2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 12 部 二本目の道：空間の方向から捩れ・区画・流束の自由エネルギー · Kiichi, Shiori and Rin

捩れた T² と 't Hooft の流束

格子を $\Lambda=(\mathbb Z/N)^2\times(\mathbb Z/M)^2$（$N,M\ge2$）とします。1・2 の方向が小さな $T^2$、3・4 の方向が平面です。各リンク $(x,\mu)$ に $U_{x,\mu}\in SU(2)$ を置き、プラケット $p=(x;\mu,\nu)$（$\mu\lt\nu$）の値を

と書きます（5-01 と同じ）。プラケットごとの符号 $z_p\in\{+1,-1\}$ を与えたとき、作用と分配関数を

と置きます。$dU_\ell$ は正規化した Haar 測度です。$z\equiv+1$ なら (2) は 5-01 の Wilson 作用そのもので、各項は $|\operatorname{tr}U|\le2$ から $[0,2]$ に入ります。$z_p=-1$ のプラケットは「中心の元 $-1$ を一つ差し込んだプラケット」で、そこでは $U_p=-1$ のとき作用が 0 になります。

二つの区画の符号。小さな $T^2$ の捩れを、各 $(1,2)$ 平面（$x_3,x_4$ を止めた $N\times N$ の平面）のちょうど一枚のプラケット、$(x_1,x_2)=(N-1,N-1)$ の $(1,2)$ プラケットに $z_p=-1$ を置くことで入れます。全ての $(x_3,x_4)$ で同じ位置です。これを $z^{(0)}$ と書きます（他は全て $+1$）。平面の方向の流束を一つ足した符号 $z^{(1)}$ は、$z^{(0)}$ に加えて、平面の単位の正方形 $q=(q_3,q_4)$ の上の面

の $N^2$ 枚の $(3,4)$ プラケットに $z_p=-1$ を置いたものです。$\Pi_q$ は平面の点 $q$ の上に立つ「$T^2$ を巻く面」で、平面の中では点のように振る舞います（12-00 §03 の理由 2）。

面の置き場所 $q$ は分配関数に効きません。それを示すのが次の補題です。

補題 1（面を動かす） 初　リンク $\ell$ について、$\ell$ を含む全てのプラケットの符号を反転した場を $\delta_\ell z$ と書くと、$Z[\delta_\ell z]=Z[z]$。特に、(a) 面 $\Pi_q$ は隣の正方形の面 $\Pi_{q'}$ へ動かせ、$z^{(1)}$ の分配関数は $q$ によらない。(b) 面の集合 $Q$ の上に面を置いた符号 $z^{(0)}\prod_{q\in Q}(\text{面 }\Pi_q)$ の分配関数は、$|Q|$ の偶奇だけで決まる。

証明。変数の取り替え $U_\ell\mapsto-U_\ell$ は Haar 測度を保ちます。$-1$ は中心の元なので、$\ell$ を一度だけ含むプラケットでは $U_p$ が $-U_p$ に変わり、他のプラケットは変わりません（格子のプラケットは一つのリンクを高々一度含みます）。よって $S^{\delta_\ell z}(-U_\ell,\ldots)=S^z(U)$ で、積分は等しくなります。(a)：平面の点 $(a,b+1)$ の上の 3 方向のリンク全て（$x_1,x_2$ を走らせた $N^2$ 本）に補題を順に使います。$(3,4)$ プラケットでこれらのリンクを含むのは、$\Pi_{(a,b)}$ と $\Pi_{(a,b+1)}$ の上のものだけで、それぞれちょうど一本を含みます。$(\mu,3)$ プラケット（$\mu\le2$）は 3 方向のリンクを二本含み、その両方が同じ平面の点の上にあるので、符号は二度反転して元に戻ります。他のプラケットは 3 方向のリンクを含みません。よって二枚の面 $\Pi_{(a,b)}$ と $\Pi_{(a,b+1)}$ の符号が反転し、面は一つ隣へ動きます。4 方向も同じです。(b)：面を動かして二枚を重ねると $(-1)^2=+1$ で消えるので、(a) と平面の正方形の連結性から従います。∎

補題 1 は 't Hooft の捩れの格子版の基本の性質で、$z$ の場そのものではなく、各平面を貫く $-1$ の個数の偶奇（流束 $n_{\mu\nu}\in\{0,1\}$）だけが分配関数に効くことを言っています 典（一般の形は 't Hooft 1979、格子の $\mathbb Z_2$ の符号の場による形は Mack–Petkova 1980）。この章で使うのは (a)・(b) の場合だけです。

定義 2（区画と流束の自由エネルギー）　$Z(0)=Z[z^{(0)}]$、$Z(1)=Z[z^{(1)}]$ と書き、流束の組 $(n_{12},n_{34})=(1,0)$ と $(1,1)$ をそれぞれ区画と呼びます。混ざった平面（$(1,3)$ など）の流束は 0 とします。そのうえで

と置きます。$\Delta F$ は平面の方向の流束 $n_{34}$ を一つ入れる自由エネルギーの差（'t Hooft の流束の自由エネルギー）、$\theta$ は二つの区画の「偏り」です。(4) の右の等式は $(1-e^{-\Delta F})/(1+e^{-\Delta F})=\tanh(\Delta F/2)$ からです。$Z(0),Z(1)\gt0$ なので $|\theta|\lt1$ です。$\theta\ge0$（つまり $Z(1)\le Z(0)$）は転送行列による別の議論が要り、13-04 で扱います。

この量が閉じ込めに効く理由は、Tomboulis–Yaffe の不等式が、平面の Wilson ループの期待値を捩れた分配関数の比で上から押さえることにあります 典。$\theta$ が平面の大きさ $M$ について $-\ln\theta\ge cM^2$ と減れば、その不等式を通して面積則が出ます。不等式の正確な形と、$\theta$ が 1 から離れるだけでは足りないことは 13-01 で扱います。

二つの区画を別々の測度として持つ代わりに、面の置き方も確率変数にした一つの測度にまとめます。平面の単位の正方形の全体を $T$（$M^2$ 個）とし、部分集合 $Q\subset T$ ごとに符号 $z^Q=z^{(0)}\prod_{q\in Q}(\Pi_q\text{ の上で }-1)$ を作ります。

定義（捩れの和のアンサンブル） 典　配位と面の集合の組 $(U,Q)$ の上の確率測度

を捩れの和のアンサンブルと呼びます。プラケットの $\mathbb Z_2$ の符号を確率変数として足し上げる形は Mack–Petkova（1980）の表示の型で、彼らは閉じた（各立方体の六枚の積が $+1$ の）符号の場の全体で足し上げています。ここでは平面の流束 $n_{34}$ に関わる面だけを足す、小さな形を使います。

命題 3（偏りを一つの期待値に） 初　$\displaystyle \theta=\mathbb E_{\tilde\mu}\bigl[(-1)^{|Q|}\bigr]$。

証明。補題 1 (b) から $Z[z^Q]$ は $|Q|$ が偶数なら $Z(0)$、奇数なら $Z(1)$ です。$T$ の $2^{M^2}$ 個の部分集合のうち、ちょうど半分が偶数個です。よって $\Xi=2^{M^2-1}(Z(0)+Z(1))$、$\sum_Q(-1)^{|Q|}Z[z^Q]=2^{M^2-1}(Z(0)-Z(1))$ で、比が (4) の $\theta$ です。∎

命題 3 の表示では、面の置き方 $Q$ は平面の点の上の「渦がいるか」の記録で、$(-1)^{|Q|}$ は平面全体の渦の数の偶奇です。偏り $\theta$ が小さいとは、偶奇がほぼ公平に混ざっていること、つまり渦が平面の中に自由に湧いていることです。$\mathbb R^4$ では、ループと絡む渦の面は広がった面で、この「点の上の記録」の形には書けません（12-00 §03）。この表示は、平面をブロックに分けて柱ごとの偏りの積に書き直す形（容器の恒等式、12-03）と、渦を一つ差し込む写像の恒等式（12-05）の出発点になります。

三つの事実の証明は、全てのプラケットが中心の値（$\pm1$）を取る配位の性質に帰着します。まず、作用 0 がそれと同じことを確かめます。

補題 4（作用 0 の配位） 初　$S^z(U)=0$ であるための必要十分条件は、全てのプラケットで $U_p=z_p\cdot\mathbf 1$ となることです。

証明。$SU(2)$ の元は $U=\cos\alpha\,\mathbf 1+i\sin\alpha\,(n\cdot\sigma)$（$|n|=1$）と書け、$\operatorname{tr}U=2\cos\alpha$ です（1-04）。(2) の各項 $1-\tfrac12z_p\operatorname{tr}U_p=1-z_p\cos\alpha_p$ は 0 以上で、0 になるのは $z_p\cos\alpha_p=1$、つまり $z_p=1$ なら $\alpha_p=0$（$U_p=\mathbf 1$）、$z_p=-1$ なら $\alpha_p=\pi$（$U_p=-\mathbf 1$）のときだけです。∎

次に、プラケットが全て中心の値なら、平面を一周する holonomy どうしの交換子は、その平面の符号の積で決まります。基点 $x$ から $\mu$ の方向へ一周する直線の道に沿ったリンクの積を $P_\mu(x)$ と書きます（$\mu=1,2$ なら長さ $N$、$\mu=3,4$ なら長さ $M$）。

補題 5（交換子は平面の符号の積） 初　全てのプラケットで $U_p=z_p\cdot\mathbf 1$ なら、$\mu\ne\nu$ と基点 $x$ について

が成り立ちます。右の積は $x$ を通る $(\mu,\nu)$ 平面（二次元のトーラス）の全てのプラケットにわたります。

証明。$x$ を通る $(\mu,\nu)$ 平面を、$x$ を角に置いた正方形 $R$ に切り開きます。$R$ の境界を $x$ から反時計回りに一周する道は、$\mu$ の方向の一周・$\nu$ の方向の一周・$\mu$ の方向の逆向きの一周・$\nu$ の方向の逆向きの一周をこの順に並べたもので、その holonomy が (6) の左辺です。一方、正方形の格子の円板では、境界の holonomy は、各プラケットの値を基点への道で平行移動して共役したものの、ある順序の積に等しくなります（格子の非可換 Stokes の定理：プラケットを一枚ずつ剥がして境界の道を縮める、帰納法）。全てのプラケットの値が中心の元 $z_p\mathbf 1$ なら、共役で値は変わらず、順序にもよらないので、積は $\prod_{p\subset R}z_p$ です。∎

$z^{(0)}$ では、$(1,2)$ 平面は全て一枚だけ $-1$ を持つので $\varepsilon_{12}=-1$、他の平面は $\varepsilon=+1$ です。$z^{(1)}$ では、さらに $(3,4)$ 平面がちょうど一枚（面 $\Pi_q$ と交わる一枚）の $-1$ を持つので $\varepsilon_{34}=-1$ です。これは、連続理論の 't Hooft の捩れた境界条件で、二つの方向の貼り合わせの整合が中心の元 $e^{\pi i n_{\mu\nu}}$ だけずれる、という関係の格子版です 典（'t Hooft 1979）。

最後に、holonomy が配位をどこまで決めるかを述べます。

補題 6（holonomy で決まる） 初　同じ $z$ について $U_p=z_p\mathbf 1$（全ての $p$）を満たす二つの配位 $U,U'$ が、基点 0 での四つの holonomy を一致させる（$P_\mu=P'_\mu$、$\mu=1,\ldots,4$）なら、$U'$ は $U$ のゲージ変換です。

証明。各格子点 $x$ に、0 から $x$ への決まった道 $\gamma_x$（1 の方向、2 の方向、3 の方向、4 の方向の順に正の向きへ進む道）を選び、道に沿った積を $U(\gamma_x)$ と書きます。リンク $\ell=(x\to y)$ について、閉じた道 $c_\ell=\gamma_x\,\ell\,\gamma_y^{-1}$ を考えます。トーラスの格子の二次元の骨格では、0 を基点とする閉じた道は、有限枚のプラケットを掃くことで、四つの直線の一周の語に変形できます（$\pi_1(T^4)=\mathbb Z^4$ の格子版、標準の位相の事実 典）。変形で掃いたプラケットは中心の値なので、$c_\ell$ の holonomy は「掃いたプラケットの $z$ の積」と「$P_\mu$ の語」の積で、どちらも $U$ と $U'$ で同じです。よって $U(\gamma_x)U_\ell U(\gamma_y)^{-1}=U'(\gamma_x)U'_\ell U'(\gamma_y)^{-1}$、すなわち $g(x)=U'(\gamma_x)^{-1}U(\gamma_x)$ と置くと $U'_\ell=g(x)\,U_\ell\,g(y)^{-1}$ です。∎

捩れを食う配位。$\Omega_1=i\sigma_1$、$\Omega_2=i\sigma_2$ と置き、配位 $U^0$ を次で定めます。1 の方向のリンクは $x_1=N-1$ のもの（$T^2$ の継ぎ目を渡るもの）だけ $\Omega_1$、2 の方向のリンクは $x_2=N-1$ のものだけ $\Omega_2$、他のリンク（3・4 の方向を含む）は全て $\mathbf 1$ とします。

補題 7 初　$\Omega_1\Omega_2\Omega_1^{-1}\Omega_2^{-1}=-\mathbf 1$。また $U^0$ のプラケットは、$(x_1,x_2)=(N-1,N-1)$ の $(1,2)$ プラケットだけが $-\mathbf 1$ で、他は全て $\mathbf 1$ です。よって $S^{z^{(0)}}(U^0)=0$。

証明。$\sigma_1\sigma_2=i\sigma_3=-\sigma_2\sigma_1$ から $\Omega_1\Omega_2=-\sigma_1\sigma_2=-i\sigma_3$、$\Omega_1^{-1}\Omega_2^{-1}=(-i\sigma_1)(-i\sigma_2)=-i\sigma_3$ で、積は $(-i\sigma_3)^2=-\mathbf 1$。プラケット (1) を見ると、継ぎ目を含まない $(1,2)$ プラケットは全て $\mathbf 1$。$x_1=N-1$、$x_2\ne N-1$ では $\Omega_1\cdot\mathbf 1\cdot\Omega_1^{-1}\cdot\mathbf 1=\mathbf 1$、$x_2=N-1$、$x_1\ne N-1$ では $\mathbf 1\cdot\Omega_2\cdot\mathbf 1\cdot\Omega_2^{-1}=\mathbf 1$、角 $(N-1,N-1)$ では $\Omega_1\Omega_2\Omega_1^{-1}\Omega_2^{-1}=-\mathbf 1$。1・2 の方向のリンクは $x_3,x_4$ によらないので、3・4 の方向を含むプラケットは全て $\mathbf 1$。補題 4 から作用は 0 です。∎

補題 8（反可換な対） 初　$A,B\in SU(2)$ が $ABA^{-1}B^{-1}=-\mathbf 1$ を満たすなら、ある $g\in SU(2)$ で $gAg^{-1}=i\sigma_1$、$gBg^{-1}=i\sigma_2$ となります。また、$i\sigma_1$ と $i\sigma_2$ の両方と可換な $SU(2)$ の元は $\pm\mathbf 1$ だけです。

証明。$ABA^{-1}=-B$ の跡を取ると $\operatorname{tr}B=-\operatorname{tr}B$、よって $\operatorname{tr}B=0$ で $B=i\,b\cdot\sigma$（$|b|=1$）。同様に $BAB^{-1}=-A$ から $A=i\,a\cdot\sigma$。$(a\cdot\sigma)(b\cdot\sigma)=(a\cdot b)\mathbf 1+i(a\times b)\cdot\sigma$ なので、$AB=-BA$ は $a\cdot b=0$ と同値です。直交する単位ベクトルの組 $(a,b)$ は、回転 $R\in SO(3)$ で $(e_1,e_2)$ に移せます（$(a,b,a\times b)$ は正の向きの正規直交基底）。$SU(2)\to SO(3)$ は全射で、$g(v\cdot\sigma)g^{-1}=(Rv)\cdot\sigma$ となる $g$ を取れば主張の前半です。後半：$C=c_0\mathbf 1+i\,c\cdot\sigma$ が $\sigma_1$ と可換なら $c\times e_1=0$、$\sigma_2$ と可換なら $c\times e_2=0$、よって $c=0$、$C=\pm\mathbf 1$。∎

事実 1（捩れを食う真空の一意性） 初　区画 $(1,0)$ で作用 0 の配位（$S^{z^{(0)}}(U)=0$）は、ゲージ変換と、3・4 の方向の中心の変換（ある 3 方向の切り口 $x_3=c$ の全ての 3 方向のリンクに $-1$ を掛ける操作、4 方向も同様）を除いて、$U^0$ ただ一つです。小さな $T^2$ の上だけ（二次元の格子 $(\mathbb Z/N)^2$、捩れ $n_{12}=1$）なら、ゲージ変換だけを除いて一つです。

証明。補題 4 から $U_p=z^{(0)}_p\mathbf 1$。補題 5 から、基点 0 の holonomy は $P_1P_2P_1^{-1}P_2^{-1}=-\mathbf 1$、他の対は可換です。補題 8 で基点のゲージを選び直せば $P_1=i\sigma_1$、$P_2=i\sigma_2$。$P_3,P_4$ は両方と可換なので $\pm\mathbf 1$。$U^0$ の holonomy は $(i\sigma_1,i\sigma_2,\mathbf 1,\mathbf 1)$ です。切り口 $x_3=c$ の 3 方向のリンクに $-1$ を掛けると、それらを含むプラケットは全て二本を含むので（$(\mu,3)$ と $(3,4)$ のプラケットの 3 方向の二辺は同じ $x_3$ にある）、作用は変わらず、$P_3$ だけが符号を変えます。4 方向も同じです。これで四つの組 $(i\sigma_1,i\sigma_2,\pm\mathbf 1,\pm\mathbf 1)$ は全て $U^0$ から中心の変換で得られ、補題 6 から、holonomy が一致する作用 0 の配位はゲージ変換で移り合います。二次元では $P_3,P_4$ が無いので、ゲージ変換だけで足ります。∎

補題 8 の証明が示すとおり、$(-i\sigma_1,i\sigma_2)$ は $g=i\sigma_2$ による共役で $(i\sigma_1,i\sigma_2)$ に移ります。小さな $T^2$ の方向の中心の変換は、ゲージ変換に吸収されます。平面の方向の中心の変換は吸収されず、作用 0 の配位はゲージの類として四つあります。

真空 $U^0$ の周りの揺らぎの二次の部分には、随伴の場の共変な Laplacian が現れます。小さな $T^2$（二次元の格子 $(\mathbb Z/N)^2$）の上で、$\mathfrak{su}(2)$ に値を取る場 $\phi$ に

と置きます。$\operatorname{Ad}$ は直交変換なので、$-\Delta_U$ は $\mathfrak{su}(2)$ の内積に関して対称で非負です。

事実 2 初　$U=U^0$ のとき、$\mathfrak{su}(2)$ の基底 $i\sigma_1,i\sigma_2,i\sigma_3$ の成分 $\phi^1,\phi^2,\phi^3$ ごとに、$-\Delta_{U^0}$ は次の符号つきの境界条件の下のスカラーの Laplacian に分かれます。

どの成分も少なくとも一つの方向で反周期です。よって $-\Delta_{U^0}$ の最小の固有値は $4\sin^2(\pi/2N)\gt0$ で、零モードはありません。

証明。$\operatorname{Ad}(i\sigma_1)$ は $i\sigma_1$ を保ち $i\sigma_2,i\sigma_3$ の符号を変え（$\sigma_1\sigma_2\sigma_1=-\sigma_2$ など）、$\operatorname{Ad}(i\sigma_2)$ は $i\sigma_2$ を保ち $i\sigma_1,i\sigma_3$ の符号を変えます。$U^0$ のリンクは継ぎ目を渡るものだけが $\Omega_\mu$ なので、(7) は成分ごとに、継ぎ目を渡る結合だけに符号 $\pm1$ の付いたスカラーの Laplacian になります。長さ $N$ の輪で一本の結合に符号 $s$ を付けた差分作用素 $2f(x)-f(x+1)-f(x-1)$ は、$e^{ikN}=s$ を満たす $k$ について $f(x)=e^{ikx}$ を固有関数に持ち、固有値は $2-2\cos k=4\sin^2(k/2)$ です。$s=+1$ なら $k\in\frac{2\pi}{N}\mathbb Z$（最小 0）、$s=-1$ なら $k\in\frac{2\pi}{N}(\mathbb Z+\tfrac12)$（最小 $4\sin^2(\pi/2N)$、$k=\pi/N$）です。二次元では二つの方向の和なので、表の値になります。∎

捩れの無い周期的な $T^2$ の真空 $U\equiv\mathbf 1$ では、全ての成分が両方の方向で周期的で、定数の $\phi$ が三次元ぶんの零モードになります。捩れの役目は、この零モードを消して、揺らぎに $4\sin^2(\pi/2N)$ の下限を与えることです。$N$ が大きいとき $4\sin^2(\pi/2N)\approx\pi^2/N^2$ で、格子間隔 $a$ の単位を戻すと $(\pi/L)^2$（$L=Na$）です。

同じギャップを質量に読み替えると、格子の上の質量 $m_N$ は $4\sinh^2(m_N/2)=4\sin^2(\pi/2N)$、すなわち

です（格子の伝播関数の減衰率と隙間の関係、$2\cosh m-2=4\sinh^2(m/2)$）初。この $m_N$ は 12-02 §05 で、柱に閉じ込めた分数インスタントンの作用の収束の速さとして現れます。

事実 3 初　区画 $(1,1)$ では、作用 0 の配位はありません。したがって最小作用

は正です。また $S_{\min}(N,M)\le2N^2$ です。

証明。作用 0 の配位があったとすると、補題 4 と補題 5 から、基点の holonomy は $P_1P_2P_1^{-1}P_2^{-1}=-\mathbf 1$、$P_3P_4P_3^{-1}P_4^{-1}=-\mathbf 1$（$\varepsilon_{34}=-1$）、混ざった対は可換です。補題 8 から $P_3$ は $P_1,P_2$ の両方と可換なので $\pm\mathbf 1$、$P_4$ も同じです。すると $P_3P_4P_3^{-1}P_4^{-1}=\mathbf 1$ となって矛盾します。配位の空間 $SU(2)^{\#\text{リンク}}$ はコンパクトで作用は連続なので最小は達せられ、それは 0 でないので正です。上界：$U^0$ を区画 $(1,1)$ で評価すると、面 $\Pi_q$ の $N^2$ 枚では $U_p=\mathbf 1$、$z_p=-1$ で一枚あたり $1-\tfrac12(-1)(2)=2$、他は 0 です。∎

上界の配位は「細い渦の面」で、一枚のプラケットの厚さの面に作用 $2N^2$ を払います。事実 3 が言うのは最小作用が 0 でないことだけで、どれだけ小さいか（細い面より遥かに安い滑らかな塊があるか）は言いません。それが次の章の分数インスタントンの話で、格子の上の数値では $S_{\min}$ は $\pi^2$ の程度で、$2N^2$ よりずっと小さいと読まれています（12-02 §05）。

連続理論では、捩れ $n_{12}=n_{34}=1$ の束の位相電荷は半整数に限られ、作用は $8\pi^2|Q|/g^2\ge4\pi^2/g^2$ で下から押さえられます 典（'t Hooft 1981、Tanizaki–Ünsal の式 (2.24)・(2.25)）。事実 3 は、この下限の格子版の最も弱い形（正であること）にあたります。格子の上で $S_{\min}$ が $\pi^2$ に近いことは、連続の下限の格子版としては示されていません。

• 事実 1 は、小さな $T^2$ の古典的な真空が孤立していることを言います。周期的な $T^2$ では、可換な holonomy の組の全体（平坦な接続の族）が真空になり、その上を揺らぎが自由に動くので半古典の勘定が始められません。捩れがそれを一点（とその中心の像）に縮めます。
• 事実 2 は、孤立した真空の周りの揺らぎが $4\sin^2(\pi/2N)$ の下限を持つことを言います。これが、12-00 §03 の「$T^2$ の大きさまで弱結合のまま」という見立ての古典の側の根拠です。量子の側（紫外の制御）は仮定のままです。
• 事実 3 は、平面の方向の流束 $n_{34}$ を入れると必ず作用を払うこと、つまり渦は「ただ」では置けないことを言います。偏り $\theta$ を 1 から離すのは渦のコストと渦の位置のエントロピーの競合で、そのコストの下限の一番弱い形が事実 3 です。

三つとも、$N$ を固定した有限の格子の上の文です。$N$ を増やすこと（$T^2$ を物理の長さとして広げること）は、この章のどの文も含みません。それが移り変わりの帯の問題です（12-09）。

(a) 連続極限。三つの事実はどれも $a\to0$ について何も言いません。事実 2 のギャップは古典の揺らぎの下限で、量子の有効作用のギャップではありません。

(b) 閉じ込め。$\theta$ の定義と命題 3 は閉じ込めの道具の置き場所で、$\theta$ がどれだけ小さいかは言いません。格子間隔を固定した場合の評価は 12-04、半古典の率は 12-02。

(c) 他の群。証明は $SU(2)$ の Pauli 行列の計算（補題 8）に依ります。$SU(N)$ の場合はこの章では扱いません。

(d) 最小作用の値。$S_{\min}(N,M)$ が $\pi^2$ に近いこと、$N$ とともに $\pi^2$ に近づくことは数値の読みで、この章では示しません。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 典 FLUX   流束だけが効く・捩れの関係                       't Hooft・Mack–Petkova
[02] 初 MOVE   補題 1：面を動かす                               面 Π_q
[03] 定 DF     ΔF・θ = tanh(ΔF/2)                               n₁₂ = 1
[04] 典 TY     Tomboulis–Yaffe                                  13-01
[05] 初 SUM    命題 3：θ = E[(−1)^|Q|] ⟸ [02]
[06] 初 ZERO   補題 4：作用 0 ⟺ U_p = z_p
[07] 初 COMM   補題 5：交換子 = 平面の符号の積                  中心の値
[08] 典 TOP    閉じた道は一周の語に変形できる
[09] 初 HOL    補題 6：holonomy で決まる ⟸ [07][08]
[10] 初 TE     補題 7：U⁰ は作用 0
[11] 初 PAIR   補題 8：反可換な対・可換子 ±1                    SU(2)
[12] 初 F1     事実 1 ⟸ [06][07][09][10][11]
[13] 初 F2     事実 2：ギャップ 4sin²(π/2N) ⟸ [10]              (ℤ/N)²
[14] 初 MASS   m_N = 2 arsinh sin(π/2N) ⟸ [13]
[15] 初 F3     事実 3：0 < S_min ≤ 2N² ⟸ [06][07][11]
[16] 典 BPS    連続の下限 4π²/g²                                連続

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。この章に仮定の行はありません。引用の行は [01]・[04]・[08]・[16] で、三つの事実の証明が使う引用は [08]（補題 6 を通して事実 1 だけ）です。事実 2・事実 3 は引用なしで閉じています。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 't Hooft の捩れ・区画・流束 $n_{\mu\nu}$・面 $\Pi_q$・流束の自由エネルギー $\Delta F$・偏り $\theta$・捩れの和のアンサンブル・捩れを食う配位 $U^0$・中心の変換・随伴の Laplacian・反周期・最小作用 $S_{\min}$。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：12-02 渦と分数インスタントン — $(1,1)$ の区画の最小作用の中身と、希薄な気体の勘定。

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