2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 13 部 移り変わりの帯横広げの不等式・余裕 5/3・U(1) と ℤ₂ の対照 · Kiichi, Shiori and Rin

非可換が効く唯一の場所

記号は 13-01 §01 と 13-02 §01 のとおりです。$\theta(R;T^2_L)$ は、平面の方向の大きさ $R$（面積 $A_D$）の容器 $D\times T^2_L$ の、典型的な枠での区画の偏りで、捩れ $n_{12}=1$ は横のトーラス $T^2_L$（面積 $A_T=L^2$）に固定してあります。13-02 の定理 1 は、三つの仮定から帯の正しい形 $\ln(1/\theta(R,R))\ge cR^2$ を導きました。その第三の仮定が横広げの不等式（強い形）

でした。容器を固定したまま横の $T^2$ を広げると、区画の偏り $\theta$ はどちらへ動くか。$\theta$ が小さいほど区画の乱れ（渦の多さ）が大きいので、問いは「横を広げると渦は高くなる（$\theta$ が 1 に近づく）か、高くならないか」です。(1) は、高くなるとしても位置の数の因子 $s^2$（$s=L'/L$）までしか許しません。

この章の答えを先に書きます。アーベルの理論では、渦の流束は横の断面全体に一様に広がるしかないので、横を広げるほど渦は高くなり、(1) は破れます。$SU(2)$ では、渦は大きさ $L$ 程度の自己双対の塊に局在でき、その作用は大きさに依らないので、古典的には横を広げる費用は 0 です。残る量子の効果は、希薄な領域では漸近自由の側に傾き、(1) は余裕 $5/3$ で成り立つ見込みです。

最初に、古典的な作用の初等的な事実を一つ置きます。

補題 1 初　$\Omega$ を面積 $|\Omega|$ の平面の領域、$f$ を $\Omega$ の上の二乗可積分な実関数で $\int_\Omega f=\Phi$ とする。このとき

等号は $f$ が $\Omega$ の上でほとんど至るところ定数 $\Phi/|\Omega|$ のときに限る。

証明　Cauchy–Schwarz の不等式 $\bigl(\int_\Omega f\cdot1\bigr)^2\le\int_\Omega f^2\cdot\int_\Omega1$ から (2)。等号は $f$ と $1$ が比例するとき、すなわち $f$ が定数のときに限る。∎

アーベルのゲージ場の作用 $\frac1{2e^2}\int F_{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ は場の強さの二乗で、線形の場の理論です。容器 $D\times T^2_L$ の各断面 $D\times\{y\}$（$y\in T^2_L$）を同じ流束 $\Phi$ が通る配位を考えると、補題 1 を各断面で使い、横の $T^2_L$ で積分して

を得ます 初（各断面の流束が同じ $\Phi$ であるという条件の下。古典的な作用の下界）。等号は流束が容器の全体に一様に広がる配位で、流束を局在させると作用は増えるだけです。右辺は横の面積 $A_T$ に比例するので、容器を固定して横を $s$ 倍に広げると、流束 $\pi$（区画 $\sigma_D=-1$ に当たる）の最小の作用は $s^2$ 倍になります。アーベルの渦は横を広げると高くなる、というのが古典的な水準の答えです。

量子の水準の勘定は 13-01 §03 のとおりです 読（物理）。クーロン相の U(1) を板 $T^2_L\times\mathbb R^2$ の上で長い距離まで見ると二次元の U(1)（結合 $e^2/A_T$）で、流束 $\Phi$ の分配関数は巻き付き $k$ の Poisson の和 $Z(\Phi)\propto\sum_ke^{ik\Phi}e^{-e^2A_Dk^2/(2A_T)}$ です。これは (3) の古典的な作用 $\frac{A_T}{2e^2A_D}(\Phi+2\pi k)^2$ の $k$ についての和を Poisson の和公式で書き直したもので、$q:=e^{-e^2A_D/(2A_T)}$ が小さいとき

横を $s$ 倍に広げると $A_T$ は $s^2$ 倍、$q$ は $q^{1/s^2}$ になるので、$\theta_{\rm new}\approx2(\theta_{\rm old}/2)^{1/s^2}$ です。比は

となり、どんな定数 $Cs^2$ でも押さえられません。U(1) では横広げの不等式 (1) は破れます 読（物理。(4) を認めた上の一行の代数）。弱い形（13-02 の (C′)）も、板の張力が $e^2/L^2$ で 0 に向かうので破れます 読（物理）。

四次元の $\mathbb Z_2$ の理論は、弱結合（大きな $\beta$）で閉じ込めない相にいます（5-10）。そこでは容器を通る流束は、横の $T^2$ 全体に張る面積 $A_T$ の壁を作り、その張力は $A_D$ に依りません。横を広げると壁の費用は $A_T$ に比例して増え、(1) は破れます 読（物理）。二つのアーベルの理論に共通するのは、流束の費用が横の面積とともに増えることです。U(1) では線形性（補題 1）のため、$\mathbb Z_2$ では壁の面積のためです。

$SU(2)$ では事情が変わります。捩れ $n_{12}=1$ のある $T^2_L\times\mathbb R^2$ の上では、位相的な電荷 $Q$ は半整数の値をとれます（'t Hooft の捩れ、12-01 典）。そして作用には Bogomolny の下界

があり（3-05 典）、等号は自己双対（または反自己双対）の配位で成り立ちます。$Q=\tfrac12$ の配位——分数インスタントン——の作用は $4\pi^2/g^2$ 以上で、平面の区画を反転させる渦の役を担います（12-02）。

(6) の右辺は、$T^2$ の大きさ $L$ にも、容器の大きさ $R$ にも依りません。四次元のヤン–ミルズの古典的な作用が尺度を変えても変わらないからです（結合 $g$ が無次元、11-07 §01）。$Q=\tfrac12$ の最小作用の配位は、大きさ $L$ 程度の範囲に局在した自己双対の塊で、作用が下界 $4\pi^2/g^2$ に一致し、横と縦の比に依らない——というのが原論文の見立てです 読（物理）。格子の上では、冷却した分数インスタントンの作用が $\pi^2\beta$ に下から近づくこと（$\beta=4/g^2$ で $4\pi^2/g^2=\pi^2\beta$。冷却で得た値は、格子の上の最小作用の上界）が測られています（12-02 の表）。

ここで、§02 の補題 1 との違いがはっきりします。

• アーベル：作用が二次形式なので、決まった流束の最小作用は流束を一様に広げた配位で達成され、その値は横の面積 $A_T$ に比例します（(3)）。局在させても安くならず、広げられた場所全体に費用を払います。
• 非可換：自己双対方程式は非線形で、有限の作用 $4\pi^2/g^2$ の解が大きさ $L$ 程度に局在できます。容器が塊を入れられる大きさ（$R\ge L'$）である限り、横を $L$ から $L'$ に広げても塊を広げ直せばよく、古典的な費用は 0 です。

これは局所的な運動学の違いではなく、自己双対方程式の解の存在——非線形性——の違いです。古典的な水準で横広げの費用が 0 なので、(1) の符号は量子の効果——渦の位置の数と、結合の走り——で決まります。それが次の節の勘定です。

希薄な気体の勘定。$L\Lambda\ll1$（$\Lambda$ は次元転移の尺度、4-07）では、結合 $g(L)$ は小さく、渦（$Q=\pm\tfrac12$ の塊）は互いに遠く離れた希薄な気体として扱えます。Tanizaki–Ünsal は $SU(N)$ について、小さな捩れた $T^2$ の上で、中心の渦が平面 $\mathbb R^2$ の上の点のように振る舞い、その一つあたりの重みが $Ke^{-S_I/N}$（$S_I=8\pi^2/g^2$、$K$ は単位面積あたりの前因子）であることから、基底のエネルギーと弦の張力を

と導きました（Tanizaki–Ünsal、式 (2.32)・(2.37) 典、希薄な領域・一ループ）。ここでの $\theta$ は真空の角で、この本の区画の偏り $\theta$ とは別の記号です。指数 $5/3$ は、一ループの結合の走り $8\pi^2/g^2(L)=\frac{11N}3\ln\frac1{L\Lambda}$（4-06 典）から $e^{-S_I/N}=(L\Lambda)^{11/3}$ となり、塊の大きさ $L$ から単位面積あたりの位置の数が $1/L^2$ となるので、$(L\Lambda)^{11/3}/L^2=\Lambda^2(\Lambda L)^{5/3}$ と出ます。

区画の偏りに移ります。$SU(2)$ で、渦と反渦を合わせた単位面積あたりの密度を $\zeta$ とし、渦の位置を独立な Poisson の点で近似します 読（物理。希薄な気体の近似）。容器の区画 $\sigma_D$ は、$D$ の中の渦の数 $n$ について $(-1)^n$ です。平均 $m$ の Poisson 分布の $n$ について

なので 初（初等的な等式）、$m=\zeta A_D$ とおいて

です 読（物理。希薄な領域・一ループ）。(4) と並べると、容器を固定したときの $\ln(1/\theta)$ の $L$ についての冪は

となります。$SU(2)$ の冪 $5/3$ は、漸近自由の係数 $11/3$ と、平面に置ける塊の位置の数の $2$（この部で「横の二次元のエントロピー」と呼んできたもの、13-00 の図 2）の差です。U(1) の冪 $-2$ は、漸近自由の項が無く位置の数の項だけが残った形と読めます。漸近自由が横の二次元のエントロピーに勝つ余裕 $5/3\gt0$ が、横広げの不等式の符号そのものです 読（物理）。

(9) から、希薄な領域の $SU(2)$ で横を $s$ 倍に広げたときの比は

で（$\zeta\propto L^{5/3}$ は増加）、(1) は $C=1$ で、因子 $s^2$ を使わずに成り立ちます 読（物理）。ただし (9)・(10) が使えるのは $L\Lambda\ll1$ の希薄な領域だけです。閉じ込めの領域（$L\Lambda\gg1$）では $\ln(1/\theta)\approx\sigma A_D-\ln(A_T/\xi^2)$（$\xi$ は相関長）と見込まれ、$A_T$ への依存は渦の面の位置のエントロピーの対数だけになり、(1) は因子 $s^2$ の範囲で成り立つ見込みです 読（物理）。二つの領域の間 $L\sim1/\Lambda$——帯——を非摂動的に通す評価はありません。

13-02 の定理 1 の連鎖の部品を、群を替えたときの振る舞いで並べます。

• 平面の方向の入れ子（13-02 の (2)）は、枠で条件づけると容器の中が独立になるという Markov 性と、Mack–Petkova の容器の恒等式から来る文で、群の非可換性を使いません 典。
• (A) 小さな T² の基点は、U(1) でも成り立つ見立てです。(4) で $R=L$ とおくと $\theta(L,L)\approx2e^{-e^2/2}$ は $L$ に依らない 1 未満の定数です（13-01 §03） 読（物理）。
• (B) 枠の減相関は、$L$ を固定すれば z の鏡映正値性の下でチェス盤の密度 $\kappa_{\rm cb}$ に置き換わり（13-05）、その構造は $\mathbb Z_2$・U(1) でも同じです（13-04）。$L$ に一様な形（一様な板のギャップ）で U(1) が失敗する見立ては無く、U(1) が失敗するのは一様な板の張力の側だけと見込まれます 読（物理、13-05 §05）。
• (C) 横広げの不等式は、U(1) と $\mathbb Z_2$ で破れ（§02）、希薄な領域の $SU(2)$ で余裕 $5/3$ で成り立つ見込みです（§04）。

命題 2 初　ある理論で、13-02 の定理 1 の結論（二進の尺度の列での $\ln(1/\theta(R_k,R_k))\ge\gamma R_k^2$ と、板の上の $k$ に依らない張力）が偽なら、その理論では (A)・(B)・(C) の少なくとも一つが偽である。

証明　定理 1 の対偶。∎

弱結合の U(1) では、板の上の張力は $e^2/L^2$ の程度で 0 に向かうと見立てられ（13-01 §03）、定理 1 の結論は偽です。命題 2 により三つの仮定のどれかが偽で、上の並びでは (A) は成り立ち、(C) が破れています。この還元の中で、U(1) と $\mathbb Z_2$ を外すために必ず使われる仮定は横広げの不等式だけで、そこが非可換の力学の入る場所です 読（物理。U(1)・$\mathbb Z_2$・$SU(2)$ の振る舞いの見立ての上）。

この言い方には二つの限定が付きます。

• 還元に依る。「唯一の場所」は 13-02 の連鎖の中の言い方です。帯を「β 単調性」と「繰り込みの比較」に分ける別の還元（13-06）では、漸近自由は比較の結合の移動 $\beta'\lt\beta$ に入ります。同じ物理が、還元ごとに別の形の不等式に入ると読むのが自然ですが、二つの還元の間の正確な対応は示されていません。
• 符号の見立ては二つの端だけ。$5/3$ の余裕は希薄な領域（$L\Lambda\ll1$）・一ループの勘定で、閉じ込めの領域の「対数だけ」も見立てです。横広げの不等式を帯 $L\sim1/\Lambda$ で示す道具はありません。帯の難しさは、この一つの不等式の中の、この一つの尺度の区間に集まっています。

容器を平面の方向の全体（周期 $M$ の $T^2_M$）にとった大域の形（13-01 の (8)）で、横の $T^2$ を $N_T\times N_T$ に広げたときの渦の自由エネルギー $\Delta F=F_v$（捩れの流束 $n_{34}$ を入れた分配関数との比、$\theta=\tanh(\Delta F/2)$）を、レプリカ交換と Bennett の受理率の方法で測った値です 読。格子は $N_T^2\times M^2$、捩れ $n_{12}=1$、Wilson 作用。誤差は出所の推定の値で、種の数は出所に記載がありません。

読みは次のとおりです 読。

• $U(1)$ では、二つの $M$ のどちらでも、横を広げると $\Delta F$ が増えます（渦が高くなる）。$M=8$ で $\theta$ は $N_T=4,6,8$ で $0.39,\ 0.78,\ 0.99$、$\ln(1/\theta)$ は $N_T=4\to8$ で $0.93\to0.012$（約 80 分の 1）。§02 の予言の向きです。
• $SU(2)$ では増え方がずっと緩やかか、増えません。$M=8$、$\beta=2.5$ の $\ln(1/\theta)$ は $N_T=4\to8$ で $1.19\to0.45$（約 2.6 分の 1）、$\theta$ の比 $0.64/0.31\approx2$ は強い形が $s=2$ で許す $4C$ の中です。$M=12$ と $\beta=2.4$ では $N_T=4\to8$ で $\Delta F$ は減ります。例外は $\beta=2.5$、$M=8$ の $N_T=8$（$N_T=M$ の対称なトーラス）で、$\Delta F$ は $0.33$ から $1.51$ に上がっています。

限界も同じ重さで書きます。$\theta$ が 1 の程度の領域なので、$\theta\le1$ のために U(1) の $\theta$ の比も 2.5 程度に抑えられ、この幾何での判別力は弱い。$\beta$ は各理論で一点か二点で、U(1) の $\beta=1.5$ と $SU(2)$ の $\beta=2.5$ は同じ物理に合わせたものではありません。誤差は $0.04$〜$0.8$ です。$N_T=2$ の値は格子の人工物の領域です（13-02 §06）。向きの兆候であって、横広げの不等式の試験の結論ではありません。測定の詳しい表は 12-08 と 13-09 に置きます。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 典 BOG    Bogomolny の下界 S ≥ 8π²|Q|/g²                       連続・古典
[02] 典 HALF   捩れの下で Q は半整数                                 T²_L × R²
[03] 典 AF     8π²/g²(L) = (11N/3) ln(1/LΛ)                         一ループ
[04] 典 TU     T_R ~ Λ²(ΛL)^(5/3) sin²(π|R|/N)                      希薄・一ループ
[05] 初 CS     補題 1：∫f² ≥ Φ²/|Ω|
[06] 初 ABEL   アーベルの作用 ≥ (A_T/2e²A_D)Φ² ⟸ [05]               各断面の流束が同じ
[07] 読 COUL   U(1)：θ ≈ 2exp(−e²A_D/2A_T)                          見立て
[08] 読 U1X    U(1) で横広げは破れる ⟸ [06][07]
[09] 読 Z2X    Z₂ で横広げは破れる                                   弱結合・壁
[10] 読 LUMP   SU(2) の渦は大きさ L の自己双対の塊 ⟸ [01][02]       古典的な費用 0
[11] 初 POI    E[(−1)^n] = e^(−2m)
[12] 読 DIL    θ ≈ e^(−2ζA_D)、ln(1/θ) ∝ A_D L^(5/3) ⟸ [03][04][11]  希薄・一ループ
[13] 読 MAR    余裕 5/3 = 11/3 − 2 が符号 ⟸ [08][10][12]
[14] 読 RAT    希薄な SU(2) で比 ≤ 1 ⟸ [12]
[15] 読 CONF   閉じ込めの領域は対数だけ                              見立て
[16] 初 CP     命題 2（定理 1 の対偶）                               13-02
[17] 読 ONLY   この還元の中で群を分けるのは横広げだけ ⟸ [08][09][13][16]
[18] 読 NUM    表 2 の向き                                           小さな格子・β 一〜二点

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。紙で立つ節点は [05]・[06]・[11]・[16] の四つで、どれも初等的です。章の主張 [13]・[17] は「読（物理）」で、その前提に見立ての行 [07]・[10]・[12] が入っています。数値の行 [18] はどの結論の前提にも入っていません。横広げの不等式そのものの節点はありません。それは仮定として 14-02 の台帳に置かれます。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 横広げの不等式・区画の偏り $\theta$・自己双対の塊（分数インスタントン）・希薄な気体・余裕 $5/3$・横の二次元のエントロピー・クーロン相・移り変わりの帯（帯）。意味は A-02 用語集 と A-06 仮定の索引 にあります。

次に読む章：13-04 構造だけでは渡れない — 鏡映正値性や双対性だけでは横広げの不等式が出ない理由。

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