2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 12 部 二本目の道板の閉じ込めの定理・群平均・細い渦 · Kiichi, Shiori and Rin

板の閉じ込め

1. 二次元の格子ゲージ理論は、どの結合でも閉じ込めます（Wilson ループが面積の指数で減る）。プラケットが互いに独立に振る舞うからです（6-02）。
2. 二つの方向が小さく閉じた板 $T^2\times\mathbb R^2$ の格子は、遠くから見れば二次元の系です。だから、T² の大きさを止めておけば、やはり全ての結合で閉じ込めると期待できます。この章はそれを、格子の上で証明つきで述べます 初。
3. 道具は 12-03 の区画の和のアンサンブルです。平面のプラケット $p$ ごとに、その真上に立つ T² の全ての点の (3,4) プラケット $N^2$ 枚の面 $S_p$ を考えます。$S_p$ の上の符号 $z$ を一斉に反転しても、余閉の条件は保たれ、リンクは変わりません。ループの内側の $p$ で反転すると Wilson ループの符号が変わり、重みは高々 $e^{\pm2\beta N^2}$ 倍しか変わりません。
4. 全ての反転の組み合わせ（$2^{M^2}$ 通り）で平均すると、Wilson ループは内側のプラケットごとの因子 $(1-r_p)/(1+r_p)$ の積で押さえられ、各因子は $\tanh(\beta N^2)$ 以下です。よって $|\langle W\rangle|\le\tanh(\beta N^2)^{A}$（$A$ はループの面積）。
5. この下界は $N$ について超指数的に弱く（$\beta=2.5$、$N=4$ で $\sigma\ge2e^{-80}$）、連続極限では 0 になります。細い渦の面を一度に反転する費用 $2\beta N^2$ が、T² の格子の点の数とともに増えるからです。物理の渦（分数インスタントン）の費用は $\pi^2\beta$ の程度で $N$ に依らないので、太い渦で同じことをする道が次の二章（12-05・12-06）です。

格子 $\Lambda=(\mathbb Z/N)^2\times(\mathbb Z/M)^2$。第 1・2 方向が T²（一辺 $N$）、第 3・4 方向が平面（周期 $M$ で切ったもの）です。群は $SU(2)$、作用は Wilson 作用 $\tfrac\beta2\sum_p\mathrm{tr}\,U_p$、T² の捩れ（$n_{12}$ など）は任意に固定します。ループ $C$ は T² の一点 $y_0$ の (3,4) 平面の中にあり、平面の中で面積 $A$（プラケットの数）の領域 $S(C)$ を囲むとします。

初（証明は §03）。(2) の $\sigma$ は格子の単位の弦の張力で、条件は「$SU(2)$・Wilson 作用・$N$ 固定・格子間隔固定・全ての $\beta$」です。(2) の右の不等式は、$u=e^{-2x}$ と置いて $-\ln\tanh x=\ln(1+u)-\ln(1-u)=2(u+u^3/3+\cdots)\ge2u$ から出ます。

手順 1（区画の和のアンサンブル）。 12-03 §02 の (1)：余閉な $z\in\{\pm1\}^{\text{プラケット}}$ と $U$ について重み $w(U,z)=\exp(\tfrac\beta2\sum_pz_p\mathrm{tr}\,U_p)$、測度は Haar × 数え上げ。$z=z_0\cdot\delta\omega$（$\omega\in\{\pm1\}^{\text{リンク}}$、$(\delta\omega)_p=\prod_{b\in\partial p}\omega_b$）と書ける $z$ は全て、Haar 測度の不変性 $U_b\mapsto\omega_bU_b$ により $z_0$ と同じ積分を与えるので、同じコホモロジー類の $z$ の和は、その類が表す捩れの区画の $SU(2)$ 分配関数の定数倍です 初。区画は $z$ の類で決まり、区画の指示関数は $z$ の関数です。ゲージ不変な Wilson ループは $W(C)=\tfrac12\mathrm{tr}\,U_C\prod_{p\in S(C)}z_p$ で、同じ置き換えで $\prod_{p\in S(C)}(\delta\omega)_p=\prod_{b\in C}\omega_b$ が $\mathrm{tr}\,U_C$ の側の符号と打ち消し合うので、区画の中では $\tfrac12\mathrm{tr}\,U_C$ と（区画の代表の選び方による符号を除いて）同じ期待値を持ちます。

手順 2（渦の面は余閉）。 平面のプラケット $p$ ごとに $S_p:=\{\,p\text{ の上の (3,4) プラケット}\,\}\times T^2$（$N^2$ 枚）と置きます。三次元の立方体のうち (3,4) の面を持つのは向き (1,3,4) と (2,3,4) のものだけで、例えば T² の点 $y$ から方向 1 に伸びて平面のプラケット $p'$ を張る (1,3,4) の立方体の (3,4) の面は、$y$ と $y+e_1$ の $p'$ の二枚です。$p'=p$ なら二枚とも $S_p$ に入り、$p'\ne p$ なら一枚も入りません。(1,2,3)・(1,2,4) の立方体は (3,4) の面を持ちません。よって全ての立方体は $S_p$ の面を 0 枚か 2 枚含み、$S_p$ の上の $z$ を反転しても余閉の条件は保たれます 初。$p\ne q$ なら $S_p$ と $S_q$ は共通のプラケットを持ちません。

手順 3（群の作用）。 平面の全てのプラケットの集合を $P$（$|P|=M^2$）とし、部分集合 $g\subseteq P$ に $z\mapsto z\cdot\chi_{S_g}$（$S_g=\bigcup_{p\in g}S_p$ の上で反転）を対応させます。これは群 $G=\{\pm1\}^P$ の作用で、余閉な $z$ の上の全単射であり、$U$ を変えないので Haar × 数え上げの測度を保ちます。

• Wilson ループ：$S(C)$ は $y_0$ の平面の中の $A$ 枚で、$S_p$ は $y_0$ の平面のプラケットを $p$ の位置の一枚だけ含みます。よって $W(g\cdot x)=W(x)\prod_{p\in g}\varepsilon_p$、$\varepsilon_p=-1$（$p\in S(C)$）・$+1$（それ以外）。
• 重み：$S_p$ の上の $z$ を反転すると作用は $-\beta\sum_{q\in S_p}z_q\mathrm{tr}\,U_q$ だけ変わるので、$r_p(x):=\exp(-\beta\sum_{q\in S_p}z_q\mathrm{tr}\,U_q)$ と置くと、$|\mathrm{tr}\,U_q|\le2$ から $r_p\in[e^{-2\beta N^2},e^{2\beta N^2}]$。$r_p$ は $S_p$ の上の値だけで決まり、面どうしは交わらないので、$w(g\cdot x)=w(x)\prod_{p\in g}r_p(x)$。

手順 4（平均）。 $\mathbb E$ を区画の和のアンサンブルの期待値、$\sum_x$ を $z$ の和と $U$ の Haar の積分とします。各 $g$ について変数の付け替えで $\sum_xW(x)w(x)=\sum_xW(g\cdot x)w(g\cdot x)=\sum_xW(x)w(x)\prod_{p\in g}\varepsilon_pr_p(x)$。$g$ について平均し、$\sum_{g\subseteq P}\prod_{p\in g}\varepsilon_pr_p=\prod_{p\in P}(1+\varepsilon_pr_p)$ を使うと

です。一枚の不等式 $|1-r|\le\tanh(a)\,(1+r)$（$r\in[e^{-2a},e^{2a}]$、ここでは $a=\beta N^2$）は、$(1-r)/(1+r)=-\tanh(\tfrac12\ln r)$ と $|\tfrac12\ln r|\le a$ から出ます。$|W|\le1$ と合わせて、(3) の左の式の右辺の絶対値は $t^A\sum_xw\prod_P(1+r_p)=t^A\,2^{M^2}\sum_xw$ 以下です。よって

この段では軌道に分ける必要がありません。$g$ ごとの付け替え（全単射）と、$g$ の和と $x$ の和の交換だけを使っています。

手順 5（固定した区画への射影）。 群 $G$ は (3,4) の流束の偶奇だけを変えます。$S_p$ は $y_0$ の (3,4) 平面のプラケットを一枚含むので $(-1)^{n_{34}}$（$y_0$ の (3,4) 平面全体の $z$ の積）を反転し、他の向きのプラケットを含まないので $n_{12}$ などの他のラベルの指示関数 $\mathbf 1_o$ を変えません。区画 $s$ に固定した期待値は 12-03 の (8) と同じく

です。$W(-1)^{n_{34}}=\tfrac12\mathrm{tr}\,U_C\prod_{p\notin S(C)}z_p$（$y_0$ の平面の補集合、面積 $M^2-A$）は、$p\notin S(C)$ の反転で符号を変え、$p\in S(C)$ の反転で変わりません。$(-1)^{n_{34}}$ は全ての $p$ の反転で符号を変えます。$\mathbf 1_o$ は $G$ で不変なので、手順 4 と同じ平均で（$\varepsilon_p$ の役を取り替えて）

(5) の分子と分母を (6) で押さえると (1) です。$M\to\infty$ で $t^{M^2-A}\to0$、$t^{M^2}\to0$（$t\lt1$）なので、極限点で $|\langle W\rangle|\le t^A$、(2) が出ます。∎

ここでは平面の全てのプラケットに群が働くので、12-03 §04 の「外側の項が小さくならない」問題は起きません。外側の項は $t^{M^2-A}$ と自動的に小さくなります。

Lean SlabConfine（SlabConfine.group_average）（仮定なし：$\sum_{g\subseteq P}\prod_{p\in g}\varepsilon_pr_p=\prod_{p\in P}(1+\varepsilon_pr_p)$）・SlabConfine（SlabConfine.factor_split）（仮定なし：内側と外側への分解）・SlabConfine（SlabConfine.tanh_bound）（仮定：$t\ge0$・$r_p\gt0$・$|1-r_p|\le t(1+r_p)$）・SlabConfine（SlabConfine.one_sheet）（仮定：$a\ge0$・$e^{-2a}\le r\le e^{2a}$。結論：$|1-r|\le\tanh a\cdot(1+r)$）・SlabAverage（SlabAverage.average_bound）（仮定：配位の集合が有限・$w\gt0$・$|W|\le1$・$g\subseteq P$ ごとの作用が全単射・$r_p\gt0$・$|1-r_p|\le t(1+r_p)$・$W(gx)w(gx)=W(x)w(x)\prod_{p\in g}\varepsilon_pr_p(x)$・$w(gx)=w(x)\prod_{p\in g}r_p(x)$。結論：$|\sum Ww|\le t^{|P\cap A|}\sum w$）。手順 4 の有限和の版です。和を Haar 測度の積分に置き換えること、余閉な $z$ と区画の位相（手順 1・2・5）は Lean の外で、本文の議論に依ります。

同じ平均を一つの容器の中だけで行うと、12-03 の偏りの言葉で書けます。平面の一辺 $\ell$ の正方形 $Q$（$\ell^2$ 枚のプラケット）と T² の積を容器とし、$Q$ を張る面の $z$ の積を $\sigma_Q$ とします。$g\subseteq Q$ の反転は容器の内側の $z$ だけを変えるので枠 $\Phi$ を変えず、$\sigma_Q$ を $\prod_{p\in g}(-1)$ 倍します。一つの $x$ の軌道 $\{g\cdot x:g\subseteq Q\}$ の上で、重みは $w(x)\prod_{p\in g}r_p(x)$ と積の形なので、軌道を条件づけると $g$ の各成分は独立で、

です 初。軌道の条件づけは枠の条件づけより細かいので

です 初。枠の最大値で押さえられるのは、細い面の反転の費用 $|\ln r_p|\le2\beta N^2$ が枠に依らず一様だからです。

極端に弱いこと。 (2) の下界は $N$ について超指数的に小さくなります。$\beta=2.5$、$N=4$ で $2\beta N^2=80$、$\sigma\ge2e^{-80}\approx3.6\times10^{-35}$ です。物理の弦の張力 $\sigma_{\rm phys}=\sigma/a^2$ の下界 $2e^{-2\beta N^2}/a^2$ は、T² の物理の大きさ $L=Na$ を止めて $a\to0$（$N=L/a\to\infty$、漸近自由により $\beta$ は増える）とすると 0 に行きます 初。連続極限では、この定理の張力の下界は 0 です。

理由は細い渦の費用。 反転の費用 $2\beta N^2$ は、厚さ一つの格子の面 $S_p$ の $N^2$ 枚を一度に裏返す作用で、T² の格子の点の数とともに増えます。一方、物理で渦の費用と考えられているのは、T² を巻く滑らかな分数インスタントンの作用 $4\pi^2/g^2=\pi^2\beta$（$\beta=4/g^2$）の程度で、$N$ に依りません（12-02）読（物理）。同じ群平均の議論は、反転の重みの比 $r_p$ が $[e^{-F},e^{F}]$ に入れば $t=\tanh(F/2)$ で通るので、細い面の反転を「太い渦を挿入する、測度を保つ写像」に置き換え、$F$ を $N$ に依らない量で押さえられれば、格子間隔に一様な下界が見込めます 仮（根拠の在りか：この章の (7) の形と、12-05 の挿入の恒等式・12-06 の力学で駆動した挿入）。そのためには、挿入の費用の一様な評価（紫外の制御）が要り、この本はそれを示していません。

また (8) は、$\sup_\Phi$ を使う議論が $N$ について超指数的に悪くなることも示しています。T² を広げる話（移り変わりの帯）で一様性を得るには、枠についての最大値でなく平均の形しか使えません（12-03 の補題 5 が平均を取る理由の一つ）。

手順 1〜5 を二次元の格子 $(\mathbb Z/M)^2$ に直接当てると、立方体が無いので余閉の条件は空で、渦の面は $S_p=\{p\}$（プラケット一枚、定理 S の式で $N=1$ と置いたもの）です。よって同じ証明が二次元の $SU(2)$ について $|\langle W\rangle|\le\tanh(\beta)^A$ を与えます。二次元の真の値は $\langle W\rangle=a_1^A$、$a_1=I_2(\beta)/I_1(\beta)$ なので、定理は全ての $\beta$ で $I_2(\beta)/I_1(\beta)\le\tanh\beta$ を含みます。

• 大きな $\beta$ での主項：$I_\nu(\beta)\sim e^\beta(2\pi\beta)^{-1/2}(1-\tfrac{4\nu^2-1}{8\beta})$ から $a_1\approx1-\tfrac3{2\beta}$、一方 $\tanh\beta\approx1-2e^{-2\beta}$。下界は真の張力 $\approx\tfrac3{2\beta}$ より指数的に小さく、矛盾はありません 初。
• 数で：真の $\sigma=-\ln a_1$ は $\beta=1,2,4,8$ で $1.4263,\ 0.8367,\ 0.4185,\ 0.1994$、定理の下界 $-\ln\tanh\beta$ は $0.2723,\ 0.0366,\ 0.00067,\ 2.25\times10^{-7}$ です 読（浮動小数）。
• この下界は、12-03 の表 1 の「一辺 1 の容器・枠の最大値の形」$\sigma_{\max}(1)$ とちょうど一致します。一辺 1 の容器ではプラケット一枚の $z$ だけが内側にあり、$\mathbb E[z_p\,|\,V]=\tanh(\tfrac\beta2\mathrm{tr}\,V)$、その最大が $\tanh\beta$ だからです 初（12-03 §07）。板の定理は「厚さ一つの容器を、枠について最大値で押さえる」評価と同じ形をしています。

四次元の板の Wilson ループの測定（Creutz 比・捩れの有無の比較）は、測った記録の章 12-08 に置きます。

定理 S の論法（コンパクトな方向を巻く中心の面の上の符号を群として平均する）は、Mack–Petkova・Tomboulis–Yaffe の渦の自由エネルギーの議論と同じ系統で、厚さ一つの容器 $\{p\}\times T^2$ の自由エネルギーを作用で直接に押さえたものに当たります 典（系統の対応は Kovács–Tomboulis hep-lat/0108017 §2〜§3 の枠組みとの比較による）。発想は古典的なので、同じ評価が文献に、あるいは言い伝えとして既にある可能性があります。照合が残っているのは次の二つです。

• Tomboulis–Yaffe（Commun. Math. Phys. 100 (1985) 313）型の議論：捩れた分配関数の比で Wilson ループを押さえる不等式（Kanazawa arXiv:0808.3442 の再述）。板の上で同じ形の評価が明示的に書かれているかは、確かめていません。
• Borgs（Nucl. Phys. B 261 (1985)、高温の格子ゲージ理論の空間的な Wilson ループの面積則）：十分高い温度で、クラスター展開により空間的な Wilson ループの面積則を示した仕事と記録されています。この本は原典の本文を確かめていません（書誌は二次の記録による）。定理 S との違いとして見込まれるのは、非可換の $SU(2)$・$N$ を止めて全ての $\beta$・評価が明示的で初等的、の三点ですが、照合は未了です。

この本の中では、定理 S は次の章の挿入の恒等式の特別な場合（細い挿入）として再び出てきます（12-05 §06）。

(a) 連続極限。(2) の下界は $a\to0$ で 0 になります。定理 S は格子間隔に一様な張力について何も言いません。

(b) 四次元の空間。定理 S は T² の大きさ $N$ を止めた文で、$N\to\infty$（四次元の空間へ近づける）では下界が消えます。四次元の閉じ込めについては何も言いません。T² を広げる段が移り変わりの帯です（12-09・13-01）。

(c) 太い渦への改良。§04 の「太い渦の写像で $F$ を $N$ に依らず押さえる」は仮の筋で、挿入の費用の一様な評価を含め、証明はありません。

(d) 先行文献。§06 の二つとの照合は済んでいません。この章の結果に新しさは主張しません。

(e) Lean。機械検査の欄は有限和の代数（群平均の恒等式・tanh の評価・一枚の不等式）だけです。$SU(2)$ の Haar 測度、余閉な $z$、区画の位相と射影（手順 1・2・5）は Lean の外です。

(f) 極限の存在。$M\to\infty$ の極限の測度の存在はこの章では扱わず、全ての極限点についての上界として述べています。

機械検査の欄の束は、本体の再検査で sorry を含まず、公理が標準の三つの部分集合であることが確かめられたものです。保証されるのは有限の配位の集合の上の和の代数で、手順 1・2・5 と Haar 測度の積分は Lean の外です（10-13）。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 初 SUM    区画の和 = 区画の分配関数の和・W の対応          SU(2)・有限格子
[02] 初 SHEET  渦の面 S_p は余閉・互いに素                      板
[03] 初 ACT    W は ε_p 倍・重みは r_p 倍、|ln r_p| ≤ 2βN²
[04] 初 AVG    群平均 (3)(4) ⟸ [02][03]                         Lean average_bound ほか
[05] 初 PROJ   固定した区画へ (5)(6) ⟸ [01][04]
[06] 初 THM    定理 S (1)(2) ⟸ [05]                             N 固定・a 固定・全ての β
[07] 初 BOX    容器の形 (7)(8) ⟸ [03]
[08] 初 ZERO   連続極限では下界 0 ⟸ [06]                       L = Na 固定
[09] 読 FI     物理の渦の費用 π²β（物理）                       希薄・半古典
[10] 仮 THICK  太い渦で一様な下界 ⟸ [07][09]                   紫外の制御の下
[11] 初 TWO    二次元へ・最大値の形と一致 ⟸ [06]
[12] 読 NUM    §05 の数 ⟸ [11]                                  浮動小数
[13] 典 FAM    渦の自由エネルギーの系統

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。定理 S（[06]）の前提は [01]〜[05] だけで、仮定の行 [10] はどの行の前提にも入りません。[10] の結論は「格子間隔に一様な下界」で、[06] の量（$N$ を止めた下界）を含みません。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 板・渦の面 $S_p$・反転の群・群平均・細い渦の費用・容器の偏り $\theta_Q$・板の閉じ込めの定理（定理 S）。意味は A-02 用語集 にあります（第 12 部の語は追加の予定）。

次に読む章：12-05 渦の挿入の恒等式 — 細い面の反転を一般の「区画を反転する全単射」に置き換えると、何が無条件に言えるか。

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