2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 12 部 二本目の道容器の恒等式・入れ子・四次元での限界 · Kiichi, Shiori and Rin

容器 — 枠を条件づけると独立になる

この節は〔三〕の読者に向けた要約です。式と証明は §02 以下にあります。

1. 格子の Wilson 作用は、隣り合うリンクだけを結ぶ（最近接の）作用です。だから、ある領域の内側のリンクと外側のリンクは、境目のリンクを通してしか話をしません。境目を全部止めてしまえば、別々の領域の内側は互いに独立になります。これは統計力学の Markov 性そのものです。
2. Wilson ループ $W(C)$ を、ループの張る面の上の小さな領域（容器）ごとの「区画の符号」$\sigma_j=\pm1$ の積に書き直せます（区画の和のアンサンブルで、§02）。枠（容器の外側）を止めると $\sigma_j$ どうしは独立なので、期待値は積になり、絶対値を取って平均すると $|\langle W\rangle|\le\mathbb E[\prod_j\theta_j]$、$\theta_j=|\mathbb E[\sigma_j\,|\,\text{枠}]|$ が出ます。これが補題 5 です 典。
3. $\theta_j$ は $\tanh(|\Delta F_j|/2)$ と書けます。$\Delta F_j$ は、枠を止めた容器の中で、渦が一本ある区画と無い区画の自由エネルギーの差です。渦が安く入る（$\Delta F_j$ が小さい）容器ほど $\theta_j$ は小さく、Wilson ループは小さく押さえられます。
4. この恒等式は Mack–Petkova（1980）の「渦の容器」の恒等式で、Kovács–Tomboulis（2001）の式 (18)〜(22) にそのまま書かれています。違いは、区画を和にして書いたことと、枠について最大値でなく平均を取ったことだけです。この本は新しさを主張しません。
5. 固定した区画（一つの捩れの区画）の Wilson ループに移すには、ループの内側だけでなく外側にも容器が要ります（§04 の命題 2）初。
6. 容器を平面の方向に入れ子にすると、大きな容器の偏りは小さな容器の偏りの積の平均で押さえられます（§05 の命題 3）初。ただしこれは T² の大きさを止めた板の中の話で、T² と一緒に広げる話（移り変わりの帯）には使えません。
7. 四次元の空間（R⁴）では、ループの内側の点を通る容器の長さはループとともに伸びます。容器の費用を一定に保つには太さを $\sqrt{\ln R}$ の程度に太らせる必要があり、独立な容器から出るのは $V(R)\gtrsim R/\ln R$ までです（Kovács–Tomboulis）典。小さな T² の板では容器の長さが T² の面積で止まるので、この障害は現れません。
8. 二次元の $SU(2)$ は解けるので、補題 5 の評価がどれだけ鋭いかを数で見られます。一辺 $\ell$ の容器で敷き詰めると、評価から出る弦の張力は $\sigma-\ln(16/(3\pi))/\ell^2$ の形で真の値に近づきます（§07）初＋読。

格子 $\Lambda$ は有限の超立方格子、リンク変数は $U=(U_b)\in SU(2)^{\text{リンク}}$ です。各プラケット $p$ に符号 $z_p\in\{\pm1\}$ を置き、全ての 3 次元の立方体 $c$ で $\prod_{p\in\partial c}z_p=1$（余閉）を課します。重みと測度を

と置きます（$dU_b$ は Haar 測度）。同じコホモロジー類の $z$ は中心のゲージ変換 $U_b\mapsto\omega U_b$（$\omega\in\{\pm1\}$）で移り合うので、(1) の和は、全ての 't Hooft の捩れの区画（12-01）の $SU(2)$ 分配関数の和に定数倍を除いて等しくなります（Mack–Petkova の和のアンサンブル）典。どの区画にいるかは $z$ のコホモロジー類で決まり、区画の指示関数は $z$ の関数です。この章では (1) を区画の和のアンサンブルと呼び、期待値を $\mathbb E$ と書きます。

ループ $C$ と、$C$ を張る面 $S(C)$（プラケットの集まりで、境界が $C$）を一つ取ると、

は中心のゲージ変換で変わらず、$|W(C)|\le1$ です。区画を一つに固定した Wilson ループは、(2) に区画の指示関数を掛けて条件づけたものです（§04）。

枠と容器。 格子の中に互いに離れた領域 $R_1,\dots,R_n$（容器）を取り、容器の内側の変数（内側のリンクと、内側のプラケットの $z$）を $x_j$、それ以外の全ての変数を枠 $\Phi$ と呼びます。容器の境のリンクは枠に入ります。作用は最近接なので、各プラケットの項と各立方体の拘束は、高々一つの容器の内側と枠にしか依りません。よって重みは枠を止めると分かれます。

ループ $C$ は枠の中を通り、$S(C)$ の容器 $R_j$ の内側にある部分の $z$ の積を $\sigma_j(x_j)\in\{\pm1\}$（容器の区画の符号）と書くと、(2) も分かれます。

（$c(\Phi)$ は $\tfrac12\mathrm{tr}\,U_C$ と、$S(C)$ の枠に入る部分の $z$ の積。）$\sigma_j$ は容器の内側の中心のゲージ変換で変わらないので（$S(C)$ の境界 $C$ は枠の中にある）、枠を止めた条件つきの分布の上の量としてよく定まります。また、枠を止めても $\sigma_j$ は決まりません。小さな T² の板 $(\mathbb Z/N)^2\times(\mathbb Z/M)^2$ で容器を「平面の円板 × T²」に取ると、円板の中の平面のプラケット $p$ の上の面 $S_p=\{p\}\times T^2$（$N^2$ 枚の (3,4) プラケット）は余閉で容器の内側にあり、その上の $z$ を全部反転すると、枠は変わらずに $\sigma_j$ だけが反転するからです 初（余閉であることの確かめは 12-04 §03 の手順 2）。

枠 $\Phi$ を止めたときの容器 $j$ の区画の確率を $q_j^\pm(\Phi)=\mathbb P(\sigma_j=\pm1\,|\,\Phi)$、容器の内側の二つの区画の分配関数を $Z_j^\pm(\Phi)=\sum_{x_j:\sigma_j=\pm1}f_j(\Phi,x_j)$（連続の変数では Haar 測度の積分）と書き、

と置きます。$\theta_j$ を容器 $j$ の偏り、$\Delta F_j$ を枠を止めた渦の自由エネルギーと呼びます。

典（恒等式）＋初（和のアンサンブルでの書き直し）。証明。(3) から、枠を止めた条件つきの分布は容器ごとの分布 $f_j(\Phi,\cdot)/(Z_j^++Z_j^-)$ の積で、$\sigma_j$ はそれぞれ別の容器の変数の関数なので、条件つきの期待値は積に分かれます。(4) を代入すれば第一式です。絶対値を取り、$|c|\le1$ を使って枠について平均すると第二式です。最後に $q^++q^-=1$ と $q^\pm\gt0$ から

です。∎

Lean FrameLemma（FrameLemma.frame_bound）（仮定：枠の空間・容器の数・各容器の内側の空間が有限、各容器の内側が空でない、$a(\varphi)\gt0$、$f_j(\varphi,y)\gt0$。結論：$|\sum_\varphi\sum_x a\prod_jf_j\cdot c\prod_j\sigma_j|\le\sum_\varphi a\prod_jZ_j\cdot|c|\prod_j|\sum_yf_j\sigma_j|/Z_j$、$Z_j=\sum_yf_j$）・FrameLemma（FrameLemma.sign_mean_le_one）（仮定：$f\gt0$・$\sigma=\pm1$。結論：正規化した条件つきの平均の絶対値は 1 以下）・FrameLemma（FrameLemma.ratio_eq_tanh）（仮定：$q^+,q^-\gt0$。結論：(7)）・Containers（Containers.container_bound）（仮定：有限・$a\ge0$・$|s|\le1$。結論：$|\sum_\varphi\sum_xa\,s\prod_i f_i\sigma_i|\le\sum_\varphi a\prod_i|\sum_yf_i\sigma_i|$）。どれも有限和の代数で、Haar 測度の積分・余閉な $z$・区画の位相・最近接の作用から (3)(4) が出ることは Lean の外です。

原典との対応。 Kovács–Tomboulis（hep-lat/0108017、Phys. Rev. D 65 (2002) 074501）は、固定した区画で、容器 $\Lambda_i$ の境のリンクを止めて内側を積分し、余閉な面 $V_i$ の上の結合の符号を反転した分配関数 $z^{(\mp)}_{\Lambda_i}$（彼らの式 (19)）から

を書き、(20) を Mack–Petkova（Ann. Phys. 125 (1980) 117、彼らの文献 [3]）に帰しています 典（原典の式は hep-lat/0108017 の本文で確認。Mack–Petkova の本文はこの本では確かめていません）。補題 5 との違いは二つだけです。(i) 区画を和にした (1) で書いたので、因子が $\tfrac12(1-z^-/z^+)$ でなく $(Z^+-Z^-)/(Z^++Z^-)=\tanh(\Delta F/2)$ になる（測度の規格化の違い）。(ii) (22) は枠について最大値を取るが、(6) は平均を取る。(ii) は、悪い枠が稀であることを使える余地を残します。§07 の二次元の検査では、平均の形の方が速く真の値に近づきます。

補題 5 は区画の和のアンサンブルの文です。物理で見たいのは、一つの捩れの区画に固定した Wilson ループです。板 $(\mathbb Z/N)^2\times(\mathbb Z/M)^2$ で、ループ $C$ は T² の一点 $y_0$ の (3,4) 平面の中にあるとします。区画のラベルのうち (3,4) の流束の偶奇を $(-1)^{n_{34}}$（$y_0$ の (3,4) 平面全体の $z$ の積）、それ以外のラベル（$n_{12}$ など）の指示関数を $\mathbf 1_o$ と書くと、区画 $s\in\{\pm1\}$ に固定した期待値は

です。容器をループの内側だけに置くと、分子の第二項 $\mathbb E[W(-1)^{n_{34}}\mathbf 1_o]$ は困ります。$W(-1)^{n_{34}}$ は $\tfrac12\mathrm{tr}\,U_C$ に平面の $S(C)$ の外側の $z$ の積を掛けたもので、内側の容器の符号を含まないので、補題 5 では小さくならないからです。手当ては、外側にも容器を置くことです。

初 証明。$n_{12},n_{13},n_{14},n_{23},n_{24}$ は、それぞれの平面の $z$ の積で、その平面を枠の中だけを通る直線の帯の上に取り直せる（$z$ が余閉なので積は平面の位置に依らない）ので、枠の関数です。よって $\mathbf 1_o$ は枠の関数です。(3,4) 平面は $S(C)$ とその補集合に分かれ、それぞれが枠の部分と容器の部分に分かれるので、$W=c(\Phi)\prod_j\sigma_j$、$W(-1)^{n_{34}}=c'(\Phi)\prod_k\sigma'_k$、$(-1)^{n_{34}}=c''(\Phi)\prod_j\sigma_j\prod_k\sigma'_k$（$|c|,|c'|\le1$、$|c''|=1$）です。補題 5 の第一式を枠について $\mathbf 1_o$ を掛けて平均すると、$|\mathbb E[W\mathbf 1_o]|\le\mathbb E[\mathbf 1_o\prod_j\theta_j]$、$|\mathbb E[W(-1)^{n_{34}}\mathbf 1_o]|\le\mathbb E[\mathbf 1_o\prod_k\theta'_k]$、$|\mathbb E[(-1)^{n_{34}}\mathbf 1_o]|\le\mathbb E[\mathbf 1_o\prod_j\theta_j\prod_k\theta'_k]$。(8) の分子は前の二つの和の半分以下、分母は $\tfrac12(\mathbb E[\mathbf 1_o]-\mathbb E[\mathbf 1_o\prod\theta\prod\theta'])$ 以上です。両方を $\mathbb E[\mathbf 1_o]$ で割れば (9) です。∎

(9) の第二項が平面の大きさ $M\to\infty$ で 0 に行くのは、外側の容器でも偏りが典型的に 1 より小さい場合（悪い枠の稀さが外側でも使える場合）です。この本はそれを示していません 仮。板の閉じ込めの定理（12-04）では、平面の全てのプラケットに反転の群を働かせるので、外側の項は $t^{M^2-A}$ と自動的に小さくなり、この問題は起きません。

大きな容器 $R$（平面の円板 × T²）を、内側の枠 $\Phi_{\rm int}$ で隔てた小さな容器 $R_1,\dots,R_k$ に分けます。$R$ の張る面の $z$ の積は $\sigma_R=s(\Phi_{\rm int})\prod_i\sigma_i$（$|s|=1$、枠に入る部分の $z$ の積）です。

初 証明。$\Phi_R$ と $\Phi_{\rm int}$ を合わせたものを枠として補題 5 を使い（$c=s$）、$\Phi_R$ を止めたまま $\Phi_{\rm int}$ について平均します。∎ Lean Containers（Containers.container_bound）（仮定：有限・$a\ge0$・$|s|\le1$）がこの代数の有限和の版で、Lean のファイルの説明の文が「Mack–Petkova の容器の恒等式と平面の倍化の不等式を含む」と書いている形です。

読み方。ある大きさの容器で偏りが典型的な枠で $\theta_0\lt1$ なら、平面の方向に容器を 2 倍にするたびに偏りは $\theta_0^4$ の程度に下がる、と期待できます 読（物理の見立て：(10) の右辺は積の平均で、平均の積ではないので、これは不等式から直接は出ません）。乱れは平面の方向の大きな尺度へ伝わります。

ただし、(10) は T² の大きさを止めた板の中の話です。T² を広げる（四次元の空間へ近づける）ときに要るのは、T² と容器を一緒に倍にしたときの偏り $\theta(L,L)$ の振る舞いで、(10) はそれに何も言いません（T² が変わると、渦の面が巻く曲面そのものが変わる）。そこで要る形は「$\theta(L,L)$ が 1 から一様に離れる」では足りず、$\ln(1/\theta(L,L))\ge cL^2$ の形でなければならないこと（$U(1)$ との対照）は、移り変わりの帯の章 13-01 で扱います。

補題 5 は格子の大きさにも次元にも依らない恒等式です。では、四次元の空間（R⁴ の格子）で容器をたくさん並べれば面積則が出るでしょうか。Kovács–Tomboulis（hep-lat/0108017 §3）は、それが独立な容器では届かないことを次の勘定で示しています 典（以下の (23)〜(27) は原典の式番号。原典の本文で確認）。

1. 容器 $\Lambda_i$ の、余閉な面 $V_i$ に横向きの二方向の幅を $d_i$、縦の長さを $|V_i|$ とする。十分太い容器では、全ての境界の値について $-\ln(z^{(-)}/z^{(+)})\sim|V_i|\exp(-c\,d_i^2)$ となる領分に入っていると仮定する（原典の (23)。$c$ は原典の $\rho$）。
2. 一つの容器の自由エネルギーの費用を一定の $f$ 以下に保つには $d_i^2\ge c^{-1}\ln(|V_i|/f)$ が要る（(24)）。すると $\max|f_{\Lambda_i}|\lt\tfrac12(1-e^{-f})$ は一定。
3. 辺 $T\times R$（$T\gt R$）の長方形のループの、周から離れた点を通る容器の長さは $|V_i|\sim R^{d-2}$（四次元で $R^2$）。よって太さは $\sqrt{\ln R}$ の程度に要り、ループの中に入る容器は $\sim RT/\ln R$ 個。(22) から

が出るだけで、純粋な線形のポテンシャル（面積則）にはなりません。原典は続けて、隣り合う容器の境界の値も積分して容器をできるだけ太くまとめ、横の面積 $\sim R^2$ の容器を使えば $V(R)\ge\mathrm{const}\,R-\frac{\mathrm{const}}R(\ln R+\mathrm{const})$（(27)）となること、つまり線形のポテンシャルはループの大きさの太い渦の揺らぎから来ることを述べています。また、(22) の形は粗く、鏡映正値性から出る不等式（彼らの (11)(13)、Tomboulis–Yaffe の大域の形）は格子の大きさに一様な評価で直接に面積則を与える、とも述べています 典。

この章の言葉で言い直すと、R⁴ では容器の長さがループとともに伸びるので、長さの決まった容器を独立に並べる道は面積則に届きません。小さな T² の板では、容器 $\{\text{円板}\}\times T^2$ の長さ（渦の面の面積）が T² の面積で止まるので、この障害は現れません 初（原典の勘定の (24) で $|V_i|=N^2$ が定数になることの読み替え）。障害が戻ってくるのは T² を広げるときで、それが移り変わりの帯（13-01・12-09）です。

二次元の $SU(2)$（平面の格子・Wilson 作用 $\tfrac\beta2\mathrm{tr}\,U_p$）は、プラケットが互いに独立に振る舞うので解けます。ここで補題 5 の評価が真の値にどれだけ近いかを見ます。二次元には「容器の長さ」の問題が無いので、この検査は §06 の四次元の障害については何も言いません。

設定。 ループの内側を一辺 $\ell$ の正方形の容器で敷き詰め、容器の境のリンクを枠に取ります（容器の面積 $A=\ell^2$）。枠を止めると、容器 $j$ はその境のホロノミー $V_j\in SU(2)$ しか見ません。指標 $\chi_n(V)=\sin((n+1)\vartheta)/\sin\vartheta$（$V$ の固有値 $e^{\pm i\vartheta}$、$n=0,1,2,\dots$ は表現の $2\times$スピン）と $a_n=I_{n+1}(\beta)/I_1(\beta)$（$I$ は変形 Bessel 関数）を使うと、熱核の展開から

で、容器のホロノミーは互いに独立に、分母を密度とする分布に従います。よって補題 5 の評価は容器ごとの因子の積になり、

真の値は $\langle W\rangle=a_1^{\text{面積}}$、真の弦の張力は $\sigma=-\ln a_1$ です。(13) から出る弦の張力を $\sigma_{\rm L5}(\ell):=-\ln B(\ell^2)/\ell^2$、Kovács–Tomboulis の (22) の形（枠について最大値）から出るものを $\sigma_{\max}(\ell):=-\ln\bigl(\max_V|(12)|\bigr)/\ell^2$ と書きます。

大きな容器の極限。 $A\to\infty$ では奇数の和は $n=1$ の項 $2a_1^A\chi_1(V)=4a_1^A\cos\vartheta$ が、偶数の和は $n=0$ の項 1 が主になるので、Haar の分布 $\tfrac2\pi\sin^2\vartheta\,d\vartheta$ で

です 初。補題 5 の評価は指数の部分で鋭く、損失は $1/\ell^2$ で消えます。

読み方 読。(i) $\ell=16$ の列は (14) の右辺と小数第 4 位まで一致します（例：$\beta=1$ で $1.426309-\ln(1.69765)/256=1.424242$）。(ii) 細い容器（$\ell=1$）では、$\beta$ が大きいと評価は指数的に悪くなります（$\beta=8$ で $0.0016$ 対 $0.1994$）。太い容器が要ることの、二次元での姿です。(iii) 最大値の形も同じ極限に近づきますが、遅れます。平均を取る補題 5 の方が、同じ $\ell$ で常に真の値に近い。

(ii) の $\ell=1$ の最大値の形は、閉じた形で書けます。一辺 1 の容器はプラケット一枚で、その四本のリンクは全て枠に入るので、$\mathbb E[z_p\,|\,V]=\tanh\bigl(\tfrac\beta2\mathrm{tr}\,V\bigr)$、最大値は $\mathrm{tr}\,V=\pm2$ で $\tanh\beta$ です 初。表の $\sigma_{\max}(1)$ は $-\ln\tanh\beta$（$\beta=1,2,4$ で $0.27234,\ 0.036635,\ 0.000671$）と一致します。これは次の章の板の閉じ込めの評価 $\sigma\ge-\ln\tanh(\beta N^2)$ の $N=1$ の場合と同じ式です（12-04 §05）。

(a) 新しさ。補題 5 の恒等式は Mack–Petkova の容器の恒等式で、Kovács–Tomboulis の (18)〜(22) に書かれています。区画の和のアンサンブルでの書き直し・命題 2・命題 3 は初等的で、Kovács–Tomboulis 以外の文献との照合は済んでいません。この章の結果に新しさは主張しません。

(b) 命題 2 の第二項。外側の容器の偏りが典型的に小さいこと（第二項が $M\to\infty$ で 0 に行くこと）は示していません。

(c) 命題 3 の読み。「2 倍にするたびに $\theta_0^4$」は見立てで、(10) から直接は出ません。T² を一緒に広げる話には (10) は何も言いません。

(d) 四次元の勘定。§06 の $R/\ln R$ は、原典の仮定 (23)（太い容器の自由エネルギーが境界の値に一様に $|V_i|e^{-cd_i^2}$ の形）の上の勘定で、四次元の定理ではありません。この本は (23) もその否定も示していません。

(e) 容器の自由エネルギーの一様な評価。$\Delta F_j$ を良い枠に一様に、格子間隔に一様に評価することは、この本のどこでも示していません。それには枠を止めた条件つきの測度の多重尺度の解析が要り、変分原理（分配関数の下界しか与えない）だけでは向きが足りません。

(f) Lean。機械検査の欄は有限和の代数だけです。Haar 測度・余閉な $z$・区画の位相・最近接の作用から (3)(4) が出ることは Lean の外です。

(g) 二次元の検査。表 1 は二次元の数値で、四次元の容器の長さの問題については何も言いません。

機械検査の欄の束は、本体の再検査で sorry を含まず、公理が標準の三つ（propext・Classical.choice・Quot.sound）の部分集合であることが確かめられたものです。保証されるのは有限の集合の上の実数の和と積の代数だけです（10-13）。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 典 SUM    区画の和のアンサンブル (1)                       SU(2)・有限格子
[02] 初 MKV    枠で分かれる (3)(4)・σ_j は枠で決まらない          最近接
[03] 典 KT     Kovács–Tomboulis (18)(20)(22)                     固定した区画
[04] 初 L5     補題 5 (6)(7) ⟸ [01][02]（[03] と同じ恒等式）     Lean FrameLemma.frame_bound ほか
[05] 初 P2     命題 2 (9) ⟸ [04]                                 板・内側と外側
[06] 仮 OUT    (9) の第二項 → 0                                   外側の稀さ
[07] 初 P3     命題 3 (10) ⟸ [04]                                T² 固定
[08] 読 TH4    2 倍で θ₀⁴（物理）⟸ [07]
[09] 典 KT3    R/ln R・太い容器で線形（仮定 (23) の上）           四次元
[10] 初 LEN    板では容器の長さが止まる ⟸ [09]
[11] 初 ASY    16/(3π) の極限 ⟸ [04]                             二次元
[12] 読 TAB    表 1 ⟸ [04][11]                                   浮動小数
[13] 初 ONE    一辺 1 の最大値 = tanh β ⟸ [03]                   二次元

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。[06] は仮定の行で、どの行の前提にも入っていません。[05] の不等式 (9) は [06] が無くても成り立ち、[06] は (9) を面積則として読むときにだけ要ります。この章には、連続極限の節点も、四次元の面積則の節点もありません。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 区画の和のアンサンブル・枠・容器・区画の符号・偏り $\theta$・枠を止めた渦の自由エネルギー $\Delta F$・容器の恒等式（補題 5）・内側と外側の容器・入れ子・容器の長さと太さ。意味は A-02 用語集 にあります（第 12 部の語は追加の予定）。

次に読む章：12-04 板の閉じ込め — 平面の全てのプラケットに反転の群を働かせると、格子間隔と T² を止めた板で、全ての $\beta$ の面積則が出ます。

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