2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 12 部 二本目の道駆動した挿入・Crooks と Jarzynski・流れの補題 · Kiichi, Shiori and Rin

力学で駆動した挿入と流れの補題

1. 12-05 の挿入は、渦の面の上の結合の符号を一度に反転させる操作でした。そのときの費用 $\Delta S$ は、細い渦の面では面の上のプラケットの数（$T^2$ の面積 $N_T^2$）に比例し、評価の因子 $\tanh(\Delta S/2)$ はほとんど 1 です。
2. そこで、結合を $m$ 段に分けて少しずつ反転させ、各段で容器の中だけを熱浴で更新します。周りの揺らぎが新しい結合に合わせて緩むので、払う仕事 $W$ は下がります。
3. 経路の空間で「時間を逆にたどり、区画を反転する」写像は対合で、重みの比は $e^{-W}$ です（Crooks の関係）典。12-05 の恒等式 3 をこの対合に当てると $\mathbb E[H]=\mathbb E[H\tanh(W/2)]$ が出ます 初。
4. 同じ関係から、手続きの段数 $m$ に依らず $\mathbb E[e^{-W}\,|\,\text{枠}]=Z_-/Z_+$（Jarzynski の等式）典。段数 0 では $W=\Delta S$ で 12-05 に戻ります。
5. 区画を反転させる任意の定常な核について、一歩で区画が反転する確率 $a$ は $1-\theta$ 以下です。言い換えると $\theta\le1-a$（流れの補題）初。より弱い形 $a\le1-\theta^2$ もあります 初。
6. 枠を固定すると容器は独立なので、全ての容器で同時に核を走らせると $\mathbb E\prod_t\theta_t\le\mathbb P(\text{どの容器も反転しない})$ です 初。右辺はモンテカルロで測れる量で、Wilson ループの上界を正しい向きに推定できます。
7. ただし一段の核では $a$ は $\tfrac12$ 程度で頭打ちになり、この保証で言えるのは $\theta\lesssim\tfrac12$ までです 読。帯の形 $\theta\le e^{-cL^2}$ の試験には使えません。正しい用途は、$T^2$ を固定した板の張力の下界です。

12-03・12-04 の区画の和のアンサンブルを使います。リンクの $SU(2)$ の変数 $U$ と、プラケットの $\pm1$ の変数 $z$（余閉）の上の重み $w(U,z)=\exp\bigl(\tfrac\beta2\sum_pz_p\,\mathrm{tr}\,U_p\bigr)$ です。板 $T^2_{N_T}\times(\mathbb Z/M)^2$ の $(3,4)$ 平面のプラケット $p$ について、渦の面 $S_p=\{p\}\times T^2$ の $z$ を全て反転すると、$p$ を囲む Wilson ループに渡る区画の符号が反転します（12-04）。$p$ のまわりに容器 $D_p\times T^2$（$D_p$ は $(3,4)$ 平面の円板）を取り、容器の外の変数を枠 $\Phi$ と呼びます。

この章を通して、次の三つを置きます。

• (F) 有限の配位空間 $X$。連続の場合は 12-05 §02 の注意のとおり。
• (W) 正の重み $w=e^{-S}\gt0$。
• (K) 容器の中だけを動かす核：以下の核 $K$ は容器の内側の変数だけを更新し、枠を変えない。

結合の補間。 $\lambda\in[0,1]$ について、$S_p$ の上のプラケットの結合だけを $1-2\lambda$ 倍した作用を $S_\lambda$ とします。$S_0=S$ で、$S_1(x)=S(Rx)$（$R$ は $S_p$ の上の $z$ の反転）です。$S_\lambda$ はゲージ不変です。

核。 $K_\lambda$ を、容器の内側のリンクだけを動かす熱浴の遷移核で、$e^{-S_\lambda}$ について可逆（詳細つり合い）なものとします：

順の手続き。 $\lambda_k=k/m$（$k=0,\dots,m$）。区画が $+$ の配位 $x_0$ から始め、$k=1,\dots,m$ の各段で「結合を $\lambda_{k-1}\to\lambda_k$ に変え、そのときの作用の変化を仕事に加え、次に $K_{\lambda_k}$ で $x_{k-1}\to x_k$ と更新する」。仕事は

最後に $R$ を当てた $Rx_m$ は区画が $-$ の配位です。区画が $-$ の配位からは、同じことを $R$ で写した逆向きの手続き（$\lambda$ を $1\to0$）で行います。$m=0$ なら更新は無く、$W=S_1(x_0)-S_0(x_0)=\Delta S$ で 12-05 の一度の挿入です。

経路の空間。 $\Omega=\{(s,x_0,\dots,x_m)\}$（$s=\pm$ は始点の区画）とし、区画 $+$ から始まる経路の重みを

区画 $-$ から始まる経路の重みを、逆向きの手続きの同じ形の積で定めます。核の行の和は 1 なので、$\Omega$ の上の測度を始点に射影すると元の測度に戻ります。したがって、始点だけで決まる量の期待値は、$\Omega$ の上で計算しても変わりません 初。

対合。 $\iota(+,x_0,\dots,x_m)=(-,Rx_m,\dots,Rx_0)$：経路を逆にたどり、区画を反転します（$-$ から始まる経路にはその逆）。$\iota\circ\iota=\mathrm{id}$ です。重みが正の経路は、(1) によって重みが正の経路に写ります。

典 この形の関係は Crooks によるもので（出典の表）、ここでは格子の手続きに合わせた標準の計算を書き下します。証明。$\omega=(+,x_0,\dots,x_m)$ とします。逆向きの経路の重みは、$R$ の下で $S_\lambda$ が $S_{1-\lambda}$ に写ることを使って $+$ の座標に戻すと $e^{-S_1(x_m)}\prod_{k=1}^mK_{\lambda_k}(x_k,x_{k-1})$ です。(1) で各因子を $K_{\lambda_k}(x_{k-1},x_k)\,e^{S_{\lambda_k}(x_k)-S_{\lambda_k}(x_{k-1})}$ に置き換えると、比の指数は

です（和の添字を一つずらし、$S_0(x_0)$ を $k=1$ の項、$-S_1(x_m)$ を $k=m$ の項と打ち消させる）。逆向きの経路で (2) を計算すると、同じ項が逆の符号で並ぶので $W\circ\iota=-W$。∎

補題 1 は、12-05 の (5) の「重みの比が $e^{-\Delta S}$ の対合」が、経路の空間の上で「重みの比が $e^{-W}$ の対合」に置き換わったことを言っています。そこで 12-05 の恒等式 3 がそのまま使えます。

初 証明。$H$ を始点で評価した $\Omega$ の上の関数とみます。核と $R$ は枠を変えないので $h$ は $\iota$ で不変、$\sigma$ は反転し、$H\circ\iota=-H$。$\Omega$ の上の重み $\hat W$ と対合 $\iota$ について、12-05 の (5) の因子は (4) により $(\hat W-\hat W\circ\iota)/(\hat W+\hat W\circ\iota)=(1-e^{-W})/(1+e^{-W})=\tanh(W/2)$ です。12-05 の恒等式 3 から $\mathbb E_\Omega[H]=\mathbb E_\Omega[H\tanh(W/2)]$。左辺は始点だけで決まるので $\mathbb E[H]$ に等しい（§02）。∎

Lean：核の部分は BoundedInsertion（Bounded.single）（仮定：有限集合・対合・$w\gt0$・$H$ は奇。結論：$\sum wHt=\sum wH$）を、有限の経路の空間 $\Omega$（重みが正の経路に制限）に当てたものです。経路の空間の構成と補題 1 は Lean の外です。

典 Jarzynski によるものです（出典の表）。証明。(4) から $\sum_\omega\hat W(\omega)e^{-W(\omega)}=\sum_\omega\hat W(\iota\omega)$。右辺は区画 $-$ から始まる経路の重みの総和で、核の行の和が 1 なので $Z_-(\Phi)$。左辺を区画 $+$ の経路の重みの総和 $Z_+(\Phi)$ で割れば (6)。∎

(6) は、手続きの速さ（段数 $m$）に依らない量で、数値の検算に使えます。一方、$e^{-W}$ の平均は稀な小さい $W$ に支配されるので、少ない標本では推定が大きく揺らぎます（12-08 の表で $-\ln\langle e^{-W}\rangle$ が負になる行があるのはそのためです）。

初 $1-\tanh(W/2)=2/(1+e^{W})$ の期待値を取るだけです。12-05 の補題 4 の $\Delta S$ を $W$ に置き換えたものです。

多数の細胞。 互いに離れた細胞 $c$（容器 $D_c\times T^2$）ごとに、位置の集合 $P$（空でない有限集合）から位置 $P_c$ を一様に、互いに独立に選び、選んだ位置で駆動した挿入を行います。細胞ごとの経路は、始点の配位の中の自分の容器とその周りだけを読みます。

初 証明。始点 $x_0$、位置の選択 $(P_c)$、細胞ごとの経路からなる拡大した空間を作ります。細胞 $d$ の対合 $\iota_d$ は、細胞 $d$ の経路を逆にたどり、始点の容器 $d$ の内側を経路の終点の反転に置き換えます。容器が離れているので、枠を止めた重みは容器ごとの積に分かれ、$\iota_d$ は他の細胞の経路の重みと仕事を変えません。よって $\iota_d$ の重みの比は $e^{-W_d}$ で、他の細胞の因子 $\tanh(W_c/2)$（$c\ne d$）は $\iota_d$ で動きません。12-05 の定理 5 の証明（細胞を一つずつ足す帰納）がそのまま通り、$\mathbb E[H]=\mathbb E[H\prod_c\tanh(W_{c,P_c}/2)]$。絶対値を取り、始点を止めると細胞ごとの経路と位置の選択が独立であることを使えば (7)。∎

(7) は 12-05 の定理 5 と違い、位置の平均の中に絶対値が入っています。位置どうしの符号の打ち消しを使わない分だけ弱い形です。

段数 0。 $m=0$ では $W=\Delta S$ で、定理 2 は 12-05 の恒等式 3 です 初。細い渦では $\Delta S$ が $T^2$ の面積に比例し、$\tanh(W/2)$ はほとんど 1 です。

準静的の極限。 $m\to\infty$（ゆっくり駆動する）で、$W$ は枠を止めた容器の条件つきの自由エネルギー $\Delta F_D(\Phi)=\ln\bigl(Z_+(\Phi)/Z_-(\Phi)\bigr)$ に近づく、と見込まれます 読（物理。熱力学積分の標準的な見立てで、核が各 $\lambda$ で十分よく混ざることを要する。この本では証明しません）。そのとき定理 2 の因子は $\tanh(\Delta F_D/2)=\theta_D(\Phi)$ になり、12-03 の容器の恒等式（Mack–Petkova の恒等式）に戻ります。手続きの長さ $m$ が、一度に入れる粗い評価と、正確な条件つきの自由エネルギーとをつなぐ、という読み方です。

数値の姿。 $SU(2)$、$\beta=2.3$、板 $2\times2\times8\times8$、捩れ $n_{12}=1$、円板の半径 2、6 配位 × 4 位置で、段数 $m=0,4,16$ の仕事の平均は 10.7・6.5・2.9、$\tanh(W/2)$ の平均は 0.990・0.968・0.688 でした 読。段数を増やすと仕事が下がり、因子が 1 から離れます。他の $\beta$・$N_T$・容器の半径の記録は 12-08 にまとめます。容器が渦の大きさより小さいと、段数を増やしても仕事は下がりきりません（同じ表）。

容器 $D\times T^2$ の中で、反転の面 $S=\{p_0\}\times T^2$ の上のプラケットの項だけを作用から除いた測度（枠 $\Phi$ を固定）を $\mu_{\rm cut}$ とし、$X:=\sum_{p\in S}z_p\,\mathrm{tr}\,U_p$（$z$ は区画 $+$ の代表）と置きます。面の上の重みは $e^{(\beta/2)z_p\mathrm{tr}U_p}$ で、区画 $-$ では $S$ の上の $z$ が反転するので、

初 第一式は定義から、第二式は $\theta=|Z_+-Z_-|/(Z_++Z_-)$ に第一式を入れて $e^{a}\mp e^{-a}=2\sinh a,\ 2\cosh a$ を使うだけです。

Lean FlipLemma（FlipLemma.cut_formula）（仮定：有限集合の上の実数値の重み $v$（非負性も使わない）・実数値の $X$・実数 $b$。結論：$\sum ve^{bX/2}-\sum ve^{-bX/2}=2\sum v\sinh(bX/2)$ と、和の形の $\cosh$ の等式）。保証されるのは和の代数だけです。

$\mu_{\rm cut}$ には区画がありません。$\theta(\Phi)$ は「枠の情報が、切った測度の中を容器の大きさだけ渡って面に届く強さ」と読めます。駆動した挿入は、$+\to\text{切った測度}\leftarrow-$ という対称な形にも組めます（補題 1 の対合と両立します）。

枠 $\Phi$ を止めた条件つきの測度を $\mu_\Phi$、容器の区画の符号を $\sigma\in\{\pm1\}$、$m_\Phi=\mathbb E[\sigma\,|\,\Phi]$、$\theta(\Phi)=|m_\Phi|$ とします。$K$ を容器の中だけを動かす Markov 核とし、$(X,X')\sim\mu_\Phi\otimes K$（$X$ を $\mu_\Phi$ から引き、$K$ で一歩進めたものが $X'$）とします。

初 証明。$\sigma=\pm1$ なので $\mathbb P(\sigma(X')\ne\sigma(X))=\sum_{x,y}\mu_\Phi(x)K(x,y)(\sigma(x)-\sigma(y))^2/4$。$(a-b)^2\le2(a-m)^2+2(b-m)^2$ で上から押さえ、行の和が 1 であることと定常性で二つの和をどちらも $\sum_x\mu_\Phi(x)(\sigma(x)-m)^2=1-m^2$ に直すと、$\tfrac12(1-m^2)+\tfrac12(1-m^2)$。∎ 可逆性は使いません。

Lean FlipLemma（FlipLemma.flip_le）（仮定：有限集合・$w\ge0$・$\sum w=1$・$K\ge0$・行の和が 1・定常性 $\sum_xw_xK_{xy}=w_y$・$\sigma^2=1$。結論：$\sum_{x,y}w_xK_{xy}(\sigma_x-\sigma_y)^2/4\le1-(\sum w\sigma)^2$）。

初 証明。$\mathbb P(\text{反転})=(1-\langle\sigma,K\sigma\rangle)/2$（内積は $\mu_\Phi$ で）。$\tilde\sigma=\sigma-m$ と置くと、$K$ の行の和が 1 で可逆なので $\langle\sigma,K\sigma\rangle=\langle\tilde\sigma,K\tilde\sigma\rangle+m^2\ge m^2$。∎ この系には Lean の検査がありません。

次の形のほうが鋭く、この章で主に使います。

初 証明。$+\to-$ の流れ $A=\mathbb P(\sigma(X)=+,\sigma(X')=-)$ と $-\to+$ の流れ $B$ を取ります。定常性から $X'$ の区画の分布は $X$ と同じなので $A=B$。また $A\le\mathbb P(\sigma(X)=+)=(1+m)/2$、$B\le(1-m)/2$。よって $a=A+B=2A\le2\min\bigl((1+m)/2,(1-m)/2\bigr)=1-|m|$。∎ $\theta\le1$ なので $1-\theta\le1-\theta^2$ で、(10) は (9) より鋭い形です。

Lean FluxLemma（FluxLemma.flip_le_one_sub_abs）（仮定：有限集合・$w\ge0$・$\sum w=1$・$K\ge0$・行の和が 1・定常性・$\sigma$ の値は $1$ か $-1$。結論：$\sum_{x,y}w_xK_{xy}(\sigma_x-\sigma_y)^2/4\le1-|\sum w\sigma|$）。

使い方。 区画を反転させる定常な核で、反転の確率が $c$ 以上のものを作れれば $\theta\le1-c$ です。駆動した挿入を提案とし、終点を確率 $\min(1,e^{-W})$ で受け入れる核は、補題 1 から $\mu_\Phi$ について可逆（よって定常）で、その反転の確率は受理率です。受理率は $\mathbb P(W\le w_0)\,e^{-w_0}$ 以上なので、$e^{-W}$ の平均を制御する必要はなく、「安い仕事が正の確率で起こる」ことだけで足ります 初。

互いに離れた容器の有限集合 $S$ を取り、各容器 $t\in S$ の区画の偏りを $\theta_t(\Phi)$ とします（枠 $\Phi$ は全ての容器の外の変数）。

初 証明。枠を止めると容器の内側は条件つきで独立（12-03 の条件つきの独立性）で、核も容器ごとに独立に動くので、$\mathbb P(\text{どれも反転しない}\,|\,\Phi)=\prod_t(1-a_t(\Phi))$。定理 9 から各因子は $\theta_t(\Phi)$ 以上。期待値を取る。∎

12-03 の容器の恒等式は $|\langle W(C)\rangle|\le\mathbb E\prod_t\theta_t$（$C$ の内側の容器について）の形でした。(11) と合わせると、Wilson ループの上界を、モンテカルロで測れる量 $\mathbb P(\text{どれも反転しない})$ で正しい向きに押さえられます 初。

限界（大事な注意）。 (10) から言えるのは $\theta\le1-a$ です。一段の核（駆動した挿入を一回提案して受け入れるか決める核）の反転の確率 $a$ は、測った範囲では 0.46 以下で、記録の判断では $\tfrac12$ 程度で頭打ちになります 読（12-08 の表 1・表 2・表 8・表 9）。そのため、大きさ $L$ の容器で言えるのは $\theta\le\theta_0$ で $\theta_0\sim\tfrac12$ までです。これが $L$ に一様に成り立っても、出るのは

だけで、これは 13-01 の「弱い形」（$U(1)$ も満たす形）そのものです 初。帯の正しい形 $\theta(L,L)\le e^{-cL^2}$ を (10) で示すには、$a\ge1-e^{-cL^2}$ となる核、つまりほとんど確実に区画を反転させる核が要ります 初（(10) の書き直し）。一段の核でそれを作る見込みは立っていません。

したがって、同時の反転による保証は、移り変わりの帯の数値的な試験には使えません。この道具を帯の数値的な姿として測った記録がありますが、その位置づけは撤回されています（12-08 §06）。正しい用途は、$T^2$ の大きさ $L$ を固定した板の張力の下界と、チェス盤の密度 $\kappa_{cb}$（13-05）の上からの推定です。

(a) 閉じ込め。この章の恒等式と不等式は、どれも閉じ込めを導きません。定理 2・定理 5 の因子が $L$ と格子間隔に一様に 1 から離れること、あるいは $a$ が 1 に近い核が要り、どちらもこの本では示していません。

(b) 準静的の極限。$m\to\infty$ で $W\to\Delta F_D$ となることは §04 の見立てで、核の混ざり方の評価を含む証明はこの本にありません。

(c) 連続の配位空間。定理は全て (F) の有限版です。$SU(2)$ の Haar 測度の上の版は、熱浴の核の可逆性と経路の空間の測度を連続の場合に書き直す必要があり、Lean の外です。

(d) 一段の核の頭打ち。「$a$ は $\tfrac12$ 程度で頭打ち」は測定と記録の判断で、定理ではありません。$\theta_0\sim\tfrac12$ までしか言えない、という結論はこの読みに依ります。逆に $a$ が 1 に近い核があれば (10) はそのまま使えますが、その構成は知られていません。

(e) 新しさ。Crooks の関係と Jarzynski の等式は既知で、区画の和のアンサンブルへの当てはめと定理 7・9・10 は初等的です。区画を反転させる非平衡の提案で受理率を上げる手法は、モンテカルロの文献で tempered transitions や非平衡の候補の手法として知られています（照合未了）。この章の結果に新しさは主張しません。

機械検査の欄の束は、本体の再検査で sorry を含まず、公理が標準の三つの部分集合であることが確かめられたものです。保証されるのは有限集合の上の和の代数だけです（10-13）。flip_le と cut_formula はファイル FlipLemma に、flip_le_one_sub_abs はファイル FluxLemma にあります。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 初 MARG    経路の空間の始点の周辺分布 = 元の測度          核の行の和 1
[02] 典 CROOKS  重みの比 e^(−W)・W∘ι = −W                       詳細つり合い (1)
[03] 初 DRIVEN  E[H] = E[H tanh(W/2)] ⟸ [01][02]                Lean Bounded.single を Ω に
[04] 典 JARZ    E[e^(−W) | 枠] = Z₋/Z₊ ⟸ [02]
[05] 初 ACC     1 − E[tanh(W/2)] = 2 × 受理率 ⟸ [03]
[06] 初 MULTI   多数の細胞 (7) ⟸ [02]                           容器が離れている
[07] 読 QSTAT   m → ∞ で W → ΔF_D（物理）⟸ [04]
[08] 読 NUM     段数とともに仕事が下がる                          β = 2.3・2×2×8×8
[09] 初 CUT     切った測度の公式                                  Lean cut_formula
[10] 初 FLIP    反転の確率 ≤ 1 − θ²                               Lean flip_le
[11] 初 POS     正の核なら (1 − θ²)/2 ⟸ [10]
[12] 初 FLUX    θ ≤ 1 − a                                         Lean flip_le_one_sub_abs
[13] 初 MH      min(1, e^(−W)) の核は定常・受理率の下界 ⟸ [02]
[14] 初 SIMUL   E∏θ ≤ P(反転なし) ⟸ [12]                        容器が離れている
[15] 読 HALF    一段の核の a は ½ 程度で頭打ち                    測った範囲
[16] 初 WEAK    弱い形しか出ない・帯には a ≥ 1 − e^(−cL²) ⟸ [12]

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。この章に仮定（仮）の行はありません。[15] の読みは [16] の前提に入れていません（[16] は $\theta\le1-a$ だけから出る書き直しで、[15] はそれをどこまで使えるかの判断です）。閉じ込めの節点も、質量ギャップの節点もありません。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 駆動した挿入・段数 $m$・仕事 $W$・経路の空間 $\Omega$・Crooks の対合 $\iota$・準静的・切った測度・反転の確率・流れの補題・同時の反転。意味は A-02 用語集 にあります（第 12 部の語は追加の予定）。

次に読む章：12-07 なぜ決まった写像は失敗するか — 駆動した挿入が安く、一度に当てる決まった写像が高くつく理由を、一ループの水準で「揺らぎの形を変えるかどうか」の違いとして説明します。

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