2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 13 部 移り変わりの帯紫外の制御・一段で閉じる類・結合の流れ · Kiichi, Shiori and Rin

紫外の制御 — 無限個の段で閉じるとは何か

• 紫外の制御は「一段で同じ形に戻る」を、定数を崩さずに無限個の段で示すことです（§01）。
• 四次元では一段の損 $g_k^2$ の和が $\ln K$ で発散するので、その部分は結合の流れに正確に吸収し、残りを和の有限な大きさに閉じ込める必要があります（§02）。
• 群に値をとる場では、重みの四性質のうち「揺らぎの期待値で一段閉じる」が無く、ゲージの張り替えの境目も評価に入ります（§03・§04）。
• Bałaban の四次元の定理は「有効結合が $(0,\gamma]$ に留まる」を仮定し、それを外す定理は未発表です（§05）。
• その仮定は「一段の剰余の評価」と「定義域の中の連続性」に割れ、本当の中身は前者です（§07）。

対象は、一辺 $L_0$ の四次元トーラスの上の $SU(2)$ の Wilson の格子で、格子間隔を $a$ とします。$L_0$ は物理の尺度で固定し、動かすのは $a$ だけです。6-05 §01 のとおり、倍率 $L$ のブロック化を重ねて、細かい尺度から順に積分します。段の数は

です 初（定義から）。例：$L=2$、$L_0/a=2^{20}$ なら $K=20$ で、$a$ を半分にするたびに段が一つ増えます。段 $k$ の後の重み（有効密度）を $\rho_k$ と書くと $Z=\int\rho_0=\int\rho_1=\cdots=\int\rho_K$ です。

同じ形。 Bałaban の方法では、各段で格子を小さな場の領域 $\Omega$ とその外に分け、全ての分け方について和を取ります（6-05 §04）。有効密度が保つべき形は、記号を略して書けば

です 典（形はスカラー場の解説 Dimock II §1 と三次元の定理の文面による。6-05 §07）。$A_\Omega$ は小さな場の領域の上の Wilson の作用（背景場で書いたもの）、$E_k(X,\cdot)$ は連結な塊 $X$ に局在した補正、$R_k$ は大きな場の領域が運ぶ因子、$g_k$ は段 $k$ の有効結合です。

三つの条件。紫外の制御とは、(2) の形を全ての段で、次の三つを満たして保つことです。定数 $r,C,\kappa,c,\gamma$ は段 $k$ にも格子間隔 $a$ にも依りません。

• (U1) 小さな場の局所性と解析性。各 $E_k(X,\cdot)$ は背景場の変数の半径 $r$ の複素近傍で解析的で、$|E_k(X)|\le C\,e^{-\kappa\,d(X)}$（$d(X)$ は $X$ を結ぶ木の長さ）。
• (U2) 大きな場の稀さ。$|R_k(\Omega^c)|\le e^{-c\,p(g_k)^2\,|\Omega^c|}$（$|\Omega^c|$ は大きな場のブロックの数、$p(g)$ は 6-05 の式 (7) の閾の倍率）。
• (U3) 結合が小さいまま留まる。有効結合の列 $g_0,g_1,\dots,g_K$ が全て $(0,\gamma]$ に入る。

三つは ① の中身を本の言葉に直したもので、どれも四次元では示されていません 仮（14-02 の台帳 ① の行）。

一段で閉じる、の形。類 $\mathcal K(g;\,r,\kappa,c)$ を「(2) の形を持ち、結合 $g$ で (U1)(U2) を定数 $r,\kappa,c$ で満たす有効密度の集まり」とすると、示すべきは

です。両側で定数 $r,\kappa,c$ が同じで、動いてよいのは結合だけ、という所が要点です。$b_0=22/(48\pi^2)$ は $SU(2)$ の一ループの係数（6-07 §01）、$r_k$ は結合の流れの剰余です。

一段の評価と全段の証明の違いを、一つの数で見ておきます。一段の評価が「定数 $r_{k+1}\ge r_k(1-\delta_k)$」の形でしか出ないとすると、$K$ 段の後に残るのは

です 初（右の不等式は $0\le x\le\frac12$ で $\ln(1-x)\ge-2x$ から）。損の和 $\sum_k\delta_k$ が $K$ に一様に有限なら、定数は $K$ に一様に正のまま残ります。和が $K$ とともに増えれば、定数は段の数とともに崩れます。紫外の制御の中身は、この和を有限にすることです。三次元の Bałaban の定理（6-05 §07 の式 (10)）と四次元の 1989 年の定理（6-07 §03）は、この形の帰納を有限体積で行ったものです 典。

四次元では結合 $g$ に長さの次元が無く、細かい尺度で結合を弱めるのは漸近自由だけです（11-07 §01）。一ループの流れを段に刻むと、$b:=2b_0\ln L\gt0$ として

です 典（6-05 §06 の式 (9)。一ループだけを残した式）。以下、(4) を正確な式と見なして、損の和を一行ずつ数えます。

(a) 結合の列。最も粗い段の結合を $g_K=g_*$ に止め、粗い端から数えた段 $j=K-k$（$j=1,\dots,K$）で書くと、(4) を $j$ 回使って

です 初。左の不等式は $1/g_*^2+bj\le(1/g_*^2+b)j$（$j\ge1$）から、右は $1/g_*^2\gt0$ を落としただけです。細かい側ほど結合は小さいが、$1/j$ でしか小さくなりません。

(b) 和。$1/x$ の積分と比べて $\ln(K+1)\le\sum_{j=1}^K\frac1j\le1+\ln K$ なので、(5) を足して

です 初。一段ごとに $g_k^2$ の大きさの損があると、その和は段数の対数で増え続けます。例：$SU(3)$・$L=2$ なら $1/b=1/(2b_0\ln2)\approx10.4$ で、$K$ を倍にするたびに上界が $(\ln2)/b\approx7.2$ 増えます。6-05 表 4 の部分和が $K$ の倍ごとに約 7.2 増えるのと合います（算術）。

(c) 積。一段ごとに定数（解析性の半径・減衰の率・Hesse 行列の下界など）が $1-cg_k^2$ 倍に減るとすると、$1-x\le e^{-x}$ と (6) の左から

です 初（$cg_k^2\le1$ の範囲で）。$K=\log_L(L_0/a)$ なので、定数は $\ln(1/a)$ の冪で 0 に向かいます。ゆっくりですが、一様ではありません。

(d) 和が有限になる大きさ。損が $g_k^{2+\delta}$（$\delta\gt0$）の大きさなら、(5) の右から

で、$K$ に一様に有限です 初。$\delta=2$（損が $g_k^4$、一ループの次の大きさ）なら $\pi^2/(6b^2)$ です。

だから要ること。(7) と (8) を合わせると、一段の後に $g_k^2$ の大きさで動く部分を「誤差」として運ぶことはできません。その部分は類の母数そのものの動きにしなければなりません。具体的には、類 $\mathcal K$ を結合 $g$ を母数に持つ形で定義し、一段の後の有効作用から主要な項（Wilson の項、$F^2$ の向き）の係数を読み取って $g_{k+1}$ と定めます。こうすると $g_k^2$ の大きさの部分は、(3) の結合の流れに正確に吸収されます。吸収した後に残る損（局在した補正 $E_k$ の定数の劣化など）は、(8) の型の和の有限な大きさ——代表的には $O(g_k^4)$、または尺度について幾何級数で縮む無関係な項——に閉じ込めなければなりません 初（(7)(8) の算術から出る要請。一段の損が掛け算で効く場合）。

結合の流れの側は事情が違います。(3) の剰余 $r_k$ は $1/g^2$ の変数で $|r_k|\le Cg_k^2$ の大きさ（二ループの大きさ）を許してよく、その和は (6) のとおり $\ln K$ で増えますが、$1/g_k^2$ 自身が $bK$ の大きさで増えるので結合の列は崩れません。必要なのは列が $(0,\gamma]$ に留まることで、それを §07 の補題 F で扱います。

三次元との対比。三次元では $g^2$ が長さの $-1$ 乗の次元を持ち、段 $k$ の無次元の結合は $g^2L^ka$ の形で細かい側に幾何級数で小さく、$\sum_kg_k^2$ は有限です（6-05 表 4 で 2 に収まる）典。発散しうる型は有限個で、要る相殺項は定数一つ、半単純性から有効作用に育つ変数（relevant な変数）が無い、と Bałaban 1985 は書きます（6-06 §05）典。三次元では一段の $g_k^2$ の損を誤差として運べ、結合の流れを追う必要がありません。四次元では $F^2$ の項がちょうど marginal で、追わなければなりません。これが 11-07 表 3 の根 (R1) の、紫外の側の正確な形です。

例：一リンクの熱核の類では損は望遠鏡和になる

「吸収」が最も小さな場でどう見えるかを、$SU(2)$ の一リンクの類関数（単位元からの角 $\theta$ だけの関数）を重みとし、熱核と一段ずつ畳み込む流れで見ます（11-06 §07 の候補と、11-08 の問 F7）。この節の全ての文は一リンク・熱核の類・下に書く範囲の文で、多リンク・プラケットの間の結合を含む四次元の一段については何も言いません。

熱核 $p_\tau$ は半群で $p_\tau*p_t=p_{\tau+t}$ なので、熱核の族の中では一段の後もまた熱核で、母数 $\tau$（実効の結合の逆数に当たる）が $t$ だけ動くだけです 初（半群の性質だけ）。だから熱核の重みから計算する量はどれもその時点の母数だけの関数で、段を重ねた変化は足し合わせると端の値の差だけが残ります（望遠鏡和）。積にはなりません 初。

中心 $\mathbb Z_2$ で割った座標（$SO(3)$、$\theta\in[0,\pi/2]$、分岐の集合 $\operatorname{tr}U=0$ は $\theta=\pi/2$）で、層 $|\theta-\pi/2|\lt h$ の外の Bakry–Émery の曲率の最小を $\kappa$ と書きます。Wilson の重みから出発して熱核で畳み込んだ重みについて、層の外の曲率は $\beta\in\{2,3,4,6,8\}$・$t\in\{0,0.05,0.1,0.2,0.5\}$・層の半幅 $h=\beta'^{-1/2}$ の全ての点で正でした（割らない $SU(2)$ では同じ範囲の全ての点で負）読（指標の級数と位置の空間の二つの独立な実装で一致）。層の外の曲率は $\kappa/\beta=A(h)+B(h)/\beta$（指数で小さい項を除く）の形をとり、Wilson の重みでは $A=\sin h$・$B=2$ です 読（導出の記録はあるが本に置かない。熱核の重みでは数値と一致）。

この形を四次元の一段 $\beta'=\beta-8b_0\ln L$（(4) を $\beta=4/g^2$ で書いたもの）に当てると、主項 $A\beta$ は結合とともに動き（吸収される部分）、$\kappa/\beta$ の一段の変化は $B\,(1/\beta'-1/\beta)=O(1/\beta^2)=O(g^4)$ で、(8) の型の和の有限な損です 読（上の形を当てはめた読み）。11-06 §07 が候補に置いた $\kappa_{j+1}\ge\kappa_j(1-c/\beta_j)$ は (7) の型の積で、段数の冪で 0 に向かいますが、この類の中では悲観に過ぎます。

ただし三つの留保があります。(i) 層の稀さの率は $\beta$ に比例し、一段ごとに $O(1)$ ずつ下がって $\beta=O(1)$ で尽きます 読。これは第 11 部の語の「結合の窓」（11-06 §07）の一リンクでの姿で、紫外の側の新しい障害ではありません。(ii) 割った座標の凸性が払えるのは中心で不変な（随伴の）部分だけで、各リンクの $\mathbb Z_2$ の符号には別の通貨が要ります。多リンクでは、この符号の部分が中心の渦にあたります 読（物理の見立て）。(iii) 四次元の繰り込みの一段は一リンクの熱核の畳み込みではなく、多リンク・プラケットの間の結合が入ります。そこで $A+B/\beta$ の形が保たれるかは調べていません。

格子の辺の変数 $U_l$ は群 $G$ の元です。群の元は拡大縮小できず、足して割ることもできません（6-05 §05 の (i)(ii)）典。群はコンパクトなので場は有界ですが、「大きな場」は群の遠い側（単位元から遠い所）で、そこでは一リンクの Wilson の重みの曲率が負になります（11-06 §03 の命題 3）初（11-06 に証明）。大きな場は凸性でなく稀さで払うしかありません。

平らな場の道具。スカラー場の繰り込みでは、大きな場の稀さを重み（regulator）$\tilde G(X,\phi)$ のノルムに入れ、一段の期待値で閉じることを次の四つの性質から出します 典（Bauerschmidt–Brydges–Slade の本の付録 A.6。11-06 §07）。

1. 交わらない集合の上で積に分かれる。
2. $\tilde G(X,\phi+\phi')\le\tilde G^2(X,\phi)\,\tilde G^2(X,\phi')$（場の和について）。
3. $\mathbb E_+\tilde G^t(X)\le2^{|B(X)|}$（揺らぎの期待値で一段閉じる）。
4. $\tilde G^t\le\tilde G_+$（次の段の重みで押さえられる）。

ここから一段の評価 $\|\mathbb E_+\theta K(X)\|_{\tilde G_+}\le2^{|B(X)|}\|K(X)\|_{\tilde G}$（補題 A.6.1）が出ます。性質 2 は場の加法 $\phi+\phi'$ を、性質 3 は揺らぎが背景に依らない Gauss 変数であることを使っています。

群の上での性質 2。辺の変数を背景と揺らぎに $U_l=W_l\,e^{A_l}$（$W_l\in G$、$A_l$ はリー環 $\mathfrak{su}(N)$ の元）と分けます。プラケット $p$ の縁の辺を $l_1,\dots,l_4$、向きの符号を $s_i\in\{\pm1\}$ とし、$U_{\partial p}=\prod_iU_{l_i}^{s_i}$、$W_{\partial p}$ も同様に定めます。ノルムは作用素ノルムです。

補題 R。 $G=SU(N)$ で

初 証明。(1) 各因子を $W$ の部分と揺らぎの部分に分ける。$s=+1$ なら $We^{A}=W\cdot Y$（$Y=e^{A}$）、$s=-1$ なら $(We^{A})^{-1}=W^{-1}\cdot Y$（$Y=We^{-A}W^{-1}$）。どちらも $Y$ は $e^{\pm A}$ の共役である。(2) 積 $W_1'Y_1W_2'Y_2W_3'Y_3W_4'Y_4$（$W_i'=W_{l_i}^{s_i}$）で、各 $Y_i$ をそれより右の $W'$ の右へ $YW'=W'(W'^{-1}YW')$ で移すと、$U_{\partial p}=W_{\partial p}\,Y_1''Y_2''Y_3''Y_4''$ で、各 $Y_i''$ は $e^{\pm A_{l_i}}$ の共役。(3) ユニタリ行列について $\|XY-1\|\le\|X-1\|+\|Y-1\|$ と $\|hYh^{-1}-1\|=\|Y-1\|$（6-05 の式 (8)）を繰り返して $\|U_{\partial p}-1\|\le\|W_{\partial p}-1\|+\sum_i\|e^{\pm A_{l_i}}-1\|$。(4) $A$ は反エルミートなのでユニタリに対角化でき、固有値 $e^{i\vartheta}$ について $|e^{i\vartheta}-1|=2|\sin(\vartheta/2)|\le|\vartheta|\le\|A\|$。よって $\|e^{\pm A}-1\|\le\|A\|$。(5) 二乗は $(x+y)^2\le2x^2+2y^2$ と $(\sum_{i\le4}y_i)^2\le4\sum_iy_i^2$ から。∎

系（重みの分解）。$G_c(X,U):=\exp\bigl(c\sum_{p\subset X}\|U_{\partial p}-1\|^2\bigr)$（$c\gt0$）と置くと、四次元の格子では一つの辺は高々 6 枚のプラケットに乗るので

です 初（(9) の二つ目を $p\subset X$ について足し、$8\times6=48$）。これは性質 2 の場の和を「背景 × 揺らぎ」に替えた版で、揺らぎの側は Gauss の型の重みになります。既知の初等的な事実かもしれません（連作の大きな場の論文に同じ形の評価がある可能性があるが、本文を照合していない）。

群の上で足りないのは性質 3 です。群では揺らぎの測度が背景に依ります（背景場の中の伝播関数、6-07 表 1 の土台の論文の題）。だから $\mathbb E_+G^t$ の評価に背景の正則性が要り、背景が群の遠い側にある大きな場の領域では、揺らぎは背景の小さな摂動になりません。性質 3 の群版は言明もまだ書いていません 仮（要る部品として置く）。(10) が言うのは性質 2 だけで、一段で閉じることには触れません。

ゲージの無い模型でも止まっている。二次元の $O(N)$ σ 模型（$N\ge3$）は、ゲージが無く、結合が無次元で漸近自由な模型ですが、紫外の極限は有限体積でも構成されていません（Rivasseau 2000 が未解決問題に挙げる）典。$O(4)$ の場合は場が $S^3=SU(2)$ に値をとる主カイラル模型です。Bałaban の方法の移植は、2024 年の時点で変分問題と背景場の段までです（Goswami、二次元の非線形 σ 模型の一族。Dybalski–Stottmeister–Tanimoto、二次元 $O(4)$：Lie 群上の変分法で臨界点の方程式を出し、縮小写像で解く）典（どちらも抄録）。一方、フェルミオンの二次元 Gross–Neveu（質量のある場合）は構成されています（11-07 表 3）典。

対比からの読み 読（物理の見立て）：壁の核は「群（非線形の多様体）に値をとる場」「無次元の結合（根 (R1)）」「大きな場」の組にあり、ゲージ不変性はその上に乗る層と読めます。ゲージ不変性が本質的な困難でないとは言いません。

軌道の向きには凸性が無い。ゲージ変換の群は有限の格子ではコンパクトな群の積で、作用 $V$ はゲージ不変、つまり軌道に沿って一定です。

命題 O。$V$ を配位の空間（コンパクトな多様体）の上の滑らかなゲージ不変な関数、$x_0$ を $V$ の最小点とする。$x_0$ を通る軌道の接ベクトル $\xi\ne0$ について $\operatorname{Hess}V(x_0)(\xi,\xi)=0$。とくに、そのような $\xi$ が一つでも在れば、$\operatorname{Hess}V\ge m\,g$（$m\gt0$）は成り立たない。

初 証明。$\gamma(t)=e^{t\eta}\cdot x_0$（$\eta$ はゲージ変換のリー環の元で $\gamma'(0)=\xi$）とすると $V(\gamma(t))=V(x_0)$ が全ての $t$ で成り立つ。$dV(x_0)=0$ なので $\frac{d^2}{dt^2}V(\gamma(t))|_{t=0}=\operatorname{Hess}V(x_0)(\xi,\xi)+dV(x_0)(\nabla_{\gamma'}\gamma')=\operatorname{Hess}V(x_0)(\xi,\xi)$、左辺は 0。∎

凸性に頼る道具（Bakry–Émery・Brascamp–Lieb）は、軌道の向きを消さないと使えません 読（物理の見立て。11-07 §05 の「理論」の段落と同じ）。消すにはゲージを固定しますが、全ての配位で同時に効く連続な大域のゲージ固定は存在しません（Gribov 1978・Singer 1978）典（書誌のみ。6-05 §05）。

ゲージはブロックの大きさでしか効かない。二次元の一辺 $\ell$ のブロックで完全軸性ゲージをとると、プラケットの条件 $\|U_{\partial p}-1\|\lt\varepsilon$ から辺について $\|U_b-1\|\lt\ell\,\varepsilon$ しか出ません（6-05 §05）初（6-05 に証明）。$\ell\varepsilon$ が 2 を越えると何も言わないので、ゲージはブロックの大きさの範囲で、尺度ごとに選び直すことになります。三次元の Bałaban の定理は、ブロックごとの軸ゲージを Faddeev–Popov の方法で入れています（6-06 §05）典。四次元の論文での具体的な選び方は、本文で確かめていません（6-07 表 3）。

張り替えの境目。段 $k$ のゲージと段 $k+1$ のゲージは別のもので、張り替えは場に依るゲージ変換です。その Jacobian（Faddeev–Popov の行列式）と、隣り合うブロックの境目に出る項も有効作用に入り、(3) の類の中で、§02 の意味で和の有限な損として評価しなければなりません 読（物理の見立て。要る評価の形を述べたもの）。連続の切断で構成した MRS も、大きな場の領域の軸ゲージと小さな場の領域の背景場に依るゲージを継いでいて、同じ型の継ぎ目を持ちます（6-07 §06）典。

根で言えば、§03 と §04 は 11-07 表 3 の (R3)（大域のゲージ固定が無く、大きな場が凸性で制御できない）を一段の中に分けて書いたものです。紫外だけを扱うこの章では、全ての段で結合が小さいので根 (R2)（紫外と赤外をつなぐ展開が無い）は現れません 読（物理の見立て）。

Bałaban のゲージ理論の連作（Commun. Math. Phys.、1983〜1989）を、受け持つ仕事で五段に分けると表 1 になります。書誌は 6-07 表 1 と同じで、本文を照合したのは三次元の論文の冒頭と、最後の論文の要旨と序文だけです。他の行の「受け持つ仕事」は題から読んだもので、中身の照合ではありません。

止まった場所。最後の論文の序文の定理は次のとおりです 典（6-07 §03）。

'Theorem 1. If the sequence of the effective coupling constants is contained in an interval ]0, γ] with a sufficiently small positive γ, then the effective densities ρk have the form, and satisfy all the conditions and bounds, described in Sect. 2.'

仮定は (U3) そのもので、結論は (2) の形と (U1)(U2) の評価です。著者は、仮定は先行論文の Theorem 2 から出る基本の不等式に従うので外せるが、'The proof of Theorem 2, which is based on second order perturbative calculations, is very awkward and long ... and has not been published yet' と続けます 典。著者の 1989 年以後の論文の書誌を探した範囲で、Theorem 2 の証明を載せたものは見当たりません（6-07 の出典表）。だから四次元の到達点は、有限体積の格子で、有効密度と分配関数の格子間隔に一様な上下界まで、(U3) を仮定してです 典（6-07 表 4 の水準 1）。相関関数の評価・極限の一意性・OS 公理・無限体積・ギャップは、どの資料も到達点に含めていません。

MRS と、易しい模型での書き直し。Magnen–Rivasseau–Sénéor（1993）は連続の運動量の切断で、四次元 $SU(2)$・自明な位相の区画・固定した赤外の切断・正則化した軸ゲージの Schwinger 関数の紫外極限を述べましたが、'we do not provide a detailed proof' と書き、詳細は 'several hundred pages' になるだろうと述べます 典（6-07 §06）。方法を易しい模型で書き直す仕事は、三次元の $\phi^4$（Dimock I〜III、展開の収束と安定性の評価まで）と三次元の QED（分配関数の一様な上下界）まで来ています 典（6-05 の出典表・11-07 §05）。二次元の σ 模型への移植は表 1 の段 3 に当たる所まで（§03）で、段 4・5 に当たる仕事は、より易しい模型でもまだ書かれていません（探した範囲で）典（抄録）。

止まった場所を一行で言うと、(U3) を外す一段の剰余の評価です。§07 で、(U3) がその評価と、もう一つの初等的な部分に割れることを見ます。

紫外の制御の検討では、同じ形の読み違いが繰り返し起きます。共通の型は一段の評価を書き、それで帰納が閉じたと読むことで、§01 の積 $\prod(1-\delta_k)$ を見ずに $\delta_k$ の一つだけを見ることに当たります。表 2 は、論理の型として十に分けたものです。どの行も、一段の主張と全段の主張を別の行に置けば避けられます。

表の上の四行は同じ形です。一段の版から全段の版を出すには「定数が段で崩れない」という仮定が要り、それを規則の側に明示しないと、一段の証明が全段の証明に見えます。§10 の規則の束は、この注意を規則の書き方に入れたものです。

Bałaban の仮定 (U3)「有効結合が $(0,\gamma]$ に留まる」は、裸の結合 $g_0$ をうまく選べば満たせる、という形の文です。ただし有効結合 $g_{k+1}$ は、それまでの段が小さい間しか定義されません（有効作用から読み取る係数なので）。このことを定義域で明示すると、(U3) は二つの条件に割れます。

補題 F。 $b\gt0$、$C\ge0$、$\gamma_1\gt0$ が $C\gamma_1^2\le b/2$ と $\gamma_1^2\lt2/(3b)$ を満たすとし、$n\ge1$ を固定する。各 $g_0\in(0,\gamma_1]$ について、列 $g_0,g_1,\dots$ が「$g_k\in(0,\gamma_1]$ なら $g_{k+1}$ が定まる」形で帰納的に定義され、次の二つを満たすとする。

• (S) 一段の剰余。$\dfrac1{g_{k+1}^2}=\dfrac1{g_k^2}-b+r_k$、$|r_k|\le C\,g_k^2$。
• (C) 定義域の中の連続性。$D_k:=\{g_0:\ g_0,\dots,g_k\in(0,\gamma_1]\}$ の上で $g_0\mapsto g_{k+1}(g_0)$ は連続。

このとき全ての $\gamma_0\in(0,\gamma_1)$ について、ある $g_0$ があって $g_0\lt g_1\lt\cdots\lt g_n=\gamma_0$（全て定義される）。

初 証明。(i) $g_k\le\gamma_1$ なら (S) と $Cg_k^2\le b/2$ から

左辺は $1/\gamma_1^2-3b/2\gt0$ 以上なので $g_{k+1}$ は正の有限の数で、右から $g_{k+1}\gt g_k$。(ii) $J:=\{g_0\in(0,\gamma_0]:\ g_0,\dots,g_n\ \text{が定義され全て}\le\gamma_0\}$ と置く。(i) の単調性から $J=\{g_0\le\gamma_0:\ g_n\ \text{が定義され}\ g_n\le\gamma_0\}$。$g_0^2\le(1/\gamma_0^2+3bn/2)^{-1}$ なら、(11) の左を繰り返して $1/g_k^2\ge1/g_0^2-3bk/2\ge1/\gamma_0^2$（$k\le n$）なので $J$ は空でない。(iii) $s:=\sup J$ とし、$J$ の点列 $g_0^{(j)}\to s$ をとる。$s\le\gamma_0\lt\gamma_1$ なので $g_1(s)$ が定まり、(C) で $g_1(s)=\lim_jg_1(g_0^{(j)})\le\gamma_0$。同じことを $k=2,\dots,n$ と繰り返して $s\in J$。(iv) もし $g_n(s)\lt\gamma_0$ なら、$n\ge1$ と (i) から全ての $g_k(s)\lt\gamma_0\lt\gamma_1$。(C) から $s$ の右の近傍でも $g_0,\dots,g_n$ が定義され $\lt\gamma_0$ で、$s=\sup J$ に反する。よって $g_n(s)=\gamma_0$、単調性から $g_0\lt\cdots\lt g_n=\gamma_0$。∎

変種：(S) を $|r_k|\le Cg_k^2+\eta_k$（$0\le\eta_k\le b/4$）に替えても、(11) の定数を $7b/4$ と $b/4$ に、正値の条件を $\gamma_1^2\lt4/(7b)$ に替えれば同じ証明が通ります 初。尺度に依る非普遍の項は、$1/g^2$ の定数のずれとして吸収されます。

補題 F が言うこと。(U3) は、一段の剰余の評価 (S) と定義域の中の連続性 (C) に割れ、それ以外の部分（単調性と中間値の議論）は初等的です。(S) は §02 で見た「$g_k^2$ の大きさの部分を流れに吸収し、剰余を $1/g^2$ の変数で $O(g_k^2)$ に閉じ込める」ことの、結合の流れの側の文です。

補題 F が言わないこと。(S) は、四次元の非可換で大きな場の寄与を含めて示されていません。これが未発表の Theorem 2 の中身に当たります 仮（Theorem 2 の本文が無いので、対応は序文の一文からの読み）。(C) は「各段の有効作用が裸の結合に連続に依り、有効結合がその連続な汎関数として取り出される」ことです。有限個のコンパクト群の上の積分なので優収束定理で筋は通りますが、有効結合の取り出し方が小さな場の展開の中で決まる以上、その展開の解析性 (U1) に依ります 仮（筋だけ）。補題 F で (U3) が易しくなったとは言いません。帳簿の部分と本体の部分を分けただけです。

周期的な $T^4$ では、最後の段の古典的な最小（平坦な接続）が連続の族をなし、最後の数段の積分が退化します。この付随の困難を、't Hooft の捩れで取り除いた言明を案として置きます。空間の方向の道（12-01）の小さな捩れた $T^2$ を、四次元のトーラス全体に移した形です。

設定。$G=SU(2)$、一辺 $L_0$ の四次元トーラス、ブロックの倍率 2、最後の格子の一辺の点の数 $M$（固定）、段の数 $n$、格子間隔 $a_n=L_0/(M\cdot2^n)$。Wilson の作用に捩れ $n_{12}=1$ を入れます（$(1,2)$ 平面のプラケットの一つの積み重ねに中心の元 $z=-1$ を掛ける）：

ブロック化の変換 $T$ をゲージ共変で中心のずらしと可換な平均で定め、$\rho_0=e^{-S_{\rm tw}}$、$\rho_{k+1}=T\rho_k$ とします。

言明 T⁴-UV（案・未証明）。 ある $\gamma\gt0$ と、$M$ だけに依る定数 $C,\kappa,c,\delta,r\gt0$ があって、全ての $\gamma_0\in(0,\gamma)$ と全ての $n$ について、裸の結合 $g_0=g_0(n,\gamma_0)$ を選ぶと次が成り立つ 仮。

• (T-U3) 有効結合の列 $g_0\lt g_1\lt\cdots\lt g_n=\gamma_0$ が全て定義される。
• (T-U1) $\rho_n$ は (2) の形を持ち、各 $E_n(X,\cdot)$ は背景場の変数で半径 $r$ の複素近傍で解析的、$|E_n(X)|\le C\gamma_0\,e^{-\kappa d(X)}$。
• (T-U2) $|R_n(\Omega^c)|\le\exp(-c\,\gamma_0^{-\delta}|\Omega^c|)$。
• (T-Z) $e^{-CM^4}\le Z_n/Z_n^{\rm G}\le e^{CM^4}$（$Z_n^{\rm G}$ は孤立した平坦な接続のまわりの Gauss 積分の和）。
• (T-Obs) 上の三つが、最後の格子の尺度 $L_0/M$ より大きい台を持つ滑らかにした観測量の源（強さ $\le s_0$）を入れても、同じ定数で成り立つ。

全ての定数は $n$ にも $a_n$ にも依りません。(T-U3) は補題 F の結論の形です。

捩れが効く所。最後の格子の上の平坦な接続は、方向 1・2 のホロノミーが反可換、方向 3・4 のホロノミーが中心の元になるものだけで、ゲージ同値を除いて有限個です。そのまわりの随伴の揺らぎは方向 1 か 2 のどちらかで反周期的になり、零モードがありません 仮（12-01 の $T^2$ の捩れの部分の事実を四次元に延ばした読み。四次元の分類は原典で照合していない）。一方、細かい段では捩れは効きません。捩れの面は中心のゲージ変換で動かせ、局所には見えないからです 読（物理の見立て）。

言明が言うこと・言わないこと。示されれば、言うのは格子間隔に一様な有効作用の評価と最後の段の非退化で、Bałaban の Theorem 1 ＋ 未発表の Theorem 2（(T-U3)）＋ 観測量への拡張（(T-Obs)）＋ 捩れによる最後の段の非退化の和に当たります。滑らかにした観測量の部分列の極限は、そこからコンパクト性で従います。言わないのは、極限の一意性・OS 公理・回転の回復・非自明性・体積に一様なギャップです。細かい段の (U1)〜(U3) の難しさは周期的な $T^4$ とまったく同じで、捩れが除くのは最後の数段の退化という付随の困難だけです 読（物理の見立て）。T⁴-UV の役目は難しさを減らすことではなく、① を零モードの無い純粋な形で言明することです。

ゲージを抜いた試験台。二次元の $O(4)$ σ 模型（$SU(2)$ の主カイラル模型）は、場が $SU(2)$ に値をとり、結合が無次元で漸近自由で、大きな場があり、ゲージがありません。捩れた円柱 $\mathbb R\times S^1_L$（捩れで零モードが無い）の上で (U1)〜(U3) を書けば、四次元の ① から根 (R3) のゲージの半分を抜いた問題になります 読（物理の見立て）。§03 のとおり、この模型でも紫外の極限は未構成で、移植は変分問題と背景場の段まで来ています 典。表 1 の段 4（小さな場の展開の一段）をこの模型で書くことが、四次元の連作の後半を読み直すより安く、① の「群値の場 × 無次元の結合」の部分を切り出す試験になります。二次元の結果は四次元に何も含意しません。

表 3 は、① に向けて試されている方向を十行に並べたものです。「最小の場」は、その方向を最初に試せる一番小さな対象、「いま言えること」は札つきの現状です。最後の列は、その方向が結局は既知のことの言い換えに終わる危険です。見込みの数は付けません。どの行も ① を閉じていません。

表 3 から読むこと 読（物理の見立て）。紙で一つでも閉じた部品があるのは方向 3（補題 R）と方向 6（補題 F）で、どちらも本題の外側（性質 2、帳簿の部分）です。本題——性質 3 の群版と、大きな場込みの一段の剰余 (S)——は、方向 3・4 と方向 6 がそれぞれ向かう一点で、揺らぎの測度が背景に依ることが効く所で合流します。

§01 の (3) を、規則の束として書き直します。表 4 の各行は「一段で閉じる類」を作るのに要る規則の候補で、11-08 表 2 の規則の候補 N1（尺度の公理化）・N4（稀さで払う測度の類）・N5（漸近自由の公理）・N6（曲率の規則）のどこを埋めるかを並べました。どの行も候補で、無矛盾性も既存の結果を言い直せることも確かめていません 読（物理の見立て）。

根との対応 読（物理の見立て）：(R1) は規則 4・6（marginal な向きの扱い）、(R3) は規則 1・2・3・5（群とゲージ）。紫外だけの ① には (R2) が現れないので、第 11 部の「結合の窓」も ① には現れません。① の規則は N1＋N4 の紫外の側で、11-06 §07 が「書けそう」とした半分そのものに当たります。自己双対の座標の行列式（表 3 の方向 9）は規則 4・6 の別の座標で、主要項への射影の代わりに「行列式の局所の部分の抜き出し」を規則に置く形です。

規則にするときの注意（§06 から）。

• 規則には「一段」の版と「全段」の版を別に書き、一段の版から全段の版を出す仮定（定数が段で崩れない）を規則の側に明示する。
• 規則の入力を、同じ規則の出力から取らない（表 2 の「循環」）。
• 不等式の向き（上界か下界か）を規則ごとに一つ書く（表 2 の「不等式の向き」）。

(a) ① 紫外の制御は閉じていません。この章は (U1)(U2)(U3) のどれも、四次元でも二次元でも示していません。

(b) §02 の (4)〜(8) は一ループの流れ (4) を正確な式と見なした算術で、実際の有効結合の列についての定理ではありません。「損を流れに吸収した類が要る」は、損が一段ごとに掛け算で効く場合の要請です。

(c) 一リンクの熱核の類の結果（§02）は一リンク・類関数・登録した $\beta$ と $t$ の範囲の読みで、多リンク・プラケットの間の結合を含む四次元の一段には何も含意しません。

(d) 補題 R は重みの四性質のうち性質 2 の群版だけで、本題の性質 3 に触れません。既知の初等的な事実かもしれません。

(e) 補題 F は (U3) を (S) と (C) に割っただけで、(S)（未発表の Theorem 2 の中身）を示していません。

(f) 言明 T⁴-UV は案で、示していません。示されても、一意性・OS 公理・非自明性・無限体積・体積に一様なギャップには何も言いません。

(g) 「壁の核は群値の場 × 無次元の結合 × 大きな場」は二次元の模型の既知の状況からの見立てで、ゲージ不変性が本質的な困難でないとは言いません。

(h) 表 1 の連作の中身は、三次元の論文の冒頭と最後の論文の要旨と序文のほかは、題による読みです。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 初 STEP   段の数 K と、損の積の下界                              0 ≤ δ ≤ 1/2
[02] 典 FORM   有効密度の形 (2)
[03] 仮 UV     (U1)(U2)(U3)                                         a から L₀ まで
[04] 初 RUN    結合の列 (5)・和の対数 (6)                           一ループの流れ
[05] 初 LOSS   積 → 0 (7)・和は有限 (8) ⟸ [01][04]
[06] 典 3D     三次元では和が有限
[07] 初 SEMI   熱核の類で望遠鏡和                                   一リンク
[08] 読 HK1    層の外の曲率 A + B/β ⟸ [07]                          一リンク・登録範囲
[09] 典 BBS    重みの四性質
[10] 初 R      補題 R・系 (10)                                      SU(N)
[11] 典 SIGMA  二次元 O(N) は未構成
[12] 読 CORE   壁の核 ⟸ [05][06][11]
[13] 初 ORB    命題 O
[14] 典 GRIB   大域のゲージ固定は無い
[15] 読 SEAM   張り替えの境目 ⟸ [05][13][14]
[16] 典 THM    Theorem 1・Theorem 2 未発表
[17] 典 MRS    MRS の到達点
[18] 初 F      補題 F                                               (S)(C) の下
[19] 仮 S      (S) が本体 ⟸ [16][18]
[20] 仮 T4     言明 T⁴-UV ⟸ [02][18]                                案
[21] 読 TW     捩れは最後の段だけ ⟸ [20]
[22] 読 O4     二次元 O(4) の試験台 ⟸ [11][12]
[23] 読 DIR    十の方向 ⟸ [08][10][18][20]
[24] 読 RULE   規則の束 ⟸ [05][09][10][15][18]

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。[03] と [20] は仮定の行で、どちらも ① を言い直した問いの形です。この章の節点に、① が示されたという節点も、連続極限・閉じ込め・質量ギャップの節点もありません。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 紫外の制御（①）・段の数・同じ形・一段で閉じる類・(U1)(U2)(U3)・損の和・吸収・重みの四性質・補題 R・命題 O・張り替えの境目・補題 F・一段の剰余 (S)・定義域の中の連続性 (C)・言明 T⁴-UV・規則の束。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：14-00 入口 — この部の約束 — 台帳の ① を含む条件つきの言明の全体。① の行は 14-02 にあります。

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