2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 13 部 移り変わりの帯除外の台帳・止まった理由・選別の基準 · Kiichi, Shiori and Rin

試して止まった道の地図

この本の検討は、帯を渡る道具を探して、多くの道を試しました。どの道も、最後には同じ一点で止まっています。中程度の結合で、尺度を大きくすると乱れが強くなることを示す、非摂動的な原理が無い、という一点です。止まり方を並べると、三つの教訓が繰り返し出てきます。

• 摂動の領域（弱結合か強結合）でしか働かない道具は、帯を渡れない。
• 局所的な操作は、捩れの区画のような位相的な量を変えられない。
• 単調性の源（相関不等式・鏡映正値性）は、閉じ込めの機構（乱れ）と逆向きに働く。

台帳の目的は、同じ道を繰り返さないことです。新しい候補を考えたら、まずこの台帳のどれかの言い換えになっていないかを確かめます（§06 はその実例です）。

各行の列は次のとおりです。

• 道：試した着想の一行の要約。
• 止まった理由：その道がどこで帯を渡れなくなったか。
• 札：止まった理由の札です。初 は理由に紙の証明がある（この本の章に置いた）、典 は原典で照合した文献に拠る、機 は計算機援用、読 は数値の読み、「読（物理）」は物理の見立ての水準の判断です。理由が見立てでも、その道を再検討しないという判断は変わりません。ただし見立ての理由で止めた道は、新しい入力があれば開き直せます。
• 出所：この本の検討の記録か、文献か。文献は、原典で照合したものに〔典〕、照合していないものに「照合未了」と書きます。

語の注意。この部では 13-00 §02 の約束に従って「帯」と書き、第 10・11 部の「窓」（サイトの窓・ħ の窓・時刻の窓）とは区別します。また、記号 (P)・(R)・T1〜T12 は使わず、「β 単調性」「繰り込みの比較」「課題」と名で書きます。

表 1 の番号 1〜28 は、この本の検討が帯を渡る原理を探して試した道で、29・30 は、その検討を別の手で確かめ直した際に、文献の中で既に止まっていたと分かった道です。札は「止まった理由」の札です。

表 1 の $N_c$ は色の数で、$T^2_N$ の大きさ $N$ とは別の量です。番号 11 は、ここに一行だけ残します。中身は撤回されたので、この本の他の場所では使いません。

表 1 の大半の札が「読（物理）」であることに注意してください。止まった理由の多くは、反例や否定の定理ではなく、「この道はこの点で帯そのものに戻る」という見立てです。証明つきの行は、番号 9（板の閉じ込めは $N$ を止めた定理で、$N$ に一様でないこと）と、表 2 の C1・C2・C5・C6 です（範囲は各行の札の括弧の中）。表 1 の 29・30 は、文献で止まっていた「典」の行です。番号 3 の「機」は階層模型の上の結果で、四次元の格子については何も言いません（階層模型では Migdal–Kadanoff の間引きが正確になる点で、四次元とは別物です）。

表 1 の 29・30 は、この本の検討が自分で試した後に、文献の中で同じ道が既に止まっていたと分かったものです。どちらも原典の本文で照合しました 典。

29　局所の渦の容器の平均 — 四次元では R/ln R まで

枠（容器の外側）を止めると容器の中の区画の符号が独立になり、Wilson ループが容器ごとの偏りの積で押さえられる、という恒等式は、12-03 §03 の補題 5 でした。これは Mack–Petkova（1980）の「渦の容器」の恒等式で、Kovács–Tomboulis（hep-lat/0108017）の式 (18)〜(22) に書かれています。違いは、区画を和のアンサンブルで書いたことと、枠について最大値でなく平均を取ったことだけで、この本は新しさを主張しません。

同じ論文の §3 が、この道の四次元での限界を述べています。辺 $T\times R$（$T\gt R$）の長方形のループの内側の点を通る容器の長さは $R^2$ の程度で、容器の費用を一定に保つには、断面の幅を $\sqrt{\ln R}$ の程度に太らせなければなりません。ループの中に入る独立な容器は $RT/\ln R$ の程度しかなく、出るのは

までです 典。線形のポテンシャル（面積則）には、ループの大きさの太い容器が一つ要ります。これは Tomboulis–Yaffe の大域の形（13-01 §04）そのもので、帯を渡ることと同じ条件です。

止まった理由を一行で言えば、長さの決まった容器を独立に並べる道は、$\mathbb R^4$ では面積則に届かない、です。小さな $T^2$ の板では、容器の長さ（渦の面の面積）が $T^2$ の面積で止まるので、この障害は現れません（12-03 §06）。障害が戻るのは $T^2$ を広げるとき、つまり帯です。

30　Migdal–Kadanoff の補間による渦の自由エネルギーの単調性

Tomboulis（arXiv:0707.2179）は、四次元 $SU(2)$ の全ての結合での閉じ込めを主張しました。議論の流れは次のとおりです 典。

1. Migdal–Kadanoff 型の間引き（格子間隔 $a\to ba$）で、分配関数の上界と下界を作る（原典の (3.4)・(3.7)）。
2. その係数をパラメータ $t$ で補間し、ある値 $t^*$ で間引きが等式になる表示を得る（(3.12)・(3.16)・(3.35)）。捩れた区画でも同じ表示を作る（(4.19)・(4.26)）。
3. 鍵の段：捩れの無い区画と捩れた区画で、同じ $t^*$ が取れること（(5.14)）。これを不等式 $A\ge A^+$（(5.15)）から導くとし、それは強結合で示せば足りる、と述べる。
4. 結論として、真の渦の自由エネルギーは間引いた系の渦の自由エネルギー以下（(5.22)）。間引いた系は強結合に流れるので、強結合展開で $F\sim L\,e^{-\hat\sigma A}$、Tomboulis–Yaffe の不等式で面積則。

これに対して二つの批判があります 典。

• Ito–Seiler（arXiv:0711.4930）：$t^*$ が二つの区画で共通に取れることは、彼らの (3.5) の不等式 $A(\alpha)\gt A^+(\alpha)$ に帰着し、それは強結合の外では示されていない。さらに、Migdal–Kadanoff の流れは群がアーベルか非可換かに依らず強結合に向かうので、議論がそのまま通るなら $U(1)$ も全ての結合で閉じ込めることになる。四次元の $U(1)$ には閉じ込めない相があるので、どこかで群を区別する入力が要る。
• Kanazawa（arXiv:0805.2742 付録 A）：補間のパラメータについての連続性の議論は成り立たない（反例を挙げる）。$U(1)$ で議論のどの段が破れるかが示されていない。任意のコンパクト連結群で Migdal–Kadanoff の流れは強結合へ行くので、繰り込みの側は $U(1)$ と $SU(2)$ を区別できず、非可換の中身は全て $t^*$ の存在に入る。

原典の脚注 10 自身が「アーベルの系では (5.15) 型の不等式は Griffiths の不等式から出る」と書いています。残りの段と合わせると $U(1)$ の閉じ込めを示すことになり、議論が群を区別していない兆候です。

止まった理由を一行で言えば、群を区別しない繰り込みは、帯を閉じる議論にならない、です。これは 13-06 §08 の基準 (m)（$U(1)$ が帯の中 $\beta\approx1.01$ に持つ転移と区別して、$SU(2)$ に転移が無いことを示す）の、文献の中の実例です。この本の横広げの不等式（13-02 §02）は、比較を「一つの理論・一つの結合の中で幾何だけを変える」形に限ったもので、$U(1)$ では破れる形をしています（13-01 §03・13-09 §02）。ただし示す難しさは同じ型で、帯を通して要ることも変わりません。

関連して、Kanazawa（arXiv:0805.2742）の定理 1 は、大きさの違う格子の捩れた分配関数の比を、結合をずらした比に結ぶ恒等式ですが、$U(1)$ でも成り立つので閉じ込めについては何も言いません 典。Ito–Seiler の別の論文（arXiv:0803.3019）は照合未了です。

表 1 の 27 です。比較原理とは、全ての平面のループ $C$ について

が成り立つ、という主張です（右辺は捩れのある板、12-04 §02）。成り立てば、板の閉じ込め（$N$ を止めて全ての $\beta$ で面積則）と合わせて、$\mathbb Z^4$ の全ての $\beta$ での面積則が出ます。だから試す価値がありました。

一ループでは真 読。背景の周りの揺らぎの熱核で比べると、各時刻で不等式が成り立ちます。像の和の色の重みは $c(n)=4\cdot\mathbf 1[n\in(2\mathbb Z)^2]-1$ で、数値で機械精度まで確かめました（一ループの水準の数値の確認で、紙の証明は置いていません）。

非摂動では偽 読。モンテカルロで、格子 $16\times16\times N_T\times N_T$（$\mathbb R^2$ の方向を周期 16、$T^2$ を $N_T$）の捩れのある板と、$16^4$ を比べました（$SU(2)$、Wilson 作用）。

(2) で $C$ を一つのプラケットに取ると、右辺は板のプラケット、左辺は $16^4$ のプラケットです。$\beta=2.1$・$N_T=2$ で板のほうが 7σ 低いので、(2) は小さなループで破れます。捩れのフラストレーション（小さな $T^2$ に捩れを押し込んだ費用）がプラケットを下げると読めます 読（物理）。弱結合の側（$\beta=2.6$）の行き過ぎは統計が足りず、確定していません。

もう一つ、$N=1$ では漸近自由の尺度の振る舞いと矛盾します 読（物理）。板の定理から $\sigma_{\rm tw}(1)\ge-\ln\tanh\beta\approx2e^{-2\beta}$ ですが、漸近自由の尺度の振る舞いを認めれば $\sigma_\infty a^2\propto e^{-(6\pi^2/11)\beta}=e^{-5.38\beta}$ で、大きな $\beta$ で (2) が逆を向きます。

止まった理由を一行で言えば、一ループで成り立つ順序が、非摂動で小さなループから壊れる、です。ここから二つの基準が出ます（§07）：(g) 一ループの言い換えでない非摂動の評価であること、(k) 小さなループ（短い尺度）で破れないか、大きなループだけを主張する形であること。大きなループだけの漸近の形（$\sigma_{\rm tw}(L)\le\sigma_\infty$）は否定されていませんが、それを示す機構が無く、表 1 の 2（差の符号を決める不等式が $SU(2)$ に無い）と同じ壁に当たります。

正の観察も一つ残ります 読（物理）。捩れのある $T^2$ は、弱結合で小さな $N_T$ から無限体積に近く、捩れの無い場合と逆の側から近づきます。断熱的な連続性の描像と合いますが、近づき方は単調でない兆候があり、単調性に基づく道具には不利な事実です。

第 12・13 部の検討の中で、表 1 とは別に捨てた道と、使える範囲を限った道があります。表 2 にまとめます。前半の五つ（C1〜C5）が「捨てた道」、後半が「範囲を限った道」です。

新しい候補を考えるときは、まず台帳のどれかの言い換えでないかを確かめます。表 3 は、帯の候補を検討した際に、候補にせず台帳の言い換えと判定した三つです。

第 10 部の迂回の検討（10-10 §04）は、0+1 次元の二重井戸の上の失敗から七つの型を取り出しました。個々の迂回策は四次元の候補と直接には重なりませんが、型の問いは四次元の候補にもそのまま当てられます。表 4 にその問いを並べます。

第 11 部の規則の候補（11-08 §02 の表 3）も、除外ではなく「どの根に効かないか」の記録として、ここで使えます。紫外と赤外をつなぐ根（11-07 の (R2)）の列に「効く」と書かれた候補は一つもなく、粗視化の一段で閉じる稀さの類（N1＋N4）で現れる「結合の窓」（第 11 部の語、11-06）は、その根の言い直しでした。帯の候補が (R2) に効くと言うなら、どの候補とも違う入力を名指す必要があります。

止まった理由を裏返すと、帯を渡る道具が満たすべき条件の候補が出ます。表 6 は、その条件を、元になった止まり方と並べたものです。どれも必要条件の候補で、満たせば帯を渡れるという十分条件ではありません 読（物理）。特に重いのは (d)・(g)・(j)・(m) の四つです。

(j) の背景には、二次元の $O(3)$ 模型でさえ格子の水準での全ての温度の指数減衰（Polyakov の予想）が未解決だという事情があります（Peled–Spinka の講義録 arXiv:1708.00058 の記述、照合未了）。四次元で一様なギャップを示す道具は、少なくともそれを示す力を持たなければなりません。

文献の較正。帯の両側で、いまの最前線はどこにあるか。照合の済んだものだけに〔典〕を付けます。

• 強結合の側：Cao–Nissim–Sheffield（arXiv:2505.16585）は、$U(N)$ の格子ヤン–ミルズで、次元 $d$ だけに依る $\beta_0(d)$ 以下の $\beta$ では全ての $N$ で面積則を示しました 典。同じ著者たちの arXiv:2509.04688 は、Durhuus–Fröhlich（1980）の質量ギャップの条件を確率力学の方法で確かめ、't Hooft の領域（$\beta\lesssim c_dN$）で面積則を得ています 典。どちらも強結合の側の結果で、帯の中の $\beta$ には届きません。
• 帯の普遍性：Gross–Neveu 模型のどの版についても、紫外の切断を外した極限でのカイラル対称性の破れの証明は無いと明記した論文があります（Fabbri–Goller arXiv:2606.13075、照合未了）。大きな $N$ の二次元模型の赤外の解析（Kopper–Magnen–Rivasseau 1995、Kopper 1999）は紫外の切断つきです（照合未了）。
• 計算機援用の繰り込み：二次元のテンソル繰り込みで、高温の固定点の近くの流れを計算機援用で示した結果（Ebel–Kennedy–Rychkov arXiv:2506.03247、照合未了）が、いまの最前線の一つと見られます。四次元 $SU(2)$ の帯からは遠い位置です。

まとめると、漸近自由な理論で、紫外の切断を外した極限での質量の生成の証明は、調べた範囲で見当たりません。帯は、この本の道に固有の穴ではなく、漸近自由な理論に共通の未解決の核心です。ただし、この一文は調べた範囲の言明で、照合未了の文献を含みます。

表 1〜表 3 の各行の札は、表の中に置きました。この頁が自分で置く行は次の十四です。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 典 MP      容器の恒等式は既知                                  Kovács–Tomboulis (18)〜(22)
[02] 典 KT      独立な容器は R/ln R まで ⟸ [01]                     R⁴
[03] 典 IS      Tomboulis の鍵の段は (3.5) に帰着・未証明            強結合の外
[04] 典 KZ      Migdal–Kadanoff の流れは群を区別しない               任意のコンパクト連結群
[05] 読 CP1     比較原理は一ループで成り立つ                        一ループの水準
[06] 読 CPX     比較原理は β = 2.1・N_T = 2 で破れる                 7σ・再実行 5.5σ
[07] 読 CPN     N = 1 の比較原理は漸近自由と矛盾                     物理
[08] 初 SLAB    板の閉じ込め（N 固定）                               12-04
[09] 初 ISO     等長的な比較は β′ ≥ β + 0.023                        12-07・一ループ
[10] 初 NOGO    構造だけでは群を区別しない                           13-04
[11] 読 REST    残りの行の止まった理由                               物理の見立て
[12] 機 HIER    階層模型の証明書                                     階層模型だけ
[13] 典 CNS     強結合の側の最前線                                   小さな β
[14] 読 CRIT    選別の基準 ⟸ [02][04][05][06][07][09][10][11]

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。[14] は結論の側の唯一の節点で、札は「読（物理）」です。この頁のどの行も、帯を渡ることも、帯を渡れないことも示しません。止まった道は「この入力の組では渡れない」と記録しただけで、その入力に何かを足した道は台帳の外にあります。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 除外の台帳・止まった理由・渦の容器・比較原理・Migdal–Kadanoff の間引き・等長的な比較・選別の基準・移り変わりの帯（帯）・β 単調性・繰り込みの比較。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：13-09 測った記録 — この部が引く数値を一頁に。

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