2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 13 部 移り変わりの帯四つの顔・Z₂ のガラス・帯の候補 · Kiichi, Shiori and Rin

新しい見方の候補

この頁の候補は、13-08 §07 の選別の基準を関所として通してから並べています。とくに次の四つを、各候補で名指しします。

• (d) 非可換性を本質的に使うか。$U(1)$ で同じ結論が出る候補は誤りです。各候補に「$U(1)$ で壊れる場所」を書くのはこのためです。
• (g) 一ループの言い換えでないか。一ループでは漸近自由そのものになる量は、それだけでは足りません。
• (k) 小さな尺度で破れないか。主張は $\ell\ge\ell_{\min}$ のように、格子の人工物の外に限った形にします。
• (m) $U(1)$ の帯の中の転移（$\beta\approx1.01$）と区別するか。

候補ごとに、(i) 担う局所量、(ii) $SU(2)$ で成り立つと見る理由（非可換性が入る場所）、(iii) $U(1)$ と $\mathbb Z_2$ で壊れる場所、(iv) 台帳（13-08）との照合、(v) 数値の有無、を書きます。札は、初等的な事実に「初」、数値に「読」、見立てに「読（物理）」です。

帯を渡る非可換な不等式を、どの局所量で書くかの候補が四つあります。どれか一つを、尺度に一様に、$U(1)$ で破れる形で示せばよい、という意味で「顔」と呼びます。どの顔でも、尺度をまたぐ比較（例えば $f(2\ell,2N,\beta)\le Kf(\ell,N,\beta')$）は大域の繰り込みの比較と同じ難しさの局所版で、易しくなるわけではありません。顔を替えて得るのは、証明の対象が「境界を止めた有限の領域の言明」に変わることです。

顔 1　捩れの向きの柔らかさ $\kappa_w$ — 輸送で区画をつなぐ

足場になるのは、区画を写す写像による自由エネルギーの恒等式です。区画 0 の配位空間から区画 1 の配位空間への可測な全単射 $T$（Jacobian $J_T$）を取り、$\mu_0,\mu_1$ を二つの区画の Gibbs 測度、$\Delta F=-\ln(Z_1/Z_0)$ とすると

が成り立ちます 初。

証明。変数変換で $Z_1=\int e^{-S(Tx)}J_T(x)\,dx$ なので、$G:=S\circ T-S-\ln J_T$ と置くと $Z_1/Z_0=\mathbb E_{\mu_0}[e^{-G}]$。測度 $\tilde\mu\propto e^{-G}\mu_0$ は $\mu_1$ を $T^{-1}$ で引き戻したもので、$\mathrm{KL}(\mu_0\|\tilde\mu)=\mathbb E_{\mu_0}[G]+\ln\mathbb E_{\mu_0}[e^{-G}]$。$T$ が全単射なので $\mathrm{KL}(\mu_0\|\tilde\mu)=\mathrm{KL}(T_\#\mu_0\|\mu_1)$。整理すると (1)。∎

(1) の第一項は「写像の作用の費用」、第二項は余りです。写像 $T$ が決定論的だと、余り（相対エントロピー）は渦の面の面積とともに増えるので、$e^{-\sigma A}$ 型の面積則は出ません 読（物理）（13-08 §05 の C3）。したがって輸送の道の目標は、面積則ではなく、定性的な $\Delta F(L,L)\to0$（13-06 §08 の中間の到達点）です。

(ii) $SU(2)$ で成り立つと見る理由 読（物理）。捩れの生成場に沿って区画を写す「適応した」写像は、変数を三角に変換するもので $J_T=1$、つまり体積を保ちながら揺らぎの形を変える写像です。12-07 の原理——体積を保つことでなく、揺らぎの形を変えないことが反遮蔽の $+4$ を見えなくする——の非摂動版にあたります。$\kappa_w$ は、その写像の作用の費用の揺らぎの大きさで、幅 $w$ の帯の中で Nielsen–Olesen の柔らかい方向が効けば $w$ とともに減ると見ます。

(iii) 壊れる場所。$U(1)$ にはスピンの項が無く、$\kappa_w\ge c\beta$ が残ります。$\mathbb Z_2$ には区画をつなぐ連続な道が無く、細い面（面積あたり $2\beta$）しか使えません。(iv) 台帳：表 1 の 25（スピンと指数定理は一ループで漸近自由の言い換え）に当たる危険があり、非摂動の部分を分散 $\kappa_w$ の評価として切り出せるかが分かれ目です。(v) 数値：無し。

顔 2　箱の磁束の混合 $\delta(L_0)$ — 有限の箱の判定

Dobrushin–Shlosman 型の有限サイズの判定の、ゲージ版の候補です。目標の形は「$\delta(L_0,\beta)\le\varepsilon_d$ ならば面積則」で、判定そのものは書き下されていません 読（物理）。相関不等式（GKS）を使わないので、$SU(2)$ に GKS が無いという障害（表 1 の 2・4）には当たりません。

$SU(2)$ では $\delta(L_0)$ が $L_0$ とともに指数的に 0 へ向かうと見ます。$U(1)$ の Coulomb の相では、Gauss 近似の Villain 模型で相対エントロピーが $L_0$ に依らず $O(\beta)$ で残ります（見立ての水準の勘定）読（物理）。注意：通常の Dobrushin の判定を枠つきで使うと、連続な場が境界に追随して影響係数がほぼ 1 になります（13-08 の C7）。$\delta(L_0)$ が中心の磁束だけを変える量なのは、この追随を避けるためです。数値は無し。

顔 3　柱の捩れのコスト $f(\ell)$ — 箱の Wilson ループと同じ量

柱の内部は、骨格 $\Sigma$（柱の外枠）を与えると条件つきで独立なので

が成り立ちます 初（12-03 §03 の補題 5 と同じ枠組みで、新しい内容はありません）。新しいのは $f(\ell)$ の読み方です。外を止めた箱の中の電気的な流束は、箱の Wilson ループの面積則と同じ量です 読（物理）。すると輪が一つできます：Tomboulis–Yaffe の不等式（$\theta$ から Wilson の面積則、13-01 §04）と、(2)（箱の Wilson の面積則から $\theta$）です。

輪を回すには二つ足りません（開）：周期的な境界条件と止めた境界条件の比較、そして $\ln N$ の損失です。損失が残っても $\ln(1/\theta(L,L))\ge cL^2/\ln L$ は出て、Tomboulis–Yaffe を通せば $\langle W\rangle\le2\exp(-cA/\ln A)$（周長則より速い減衰）になる、という見立てです 読（物理）。

数値は有ります（13-09 §07）読。外枠を止めた $T^2_4\times\ell\times\ell$ で、$\ell\ge5$ の $SU(2)$（$\beta=2.3$）の $\mathbb E|\theta_B|$ は $U(1)$（$\beta=1.3$）の 1/5〜1/7 で、$\theta$ を小さく保つのに要る $\ell$ は $SU(2)$ では $N\le8$ で 6〜7 とほとんど伸びず、$U(1)$ では伸びます。この大きさでは、止めた境界条件と周期的な境界条件の違いは問題になっていないように見えます。ただし $SU(2)$ の値は統計の底に近く、$e^{-\sigma\ell^2}$ と冪の区別はつきません。

顔 4　圧力の余裕 — 計算機援用の挟み撃ち

チェス盤の密度を $\kappa_\Lambda=\exp(|B|(p_{G,\Lambda}-p_\Lambda))$（$p_G$ は捩れの模様を入れた系の圧力、$|B|$ はタイルの体積）と書きます。上からは、模様が鏡映対称なら周期の転送行列が正で、Schatten ノルムの単調性から $p_{G,\Lambda}\le p_{G,L}$（$\Lambda$ が $L$ の倍数）。下からは $p_\Lambda\ge p_\infty$ と、無限体積の圧力の下界 $p_{\rm lb}$ をループ方程式のブートストラップの双対の証明書（Kazakov–Zheng の方法、照合未了）から取る。合わせると $\kappa_\Lambda\le\exp(|B|(p_{G,L}-p_{\rm lb}))$ が $\Lambda$ に一様になり、固定した $\beta$ で明示的な張力の面積則が出る、という見立てです 読（物理）。

この顔は帯（格子間隔に一様）を越えません。得られるとすれば、四次元 $SU(2)$ の中間の結合（例えば $\beta=1.0$）での、固定した $\beta$ の閉じ込めです。探した範囲で、その証明は見当たりません。§05 の還元（候補 A）と組むと、この種の固定した $\beta$ の結果がそのまま帯の部品になります。$U(1)$ の $\beta=1.2$ は小さな $\kappa$ を作らないはずで、対照に使えます。数値は無し。

$SU(2)$ の元を $U=\sigma V$（$\sigma\in\mathbb Z_2$、$V$ は $SO(3)$ の切断）と書くと、捩れの区画の分配関数は $Z_n=\int d\omega\,Z_n(\omega)$ と書けます。$Z_n(\omega)$ は、$SO(3)$ の背景 $\omega$ が決める結合 $\beta J_p(\omega)$（$J_p=\tfrac12\mathrm{tr}\,V_p$、符号はランダム）と捩れ $n$ を持つ $\mathbb Z_2$ ゲージ理論の分配関数です。$X(\omega)=\ln Z_0(\omega)/Z_1(\omega)$ と置き、$P_n(d\omega)\propto Z_n(\omega)d\omega$ とすると

です 初。

証明。$Z_0/Z_1=\int Z_1(\omega)e^{X(\omega)}d\omega/Z_1=\mathbb E_{P_1}[e^X]\ge e^{\mathbb E_{P_1}X}$（Jensen）から左側。同様に $Z_1/Z_0=\mathbb E_{P_0}[e^{-X}]\ge e^{-\mathbb E_{P_0}X}$ から右側。∎

(3) の右辺は、$SO(3)$ の背景で焼き入れた $\mathbb Z_2$ のランダムな面のゲージ模型の、捩れの自由エネルギーです。この表示だけなら $U(1)$ にも同じものがあるので、基準 (m) は満たしません。群の区別は、背景のフラストレーション（$\mathbb Z_2$ の単極子）と柔らかい面の密度という力学の量に入ります 読（物理）。

診断の結果（13-09 §08）読。$8^4$ で、$\beta\gtrsim2.0$ では実効的な $\mathbb Z_2$ 結合の平均が 1.1〜1.9 と純 $\mathbb Z_2$ の転移点 0.44 を大きく超え、フラストレーションを独立な符号に換算した $p_{\rm eff}$ は 0.017〜0.09 で、Nishimori 多重臨界点 0.11 より小さい。帯の上半分では、ガラスは秩序相の側にあります。$SO(3)$ の場がすでに区画を見分けてしまい（$|X|$ が大きい）、挟み (3) は大きく緩みます。そこでの閉じ込めは $SO(3)$ の部分（太い中心渦）が担う、と読めます。弱結合で中心渦が太いという物理の描像と合います 読（物理）。

$\beta\lesssim1.5$ では $p_{\rm eff}\ge0.16$、柔らかい面は 28〜49% で、ガラスは無秩序の側です。したがってガラスの道は帯の下半分に限ります。上半分については捨てました（13-08 §05 の C4）。下半分での使い方の候補は、箱の磁束の混合（顔 2）の変種で、外を $SO(3)$ の部分だけで条件づけ、境界の中心の流束（$\mathbb Z_2$ の符号）だけを裏返したときの内側の法則の全変動距離 $\delta_c(L_0,\beta)$ を測るものです。$SO(3)$ の枠は動かないので、連続な場が境界に追随する障害（C7）を避けられます。残る結合は $\mathbb Z_2$ のガラスだけです。帯の上半分では $\delta_c$ も 1 に近いはずで、この変種は帯の下の端を押し上げる作業（13-06 §04）の側に属します 読（物理）。

$\mathbb R^4$ から一本の直線を除いた空間は、$H^2\times S^2$ に共形です 初：直線からの距離を $r$、直線に沿う座標を $t$ とすると

で、括弧の中は双曲平面 $H^2$（上半平面のモデル）と単位球面の積です。直線の上に 't Hooft の線を置くと、直線を囲む全ての球面に $\mathbb Z_2$ の流束 1 が乗ります（$n_{12}=1$ の正確な類似）。そして、点 $(t,r)\in H^2$ に対応する球 $\{t\}\times S^2_r$ は、半平面の中のループ $C$ と、$(t,r)$ が $C$ の囲む領域の内側にあるとき、かつそのときに限り奇数回まわります 初（球が張る三次元の球体と $C$ の交点は、線分 $\{t\}\times[0,r)$ と $C$ の交点）。$\mathbb R^4$ で局所的な閉曲面を使う道を止めた位相的な障害（表 1 の 8：閉曲面は平面と偶数回交わる）を、直線を「外側」として使うことで避けている形です。直線の近く（$r\to0$）が小さな球の領域（弱結合）、遠く（$r\to\infty$）が赤外で、尺度が位置に変わります。

見込みがあったのはここまでで、検討の結果は否定的でした 読（物理）。

• 高さ $r$・双曲的な大きさ 1 の容器は、ユークリッドの大きさが $r$ の程度で、球 $S^2_r$ を持ちます。これは帯の量 $\theta(r,r)$ そのもの（$T^2$ の代わりに $S^2$）です。
• 双曲的な入れ子：高さ $2r$ の単位の容器（$[-r,r]\times[r,3r]$ 程度）の双曲面積は $2r\,(1/r-1/(3r))=4/3$ で、高さ $r$ の単位の容器は 1〜2 個しか入りません 初（積分の計算）。双曲面積は形を止めた拡大で変わらないので、入れ子で部分の容器の数は増えず、出るのは $\theta(2r)\le\theta(r)^{1.3}$ 程度で、平面の入れ子の指数 4 になりません。
• 半平面のループ（高さ $d$ から $d+\ell$、長さ $T$）の双曲面積は $T(1/d-1/(d+\ell))\approx T/d$ で、高さに依らない一様な $\theta_0$ からは周長則しか出ません。面積則には、高さ $r$ の単位の容器で $\theta\le e^{-c(r\Lambda)^2}$、つまり帯と同じ条件が要ります。

結論：共形な枠は「尺度の変化＝$H^2$ の中の平行移動」として繰り込みを空間の言葉にしますが、運動学だけでは面積則は出ず、核心（漸近自由による乱れの増加）は同じ場所に残ります。価値は、$\mathbb R^4$ の段（9-06 の段 6）を板を経由せずに述べる枠組みとしての見通しの良さにあります。't Hooft の線のある測度でのループと、線の無い $\mathbb R^4$ のループの関係は開いていて、比較原理が失敗した前例（13-08 §04）があります。

帯の候補を八つ検討し、そのうち三つをここに置きます（残りは §06）。選んだ理由は、候補 A は紙で確実に書ける還元で、帯の「どこが本当に難しいか」を動かすこと、候補 B は二次元の関所で四次元より先に安く試せ、単調性の源と乱れの機構が逆向きになる型（13-08 §01 の教訓）に当たらない数少ない形であること、候補 C は既にある柱の数値の道具でそのまま試せ、基準 (m) を直接見られることです。

候補 A　帯のコンパクト性による還元

(i) 一行。帯は $\beta$ について有界な閉区間 $I=[\beta_a,\beta_b]$ なので、帯の中の繰り込みの比較は、$\beta'$ を $\beta$ から少し下げるだけで成り立ち、帯は有限回の段で渡れる。要るのは帯の各 $\beta$ での「固定した $\beta$ の閉じ込め（周長の次数の誤差つきの両側の漸近）」だけ。

これは 13-06 §06 の補題 1 として、証明つきで置かれています 初（仮定 (A1)(A2)・$N\ge N_1$・$M\ge M_0$ の下）。ここでは「見方」としての意味だけを書きます。

(ii) 担う局所量。固定した $\beta$ での、大きな体積の渦の自由エネルギーの両側の評価。局所量としては、柱の偏りの、$\ell\gg\xi(\beta)$ での面積の率 $\sigma_N(\beta)$ と、周長の次数の誤差 $p$。

(iii) 非可換性の入る場所 読（物理）。補題そのものは群に依りません。非可換性は全て仮定（帯の中の $SU(2)$ の閉じ込め）に入ります。この候補は道具でなく還元で、難しさの場所を移すためのものです。還元の後、帯の中に残るのは固定した $\beta$ の問題（体積に一様な評価・凸でない大きな場・相転移が無いこと）で、尺度をまたぐ難しさは帯の上端（相関長 $\xi(\beta)$ が格子単位で急に伸びる所）と紫外の制御の継ぎ目に寄ります。

(iv) 壊れる場所。$U(1)$（$\beta\in(1.01,2.7)$）と $\mathbb Z_2$（転移より弱結合の側）では仮定が偽なので、結論も出ません。基準 (m) は仮定が担います。

(v) 台帳との照合。表 1 の 6（小さな $T^2$ から連続に延ばす背理法）とは違い、使う連続性は $\beta$ についての有限体積の量の連続性だけです。連続極限の結合の階段関数を有界な区間で考える着想と同じ精神ですが、こちらは格子の $\beta$ で止めて、連続極限を経ません。

(vi) 既知の結果との関係。強結合の側では、ちょうどこの形の言明が筋の水準であります（13-06 §03 の命題 S）。帯の中の $\beta\approx1$ での四次元 $SU(2)$ の格子の閉じ込めの証明は、探した範囲で見当たりません（強結合の側の最前線は小さな $\beta$、13-08 §07）。Chatterjee（arXiv:2006.16229、抄録で確認・本文は照合未了）は、中心が非自明で、任意の境界条件の下で相関が指数的に減衰すれば中心対称性は破れず、破れなければ閉じ込める、という形の結果を与えています。固定した $\beta$ の定性的な閉じ込めへの入口になりえますが、仮定 (A1) の周長の次数の精度は出しません。

(vii) 次に要るもの。(A1) の上側を、有限の箱の判定（顔 2・顔 4）で $\beta$ ごとに出す道と、下側（渦が安すぎないこと＝弦の張力の上界）を試行の渦の変分で出す道です。どちらも固定した $\beta$ の問題で、箱の大きさは $\xi(\beta)$ 程度で済みますが、帯の上端では $\xi(\beta)$ が格子単位で 10 を超え、四次元の有限の箱の計算は規模で止まります（表 1 の 3）。数値は無し。

候補 B　Weyl の測度の対数凹性と、高さ・方位の分解

(i) 初等的な事実 初。単位球面 $S^{n-1}\subset\mathbb R^n$ の一様な測度を一つの座標 $t$ に射影した密度は

です。証明。高さ $t$ の切り口は半径 $\sqrt{1-t^2}$ の球面 $S^{n-2}$ で、その面積は $(1-t^2)^{(n-2)/2}$ に比例し、高さ $dt$ の帯の幅（球面に沿う長さ）は $dt/\sqrt{1-t^2}$ です。掛けて (5)。∎ よって $n\ge3$ で $\rho_n$ は対数凹（$n=3$ で平ら）、$n=2$ で対数凸（逆正弦の分布）です。$SU(2)\cong S^3$（$n=4$）では $t=\tfrac12\mathrm{tr}\,U$ の密度は $\propto\sqrt{1-t^2}$（Weyl の測度）、$U(1)=S^1$ では $\propto1/\sqrt{1-t^2}$ です。

二次元の $O(3)$ 模型では、スピンを $s=(\sqrt{1-t^2}\cos\varphi,\ \sqrt{1-t^2}\sin\varphi,\ t)$ と書くと、$S^2$ の一様な測度は $dt\,d\varphi/(4\pi)$ で（(5) の $n=3$）、$s_i\cdot s_j=\sqrt{(1-t_i^2)(1-t_j^2)}\cos(\varphi_i-\varphi_j)+t_it_j$ なので、高さ $t$ を条件にした方位 $\varphi$ の模型は、結合 $J_{ij}=\beta\sqrt{(1-t_i^2)(1-t_j^2)}\ge0$ の XY 模型です 初。フラストレーションはありません。

(ii) 担う局所量。ブロック $b\times b$ の粗い変数で測った、方位の実効結合 $J_{\rm eff}(b)$ と、高さの揺らぎ。

(iii) 成り立つと見る理由 読（物理）。条件つきの方位の模型は強磁性なので、XY の Ginibre の不等式（照合未了）が向きよく使えます：結合を下げると相関が下がる。指数減衰に要るのも相関の上界なので、単調性の源と乱れの機構が同じ向きを向きます。乱れは高さの揺らぎ、つまり $n\ge3$ の測度 (5) から来ます。$O(2)$ には高さがありません。

(iv) 壊れる場所。$O(2)$：高さが無く、方位は結合 $\beta$ の XY のまま（KT 相）。四次元の $U(1)$：類の向きの自由度（$S^2$）が無い。$\mathbb Z_2$：連続な方位が無い。

(v) 台帳との照合と危険。表 1 の 22（一点の Bakry–Émery）・26（曲率の繰り込み）と違い、曲率でなく射影の対数凹性と条件つきの Ginibre を使います。表 1 の 10（$\mathbb Z_2$ の GKS）と違い、条件つきの模型にフラストレーションがありません。危険は二つです。(a) 赤道の向きの埋め込みで逆の結論（$O(3)$ に KT 型の相がありうる）を論じた Patrascioiu–Seiler の議論（照合未了）があり、この候補はその論争の場所に立ちます。(b) 一サイトの水準では $J_{ij}$ の典型値が KT の閾値を超え、比較は何も言いません。効くとすればブロックの水準だけで、そこには Ginibre の比較が直接には無く、迂回の型 7（移しかえ）の危険があります。

(vi) 四次元へ。$U=t+i\sqrt{1-t^2}\,n\cdot\sigma$（$n\in S^2$ は類の向き）の $n$ を条件にした残りの $U(1)$ が強磁性になる表示が要りますが、作れていません。二次元の格子の $O(n)$（$n\ge3$）で全ての温度の指数減衰を示すこと（Polyakov の予想）は未解決です（13-08 §07 の (j)）。

(vii) 数値。無し。最初の試験の形は決まっています：二次元の $O(3)$（$\beta=1.5,1.7$）・対照の $O(2)$（KT 相と無秩序相）・補助の $O(4)$（高さの密度が $SU(2)$ と同じ $\sqrt{1-t^2}$）で $J_{\rm eff}(b)$ を測り、$O(3)$ で相関がすでに減衰している大きさでも $J_{\rm eff}$ が KT の目安を超えたままなら、この候補を捨てる。$O(2)$ で $J_{\rm eff}$ が $b$ とともに下がれば、測り方が機械的に結合を下げているとして結果を使わない。ブロックの水準の Ginibre の比較は定理として存在しないので、通っても必要条件の見張りにとどまります。

候補 C　柱の局所の階段関数

(i) 一行。大域の $\Delta F$ の繰り込みの比較を、外枠を止めた柱の量の比較に置き換える：

（$K$・$c$ は $\ell$・$N$ に依らない）。(ii) 担う局所量。柱 $T^2_N\times\ell\times\ell$（外枠は平衡な配位で止める）の条件つきの捩れの自由エネルギー $\Delta F_B$ と偏り $\theta_B=\tanh(\Delta F_B/2)$。比べる量は、枠についての $\Delta F_B$ の中央値（符号つき）と $\mathbb E|\theta_B|$ の二つ。

(iii) 成り立つと見る理由 読（物理）。既にある数値（13-09 §07）で、$\theta$ を小さく保つのに要る $\ell$ は $SU(2)$ では $N$ とともにほとんど伸びず、$U(1)$ では伸びます。非可換性は、渦が $T^2$ の大きさの塊（分数インスタントン）に局在できる所に入ります。その作用は Bogomolny の下界で $T^2$ の大きさに依らないからです（12-02）。

(iv) 壊れる場所。$U(1)$ の Coulomb の相では流束が一様に広がり、柱の偏りは冪でしか減らない（$\ell=5\to8$ で約 $\ell^{-1.4}$）ので、局所の $\beta'$ は $\beta$ 以上に出るはずです。$\mathbb Z_2$ は面の張力が残り、同様です。

(v) 台帳との照合。表 1 の 27（境界条件・幾何の比較）とは違い、同じ対象を二つの尺度で比べます。表 1 の 2 の相関不等式も使いません。基準 (k) のため、小さな $\ell$（3 以下）は格子の人工物で破れうるとして、主張は $\ell\ge\ell_{\min}$ の形にします。捩れの境界条件で定義した結合の階段関数（de Divitiis らの方法、照合未了）の局所版にあたります。

(vi) 数値。(6) そのものを測った数は、まだ有りません。試験の形は決まっています：細かい側 $(N,\ell)=(4,4)$、粗い側 $(2,2)$（余裕があれば $(4,6)$ と $(2,3)$）で、$SU(2)$ は $\beta=2.3$、$U(1)$ は閉じ込めの相 $\beta=0.9$ と Coulomb の相 $\beta=1.3$。予言は、$SU(2)$ で $\beta'\lt\beta$、$U(1)$ は $\beta=0.9$ で $\beta'\lt\beta$、$1.3$ で $\beta'\ge\beta$（相で符号が反転）。$U(1)$ の二点で符号が分かれなければ、この観測量は相を見分けないとして候補を一段下げます。$(2,2)$ は人工物が大きいので、$(4,6)/(2,3)$ で確かめるまでは兆候として扱います。

(vii) 難しさ。(6) を示すことは、大域の繰り込みの比較と同じ難しさの局所版です（§02 の冒頭）。得るのは、証明の対象が「境界を止めた有限の領域の言明」になること、そして候補 A の仮定 (A1) を柱の言葉で書けることです。

検討した八つの候補のうち、残りの五つを一行ずつ置きます。どれも §05 の三つより優先しなかった理由を添えます。札は全て「読（物理）」で、初等的な恒等式を含むものはその行に「初」を足します。

• (a) どの候補も帯を閉じません。どの候補についても、帯のどの $\beta$ でも定理を示していません。
• (b) 候補 A は還元で、帯を易しくしたとは言いません。仮定 (A) は、四次元 $SU(2)$ の格子の中間の結合での閉じ込め（未解決）を含みます。
• (c) 候補 B の二次元の試験が通っても、Polyakov の予想にも四次元にも何も含意しません。ブロックの水準の Ginibre の比較は定理として存在しません。
• (d) 二次元の結果が四次元に持ち上がるとは言いません。持ち上がるのは文の形だけです。
• (e) 四つの顔の $SU(2)$ の予想は、どれも見立てです。数値があるのは柱の顔 $f(\ell)$ だけで、それも小さな格子の傾向です。
• (f) 共形な枠の否定は「運動学だけでは面積則は出ない」という見立ての水準の判断で、その枠で別の入力を足した道を否定してはいません。
• (g) この頁の候補が既知の事実の組み合わせでないとは言いません。候補 A の還元や候補 B の射影の対数凹性は、どこかに書かれているかもしれません。

この頁の候補そのものは全て「読（物理）」です。紙の証明を置いたのは、候補の足場になる初等的な事実だけです。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 初 TRN     輸送の恒等式 (1)
[02] 読 KLA     決定論的な写像の余りは面積とともに増える ⟸ [01]      物理
[03] 初 COL     柱の分解                                             12-03 の枠組み
[04] 読 FNUM    柱の偏りの数値                                       13-09 §07
[05] 読 FACE    四つの顔の予想 ⟸ [01][02][03][04]                    物理
[06] 初 JEN     ガラスの Jensen の挟み (3)
[07] 読 GLS     ガラスの道は下半分に限る ⟸ [06]                      8⁴・物理
[08] 初 CONF    共形同値と偶奇の判定 (4)
[09] 初 HYP     双曲的な入れ子の面積
[10] 読 NEG     共形な枠は否定的 ⟸ [08][09]                          物理
[11] 初 RED     候補 A の還元                                        13-06 補題 1・仮定 (A)
[12] 初 WEYL    射影の密度 (5) と高さ・方位の分解
[13] 読 MON     候補 B の機構 ⟸ [12]                                 物理
[14] 読 LST     候補 C の予言 (6) ⟸ [03][04][11]                     物理
[15] 初 SGN     θ = E_P[tanh(X/2)]

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。結論の側の節点（[05]・[07]・[10]・[13]・[14]）は全て「読（物理）」で、「初」の節点は候補の足場の初等的な事実か、別の章に証明を置いた還元です。帯を渡る文の節点はこの頁にありません。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 四つの顔・適応した剛性 $\kappa_w$・箱の磁束の混合 $\delta(L_0)$・柱の捩れのコスト $f(\ell)$・圧力の余裕・$\mathbb Z_2$ のガラス・フラストレーション・共形な枠・帯のコンパクト性・Weyl の測度・高さと方位・柱の局所の階段関数・移り変わりの帯（帯）。意味は A-02 用語集 にあります。

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