2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 13 部 移り変わりの帯β 単調性・繰り込みの比較・両端と帯 · Kiichi, Shiori and Rin

繰り込みの比較 — 群を区別する比較

対象は 12-01 の板です。格子 $(\mathbb Z/N)^2\times(\mathbb Z/M)^2$ に $SU(2)$ の Wilson 作用を置き、$(1,2)$ 平面に捩れ $n_{12}=1$ を入れます。$(3,4)$ 平面の流束 $n_{34}$ を区画とし、渦の自由エネルギーを

と書きます。$\theta$ は 't Hooft の判定に使う量で、帯の正しい形は「$\ln(1/\theta(L,L))\ge cL^2$ が $L$ に一様」でした（13-01）。渦の自由エネルギーが大きいほど $\theta$ は小さく、閉じ込めの側です。

帯を渡る言明を、次の二つに割ります 仮（どちらも未証明の言明として置く）。

(2) の左辺は、作用の差の平均として等式で書けます：$\partial_\beta\Delta F=\langle\Delta S\rangle$（渦の有る区画と無い区画の作用の平均の差）初（分配関数を $\beta$ で微分するだけ）。(3) は、2 倍に粗くした格子の渦が、結合を強めた元の大きさの格子の渦より高くつかない、という比較です。

二つを合わせると帯を渡る筋が立ちます。(3) を $\beta_0\gt\beta_1\gt\beta_2\gt\cdots$ と反復すると、格子を $2^k$ 倍にした渦の自由エネルギーが、結合 $\beta_k$ の元の格子の値の $K^k$ 倍以下に押さえられます。$\beta_k$ が強結合の範囲に入れば、そこでの渦の自由エネルギーは面積の指数で小さく、段を重ねるごとに二重指数で小さくなるので、$K^k$ の損失に勝ちます。(2) は、反復の途中で $\beta'$ を必要より小さく選んでも損をしない、という調整の役をします。

漸近自由が入るのは (3) の $\beta'\lt\beta$ だけです。 (2) は群を区別する仕組みを含まない形の文です。$\mathbb Z_2$ と $U(1)$ では、捩れの背景が無ければ Ginibre の不等式から出ますが、この章の板には捩れ $n_{12}=1$ があり、その場合は $\mathbb Z_2$ でも Ginibre の不等式では出ません 仮（Ginibre の不等式の当てはめは原典の本文で照合していない）。一方 (3) の向きは群で変わります。$U(1)$ では一ループで $\beta'\ge\beta$ になり、反復は強結合へ向かわず、正しく失敗します。非可換の $SU(2)$ で $\beta'\lt\beta$ になるのは、漸近自由（4-06）、つまり格子を粗くすると実効的な結合が強まることの言い直しです。この意味で (3) は「群を区別する比較」でなければなりません。

例。強結合の端では (3) が $K\approx4$ で成り立ちます（§03）。格子を 2 倍にすると、渦の面の面積は 4 倍になり、面積の指数の率 $\sigma(\beta)$ を 4 倍にした $\beta'$、すなわち $\sigma(\beta')=4\sigma(\beta)$ で釣り合います。$\beta=1.0$ なら $\beta'\approx0.013$ です（表 1）。強結合では一段で結合が大きく動きます。

Tomboulis（2007）は (3) の型の比較を Migdal–Kadanoff の間引きで作ろうとし、その流れが $U(1)$ でも強結合へ向かうことが Ito–Seiler と Kanazawa によって指摘されました 典（Ito–Seiler は残りの段を彼らの式 (3.5) の不等式 $A(\alpha)\gt A^+(\alpha)$ に帰着させ、それが示されていないと書く）。経緯と照合は 13-08 に置きます。この章で必要なのは、群を区別しない比較では帯を渡れない、という一点だけです。

(Mon) は「構造的な部品で、示せそうだ」と見えます。実際には易しくありません。電場の流束で書き直すと分かります。

流束 $n_{34}$ の区画の分配関数を、$\mathbb Z_2$ の Fourier 変換で電場の流束 $e\in\{0,1\}$ の分配関数 $Y_0,Y_1$ に分けると $Z_{n_{34}=0}=Y_0+Y_1$、$Z_{n_{34}=1}=Y_0-Y_1$ です。$E_e=\frac{d}{d\beta}\ln Y_e$ と置くと

初 証明。$\Delta F=\ln(Y_0+Y_1)-\ln(Y_0-Y_1)$ を微分し、$Y_e'=E_eY_e$ を入れて通分すると、分子は $(E_0Y_0+E_1Y_1)(Y_0-Y_1)-(E_0Y_0-E_1Y_1)(Y_0+Y_1)=2Y_0Y_1(E_1-E_0)$ です。$\theta$ の式は $\tanh(\Delta F/2)=(e^{\Delta F}-1)/(e^{\Delta F}+1)$ に $e^{\Delta F}=(Y_0+Y_1)/(Y_0-Y_1)$ を入れたものです。∎

$Y_1\gt0$（13-04 の $\theta=Y(1)/Y(0)\ge0$ の正の場合）なら、(4) から

です 初。電場の流束の自由エネルギーは、閉じ込めの相では弦の張力と流束の通る長さの積の程度です。だから (Mon) が全ての格子で成り立てば、格子単位の弦の張力 $\sigma a^2$ が $\beta$ について減ることが従う、と読めます 仮（根拠：電場の流束の自由エネルギーと弦の張力を結ぶ段は書き下していない）。格子単位の弦の張力の $\beta$ についての単調性は、$SU(2)$ では証明されていません。 Wilson ループの期待値の $\beta$ についての単調性すら、探した範囲で示されていません。(Mon) は、少なくともこれと同じ重さの問題です 仮。「(Mon) は構造的で示せそう」という当初の見立ては、ここで訂正されます。

手元にある部分的な結果は次のとおりです 仮（どれも証明はこの本に置いていない）。二次元で面が 1 枚・2 枚のとき（$O(4)$ の鎖の条件つきのエネルギーの単調性による）、任意の固定した格子で $\beta\to0$ の近く、捩れ $n_{12}$ の背景で $\beta\to\infty$ の近く（$n_{12}$ と $n_{34}$ を両方持つ平坦な接続が $SU(2)$ に無いので $\partial_\beta\Delta F$ が正の定数に近づく）。反例は、二次元の閉じた式（$N\le100$・$\beta\le20$）、$\mathbb Z_2$ の $2\times2\times2\times1$ の全数え上げ、四次元の $1^4$・$2^4$ の Monte Carlo のどれでも見つかっていません 読。

詰まる理由は二つ記録されています。Mack–Petkova の表示で $SO(3)$ の配位が捩れの類を持つと、条件つきの Ginibre の不等式が逆向きになり、$\partial_\beta\Delta F$ が「測りたい二つの寄与の差」そのものになること。指標展開では、三次元以上で spin network の積分の符号が定まらないこと 読（物理の見立て）。

帰結。帯の連鎖に (Mon) を全ての格子で使う必要はありません。(3) を $\Delta F(2N,2M,\beta)\le K\Delta F(N,M,\beta')$ の形で直接示せば、$\beta'$ の選び方の自由度が (Mon) の役を吸収します。だから以下では (RG-cmp) に集中します。

強結合の端

Wilson 作用の基本表現の指標展開の係数を $u(\beta)=I_2(\beta)/I_1(\beta)$ と書きます（$\beta\to0$ で $u\approx\beta/4$）。強結合の展開（5-02）で板の渦の自由エネルギーを展開すると、主要項は $(3,4)$ 平面を巻く $N^2$ 枚の平らな面（面積 $M^2$、重み $u^{M^2}$）です。記録には次の形の命題と証明の筋があります。

命題 S（強結合の端）。 絶対定数 $u_0,K_0,C$ があり、$u(\beta)\le u_0$ と全ての $N,M\ge2$ で

が成り立つ。$\sigma_N$ は $\beta$・$N$・$n_{12}$ に依るが $M$ に依らず、$\sigma_\infty=-\ln u-4u^4+O(u^5)$。仮（筋：多面体の展開で捩れの符号が $\mathbb Z_2$ のホモロジー類で決まること、面の平らな部分を二次元の指標の貼り合わせで積分してちょうど $u^{M^2}$ を出すこと、面の上の輪郭の Peierls の評価。体積の多面体と面の輪郭の相互作用の記帳（証明の第 5 段）が概略で、この本には証明を置いていない。展開の形は Münster（1981）の型だが原典の本文は照合していない）

系（強結合の端の比較）。 $\beta'$ を $\sigma_N(\beta')=4\sigma_{2N}(\beta)$ で定めると、全ての $N,M\ge2$ で $\Delta F(2N,2M,\beta)/\Delta F(N,M,\beta')=4(1+O(u))$、$\beta'\lt\beta$、$u'=u^4(1+O(u^4))$ 仮（命題 S の上の代数）。

定数は極端に粗く、$u_0\approx10^{-80}$、$\beta$ にして約 $4\times10^{-80}$ です。紙の上で強結合の端が閉じているのは、極端に強い結合の範囲だけです。これは定数の問題で、数え上げを詰めれば大きく改善できる見込みですが、平らな面の展開は粗面化（$\beta_R\approx1.9$）で止まるので、強結合の側だけで帯を覆うことはできません 読（物理の見立て）。$U(1)$ も強結合では閉じ込め、(3) を満たします。群の違いが現れるのは弱結合の側です。

表 1 の $\beta$ は命題 S の範囲（$u\le u_0$）の外にあります。主要項だけで比較の向きと大きさを見る目安で、比較が成り立つという主張ではありません。

一ループの端

弱結合の側では、(3) を変分の不等式として作ります。区画 $n_{34}=0$ の測度 $\mu_0$ を区画 $1$ へ運ぶ可測な全単射 $T$ について、Gibbs の変分原理から

です 典（Gibbs の変分原理の標準形。$J_T$ は $T$ の Jacobian）。右辺は $\mu_0$ の平均だけで書けるので、評価は片側で済みます。細かい格子 $(2N,\beta)$ の配位をブロック化して粗い格子 $(N,\beta')$ に写し、粗い格子でほぼ最適な挿入の写像を使い、細かい格子へ戻すときに揺らぎを運ぶ、という作り方を考えます。そのときの揺らぎの運び方で、一ループの答えが二つに分かれます。

一ループの勘定は、一定の背景の磁場 $B$ の中の $SU(2)$ の揺らぎ（Feynman ゲージ）の熱核の跡で行います。体積あたり、$1/(16\pi^2s^2)$ を除いて、ベクトル（4 偏極）が $\frac{Bs}{\sinh Bs}(2+2\cosh2Bs)$、ゴーストが $-2\frac{Bs}{\sinh Bs}$ です。$x=Bs$ について $\frac{x}{\sinh x}=1-\frac{x^2}6+O(x^4)$、$\cosh2x=1+2x^2+O(x^4)$ を入れると

で、$\tfrac{11}3=-\tfrac13+4$ の $+4$ はスピンの項 $\cosh2Bs$ から来ます 初（一ループの水準。展開は二行の計算）。$\tfrac{11}3$ が漸近自由の係数です。表と導き方の詳細は 12-07 に置き、ここでは結論だけを使います。

• 等長的な比較（揺らぎについて等長的な写像：恒等写像・群の平行移動・ゲージ変換・Migdal–Kadanoff 型の間引き）では、(7) の評価は一次の跡 $\tfrac12\operatorname{tr}((M_B-M_0)M_0^{-1})$ で、スピンの項の寄与はちょうど 0 です。評価は軌道だけの値より悪いので、与えうるのは高々 $-\tfrac13$ の側、すなわち $\beta'\ge\beta+0.023$（2 倍あたり）で、反漸近自由の向き、$U(1)$ と同じ向きです 初（一ループの水準）。
• 揺らぎを整形する比較（行列式 1 の最適な線形写像で揺らぎの形を変える）では、正確な $\tfrac12\ln\det$ を誤差 $\sim\Delta F^2/n$（$n$ は自由度の数）で再現し、$\beta'=\beta-0.258$（2 倍あたり）を出します 初（一ループの水準）。

数の出所：$\beta=4/g^2$、$b_0=22/(48\pi^2)$ で、一ループの結合の動きは 2 倍あたり $\beta-\beta'=4\cdot2b_0\ln2=0.2575$ です。軌道だけなら $\tfrac{11}3$ を $-\tfrac13$ に替えて $0.2575\times(-\tfrac1{11})=-0.0234$ です 初（算術）。

これで、Tomboulis の方法（間引き＝等長的）が群を区別できなかった理由が一ループの水準で数として説明できます。漸近自由を見る仕組みは、揺らぎの整形にあります。残るのは、整形した輸送の評価の誤差（渦の面の近くの局所的な KL と高次のループ）を、中程度の結合と大きな場で押さえることで、これは開いています。

両端の文は必ず条件つきで読んでください。「(RG-cmp) は両端で成り立つので、帯の幅だけが残る」とは言えません。強結合の側は $u\le u_0\approx10^{-80}$ の範囲の、記帳の一部が概略の筋で、弱結合の側は一ループの水準の計算です。非摂動の弱結合の比較は、どの $\beta$ でも示されていません。

図 1 は Wilson 作用の $\beta$ の上に、比較 (RG-cmp) と閉じ込めの状態を区間ごとに並べたものです。区間の境は目安で、どの境も定理の閾ではありません。

 β:  0 ─ 4×10⁻⁸⁰ ──── 0.3〜1 ────────── 1.9（粗面化）──── 2.7 ─────────── ∞
     │強結合の端│   下の端    │          真ん中            │   上の端    │ 一ループ
     │  仮      │   開        │          開                │  仮（論文3）│ 初（一ループの水準）
     │ 命題 S   │ 有限サイズの │ 一つの非可換な不等式       │ 固定した N  │ 整形した比較
     │ (6)      │ 判定・計算機 │ 四つの顔（§07）           │ の準古典    │ β−β′=0.258
     │          │ 援用の数え上げ│                           │             │ 等長的なら β′≥β+0.023
                          ↑
          数値（読）：SU(2) は帯の全体で β′ < β（§05）。U(1) は β_c ≈ 1.01 で符号が反転

• 強結合の端 仮：命題 S。定数 $u_0\approx10^{-80}$ のまま本に証明を置けないので「仮」です。
• 下の端（$\beta\approx0.3$〜$1$）：開。候補は、箱の境界の中心の磁束を変えたときの内側への影響 $\delta(L_0,\beta)$ による Dobrushin–Shlosman 型の有限サイズの判定と、許される面の成長定数を計算機援用の数え上げで示して $u_0$ を $0.04$〜$0.12$ へ上げる道（見込みの範囲は物理の見立て）。どちらも $\beta\approx1$ より上へは届かない見込みです。
• 真ん中（$\beta\approx1$〜$2.7$）：開。非可換性を使う不等式が一つ要り、それを担う局所量の候補が四つあります（§07）。
• 上の端（固定した $N$ で大きな $\beta$）：閉じ込めの向きは、この本の検討から出た論文 3 の定理 A（固定した $N$ で $-\ln\theta\ge c\beta^{-a}e^{-\beta(S_*+\varepsilon)}M^2$）に紙の証明があります。ただしチェス盤の一般の定理と Morse–Bott の補題を引用していて、この本には証明を置いていないので「仮」とします 仮。$M$ に一様な逆向きの評価と、率 $S_*$ が最小作用 $S_{\min}$ に一致することは開いています。$N$ を増やす向きは、真ん中と同じ問題です。
• 一ループ 初：§03 の (8) と二つの比較。摂動の水準です。

帯の幅をどう数えるかは、下の端をどこに置くかで変わります。強結合の展開が数値の上で有効なのは $\beta\approx0.3$〜$0.5$ までと見られ、記録はこの帯を「Wilson 作用の $\beta$ で、およそ 0.5〜2.7」と書いています 読（物理の見立て）。紙の上の帯は $u_0$ の小ささのぶん、ずっと広く $[4\times10^{-80},\,2.7]$ です。

(RG-cmp) を数値で直接試します。手順は、細かい格子の渦の自由エネルギーを測り、それと同じ値を与える粗い格子の $\beta'$ を、粗い格子の $\Delta F$ の曲線から読むことです。測り方はどれも、レプリカ交換で区画をまたぐ標本を作り、Bennett の受理比（BAR）で自由エネルギーの差を出すものです。誤差は統計誤差で、種（乱数の初期値）を替えた二本の差が表示の誤差の 1〜2 倍になる点があり、誤差は小さめに出ている可能性があります。どの数も読みで、証明ではありません 読。

粗い側の曲線は $SU(2)$ の $\Delta F(4,8,\beta')$ が $\beta'=2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7$ で $0.05,0.00,0.31,0.63,1.43,2.97$、$U(1)$ が $\beta'=1.3$〜$1.7$ で $0.42,0.55,0.83,0.92,1.46$ です。$SU(2)$ では 2 倍にすると渦の自由エネルギーが下がり（$\beta=2.7$ で $2.97\to0.92$）、一致する $\beta'$ は $\beta$ より小さい。$U(1)$ では上がり（$0.83\to2.32$、約 3σ）、$\beta'\gt\beta$ です。比較の向きが二つの群で分かれました。$U(1)$ の最初の実行（レプリカ 32）は交換の受理率の最小が 0.03 で混ざりが悪く、使っていません。

誤差は $2^4$ で 0.01〜0.08、$4^4$ で 0.03〜0.26 です。$SU(2)$ は読める全ての $\beta$（1.75〜3.0）で $\beta-\beta'\gt0$、つまり一段の階段関数に固定点がありません。強結合へ向かうほど一段の動きが大きく、表 1 の強結合の値へつながる形です。弱結合の側で 0.07 まで小さくなるのは、$2^4$ が一ループの領域には小さすぎるための格子の人工物と見られます。$U(1)$ は $\beta=1.0$ と $1.1$ の間で符号が反転します。既知の相転移 $\beta_c\approx1.01$ の位置で、閉じ込めの相では $\beta'\lt\beta$、Coulomb の相では $\beta'\gt\beta$ です。

$4^4$ の曲線は $\beta=2.6$（$3.96\pm0.13$、1 本）・$2.75$（$5.18\pm0.10$）・$2.8$（$5.60\pm0.27$）の点も使いました。$4^4\to8^4$ でも測った全ての $\beta$ で $\beta-\beta'\gt0$ で、平均は約 $+0.2$ です。一ループの漸近値 0.258 と、既知の $a\sqrt\sigma$ の値から見込まれる約 0.23 に近い値です 読。

読み方。階段関数の符号の試験は、相転移の有無を見分けています。$U(1)$ は転移の位置で反転し、$SU(2)$ は測った範囲で反転しません。これは §08 の基準 (m) の数値の姿です。ただし格子は $8^4$ までで小さく、$\beta$ の点も少なく、種の数も 1〜3 本です。「$SU(2)$ では帯の全体で符号が変わらない」は、この格子と点の上の読みです。

帯は $\beta$ について有界な閉区間 $I=[\beta_a,\beta_b]$ です。尺度を無限回またぐ比較が、有界な区間の上では有限個の段に縮みます。そのことを、次の補題の形で書きます。

仮定 (A)（帯 $I$ の上の、固定した $\beta$ での両側の面積則）。 定数 $N_1,M_0\ge2$、$c_-,c_+\gt0$、$p\ge0$ と、関数 $\sigma_N(\beta)\gt0$ があって、

• (A1) 全ての $\beta\in I$、$N\ge N_1$、$M\ge M_0$ で $\;c_-N^2e^{-\sigma_N(\beta)M^2-pM}\ \le\ \Delta F(N,M,\beta)\ \le\ c_+N^2e^{-\sigma_N(\beta)M^2+pM}$。
• (A2) $\sigma_*:=\inf_{N\ge N_1,\ \beta\in I}\sigma_N(\beta)\gt0$ で、ある $\delta\gt0$ について、$\beta,\beta'\in I$・$|\beta-\beta'|\le\delta$ なら全ての $N\ge N_1$ で $\sigma_N(\beta')\le\sigma_{2N}(\beta)+\sigma_*$。

(A1) の上側は面積則（周長の次数の誤差 $pM$ つき）、下側は「渦が安すぎない」こと、すなわち弦の張力の上界です。(A2) は率が帯の上で一様に正で、$\beta$ について少し動かしても大きく変わらないことです。

補題 1（帯の中の比較の還元）。 仮定 (A) の下で、$\beta\in I$、$\beta'\in[\beta-\delta,\beta)\cap I$、$N\ge N_1$、$M\ge M_0$ について

が成り立つ。$K$ は $N$・$M$・$\beta$ に依らない。

初 証明。$2N\ge N_1$・$2M\ge M_0$ なので、(A1) の上側から $\Delta F(2N,2M,\beta)\le c_+(2N)^2e^{-\sigma_{2N}(\beta)(2M)^2+p(2M)}=4c_+N^2e^{-4\sigma_{2N}(\beta)M^2+2pM}$。下側から $\Delta F(N,M,\beta')\ge c_-N^2e^{-\sigma_N(\beta')M^2-pM}$。$\eta:=4\sigma_{2N}(\beta)-\sigma_N(\beta')$ と置くと、(A2) から $\eta\ge3\sigma_{2N}(\beta)-\sigma_*\ge2\sigma_*$（$\sigma_{2N}(\beta)\ge\sigma_*$ を使う）。比は

です。二つ目の不等号は二次式 $-\eta M^2+3pM$ の最大値 $9p^2/(4\eta)$、三つ目は $\eta\ge2\sigma_*$ です。∎

系。 帯は $\lceil(\beta_b-\beta_a)/\delta\rceil$ 段以内で渡れ、その間の損失は $K$ の段数乗で、$N$・$M$ に依らない定数です 初。$\beta'$ は $\sigma_N(\beta')\le4\sigma_{2N}(\beta)-2\sigma_*$ を満たす範囲なら、もっと大きく下げても同じ証明が通ります。

較正。強結合の端の命題 S（(6)）は、(A1) を $p=0$、$c_\pm=2(1\pm C'u)$ で与えます。このとき (9) は $K=4(1+C'u)/(1-C'u)$ で、§03 の系の $4(1+O(u))$ と一致します 初（命題 S は仮なので、一致は形の一致です）。

補題 1 が言うこと。 帯の中の (RG-cmp) は、帯の各 $\beta$ での「固定した $\beta$ の閉じ込め（周長の次数の誤差つきの両側の漸近）」に還元されます。尺度をまたぐ比較そのものは要りません。帯に入るのは物理の箱が大きいときなので、(A1) が要るのは $N,M$ が相関長 $\xi(\beta)$ より十分大きい範囲だけです。

補題 1 が言わないこと。 仮定 (A) は帯のどの $\beta$ でも未証明です。上側は、四次元 $SU(2)$ の格子の中間の結合での閉じ込めという未解決の問題そのものです。探した範囲で、$\beta\approx1$ での四次元 $SU(2)$ の格子の閉じ込めの証明は見当たりません。下側（弦の張力の上界を周長の次数の精度で）も書き下していません。補題は群に依らず、非可換性は全て仮定 (A) に入っています。$U(1)$（$\beta\in(1.01,2.7)$）では仮定 (A) が偽なので、結論も出ません。この補題は道具ではなく還元で、帯を易しくしたとは言いません。

難しさが寄る場所 読（物理の見立て）。補題 1 の後、帯の中に残るのは固定した $\beta$ の問題（体積に一様な評価・凸でない大きな場・相転移が無いこと）です。尺度をまたぐ難しさは帯の中から消えるのではなく、帯の上端と紫外の制御との継ぎ目に寄ります。帯の上端では $\xi(\beta)$ が格子単位で 10 を超え、(A1) を有限の箱の計算で確かめる道は規模で止まります。そして帯の上端から先（$\beta\to\infty$）は、紫外の制御（6-07）が受け持つ範囲で、二つを同じ定数でつなぐ必要があります。11-07 §05 の三つの根で言えば、帯の中は (R3)（大きな場の非凸性）と相転移の排除、上端の継ぎ目が (R2)（紫外と赤外をつなぐ展開が無い）です。

例。強結合の側（$u\le u_0$）では、ちょうど (A) の形の言明が命題 S として（筋の水準で）あります。帯の下の端を $\beta\approx0.3$〜$1$ へ押し上げる作業（§04 の下の端）は、補題 1 の言葉では「(A1) の成り立つ区間を広げる」ことで、尺度をまたぐ比較を要りません。

真ん中の帯を渡るには、非可換性を使う不等式が一つ要る、というところまで絞れています。その一つをどの局所量で書くかについて、候補が四つあります。どれか一つを、尺度に一様に、$U(1)$ で破れる形で示せばよい、という意味で「顔」と呼びます。表 5 は名前と振る舞いの予想だけを並べたもので、詳しい検討は 13-10 にあります。どの行も見立てです 読（物理の見立て）。

数値の一例。柱の顔 $f(\ell)$ を、外枠を止めた $T^2_4\times\ell\times\ell$ の捩れの偏り $\mathbb E|\theta_B|$ で測ると、$SU(2)$（$\beta=2.3$）は $\ell=4,5,6$ で $0.23,0.07,0.09$、$U(1)$ の Coulomb の相（$\beta=1.3$）は $0.61,0.49,0.41$（$\ell=8$ で $0.25$）で、$\ell\ge5$ で $SU(2)$ は $U(1)$ の 1/5〜1/7 です 読。ただし $SU(2)$ の値は統計の底に近く、$e^{-\sigma\ell^2}$ と冪の区別はこの大きさではつきません。

四つの顔のどれについても、尺度をまたぐ比較（例えば $f(2\ell,2N,\beta)\le Kf(\ell,N,\beta')$）は大域の (RG-cmp) と同じ難しさの局所版で、易しくなったわけではありません。顔を替えて得るのは、証明の対象が「境界を止めた有限の領域の言明」に変わることです。

基準 (m)。 $U(1)$ はこの帯の中（$\beta\approx1.01$）に、閉じ込めない相への相転移を持ちます。帯を閉じる議論は、$SU(2)$ に相転移が無いことを、$U(1)$ と区別して示さなければなりません。これは「四次元 $SU(2)$ には零温度で閉じ込めない相への転移が無い」という未解決の問題と同じ重さで、この条件を満たさない案は最初から捨てられます。

§05 の階段関数の符号は、この基準の数値の姿でした。言い直すと、帯を閉じる証明は、比較の向き $\beta'\lt\beta$ が $SU(2)$ では帯の全体で変わらないことを示すことです。構造だけの議論（鏡映正値性・双対性・転送行列）は $\mathbb Z_2$・$U(1)$ でも同じ形で成り立つので、それだけでは基準を満たしません（13-04）。群を区別しない繰り込み（等長的な比較・Migdal–Kadanoff の流れ）も満たしません（§03）。

帯の全体を一度に閉じなくても、基準 (m) を満たす中間の到達点があります。

1. $\Delta F(L,L)\to0$（速さを問わない）。$U(1)$ の Coulomb の相では $\Delta F(L,L)$ は古典的な半磁束の値 $\pi^2\beta_R/2$（繰り込まれた $\beta_R$）へ向かい、$\mathbb Z_2$ の閉じ込めない相では増えるので、これを示せば既知の閉じ込めない相を排除できます 仮（相の振る舞いは見立て）。質量ギャップは出ません。数値では $U(1)$（$\beta=1.2$）の $2^4\to4^4$ が $3.10\to3.68$ と横ばい、$SU(2)$（$\beta=2.75$）が $5.95\to5.10$ です 読。
2. $\ln(1/\theta(L,L))\ge cL^2/\ln L$（ほぼ面積則）。Tomboulis–Yaffe の不等式 典 を通せば Wilson ループが周長則より速く減ります（$\langle W\rangle\le2\exp(-cA/\ln A)$ の型）。
3. 帯そのもの：$\ln(1/\theta(L,L))\ge cL^2$（13-01）。

(a) 帯のどの $\beta$ でも、(RG-cmp) も (Mon) も示していません。

(b) 強結合の端は、$u\le u_0\approx10^{-80}$ の範囲の、記帳の一部が概略の筋です。弱結合の端は一ループの水準で、非摂動の主張ではありません。「両端で成り立つ」を、この二つの条件を外して読まないでください。

(c) 補題 1 は還元で、仮定 (A) は未解決の問題を含みます。補題 1 で帯が易しくなったとは言いません。

(d) §05 の数値は $8^4$ までの小さな格子・少ない $\beta$・1〜3 本の種の読みで、相転移が無いことの証拠ではありません。

(e) 表 5 の四つの顔は候補で、どれも尺度に一様な評価を持っていません。

(f) (Mon) と弦の張力の単調性の関係は読みの段を含みます（§02）。(Mon) が偽だとも言いません。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 初 DER    ∂_β ΔF = ⟨ΔS⟩
[02] 典 GIBBS  Gibbs の変分原理 (7)
[03] 初 MON    (Mon) ⇔ E₁ ≥ E₀ ⇔ θ が増える ⟸ [01]                    Y₁ > 0
[04] 仮 HARD   (Mon) は張力の β 単調性と同じ重さ ⟸ [03]
[05] 仮 PART   (Mon) の部分的な結果
[06] 仮 STRG   命題 S（強結合の端）                                   u ≤ u₀ ≈ 10⁻⁸⁰
[07] 仮 RSTR   強結合の端の比較 K ≈ 4 ⟸ [06]
[08] 初 HK     11/3 = −1/3 + 4                                         一ループ
[09] 初 ISO    等長的な比較は β′ ≥ β + 0.023 ⟸ [02][08]              一ループ
[10] 初 SHP    整形した比較は β′ = β − 0.258 ⟸ [02][08]              一ループ
[11] 仮 THA    論文 3 の定理 A                                        固定した N
[12] 読 DBL    (4,8)→(8,16) の向きが群で分かれる
[13] 読 STEP   階段関数の符号：SU(2) は変わらず U(1) は反転
[14] 初 RED    補題 1（仮定 (A1)(A2) の下）
[15] 初 FIN    帯は有限段 ⟸ [14]
[16] 初 CAL    較正 ⟸ [06][14]                                        形の一致
[17] 読 LOC    難しさは上端と紫外の継ぎ目 ⟸ [14]
[18] 読 FACE   四つの顔 ⟸ [09][10][12][13]
[19] 読 CRIT   基準 (m) ⟸ [13]
[20] 仮 MID    ΔF(L,L) → 0 は閉じ込めない相を排除 ⟸ [19]

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。仮定 (A1)(A2) は [14] の行の条件として書き、節点にしていません。仮定の行が結論の量（帯を渡る比較）を含まないためです。この章の節点に、帯のどの $\beta$ での比較の節点も、閉じ込めの節点も、質量ギャップの節点もありません。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 移り変わりの帯・β 単調性 (Mon)・繰り込みの比較 (RG-cmp)・等長的な比較・揺らぎを整形する比較・階段関数・四つの顔・基準 (m)・還元の補題。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：13-07 時間の側から見た帯 — 第 10 部の道で帯に当たる言明と、一段目の壁「15/4 対 4」が帯の縮図であって帯ではないこと。

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