$ を掛けずに残り、$\kappa$ で払うしかないからです。$b/\kappa\approx164$ の増幅が、ここで $A_Wc_H$ に掛かります。

二つの方向 — 要る側を上げる・足りない側を下げる

要る側を上げる（道具の選び方を直す）。

• Bochner を局所化する。負の曲率 $-w(z)=(1-3z^2)/4$ は $z\gt-1/\sqrt3$ にしか無く、そこは既に欠陥の集合 $N_j$ の中です。区間の一行 $-w(z)\le\delta+\gamma\,\mathbf 1[z\gt-\theta_R]$（$\delta=\max(0,(1-3\theta_R^2)/4)$・$\gamma=c_H-\delta$）から 初 Leannegw_le_localized（仮定：$\theta\ge0$・$z\le0$・$(1-3\theta^2)/4\le\delta\le\tfrac14$）、運動の項 $2T_k$ が半正定値であることを使って $$Z\ \le\ (\lambda+\delta)X+\gamma Y \tag{9}$$ が出ます 初 Leanbochner_localized（仮定：恒等式 $Z=\lambda X-H$・$-H\le\delta X+\gamma Y$）。$Y$ は (5) が既に払っている項なので、$A_W$ の係数が $bc_H=0.123$ から $b\delta+\kappa\gamma=0.0038$（$\theta_R=0.57$、約 32 分の 1）に下がります。
• Gibbs の傾きを最適にする。(2) の $t$ は $t\lt\ell$ でもよく、$\kappa t-b\ln(1+e^{t-\ell})$ を最大にする $t^*=\ell-\ln((b-\kappa)/\kappa)=\ell-5.10$ で、費用 $b\ln2=0.342$ が $0.0183$ に替わります 初（一変数の凹関数の最大）Leantilt_cost_le（仮定：$b\ge0$・$L\le1/178$）。

二つを合わせた閉じる条件は $b(A_W\delta+D_W+L(t^*))\lt\kappa(t^*-A_W\gamma)$ で、要る値は $A_{\max}=(\kappa\ell_{\min}-0.0183-bD_W)/(b\delta+\kappa\gamma)$ です。さらに閾 $\theta$ を $1/\sqrt3$ の近くまで上げると $\delta\le0$ になり、条件は実質 $A_W\lesssim4\ell_{\min}$ に変わります。

足りない側を下げる（$A_W$ の上界を作り直す）。三サイトの窓 $|W|=3$ での $A_W$ の上界は、いまの組み立てで $1857／2794／9106$ 読（見積もりを含む）で、二つを合わせた要る値と比べて 74／31／29 倍、閾を上げた要る値と比べて 14.5／6.2／5.7 倍外です（後者は同じ上界の技法が閾を上げても同じ値を出すと置いた見積もり）。一方、試験関数で測った $A_W$ の下界は $1.71／1.74／2.59$ で、要る値を排除しません。真の $A_W$ が要る値の内にあることは排除されておらず、足りないのは上界の作り方の側です。これが道筋 5 の三本の筋の出発点です。

(Σ.3) は $N_j\subset B_j$ で、$B_j$ が窓の印 $\sigma_{W_j}$ だけで決まる集合であることを使います。表 1 の $\kappa$・$b$・$\ell_{\min}$ は欠陥の閾 $\theta_B=0.57$ で測った値で、$A_W$ は印の閾 $\theta_\sigma=\tfrac12$ で測った値でした。$\theta_\sigma\lt\theta_B$ だと、「窓の印が全て谷の側」という印の原子は $z_i\in(-\theta_B,-\theta_\sigma]$ の点、つまり $N_j$ の点を含みます。印で決まる集合で $N_j$ を含むものは全空間しかなく、$\mu(B_j)=1$、$\ell=0$ です 初（可測性の一行）。二つの閾が食い違ったままでは、(7) は字義どおりには何も与えていません。直し方は $\theta_B$ を $\tfrac12$ に下げることではなく（$\theta=\tfrac12$ では Barta の行の下界 $\kappa$ が負になる）、$A_W$ を $\theta_\sigma=\theta_B$ の印で測ることで、これは足りない側への注文です。数値の組み立てを重ねるとき、合成する条件の一つ一つが同じ定義の上で成り立っているかを、字義どおりに確かめる段が要る、という例です。

残る一命題を、条件の関数形の違う三つの形で攻めました。どの筋も (Σ.5)・(T0′)・(H2) を示していません。数は全て 0+1 次元の二重井戸・$\varepsilon=\tfrac12$ の格子の上の値です。迂回策の全体の一覧と壊れ方の型は 10-10 に送ります。

筋 1　成分ごとの形

Bochner の局所化と Gibbs の傾きの上に、各点の負の曲率をその点の稀さで払う形（曲率を高さの関数 $h=(-w(z_j))_+$ で払う）を載せると、要る値は $537／1754／6052$ まで上がります 読。上界は「粗い段」と「伝播の段」の積の形で作ります。

• 粗い段は詰んだ。中央だけ多値の印の鎖で、粗い段の対数 Sobolev 定数は $\le3.584／3.544／3.613$、一点の指示関数の下界との比 $1.016／1.005／1.003$ 読（倍精度のデータの上の有理数の分解）。この段からはもう取れません。
• 伝播の段に上界が無い。残りを重みつきの条件つき Poincaré 定数 $C_w$ に移すと、要る値は $C_w\le39.3／138.2／476.3$、試験関数の族の下界は $15.4〜15.6$（$\hbar$ にほぼ依らない）読。Lyapunov 関数の判定法（Bakry–Barthe–Cattiaux–Guillin の型 典、二次資料の再述で確認）で、遠い端に依らない Lyapunov 関数の族は頂上の面 $x\equiv0$ で要る値の $16.6／14.7／14.7$ 倍外でした。遠い端まで延ばした分かれた族の最良を双対で測ると、この主項は越えますが、最も細かい格子で $215／355／654$＝要る値の $5.5／2.6／1.4$ 倍で止まります 読（格子の値、$\hbar$ を下げる側ほど格子に敏感）。全ての Lyapunov 関数に効く床は $31$（$\hbar$ に一様）で 読 Leantilt_g1（仮定：$\hat\theta\,\mathrm{Var}\le\hbar b$）、判定法の形そのものは要る値を割りえます。

残る一歩：隣どうしの結合の項を持つ Lyapunov 関数で、有限の $\hbar$ の補正を下げること。分類は 読 と 仮。

筋 2　スカラーの形 — 命題 P5

勾配を成分に分けず、凸な底（谷の側の箱）に Bakry–Émery を当て、頂上の帯は各サイトの Gibbs の段で払う形です。条件は $\ln k\lt\ell_{\rm 帯}$ だけで $A_W$・$\kappa$・$b$・$c_H$ は要りませんが、$k$ が $\ln k$ で入るので、芯の長さには有限の範囲でしか効きません。芯の Poincaré 定数は $C_P^{(1)}\approx50〜64$ と剰余 (Rem₂) の和になり、剰余は最初の固有関数に限れば小ささ $R_2(f)/\int g^2\lt\tfrac14$ が要るだけです。これを仮定の表つきの命題にしたのが命題 P5 です。

区間演算に移す本数は、8 節点 × 14 本＝112 本と節点の間の包みで、まだ一本も走らせていません。$10^{-3}$ を少し越えると二つの条件が同じ窓で両立しなくなり（$1.35\cdot10^{-3}$ で両立しない 読）、$\hbar\to0$ へも、射出の向きの評価が $\hbar^{-1/2}$ で一様でないため延びません。命題 P5 は窓の下の端の有限の範囲の、仮定の表つきの命題です。

筋 3　Feynman–Kac の形

比較の対角に Feynman–Kac の重みを残す形で、要るのは芯の全体の対数 Sobolev 定数が $A_{\rm core}\lesssim a/\hbar$、$a\lt1.29／1.47／1.55$（$1/\hbar$ の係数まで問われる）です。試験関数の族の下界は $\hbar A_{\rm core}\approx0.78〜0.83$ 読 で、余裕は 1.6〜1.9 倍です。半径の鎖に分けると、鎖の定数は要る値の $0.54〜0.56$ 倍（模型の鎖の上で）読、残るのは Helffer–Sjöstrand の表示 典（書誌だけ、言明は未確認のため本書では 仮 として扱う）の中の量 $K^2=\sup|\nabla\psi|^2$ で、閾は $1+K^2\le W$、すなわち $K^2\le W-1=0.83〜0.86$（$W$ は要る値と鎖の定数の比）です。

• Monte Carlo の読み：出発点を探索した後の下からの値で $L=0.4333\pm0.0067$（$10^{-3}$）・$0.4163\pm0.0079$（$3\cdot10^{-4}$）、3σ を足して $0.453$＝閾 $0.835$ の 0.54 倍 読（出発点の上の最大で、ファイバー全体の上界ではない＝仮定 (MC-sup)）。
• 紙の上界：同じ点・同じ経路で数えた経路ごとの Grönwall 型の上界は $U^2=798$＝閾の約 $10^3$ 倍 読。幅のほとんどは、スカラーの Grönwall が勾配の向きを捨て、全ての向きを最も柔らかい率で減らす段から来ます。時間平均した行列の最小固有値で縮みを押さえる版は偽です Leanmbar_bound_false（二次元の反例、仮定なし）。

残る一歩：向きを保つ上界（経路に沿った行列の Lyapunov 関数、または柔らかい部分空間と硬い部分空間に分けた評価）。

三本の並び

表 4 は、どの筋が「近い」かの順位ではありません。筋 2 は窓の下の端でしか形を持たず、窓の全体を覆う形は筋 1 か筋 3 にしかありません。進み具合は行ごとの分類で読んでください。

芯の作用の Hessian は、格子 $\varepsilon=\tfrac12$ で三重対角の行列

です（隣どうしの項 $(z_{j+1}-z_j)^2/(2\varepsilon)$ が対角に $4$、隣に $-2$ を与える）。一つの行を見ると、対角は $4+w_j$、隣との結合の絶対値の和は $2+2=4$ です。頂上 $z_j=0$ では $w_j=-\tfrac14$ なので

で、対角優位が $\tfrac14$ だけ破れます 初。行ごとの評価（Gershgorin の円）から言えるのは最小固有値 $\ge\min_jw_j=-\tfrac14$ までで、実際に全てのサイトが頂上にある面 $x\equiv0$ の上では、両端を止めた $k$ サイトの塊の最小固有値は $8\sin^2\frac{\pi}{2(k+1)}-\tfrac14$ で、$k\ge8$ で負です 初（$\mathrm{tridiag}(-2,4,-2)$ の固有値の閉じた式）。手で確かめるなら、$k=7$ で $8\sin^2(\pi/16)\approx0.304\gt\tfrac14$、$k=8$ で $8\sin^2(\pi/18)\approx0.241\lt\tfrac14$ です。

三本の筋は、この一行の不足に形を変えて戻ってきました。

• Barta の重みをどう選んでも、一サイトの重みの行の床は頂上で $F(0,0)=w(0)=-\tfrac14$ です。
• 筋 1 の一様な道の判定は、対角 $A=4-\tfrac14$ と結合 $B=2$ で $A-2B=-\tfrac14$ でした。
• 筋 1 の Lyapunov の判定法が止まった頂上の面は、作用の勾配が 0 になる面 $x\equiv0$ そのものです。
• 筋 3 で $1/\hbar$ の係数が住むのは、頂上の角からの半径（台地の非凸な向き）でした。

壁が普遍である理由（一行）。凸性（Hessian の正の下界）を入口に持つ道具——Bakry–Émery・Brascamp–Lieb・Barta の行・対角優位——は、頂上の台地で Hessian が本当に負の向きを持つ以上、どこかでこの $\tfrac14$ を台地の稀さ（エントロピー）で払う必要があり、その払い方に $\hbar$ が入ります。この見方の詳しい検討と、凸性に頼らない別の視点は第 11 部（11-06）で扱います。

表 5 の「初」の行は、どれも仮定の行の上の代数か、本文に証明を置いた一般の不等式です。芯の隙間の下界が無条件に示されたことは意味しません。

書式は 10-05 §07 と同じで、「⟸」の右の番号は左の番号より必ず小さく置きます。

[01] 仮 LSW    入力 (LS_W)                                        ħ：—
[02] 仮 PF     (PF_seg)                                           ħ：—
[03] 仮 BAR    Barta の行 κ = 3/1000・b = 493/1000                 ħ に依らない
[04] 仮 REG    Bochner の境界の項と正則性                          ħ：—
[05] 仮 PROX   命題 P5 の仮の行（持ち上げの仮定ほか）              ħ：—
[06] 仮 LSWb   (LS_W♭) A_W < A_max                                ħ：—
[07] 典 BOC    Bochner の公式の積分形                              ħ に依らない
[08] 読 ELL    ℓ_min = 38.3／121.9／406.8                          ħ：三点
[09] 読 AW     A_W の上界と下界                                    ħ：三点
[10] 初 S1     (Σ.1) 区画の和                                      ħ に依らない
               Lean var_split_cells・cell_sum_sup
[11] 初 S2     (Σ.2) Gibbs の変分不等式                            ħ に依らない
               Lean gibbs_ln2_cell（仮定：p ≥ 0・ℓ ≥ 0・p·e^ℓ ≤ 1）
[12] 初 S3     (Σ.3) 成分ごとの局所化 (5) ⟸ [01][10][11]           ħ に依らない
               Lean comp_sum_le
[13] 初 SK     スカラーの形は k に一様でない                      ħ に依らない
               Lean scalar_not_uniform（仮定：p > 0）
[14] 読 S4     (Σ.4) ℓ_min は k に依らない ⟸ [02][08]              ħ：三点
[15] 初 R1     局所化した Bochner (9) ⟸ [04][07]                   ħ に依らない
               Lean negw_le_localized・bochner_localized
[16] 初 R2     Gibbs の傾きの最適化                                ħ に依らない
               Lean tilt_cost_le
[17] 初 S5     合成 (6)・閉じる条件 (7) ⟸ [03][04][07][12][14]     ħ に依らない
               Lean comp_close（仮定：Barta・(5)・Bochner）
[18] 初 AMX    要る値 (8) ⟸ [17]                                   ħ に依らない
[19] 読 AM2    要る値 25.1／90.3／312.3 ⟸ [08][15][16][18]         ħ：三点
               Lean judge_i_inside（仮定：測った ℓ の下界）
[20] 初 THR    閾が食い違うと ℓ = 0                                ħ に依らない
[21] 仮 P5     命題 P5 ⟸ [05]                                      ħ：8 節点
               Lean path5_conditional・p5_assembly
[22] 読 ST1    筋 1 の到達点 ⟸ [19]                                ħ：三点
[23] 読 ST3    筋 3 の到達点                                       ħ：二点
[24] 初 WALL   頂上で対角優位が ¼ 破れる                          ħ に依らない
[25] 初 CORE   芯の隙間の k に一様な正の下界 ⟸ [06][17]            ħ：—

確かめ方。⟸ を持つ行は [12]（[01][10][11]）・[14]（[02][08]）・[15]（[04][07]）・[17]（[03][04][07][12][14]）・[18]（[17]）・[19]（[08][15][16][18]）・[21]（[05]）・[22]（[19]）・[25]（[06][17]）で、どれも右の番号が左より小さく、円はありません。

読むこと。結論 [25] は [17] を通して構造の段（[10]〜[14]）と入力の仮定（[01]〜[04]）に依り、さらに仮定の行 [06]（残る一命題）に依ります。[06] を支える候補が三本の筋 [21][22][23] で、どれも [06] を示していません（[21] は窓の下の端の仮定の表つきの命題、[22][23] は読み）。[20] は、[01] と [03] を同じ閾で測らないと [12] が空になる、という確かめの行です。[24] は三本の筋が止まった場所の説明で、どの結論の前提でもありません。

仮定の行の言明が結論の量を含まないことも確かめます。結論の量は芯の測度の隙間 $\lambda$ です。[01]・[06] は窓の印の周辺の対数 Sobolev 定数、[02] は切れ端の転送作用素の剰余、[03] は重みの行の下界、[04] は境界の項と正則性、[05] は剰余の量と代理の比で、どれも $\lambda$ を含みません。

道筋 5 で試した迂回策（二十二本と途中で生まれた二本、その派生）の全体の一覧と、繰り返し現れた壊れ方の型は 10-10 で扱います。芯の定数を箱の側から三段で押さえる組み立ては 10-11 です。この部は仮定 H を検討の軸に置き、この章はその一段目の (H2) の芯の行がどこまで組めたかを述べました。頂上の負の曲率を凸性に頼らずに扱う視点は第 11 部（11-06）で扱います。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 区画の枠組み・区画・印・サイトの窓・欠陥の集合・稀さの指数・Gibbs の変分不等式・成分ごとの局所化・閉じる条件・要る値・道具の選び方と構造・閾値の不一致・三本の筋・命題 P5・持ち上げの仮定・共通の壁・対角優位。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：10-10 迂回策の一覧 — 壊れ方の型 — 迂回策を「殺した一行」つきの一表にし、要る側・形・床の三つの側と、繰り返し現れた壊れ方の型を読む。

← 10-08 計算機援用とは何か目次10-10 迂回策の一覧 →