2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 13 部 移り変わりの帯否定の補題・電場の流束・z の鏡映正値性 · Kiichi, Shiori and Rin

構造だけでは渡れない

格子 $\Lambda=(\mathbb Z/L_1)\times(\mathbb Z/L_2)\times(\mathbb Z/M)^2$ の上の Wilson 作用の格子ゲージ理論で、横の二方向 1・2 に背景の捩れ $n_{12}=1$ を置きます（12-01）。方向 3・4 が平面です。この章で構造の入力と呼ぶのは、次の五つの組 $\mathcal I$ です。

1. 転送行列の正値性：平面の方向（3 または 4）を時間とする転送行列 $T$ が正の作用素（5-03、Osterwalder–Seiler・Lüscher 典）。
2. 中心と双対の恒等式：捩れの流束を入れることは中心変換の挿入であり、電場の流束の射影で分解できること（'t Hooft 典）。§02 の補題 1 はこの形の一つです。
3. 平面の方向の鏡映正値性：捩れを固定した z のアンサンブルでの、方向 3・4 の格子点を通る鏡映の正値性（§03 の定理 3）。
4. 格子の対称性：平行移動・回転・鏡映と、それらで捩れの類が保たれること。
5. 有限の補題：容器の恒等式と入れ子（12-03）、板の評価 $\sup_\Phi\theta_D\le\tanh(\beta L^2)^{|D|}$（12-04）、流れの補題 $\theta\le1-a$（12-06）。どれも測度と有限和の性質だけを使います。

問いは、$\mathcal I$ から横広げの不等式（13-02 の (5)）が出るか、です。答えは §04 で「出ない」です。そこへ行く前に、$\mathcal I$ の中で、区画の偏りについて確かに言えることを二つ置きます。

格子を $T^2_{L_1\times L_2}\times T^2_{M\times M}$ とし、$n_{12}=1$ に加えて平面 (3,4) を通る捩れの流束 $n_{34}\in\{0,1\}$ を入れた分配関数を $Z(1,n_{34})$ と書きます。13-01 の (8) の大域の偏りは

でした。方向 3 を時間に選びます。時刻一つ分の空間は $T^2_{L_1L_2}\times T^1_M$（方向 1・2・4）で、そこには空間の磁束 $m_4=n_{12}=1$ があります。転送行列 $T_3\ge0$ と、方向 4 の中心変換 $\hat C_4$（方向 4 に一周する結合に中心の元 $-1$ を掛ける操作）は可換で、$\hat C_4^2=1$ です。$\hat C_4$ の固有値 $(-1)^{e_4}$ で空間を分けたときの $e_4\in\{0,1\}$ が、方向 4 の電場の流束です（'t Hooft 典）。射影を $P_{e}$ とし

とおきます。

補題 1（電場の流束の形） 初　上の設定で、$Y(0),Y(1)\ge0$ で

よって $Z(1,0)+Z(1,1)\gt0$ のとき $\theta=Y(1)/Y(0)\ge0$。さらに $Z(1,1)\ge0$ なら $\theta\le1$、すなわち $F_v\ge0$ で $0\le\theta\le1$。

証明　分配関数は転送行列の跡 $Z(1,0)=\mathrm{Tr}\,T_3^{\,M}$ で、平面 (3,4) を通る捩れ $n_{34}=1$ は、時間の一周のどこかで $\hat C_4$ を挟むことと同じなので $Z(1,1)=\mathrm{Tr}(\hat C_4T_3^{\,M})$ です（'t Hooft の構成 典）。$\hat C_4=P_0-P_1$、$1=P_0+P_1$ を代入すると (3)。$P_e$ は $T_3$ と可換な直交射影なので $P_eT_3^{\,M}P_e=P_eT_3^{\,M}$ は正の作用素で、跡は 0 以上です。$Z(1,0)+Z(1,1)=2Y(0)\gt0$ のとき (1) に (3) を入れて $\theta=2Y(1)/2Y(0)$。$Z(1,1)=Y(0)-Y(1)\ge0$ から $Y(1)\le Y(0)$。∎

二つの注意があります。第一に、$\theta\ge0$ と $|Z(1,1)|\le Z(1,0)$ は (3) と $Y(e)\ge0$ だけから出るスペクトルの事実ですが、$\theta\le1$ に要る $Z(1,1)\ge0$ はそうではありません。$Z(1,1)$ は捩れた面の重み $e^{-\frac\beta2\mathrm{tr}U_p}$ を含む正の関数の積分なので 0 以上ですが、これは Boltzmann の重みの正値性で、転送行列のスペクトルからは出ません。第二に、補題 1 は「渦の自由エネルギー（磁束）が小さい ⟺ 電場の流束 $e_4=1$ の状態が $e_4=0$ に比べて重い」という 't Hooft の電場と磁場の双対性の格子版です。閉じ込めの領域では $Y(1)/Y(0)$ は電場の弦の張力で小さくなると見込まれます 読（物理、13-05 §04）。

大域の形で横広げを書くときに使う、初等的な補題を一つ添えます。

補題 2 初　$\theta=\tanh(F/2)$、$\theta'=\tanh(F'/2)$、$F,F'\ge0$ とする。$F'\le KF$（$K\ge1$）なら $\theta'\le K\theta$。

証明　$\tanh$ は $[0,\infty)$ で単調増加かつ凹で $\tanh0=0$ なので、$K\ge1$ について $\tanh(Kx)\le K\tanh x$（凹関数 $g$ で $g(0)=0$ なら $g(x)=g(\tfrac1K\cdot Kx+(1-\tfrac1K)\cdot0)\ge\tfrac1Kg(Kx)$）。よって $\theta'=\tanh(F'/2)\le\tanh(KF/2)\le K\tanh(F/2)=K\theta$。∎

つまり、渦の自由エネルギーの形の横広げ $F_v(L')\le C(L'/L)^2F_v(L)$ は、偏りの形の横広げを導きます。

設定。トーラス $\Lambda=(\mathbb Z/L)^2\times(\mathbb Z/M)^2$、$M$ は偶数とします。変数は結合 $U_\ell\in SU(2)$ と面の変数 $z_p\in\{\pm1\}$ で、次の拘束を課します。

• 全ての三次元の立方体 $c$ で $\prod_{p\in\partial c}z_p=1$（$z$ は閉じた $\mathbb Z_2$ の 2-余鎖）。
• 大域の類の固定 $n_{12}(z):=\prod_{p\in\Pi}z_p=-1$。$\Pi$ は $(x_3,x_4)$ を固定した (1,2) 平面で、$z$ が閉じているので $\Pi$ の位置に依りません。

測度は

（$dU$ は Haar 測度）です。これが 13-01 §01 の捩れを和に取ったアンサンブルで、横の捩れを固定したものです。

鏡映。$\Theta$ を方向 3 の格子点を通る鏡映 $x_3\mapsto-x_3$（mod $M$）とします。固定される平面は $P_0=\{x_3=0\}$ と $P_1=\{x_3=M/2\}$ です。結合には、方向 $\mu\ne3$ なら $U_{(x,\mu)}\mapsto U_{(\Theta x,\mu)}$、方向 3 なら $U_{(x,3)}\mapsto U_{(\Theta x-e_3,3)}^{-1}$、面の変数には $z_p\mapsto z_{\Theta p}$ で作用させ、関数には $(\Theta G)(U,z):=\overline{G(\Theta U,\Theta z)}$ で作用させます。

定理 3（z の鏡映正値性） 初　右半分 $\Lambda_+=\{0\le x_3\le M/2\}$ の変数（平面 $P_0\cup P_1$ の上の変数を含む）だけに依る任意の有界な関数 $G$ について $\langle G\cdot\Theta G\rangle_\mu\ge0$。方向 4 についても同じ。

証明　五段で示す。

段 1（変数の分割）。変数を三つに分ける。$\varphi$：平面 $P_0\cup P_1$ の上の変数（平面の中の方向 1・2・4 の結合と、平面の中の (1,2)・(1,4)・(2,4) 型の面の $z$）。$\psi_+$：右の変数（$0\le x_3\lt M/2$ から出る方向 3 の結合、$0\lt x_3\lt M/2$ の他の方向の結合、$[x_3,x_3+1]\subset[0,M/2]$ の $(3,\nu)$ 型の面、$0\lt x_3\lt M/2$ の平面の中の型の面の $z$）。$\psi_-:=\Theta\psi_+$：左の変数。$\Theta$ は $\varphi$ を動かさない。

段 2（重みの分解）。面の重み $e^{\frac\beta2z_p\mathrm{tr}U_p}$ は、$p$ が右・左・平面のどれか一つに属するので、そのどれかに入る。平面の面の重みは $A(\varphi)$ に入れる。立方体の拘束も同様に分かれる：方向 3 を含む立方体は $[x_3,x_3+1]$ を張るので片側と平面の変数だけに依り、方向 3 を含まない立方体は $0\lt x_3\lt M/2$ なら右、平面の上なら平面の変数だけに依る。大域の拘束 $n_{12}$ は $\Pi\subset P_0$ で測れば $\varphi$ の関数。よって重みは $W=A(\varphi)\,F(\psi_+,\varphi)\,F'(\psi_-,\varphi)$、$A\ge0$、$F\ge0$ の形。

段 3（左右の因子の関係）。作用と拘束は $\Theta$ で不変である。面の向きが逆になっても $SU(2)$ では $\mathrm{tr}\,U_{\Theta p}=\mathrm{tr}\,U_p^{-1}=\mathrm{tr}\,U_p$。立方体は立方体に移り、$n_{12}$ を測る平面は固定される。よって $F'(\psi_-,\varphi)=F(\Theta\psi_-,\varphi)$。

段 4（測度の不変性）。Haar 測度は逆元をとる操作で不変、$z$ の数え上げの測度は置換で不変。

段 5（正値性）。以上から

∎

最後の等式から不等式への代数（有限和の版）は Lean の ReflPos（ReflPos.refl_pos） で検査されています（§06）。正値性から出る Cauchy–Schwarz の形 $\langle G\cdot\Theta H\rangle^2\le\langle G\cdot\Theta G\rangle\langle H\cdot\Theta H\rangle$（実の $G,H$）の、因子に分けた後の代数が ReflPos（ReflPos.refl_cs） です。これはチェス盤の評価の入力です（13-05）。

定理 3 は Osterwalder–Seiler の格子点を通る鏡映の議論 典（5-03）に、$\mathbb Z_2$ の面の変数と閉性の拘束を加えたものです。要点は、立方体の拘束が一つずつ片側と平面に収まることと、大域の類 $n_{12}$ が鏡映の方向（3）と直交する平面にあって平面 $P_0$ の上で測れることです。

横向きの鏡映。同じ議論を方向 1・2 の鏡映でしようとすると、捩れが邪魔をします。

補題 4 初　$SU(2)$ で $e^{\frac\beta2\mathrm{tr}U}=\sum_jc_j\chi_j(U)$（$\chi_j$ はスピン $j$ の指標、$c_j=\frac{2(2j+1)}\beta I_{2j+1}(\beta)\gt0$）とすると、捩れた面の重みは

で、半整数の $j$ の係数が負になる。したがって、捩れを固定したまま横の方向 1・2 の鏡映の平面をまたぐ面の重みは正の型でなく、鏡映正値性の標準の議論はそこで成り立たない。

証明　$-1$ は $SU(2)$ の中心の元で、$-\mathrm{tr}\,U=\mathrm{tr}(-U)$、$\chi_j(-U)=(-1)^{2j}\chi_j(U)$。よって $e^{-\frac\beta2\mathrm{tr}U}=e^{\frac\beta2\mathrm{tr}(-U)}=\sum_jc_j\chi_j(-U)$ から (5)。$c_j$ の式と正値性は、変形 Bessel 関数 $I_n(\beta)\gt0$（$\beta\gt0$）による標準の展開です 典。正の型の重み（指標展開の係数が 0 以上）であることが、鏡映の平面をまたぐ面について標準の議論の要る性質で、(5) はそれを満たさない。∎

補題 4 の帰結は、鏡映正値性からは横の大きさ $L$ についての凸性や単調性が出ないことです。横広げの不等式は $L$ についての比較なので、それを鏡映から得る道は最初から閉じています。補題 4 が言うのは標準の議論が使えないことで、横の鏡映の正値性が全ての関数で破れることまでは示していません。

補題 5（否定の補題） 初　§01 の構造の入力の組 $\mathcal I$（転送行列の正値性・中心と双対の恒等式（補題 1 を含む）・平面の方向の鏡映正値性（定理 3）・格子の対称性・有限の補題）は、群を $SU(2)$ から $\mathbb Z_2$ または U(1) に替え、捩れの変数を $\pm1$ のまま置いた四次元の Wilson の理論でも、同じ証明で成り立つ。したがって、$\mathcal I$ だけを使って横広げの不等式を導く議論があれば、同じ議論が $\mathbb Z_2$ と U(1) でも横広げの不等式を導く。対偶として、$\mathbb Z_2$ か U(1) のどちらかで横広げの不等式が偽なら、この入力の組だけでは横広げの不等式は導けない。

証明　入力ごとに、使っている群の性質を確かめる。

• 転送行列の正値性：Osterwalder–Seiler の議論は、コンパクト群の Wilson 作用で、指標展開の係数が正の作用について成り立つ。$\mathbb Z_2$・U(1) の $e^{\beta\,\mathrm{Re}\,U_p}$ はこれを満たす 典。
• 中心と双対の恒等式：使うのは、$-1$ が群の中心にあること（$\mathbb Z_2$ と U(1) の中心は群そのもので $-1$ を含む）と、捩れの流束が中心変換の挿入であることだけ。補題 1 の証明はそのまま通る。
• 鏡映正値性：定理 3 の証明が使う群の性質は、段 3 の $\mathrm{tr}\,U_{\Theta p}=\mathrm{tr}\,U_p^{-1}=\mathrm{tr}\,U_p$ と、段 4 の Haar 測度の逆元についての不変性だけ。U(1) では作用を $\mathrm{Re}\,U_p$ で書くと $\mathrm{Re}\,U^{-1}=\mathrm{Re}\,\overline U=\mathrm{Re}\,U$、$\mathbb Z_2$ では $U^{-1}=U$ で、どちらも成り立つ。
• 格子の対称性：作用と捩れの類の定義が群に依らない形なので同じ。
• 有限の補題：容器の恒等式は枠で条件づけた独立性（Markov 性）、板の評価は面の変数の反転の軌道についての条件づけ、流れの補題は定常性だけを使い、どれも群の非可換性を使わない。

前半が示せたので、後半は論理である：議論が $\mathcal I$ の性質しか使わないなら、$\mathcal I$ を満たす全ての理論で同じ結論を与える。∎

補題 5 の前提「$\mathbb Z_2$ か U(1) で横広げの不等式が偽」は、13-03 §02 の見立てです 読（物理。U(1) のクーロン相の勘定と、弱結合の $\mathbb Z_2$ の壁の勘定）。それを認めると、横広げの不等式は構造の入力だけからは出ないという結論になります。この最後の一段は、前提の札〔読〕（物理）を引き継ぎます。

同じ議論は、弱い形（13-02 の (C′)）にも、一様な板の張力にもそのまま当てはまります。U(1)・$\mathbb Z_2$ では板の張力が $L$ とともに 0 に向かうと見立てられるので、どちらも同じ入力の組だけでは出ません 読（物理）。

補題 5 が言っていないことも書いておきます。第一に、$\mathcal I$ が帯に無用だとは言っていません。$L$ を固定すれば、定理 3 は枠の減相関をチェス盤の密度 $\kappa_{\rm cb}$ に置き換えます（13-05）。第二に、$\mathcal I$ に一つ力学の入力を足したときに何が出るかは、補題 5 の外です。第三に、強結合（小さな $\beta$）では U(1) も閉じ込めるので、補題 5 が分けるのは群そのものではなく、閉じ込めない相があるかどうかです。

補題 5 から、帯を渡る議論は $\mathcal I$ の外の入力を少なくとも一つ使わなければなりません。それは、弱結合の U(1) と $\mathbb Z_2$——閉じ込めない相——で偽になる入力でなければなりません。この本の検討で名指しできる候補は、どれも非可換の力学の性質です。

表 1 の各行は〔読〕（物理）の見立てで、どの入力も帯 $L\sim1/\Lambda$ で使える形になっていません。強結合の側では、多面体の展開で横広げの不等式が定数 $C\approx1$ で成り立つ筋が考えられています（因子 $(L'/L)^2$ が強結合の主要項の文献（Münster 1981）と整合するという報告がありますが、照合未了です）。ただし平面の大きさ $M$ に一様な評価は確かめられておらず、この本では〔仮〕に置きます。強結合では U(1) も閉じ込めるので、この行は補題 5 と矛盾しません。

補題 5 は予想どおりの結果を明示したもので、驚きはありません。役目は、帯の議論を読むときの試金石を一つ与えることです：議論が $\mathcal I$ の性質だけで進んでいるなら、その議論は U(1) でも同じ結論を与えるので、どこかに誤りがあります。13-08 の、U(1) を区別しないという批判を受けた道の記録は、この試金石の実例です。

補題 1 のスペクトルの部分と、定理 3 の段 5 の代数は、Lean 4 のファイル FluxDuality.lean・ReflPos.lean の五つの定理です。言明を本文の言葉で読みます。どれも有限集合 $\iota$（または $\Phi,\Psi$）の上の実数の和の文です。

FluxDuality.split：実数の族 $t,c:\iota\to\mathbb R$ について、仮定「全ての $i$ で $c_i=1$ または $c_i=-1$」の下で、$\sum_it_i-\sum_ic_it_i=2\sum_{c_i=-1}t_i$ かつ $\sum_it_i+\sum_ic_it_i=2\sum_{c_i=1}t_i$。本文では $t_i$ が $T_3^{\,M}$ の固有値、$c_i$ が $\hat C_4$ の固有値で、二つの式が (3) の $Z(1,0)\mp Z(1,1)=2Y(1),\,2Y(0)$ です。

FluxDuality.twisted_le：仮定「全ての $i$ で $0\le t_i$」「$c_i=\pm1$」の下で $\bigl|\sum_ic_it_i\bigr|\le\sum_it_i$。本文の $|Z(1,1)|\le Z(1,0)$ です。

FluxDuality.bias_mem：仮定「$0\le t_i$」「$c_i=\pm1$」「$0\le\sum_ic_it_i$」「$0\lt\sum_it_i+\sum_ic_it_i$」の下で、$\theta:=(\sum t-\sum ct)/(\sum t+\sum ct)$ について $0\le\theta\le1$。第三の仮定 $Z_{11}:=\sum ct\ge0$ が $\theta\le1$ に使われ、これはスペクトルの事実ではなく、本文の Boltzmann の重みの正値性に当たります。

ReflPos.refl_pos：有限集合 $\Phi,\Psi$ と実関数 $A:\Phi\to\mathbb R$、$F,G:\Psi\to\Phi\to\mathbb R$ について、仮定「全ての $\varphi$ で $0\le A(\varphi)$」の下で $\sum_\varphi\sum_{\psi_1}\sum_{\psi_2}A(\varphi)F(\psi_1,\varphi)F(\psi_2,\varphi)G(\psi_1,\varphi)G(\psi_2,\varphi)\ge0$。定理 3 の段 5 の $\int A\,|\int FG|^2\ge0$ の有限和の版で、$F$ の符号は問いません。

ReflPos.refl_cs：同じ仮定 $0\le A$ の下で、$g(\varphi):=\sum_\psi F(\psi,\varphi)G(\psi,\varphi)$、$h(\varphi):=\sum_\psi F(\psi,\varphi)H(\psi,\varphi)$ について $\bigl(\sum_\varphi A\,g\,h\bigr)^2\le\bigl(\sum_\varphi A\,g^2\bigr)\bigl(\sum_\varphi A\,h^2\bigr)$。鏡映の Cauchy–Schwarz の形 $\langle G\cdot\Theta H\rangle^2\le\langle G\cdot\Theta G\rangle\langle H\cdot\Theta H\rangle$ を、重みが因子に分かれた後の代数として書いたものです。

機械検査が保証するのは、この有限和と実数の代数だけです。転送行列が正であること、$\hat C_4$ と可換であること、捩れが $\hat C_4$ の挿入であること、重みが $A\cdot F\cdot F$ の形に分かれること（定理 3 の段 1〜4）、Haar 測度——は Lean の外にあり、本文の証明と文献が担います。五つの定理の公理は、記録では標準の三つ（propext・Classical.choice・Quot.sound）で、本書の再検査を通しています（A-04）。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 典 TM     転送行列の正値性                                     コンパクト群・Wilson 作用
[02] 典 CEN    捩れは中心変換の挿入、e₄ は固有値                    't Hooft
[03] 初 EFLUX  補題 1：θ = Y(1)/Y(0) ≥ 0 ⟸ [01][02]                Lean split・twisted_le
[04] 初 LE1    θ ≤ 1 ⟸ [03]                                       Z(1,1) ≥ 0 を使う・Lean bias_mem
[05] 初 TANH   補題 2：F′ ≤ KF ⇒ θ′ ≤ Kθ                           K ≥ 1
[06] 初 RP     定理 3：方向 3・4 の z の鏡映正値性                  Lean refl_pos・refl_cs（代数）
[07] 典 CHAR   指標展開の係数 c_j > 0                               SU(2)
[08] 初 TWX    補題 4：横向きの鏡映は正の型でない ⟸ [07]           捩れを固定
[09] 初 NOGO   補題 5：I は Z₂・U(1) でも成り立つ ⟸ [01][03][06]   この入力の組だけでは
[10] 読 FAIL   U(1)・Z₂ で横広げは偽                                 13-03・見立て
[11] 読 NEED   構造の入力だけからは出ない ⟸ [09][10]
[12] 初 NOCVX  鏡映から L の凸性・単調性は出ない ⟸ [08]
[13] 仮 SC     強結合で C ≈ 1                                        筋・M に一様は未確認
[14] 読 EL     閉じ込めの領域で Y(1)/Y(0) は小さい                  見立て

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。紙で立つ節点は [03]〜[06]・[08]・[09]・[12] で、文献の行 [01]・[02]・[07] の上にあります。章の題の主張 [11] だけが見立ての行 [10] を前提に持ち、「読（物理）」です。仮定の行 [13] はどの結論の前提にも入っていません。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 構造の入力・転送行列・中心変換・電場の流束 $e_4$・区画の偏り $\theta$・z のアンサンブル・格子点を通る鏡映・正の型・否定の補題・横広げの不等式・試金石。意味は A-02 用語集 と A-06 仮定の索引 にあります。

次に読む章：13-05 チェス盤と同時の反転 — 定理 3 を使って、枠の減相関を一つの密度に置き換える。

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