2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 13 部 移り変わりの帯横広げの不等式・倍化の反復・条件つきの還元 · Kiichi, Shiori and Rin

一つの不等式への還元

記号は 13-01 §01 のとおりです。$\theta(R;T^2_L)$ は、平面の方向の大きさ $R$ の容器 $D_R\times T^2_L$ の、典型的な枠での区画の偏りで、$\theta(R,R):=\theta(R;T^2_R)$ と書きます。目標は、物理単位で一様な $c\gt0$ について

です。$\theta(R;T^2_L)$ を変える動きは二つあります。

平面の方向の入れ子。$T^2_L$ を固定したまま、大きな容器 $R$ を内部の枠 $\Phi_{\rm int}$ で小さな容器 $R_1,\dots,R_k$ に分けると、枠を条件づけたとき小さな容器は独立なので

が成り立ちます（Mack–Petkova の容器の恒等式の入れ子の形 典、12-03）。容器を $s$ 倍にすると、右辺は $s^2$ 個の因子の積です。因子が典型的な値に近く、互いに独立に近ければ $\theta(sR;T^2_L)\approx\theta(R;T^2_L)^{s^2}$ で、乱れは大きな尺度へ伝わります。ただしこれは $T^2$ を固定した板の中の話で、板の閉じ込め（12-04）と同じ内容です。

横の $T^2$ を広げること。(1) は容器と横のトーラスを一緒に大きくすることを求めます。入れ子は $T^2$ を変えないので、それだけでは (1) に届きません。$T^2_L$ を $T^2_{L'}$ に替えると、渦の面が巻く曲面そのものが変わり、二つの尺度の容器を結ぶ関係は構造からは出てきません（13-04）。この関係を仮定として置くのが、次の節の横広げの不等式です。

仮定は名で呼びます（旧い記号との対応は A-06）。全ての長さは物理単位で、格子の人工物が無視できる $L_{\min}(a)$ 以上とします（§06）。

(A) 小さな T² の基点 仮　ある物理的な $L_0\ge L_{\min}(a)$ と $\varepsilon_0\in(0,1)$ について

希薄な分数インスタントンの気体の見立てでは $\varepsilon_0\propto(L_0\Lambda)^{11/3}$ です（12-02）。紫外の制御と挿入の一様な受理の下で示す筋が考えられていますが、示されていません。

(B) 枠の減相関 仮　定数 $C_{\rm D}\ge1$ があって、全ての $R$、$L$、整数 $s\ge1$ について

(2) の右辺は枠を共有する因子の積の平均で、Hölder の不等式だけでは冪が失われます（$\mathbb E\theta_{2R}^4\le\mathbb E\theta_R^4$ の形しか出ない）。(4) は、その積が典型的な値の積に定数の違いを除いて分かれる、という仮定です。$L$ を固定すれば、z の鏡映正値性の下でチェス盤の密度 $\kappa_{\rm cb}$ に置き換えられます（13-05）。$L$ に一様な形は開いています。

(C) 横広げの不等式（強い形） 仮　定数 $C$ があって、$L_{\min}(a)\le L\le L'\le R$ について

容器を固定して横の $T^2$ を $s=L'/L$ 倍に広げても、偏りは高々 $Cs^2$ 倍にしかならない、という文です。因子 $s^2$ は渦の面の横の位置のエントロピーです。$L'=L$ とおくと $C\ge1$ が要ります（$\theta\gt0$ なら）。

(C′) 横広げの不等式（弱い形） 仮　二進の尺度 $R_k=2^kR_0$ について、$0\le\varepsilon_k\lt1$、$\sum_k\varepsilon_k\lt\infty$、定数 $C'\ge0$ があって

横を二倍に広げる一段ごとに、$\ln(1/\theta)$ の割合 $\varepsilon_k$ と定数 $C'$ を失ってよく、失う割合の総和が有限であればよい、という文です。強い形 (5) は $s=2$ で $\ln(1/\theta)$ を定数 $\ln(4C)$ だけ失う形なので、(6) の $\varepsilon_k=0$ の場合に当たります。

定理 1（条件つきの還元） 初　(A) 小さな T² の基点・(B) 枠の減相関・(C) 横広げの不等式（強い形）を仮定する。$K:=4C\,C_{\rm D}$（$\ge1$）とおき、整数 $s\ge1$ を

となるように選ぶ（$s^2(1-\varepsilon_0)^{s^2}\to0$ なので選べる）。$R_0:=sL_0$、$R_k:=2^kR_0$ とおくと、全ての $k\ge0$ で

さらに (B) の下で、13-01 の命題 2 により、板 $T^2_{R_k}\times\mathbb R^2$ の上の、一辺が $R_k$ の倍数の正方形のループで $|\langle W(C)\rangle|\le C_{\rm D}e^{-\gamma A}$。張力の下界 $\gamma$ は $k$ に依らない。

証明　三段で示す。

段 1（跳躍）。(B) を $R=L=L_0$ と $s$ で使い、(A) を入れると $\theta(sL_0;T^2_{L_0})\le C_{\rm D}(1-\varepsilon_0)^{s^2}$。次に (C) を $L=L_0$、$L'=R=sL_0$ で使うと

段 2（一段の倍化）。$t_k:=\theta(R_k,R_k)$ とおく。(B) を $R=L=R_k$、$s=2$ で使うと $\theta(2R_k;T^2_{R_k})\le C_{\rm D}t_k^4$。(C) を $L=R_k$、$L'=R=2R_k$ で使うと

段 3（反復）。$c:=K^{1/3}\ge1$ とおくと (9) は $t_{k+1}\le c^3t_k^4$。両辺に $c$ を掛けると $ct_{k+1}\le(ct_k)^4$ なので、帰納法で $ct_k\le(ct_0')^{4^k}\le(ct_0)^{4^k}$（$0\le ct_0'\le ct_0$ を使う）。よって $t_k\le c^{-1}(ct_0)^{4^k}$。$4^k=R_k^2/R_0^2$、$ct_0\lt1$、$c\ge1$ から

最後の主張は命題 2 で $L=R_k$、$e^{-cL^2}$ を $e^{-\gamma R_k^2}$ とすればよい。∎

段 3 の反復の代数——$t_{k+1}\le c^3t_k^4$ から $ct_k\le(ct_0)^{4^k}$ と $t_k\le(ct_0)^{4^k}/c$——は Lean で検査されています（§07）。

定理 1 が言っていないこと。

• 結論は二進の列 $R_k$ の上の文です。間の尺度 $R_k\lt R\lt R_{k+1}$ に広げるには、$\theta(R,R)$ の $R$ についての単調性のような追加の性質が要り、ここでは仮定していません。
• 定数 $\gamma$ が格子間隔 $a$ に一様なのは、(A)(B)(C) の定数 $\varepsilon_0,C_{\rm D},C$ と $L_0$ が $a$ に一様なときだけです。
• (B) は二か所で使われます——入れ子の冪（段 1・段 2）と、偏りから Wilson ループへの橋（命題 2）です。
• 「典型的な枠」の意味は (B) の中に入れてあります。枠の分布の裾（悪い枠の稀さ）を別に扱う形にはしていません。

注（大域の版）。枠で条件づけた $\theta$ の代わりに、トーラス $T^2_L\times T^2_M$ の上の捩れの分配関数の比（13-01 の (8)）で同じ連鎖を書けば、面積則への橋は Tomboulis–Yaffe の不等式（13-01 の系 3）が担い、(B) は要りません。その代わり、基点 (A) も大域の分配関数で——渦が安いという下界として——示す必要があります。これも開いています。

弱い形 (6) でも、反復は面積の指数を保ちます。ただし跳躍の段は弱い形では作れないので、基点を一つの尺度で十分小さく置く形になります。

定理 2 初　(B) と、二進の列 $R_k=2^kR_0$ の上の (C′) を仮定し、$P:=\prod_k(1-\varepsilon_k)\gt0$、$A:=\ln C_{\rm D}+C'$、$u_k:=\ln(1/\theta(R_k,R_k))$ とおく。$u_0\gt A/(3P)$ なら、全ての $k$ で

証明　(B) を $s=2$ で使うと $\ln(1/\theta(R_{k+1};T^2_{R_k}))\ge4u_k-\ln C_{\rm D}$。(6) に入れ、$0\le1-\varepsilon_k\le1$ と $\ln C_{\rm D}\ge0$ を使うと $u_{k+1}\ge(1-\varepsilon_k)(4u_k-\ln C_{\rm D})-C'\ge4(1-\varepsilon_k)u_k-A$。$v_k:=u_k/4^k$ とおくと $v_{k+1}\ge(1-\varepsilon_k)v_k-A\,4^{-(k+1)}$。$P_k:=\prod_{i\lt k}(1-\varepsilon_i)$、$S_k:=\sum_{j=1}^k4^{-j}$ について $v_k\ge P_kv_0-AS_k$ を帰納法で示す：$k=0$ は等号。$k$ で成り立てば、$AS_k\ge0$ と $1-\varepsilon_k\le1$ から $v_{k+1}\ge(1-\varepsilon_k)P_kv_0-AS_k-A4^{-(k+1)}=P_{k+1}v_0-AS_{k+1}$。$v_0=u_0\gt0$、$P_k\ge P$、$S_k\lt1/3$ から $v_k\ge Pu_0-A/3$。∎

強い形は $\varepsilon_k=0$（$P=1$）、$C'=\ln(4C)$ の場合で、そのときの条件 $u_0\gt(\ln C_{\rm D}+\ln4C)/3=\ln K/3$ は、定理 1 の $t_0\lt K^{-1/3}$ と同じ条件です。定理 2 の $u_0$ の条件は、定理 1 の跳躍の段が担っていた役を、基点の仮定に移したものです。

横を $T^2_L$ に縮めた二次元の理論の弦の張力（板の張力）を

と定めます。一様な板の張力（13-00 の (1)）は $\inf_{L}\sigma_{\rm eff}(L)\gt0$ です。

命題 3 初　強い形 (5) が全ての $R\ge L'$ で成り立てば、$L_{\min}(a)\le L\le L'$ について $\sigma_{\rm eff}(L')\ge\sigma_{\rm eff}(L)$。

証明　$M\ge L'$ で (5) の対数を取ると $-\ln\theta(M;T^2_{L'})\ge-\ln\theta(M;T^2_L)-\ln\bigl(C(L'/L)^2\bigr)$。$M^2$ で割って $M\to\infty$ の下極限を取ると、定数の項は消えて $\sigma_{\rm eff}(L')\ge\sigma_{\rm eff}(L)$。∎

つまり強い形は、板の張力が $L$ について減らないことを含みます。閉じ込め（面積則）に要るのは $\inf_L\sigma_{\rm eff}(L)\gt0$ だけなので、強い形は閉じ込めより強い仮定です。小さな $L$ では $\sigma_{\rm eff}\propto\Lambda^{11/3}L^{5/3}$ で増え、大きな $L$ では $\mathbb R^4$ の張力 $\sigma_\infty$ に近づくと見込まれますが 読（物理）、$L\sim1/\Lambda$ で $\sigma_{\rm eff}$ が $\sigma_\infty$ を一度越えてから戻る（行き過ぎる）なら、定数 $C$ の強い形は偽で、閉じ込めは成り立ちえます。弱い形は、失う割合の総和が有限である限り、この種の行き過ぎを許します。

数値の側では、$SU(2)$、$\beta=2.5$、$M=16$ の板で、$4\times4$ のループの Creutz 比が $N_T=4,6,8,10$ で $0.059,\ 0.061,\ 0.076,\ 0.071$（誤差 $0.009$〜$0.002$、2000 測定）で、増えて飽和し、有意な行き過ぎは見えていません 読。Creutz 比は短距離の Coulomb の項を含むので、値ではなく $N_T$ についての傾向だけを読みます。格子は一つの $\beta$ だけで、$N_T$ の範囲も狭いので、帯の全体についての読みではありません。測定の表は 13-09 に置きます。

横を一方向だけ広げる形（$T^2$ を長方形 $L_1\times L_2$ にして $L_1$ だけを大きくする）は、二次元の小さな方向が有限温度の時間のように振る舞うので、正方形の形と同じには扱えない見込みです 読（物理）。この章の連鎖は正方形の形 $L_1=L_2$ しか使っていません。

(5)・(6) は、格子の人工物が無視できる $L\ge L_{\min}(a)$ に制限して述べます。$L_{\min}(a)$ は物理単位で一定に保ち、格子の単位では $L_{\min}/a\to\infty$ とします。帯の目標 (1) は $a$ に一様な連続極限の文なので、この制限は自然です。

制限が要ることは数値にも出ています。$SU(2)$、$\beta=2.5$、$M=8$ で $N_T=2\to4$ にすると、渦の自由エネルギーは $-0.01\pm0.12\to0.63\pm0.18$、偏りは $\theta\lesssim0.06\to0.31$ で、比はおよそ 5 です 読。強い形が $s=2$ で許す $Cs^2=4C$ と、誤差の範囲で境界にあります。$N_T=2$ の捩れた $2\times2$ の $T^2$ では、渦は滑らかな分数インスタントンではなく格子の上の細い渦として安く入り、板の張力が大きく出るためと読めます。小さな格子の値で強い形を試すことはできません。

定理 1 の段 3 の代数は、Lean 4 のファイル Doubling.lean（名前空間 Doubling）の二つの定理です。言明を本文の言葉で読みます。

Doubling.iterate：実数 $c$ と実数列 $t:\mathbb N\to\mathbb R$ について、仮定 $0\le c$・全ての $k$ で $0\le t_k$・全ての $k$ で $t_{k+1}\le c^3t_k^4$ の下で、全ての $k$ で $c\,t_k\le(c\,t_0)^{4^k}$。

Doubling.decay：仮定 $0\lt c$・$0\le t_k$・$t_{k+1}\le c^3t_k^4$ の下で、全ての $k$ で $t_k\le(c\,t_0)^{4^k}/c$。

本文の $K$ は Lean の $c^3$ です。機械検査が保証するのは、この実数の不等式の代数だけです。$t_k$ が区画の偏りであること、(9) の漸化式が成り立つこと——つまり (A)(B)(C)——は Lean の外にあります。二つの定理の公理は、記録では標準の三つ（propext・Classical.choice・Quot.sound）で、本書の再検査を通しています（A-04）。

定理 1 は、帯の正しい形を三つの仮定に還元しました。三つの性格は違います。

• (A) 小さな T² の基点は、弱結合の側の文で、紫外の制御と挿入の一様な受理の下で示す筋が考えられています（第 12 部・14-02）。
• (B) 枠の減相関は、$L$ を固定すればチェス盤の密度 $\kappa_{\rm cb}$ に置き換わり（13-05）、$L$ に一様な形は一様な板のギャップの問題になります。
• (C) 横広げの不等式は、この還元の中で非可換の力学が入る唯一の場所です。U(1) と $\mathbb Z_2$ では破れ、希薄な領域の SU(2) では余裕 $5/3=11/3-2$ で成り立つ見込みです（13-03、〔読〕物理）。鏡映正値性や双対性のような構造的な入力だけからは出ません（13-04）。

開いているのは、(C)（または (C′)）を、希薄な領域と閉じ込めの領域の間——$L\sim1/\Lambda$——を通して、非摂動的に示すことです。帯の難しさは、この一つの不等式に集まりました。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 典 NEST   平面の方向の入れ子 (2)                               T² を固定
[02] 仮 BASE   小さな T² の基点 θ(L₀;T²_L₀) ≤ 1 − ε₀
[03] 仮 DEC    枠の減相関 θ(sR;T²_L) ≤ C_D θ(R;T²_L)^(s²)
[04] 仮 WID    横広げの不等式・強い形 θ(R;T²_L′) ≤ C(L′/L)² θ(R;T²_L)
[05] 仮 WID′   横広げの不等式・弱い形（損失の総和が有限）
[06] 初 S⇒W    強い形は弱い形の特別な場合 ⟸ [04]
[07] 初 ITER   t_(k+1) ≤ c³t_k⁴ ⇒ ct_k ≤ (ct₀)^(4^k)                Lean Doubling.iterate・decay
[08] 初 THM1   定理 1：ln(1/θ(R_k,R_k)) ≥ γR_k² ⟸ [01][02][03][04][07]
[09] 初 THM2   定理 2：弱い形での還元 ⟸ [03][05]
[10] 初 MON    命題 3：強い形 ⇒ σ_eff は減らない ⟸ [04]
[11] 読 SHAPE  σ_eff の形（小さな L で増え、大きな L で飽和）       物理
[12] 読 CREU   Creutz 比は増えて飽和                                 β = 2.5・M = 16
[13] 読 ART    N_T = 2 → 4 で比およそ 5                              β = 2.5・M = 8
[14] 読 LMIN   L ≥ L_min(a) に制限が要る ⟸ [13]
[15] 読 SEP    (C) は U(1)・Z₂ で破れ、希薄な SU(2) で余裕 5/3      13-03

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。定理の節点 [08]・[09] の前提には、仮定の行 [02]〜[05] が必ず入っています。仮定の行は結論の量（$\theta(R_k,R_k)$ の面積の指数）を含みません——(A) は一つの小さな尺度の文、(B) は $T^2$ を固定した入れ子の文、(C) は容器を固定した比較の文です。数値の行 [12]・[13] と見立ての行 [11]・[15] は、どの定理の前提にも入っていません。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 平面の方向の入れ子・横広げの不等式（強い形・弱い形）・小さな T² の基点・枠の減相関・倍化の反復・跳躍・板の張力 $\sigma_{\rm eff}$・行き過ぎ・格子の人工物の尺度 $L_{\min}(a)$。意味は A-02 用語集 と A-06 仮定の索引 にあります。

次に読む章：13-03 非可換が効く唯一の場所 — 横広げの不等式の符号を決める $5/3=11/3-2$。

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