この本の全体 目次と読む順
- 第 0 部 入口 — この本の読み方
- 0-01 この本の読み方
- 0-02 一枚の絵
- 0-03 問題文を一語ずつ読む
- 0-04 数学の四次元と物理の四次元
- 第 1 部 数学の準備
- 1-01 ベクトル空間と線形写像
- 1-02 群とは何か
- 1-03 リー群とリー環
- 1-04 SU(2) と SU(3)
- 1-05 多様体と接空間
- 1-06 微分形式と外微分
- 1-07 ベクトル束と接続
- 1-08 確率と測度
- 1-09 無限次元の確率
- 1-10 ヒルベルト空間と自己共役作用素
- 1-11 フーリエ解析と分布
- 1-12 寄り道：四次元でだけ起きること
- 第 2 部 物理の準備
- 2-01 ラグランジアンと作用
- 2-02 場という考え
- 2-03 電磁気学はゲージ理論である
- 2-04 特殊相対論と時空
- 2-05 量子力学の骨
- 2-06 調和振動子と生成消滅
- 2-07 経路積分の考え方
- 2-08 統計力学と相転移
- 2-09 寄り道：イジング模型で見るギャップと相関長
- 2-10 緩和の時間と動的指数 z
- 第 3 部 ヤン–ミルズ理論（古典）
- 3-01 ゲージ原理
- 3-02 非可換ゲージ場
- 3-03 作用と方程式
- 3-04 幾何としてのゲージ理論
- 3-05 インスタントンと位相
- 3-06 寄り道：Donaldson とエキゾチック R⁴
- 3-07 標準模型の中のヤン–ミルズ
- 第 4 部 量子化
- 4-01 正準量子化とハミルトニアン
- 4-02 経路積分とユークリッド化
- 4-03 摂動論と Feynman ダイアグラム
- 4-04 発散と繰り込み
- 4-05 発散の代数
- 4-06 漸近自由
- 4-07 次元転移と Λ
- 4-08 ゲージ固定と Faddeev–Popov
- 4-09 場の量子論の公理
- 4-10 Osterwalder–Schrader の公理と再構成
- 4-11 質量ギャップの定義
- 4-12 寄り道：摂動級数は発散する
- 第 5 部 格子ゲージ理論
- 5-01 Wilson の格子
- 5-02 強結合展開
- 5-03 反射正値性と転送行列
- 5-04 無限体積極限とクラスター展開
- 5-05 弱結合と連続極限
- 5-06 U(1) と非可換の違い
- 5-07 モンテカルロ法
- 5-08 グルーボールと弦張力の測定
- 5-09 何を固定して極限を取るか
- 5-10 有限群の格子ゲージ理論
- 5-11 寄り道：Bakry–Émery と一リンク積分
- 第 6 部 構成的場の理論
- 6-01 構成的場の理論とは
- 6-02 二次元の可解性とヤン–ミルズ測度
- 6-03 スカラー場の構成
- 6-04 クラスター展開
- 6-05 繰り込み群の段の列
- 6-06 三次元ヤン–ミルズの紫外安定性
- 6-07 四次元
- 6-08 四次元の φ⁴ の自明性
- 6-09 確率量子化と正則性構造
- 6-10 四次元で止まる場所
- 6-11 発散以外の障害
- 6-12 寄り道：「1/0 に記号を与えれば」
- 第 7 部 物理の側から
- 7-01 物理はどう見ているか
- 7-02 閉じ込めの機構
- 7-03 弦の絵
- 7-04 大 N
- 7-05 ひも理論と余剰次元
- 7-06 余剰次元が見えなくなる仕組み
- 7-07 ゲージ場はどこから来るか
- 7-08 ホログラフィー
- 7-09 質量ギャップが幾何になる
- 7-10 四次元に戻す
- 7-11 超対称と Seiberg–Witten
- 7-12 等価原理に当たる一文
- 7-13 物理の掘り方が数学と離れる場所
- 第 8 部 二つの言葉の辞書 — 物理の視点と数学の視点
- 8-01 辞書の読み方
- 8-02 辞書 A
- 8-03 辞書 B
- 8-04 辞書 C
- 8-05 私たちの仮定の物理側の対応
- 地図
- 第 9 部 現在地と課題
- 9-01 世界はどこまで来ているか
- 9-02 二つの掘り方の切れ目
- 9-03 新しい概念の候補
- 9-04 課題の一覧
- 9-05 よくある誤解
- 9-06 証明が含むべき段 — 七段の表
- 一本目の道 — 時間の方向から
- 第 10 部 一本目の道（前半）— 時間の方向から：質量ギャップと拡散型緩和時間の仮定
- 10-00 入口 — 階段と、酔歩・物差し・時計
- 10-01 構成の筋と仮定 ξ²
- 10-02 四次元格子で試した道と壁
- 10-03 階段の四段 — なぜ 0+1 次元から始めるか
- 10-04 二重井戸の経路の測度とキンク
- 10-05 一段目の言明 — 四条件と命題 4.5
- 10-06 (H1) 相の中の局所 Poincaré
- 10-07 (H2) の地図 — 七つの道筋と環の継ぎ目
- 10-08 計算機援用とは何か — 窓の中の鎖の条件
- 10-09 区画の枠組みと道筋 5 の三本の筋
- 10-10 迂回策の一覧 — 壊れ方の型
- 10-11 (H3)(H4) と芯の定数
- 10-12 統合表と依存グラフ
- 10-13 Lean の言明と機械検査の限界
- 10-14 突き合わせ — 記録の数と既知の数
- 10-15 残件と費用 — 定理までの距離
- 10-16 主張しないこと
- 10-17 ひらめきと小さな問い
- 第 11 部 一本目の道（後半）— 仮定の形を直し、時間を連続にする
- 11-00 今後の考察 — 入口
- 11-01 仮定 ξ² を妨げる一つの形 — ほぼ保存される大域の量
- 11-02 物差しと座標を選び直す — 保存が壊れる長さ
- 11-03 仮定 ξ² を直す二つの形 — 区画の仮定 ξ² と局所の仮定 ξ²
- 11-04 片側の橋はどの仮定 ξ² を要るか
- 11-05 時間を連続にする — Hamiltonian 格子と真空の測度
- 11-06 凸性の代わりに稀さで払う — 群の上の繰り込みと対数 Sobolev
- 11-07 四次元だからこそ — 無次元の結合と位相
- 11-08 問いと、主張しないこと
- 11-A1 第 11 部の記号の対応表
- 二本目の道 — 空間の方向から
- 第 12 部 二本目の道：空間の方向から — 小さな捩れた T² と閉じ込め
- 12-00 入口 — 時間でなく空間を
- 12-01 捩れた T² と 't Hooft の流束
- 12-02 渦と分数インスタントン
- 12-03 容器 — 枠を条件づけると独立になる
- 12-04 板の閉じ込め
- 12-05 渦の挿入の恒等式
- 12-06 力学で駆動した挿入と流れの補題
- 12-07 なぜ決まった写像は失敗するか
- 12-08 測った記録
- 12-09 この道が止まる場所 — T² を広げることが帯である
- 移り変わりの帯 — 二本の道が同じ壁に着く
- 第 13 部 移り変わりの帯 — 二本の道が同じ壁に着く
- 13-00 入口 — 合流
- 13-01 帯の正しい形
- 13-02 一つの不等式への還元
- 13-03 非可換が効く唯一の場所
- 13-04 構造だけでは渡れない
- 13-05 チェス盤と同時の反転
- 13-06 繰り込みの比較 — 群を区別する比較
- 13-07 時間の側から見た帯
- 13-08 試して止まった道の地図
- 13-09 測った記録
- 13-10 新しい見方の候補
- 13-11 紫外の制御 — 無限個の段で閉じるとは何か
- 閉じる
- 第 14 部 閉じる — 条件つきの言明
- 14-00 入口 — この部の約束
- 14-01 条件つきの言明 — 質量ギャップと閉じ込めを矢印ごとに
- 14-02 条件の台帳
- 14-03 問いの表（横断の索引）
- 14-04 主張しないこと（横断の索引）
- 付録
- A-01 記号表
- A-02 用語集
- A-03 文献案内
- A-04 Lean と機械検査
- A-05 この本の作り方
- A-06 仮定の索引
- A-07 この本から出た論文
入口 — この部の約束
この章で分かること — 第 14 部の書き方の約束と、台帳が空になっても残る差。二本の道が帯で合流する図の再掲と、14-01〜14-04 の地図。
前提となる章 — 9-06（七段の表）。第 10〜13 部を読み終えていなくても読めます。
01
この部の約束
第 14 部は、条件が消えるまで、条件つきで書きます。
- 言明は矢印ごとに分け、各矢印に札を付けます。「定理」と呼ぶのは、紙の証明をこの本に置いた矢印だけです。だから 14-01 の題は「条件つきの言明」です。
- 条件は台帳（14-02）に一行ずつ置きます。行が消えるのは、紙の証明が本に置かれ、Lean の欄があればその再検査が済んだときです。研究が進むと行は消えますが、割れて増えることもあります。
- 台帳の行が全て消えても、問題文との差は残ります。 の公理（無限体積の極限・回転の回復・非自明性）、全てのコンパクト単純群、そして面積則から質量ギャップへの矢印です。この三つは台帳の外の別枠（14-02 §05）に置きます。台帳が空になることは、問題が解けることを意味しません。
- この部に「解ききった」の章は置きません。
02
二本の道が帯で合流する（再掲）
03
四章の地図
| 章 | 中身（一行） |
|---|---|
| 14-01 条件つきの言明 | 仮定の下で、質量ギャップと閉じ込めへ。矢印ごとの札と、まだ空欄の矢印（面積則からギャップへ） |
| 14-02 条件の台帳 | 条件を一行ずつ。記録の状態・札・消えるのに要るもの・依存の図・台帳の外に残る差 |
| 14-03 問いの表 | 第 10〜13 部の問いを、章と項目番号で引く横断の索引 |
| 14-04 主張しないこと | 第 10〜13 部の「主張しないこと」を、章と項目番号で引く横断の索引 |
出典
図 1 は 9-06 と同じ図です。約束の四項目の根拠は 14-02 §01・§05・§06 にあります。
次に読む章：14-01 条件つきの言明。
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改訂 2026-10-15：初版。