2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 12 部 二本目の道：空間の方向から分数インスタントン・希薄な気体・格子の作用 · Kiichi, Shiori and Rin

渦と分数インスタントン

連続理論の位相電荷 $Q$ とインスタントンの作用の下限は 3-05 のとおりで、ユークリッドの作用は

を満たし、等号は（反）自己双対の方程式 $F=\pm{*F}$ の解で達せられます 典。周期的な四次元のトーラスや $\mathbb R^4$ では $Q$ は整数です。ところが 't Hooft の捩れのある束では、$Q$ の分数部分が捩れで決まり、$SU(N)$ で $n_{12}=n_{34}=1$ なら $Q\equiv-1/N\pmod1$ です（この章で $SU(N)$ と書くときの $N$ は群の次数で、この部の格子の $N$ とは別です） 典（Tanizaki–Ünsal の式 (2.24)、原典は 't Hooft 1981）。$SU(2)$ では $Q\in\tfrac12+\mathbb Z$ で、(1) から

です（同、式 (2.25)：下限は通常のインスタントンの作用 $8\pi^2/g^2$ の $1/N$）典。

この下限を達する解が分数インスタントンです。Tanizaki–Ünsal は、$\mathbb R^2\times T^2$（$T^2$ に捩れ）の上でこの解の作用密度が $\mathbb R^2$ の方向に局在して渦のような形をし、平面の Wilson ループの内側にあるとループに中心の元 $-1$（$SU(N)$ では $e^{2\pi i/N}$）を掛けること、つまり中心渦（7-02）として振る舞うことを述べています 典（式 (2.26) の前後）。前の章の言葉では、この塊は区画 $(1,1)$ の最安の住人で、面 $\Pi_q$ を細い面としてではなく滑らかな塊として運ぶものです。

大きさについて一言。塊の作用は (2) で決まり大きさによりませんが、捩れた $T^2$ の上では塊は $T^2$ の大きさ $L$ 程度の広がりに固定されます（同じ論文の脚注は、$SU(N)$ で塊の半径が群の次数の平方根に比例するという先行の数値を引いています）典。大きさが決まっているので、希薄な気体の勘定で赤外の発散が起きません。周期的な $\mathbb R^4$ のインスタントンの大きさの積分が赤外で発散するのと対照的です（3-05）。

文献の状況 典。Tanizaki–Ünsal は、分数の位相電荷を持つ自己双対の解の解析的な形はほとんど知られていない（特定の縦横比のトーラスの上の可換な定数の解を除いて）と書き、格子の冷却による数値の探索が、格子の離散化の誤差の範囲で下限 (2) を達する配位を見つけ、$\mathbb R^2$ の方向を無限に伸ばした極限もよく定まっていると報告していることを引いています（同 §2.3.1）。解析的な存在は、この本が確かめた範囲の文献では示されていません。

仮定つきの筋 仮（筋：この本の検討の記録の「命題 F」。根拠は 表 3 の [05]）。次の性質を仮定します。

筋は次の三段です。(i) $T^2_{2L\times L}\times\mathbb R^2$ の上の荷電 1 の $SU(2)$ 二重周期インスタントンを、Nahm 変換で双対の側のデータに対応させる（二重周期インスタントンの構成と変換の全単射性は文献にあるとされる。照合未了）。(ii) 長い方向の半周期の並進と中心のゲージ変換の合成 $\tau$ は、仮定により双対の側の半周期の並進と定数のずれの合成に対応し、特異点の位置を四分の一周期に置けば $\tau$ で不変なデータが選べる。(iii) 対応する解は $\tau$ でゲージを除いて不変で、商 $T^2_{L\times L}\times\mathbb R^2$ に降ろすと、$\tau$ が中心の捩れを含むので $n_{12}=1$ の束の上の荷電 $\tfrac12$ の反自己双対解になり、作用は (2) の下限に等しい。

この筋が閉じれば、(2) の下限は連続理論で達せられます。閉じていないのは、仮定そのもの（同変性の正確な形）と、(i) の文献の照合と、商に降ろしたときに束の位相（$n_{12}$ と平面の無限遠での流束）が正しく出ることの確認です。もう一つの筋として、Bogomolny の下限・Uhlenbeck のコンパクト性による泡の排除・集中コンパクト性による分裂の排除を組み合わせる変分法の筋もありますが、最小の値が下限に等しいこと自体を別に示す必要があり、同じく 仮 です。この本は、どちらの筋も以下の章の前提に使いません。

塊が平面の中で互いに遠く離れて散らばっている（希薄な）と仮定し、塊どうしの相互作用を無視して数えます。これが希薄な気体の近似で、ここからの勘定は Tanizaki–Ünsal の §2.3.2 を $SU(2)$ に写したものです 典（式の写し）。近似そのものの正しさは物理の見立てです 読。

注意：原典は小さな $T^2$ を 3・4 の方向に、平面を 1・2 の方向に置いていて、この本（$T^2$ が 1・2、平面が 3・4）とは添字が入れ替わっています。以下はこの本の添字で書きます。

一つの塊の重み。平面の上の一つの塊（自己双対・$Q=+\tfrac12$）と反塊（$Q=-\tfrac12$）の重みは、$\theta$ 角を 0 として

です（原典の式 (2.27) の $N=2$）。前因子 $K$ は質量の次元 2 を持ち $K\sim1/L^2$ で、その正確な値は揺らぎの行列式の解析で決まるもので、原典は与えていません 典。

漸近自由で書き直す。一ループの走る結合（4-06）で、尺度 $L$ の結合を $\Lambda$ で書くと、$SU(2)$ で $8\pi^2/g^2(L)=\tfrac{22}{3}\ln\frac1{\Lambda L}$（一ループの水準。一般の $SU(N)$ では $\tfrac{11N}{3}$）なので、

となります（原典の式 (2.32) の最後の変形）典。指数 $11/3$ は群の次数によりません（$SU(N)$ では塊の作用が $S_I/N$ で、係数 $11N/3$ の $N$ と打ち消し合う）。

Wilson ループ。面積 $A$ のループ $C$ の内側に塊が一つあると、ループの値に $-1$ が掛かります（中心渦）。塊と反塊をそれぞれ密度 $K e^{-\pi^2\beta}$ の独立な Poisson の点として平面に撒くと、内側の個数 $n$ は平均 $\rho A$（$\rho=2Ke^{-\pi^2\beta}$）の Poisson 分布で、

です。Poisson 分布で $\mathbb E[(-1)^n]=e^{-\lambda}\sum_k(-\lambda)^k/k!=e^{-2\lambda}$ という一行の計算です 初（模型の中の計算）。原典は、全体の電荷の制約（塊と反塊の数の差が $N$ の倍数）を Fourier の和で入れて同じ答えを出しています：$\theta=0$ で基本表現の弦の張力は

（原典の式 (2.37)。$N$ は群の次数、$|R|$ は表現の Young 図の箱の数を $N$ で割った剰余）で、$SU(2)$ の基本表現では $\sin^2(\pi/2)=1$ です 典。(5) と (4) を合わせると

読（物理の見立て。$\sim$ は前因子の定数を省いた比例）。

偏り $\theta$ との関係。同じ数え方を、平面全体（面積 $A_{\text{平面}}=(Ma)^2$）の塊の個数の偶奇に当てると、12-01 の命題 3 の $\theta=\mathbb E[(-1)^{|Q|}]$ は

となり、$-\ln\theta$ が平面の面積に比例する（面積則の型）と同時に、その率が分数インスタントンの重み $e^{-\pi^2\beta}$ で決まることが読めます 読（希薄な気体の見立て）。格子の上でこの形のうち「率が $e^{-\beta S}$ で、$S$ が $\pi^2$ に近い」部分を言う言明が §06 です。

格子の上の数値も同じ描像を支持しています。Bergner–González-Arroyo–Soler（2025）は、二つの方向が他より遥かに小さく捩れた境界条件を持つ四次元のトーラスの $SU(2)$ の格子で、小さな $T^2$ の大きさでは位相電荷と弦の張力が渦のような分数インスタントンの気体から生じること、大きさを増すと密度が増え、構造の間隔が一定に近づくことを報告しています 典（要旨で確認。本文の数値は照合未了）。

(4) の指数は二つの寄与の差です 読（物理の見立て）。

• $11/3$：漸近自由。$T^2$ が小さいほど結合が弱く、塊は $(\Lambda L)^{11/3}$ の割合で稀になります。係数 $11/3$ は一ループの係数（4-06 の $11/3=-1/3+4$）そのものです。
• $-2$：平面の二次元。塊の大きさは $L$ なので、平面の単位面積あたり置ける場所の数は $1/L^2$ です（$K\sim1/L^2$）。これは塊の位置のエントロピーにあたります。

差 $11/3-2=5/3$ が正なので、$\Lambda$ を止めて $T^2$ を広げると（$L$ を増すと）、物理の単位の弦の張力は増えます。広げるほど閉じ込めが強まる向きで、$L\sim1/\Lambda$ で $\Lambda^2$ の程度に達するのは次元の勘定と矛盾しません。一つの $T^2$ の大きさの正方形（面積 $L^2$）あたりで数えると $\sigma L^2\sim(\Lambda L)^{11/3}$ で、その正方形に塊がいる確率が $L$ とともに増える、と言い換えられます。

可換な群 $U(1)$ には、分数の流束を担う局在した塊がありません。流束は $T^2$ の上に一様に広がるしかなく、$T^2$ を広げる向きの振る舞いが逆になります。「非可換が効く唯一の場所」としてこの差を扱うのは 13-03 で、そこでもこの勘定は一ループの水準の見立てです。この章の範囲では、(4)〜(8) は全て $\Lambda L\ll1$ の希薄な領域の文で、$L\sim1/\Lambda$ の帯の中には延びません。

単位の合わせ方。12-01 の作用 $S^z(U)=\sum_p(1-\tfrac12z_p\operatorname{tr}U_p)$ は $\beta$ を掛ける前の量です。5-01 の古典的な連続極限で、$SU(2)$・$\beta=4/g^2$ なら $\beta S^z$ は連続の作用 $S_E$ に近づくので、作用 $4\pi^2/g^2$ の塊は $S^z\approx\pi^2$（つまり $\beta S^z\approx\pi^2\beta$）に当たります。以下の数は全て $S^z$ の値を $\pi^2$ で割ったものです。

冷却の数値 読。各リンクを、それを含むプラケットの残りの辺の和（staple）の向きに置き換える操作を繰り返して $S^z$ を下げ（冷却）、区画 $(1,1)$ の最小作用 $S_{\min}(N,M)$ を探した結果が表 1 です。冷却が止まった配位の作用は、その配位が実在するので最小作用の上界です（浮動小数点の計算の範囲で）。真の最小がさらに低い可能性は、初期配位を替えても同じ値に着いたことで読みとして退けているだけです。

読み方 読：(i) どの値も $\pi^2$ より小さく、$N$ とともに $\pi^2$ に近づきます（格子の上の値は連続の値に下から近づく。Wilson 作用の離散化の補正が負であることと整合する、という物理の読み）。(ii) 細長い格子（$M\gt N$）では、$N=2$ で $M=4\to6$ と平面を広げても値がほとんど変わりません。塊が平面の方向に局在していて、その作用が平面の大きさによらないこと、つまり希薄な気体の前提（塊が一つの局在した対象であること）を格子が支持しています。(iii) 対称な格子の値が細長い格子より大きいのは、対称な格子では塊が平面の方向にも $N$ 程度に押し込まれるためと読めます。平面の方向に大きさ $16$ の板（$4\times4\times16\times16$）で作用の分布を測った別の冷却では、$S^z/\pi^2\approx0.96$、作用の約 $91\%$ が塊の中心から平面の方向の半径 2 以内、約 $99.6\%$ が半径 4（$=N$）以内にありました 読。

柱に閉じ込めた塊と、証明書つきの上界 機。論文 3（この本から出た論文の一つ、草稿。A-07）は、平面を一辺 $\ell$ の正方形のブロックに分け、一つのブロックの上の柱 $T^2_N\times[0,\ell]^2$ に流束を入れ、柱の外枠を捩れを食う真空 $U^0$（12-01 §05）に固定したときの最小作用を

と定義しています。保存した配位を正確に正規化し、外枠が真空に一致することを確かめたうえで 40 桁の算術で作用を再評価した値は、それぞれの $S_*$ の上界です：

（$N=4$ は冷却が収束していない値）。条件：群 $SU(2)$・Wilson 作用・具体的な配位の作用の評価であって、上界の向きだけ。札の「機」はこの上界（具体的な配位の作用を桁の保証つきで評価したもの）にだけ付き、最小値そのものには付きません。どれも $\pi^2$ より小さいので、「格子の上の最小のコストは連続の値 $\pi^2$ より小さい」は、$N=2,3,4$ で上界から直接言えます。

柱の幅への依存 読。同じ論文の表（冷却の値）：

$S_*$ の初等的な性質 初：(a) 最小は達せられる（コンパクト性）。(b) $S_*(N,\ell)\le2N^2$（柱に細い面を一枚置く）。(c) $\ell$ について増えない（小さい柱の最小の配位を、残りを真空で埋めて大きい柱に埋め込めば、境のプラケットは真空どうしで作用 0）。(d) 周期的な格子の最小作用と $S_*(N,\ell)\ge S_{\min}(N,k\ell)$（$k\ge1$。柱の配位を外を真空で埋めて周期的な格子に延ばす）。よって $\lim_\ell S_*(N,\ell)$ は在ります。

周期的な格子の値（冷却）は $S_{\min}(2,M)=6.740117,\ 6.677345,\ 6.673724,\ 6.673486,\ 6.673485$（$M=4,6,8,12,16$）、$S_{\min}(3,16)=9.072494$ で、$S_*(N,\ell)$ は $\ell$ とともにこれに上から近づきます。その差 $S_*(N,\ell)-S_{\min}(N,\infty)$ は、12-01 の (8) の捩れの質量 $m_N=2\operatorname{arsinh}\sin(\pi/2N)$（$m_2\approx1.317$、$m_3\approx0.962$）について $e^{-m_N\ell}/\ell$ のように減ると読まれています 読（論文 3 の草稿は、観測した傾き $1.41$・$1.02$ を予想の値 $1.45$・$1.06$ と並べている。予想の値の出し方はこの本では確かめていない）。塊の裾が、捩れた $T^2$ の上の随伴の揺らぎの質量で切られている、という読みです。

まとめると、格子の上の最小のコストは $N=2,3,4$ でおよそ $0.68\pi^2,\ 0.92\pi^2,\ 0.96\pi^2$（周期的な格子の値。$N=4$ は細長い格子 $4\times8$ の冷却）で、$N$ を増すと $\pi^2$ に下から近づきます。「$N\to\infty$ で $S_{\min}(N,\infty)\to\pi^2$」は数値だけで、証明はありません 読。

$N$ と格子間隔を固定すれば、どの $\beta$ でも面積則の型の評価 $-\ln\theta\ge c\,M^2$ が初等的に出ます（12-04）。そこでの率 $c$ は細い面のコストで決まり、$c\approx e^{-2\beta N^2}$ です（12-01 の事実 3 の上界 $2N^2$ の配位）。$2N^2$ は $N$ とともに増え、分数インスタントンとは関係がありません。

論文 3 の主定理（定理 A）は、この率を $S_*(N,\ell)$ に置き換える言明です。草稿の形を条件ごと写します 仮（この本ではまだ証明を本文に置いていない。根拠の欄は論文 3 の草稿の §3〜§6。証明はチェス盤の評価と Morse–Bott の補題を引用で使い、剛性の定数は存在だけが示されて値は明示されない）。

(10) の上界と合わせると、率は $2N^2=8,18,32$ から $\le0.68\pi^2,\ 0.92\pi^2,\ 0.98\pi^2$ 程度に下がります（$N=2,3,4$）。ただし前因子 $\beta^{-a}$ と $\varepsilon(\beta)$ の項が粗いので、(11) が細い面の評価に勝つのは、明示されない大きな $\beta$ から先です。(11) は $N$ に一様でなく、連続極限についても質量ギャップについても何も言いません。逆向きの評価（希薄な気体の上界、$M$ に一様）は開いています。これらの位置づけは 14-01 と 14-02 で扱います。

(8) の見立てと (11) を並べると、見立ての「率は分数インスタントンの作用」という部分のうち、固定した $N$ の格子の上で閉じ込めの向き（下からの評価）だけが言明の形になっている、という位置です。

(a) 希薄な気体。(5)〜(8) は相互作用を無視した勘定で、$\Lambda L\ll1$ の希薄な領域・一ループの水準の物理の見立てです。前因子 $K$ は値が分かっていません。

(b) 冷却の値。表 1・表 2 の値は最小作用の上界で、下界ではありません。「$\pi^2$ に下から近づく」のうち、「$\pi^2$ より下」は $N=2,3,4$ で (10) の上界から言え、「近づく」は数値の読みです。

(c) 連続の存在。捩れた $T^2\times\mathbb R^2$ の上で (2) の下限を達する解の存在は、この本では仮定つきの筋で、示されていません。

(d) 帯。この章の全ての文は $\Lambda L\ll1$ か $N$ 固定の文で、$T^2$ を $1/\Lambda$ を越えて広げることについては何も言いません（12-09）。

(e) 論文 3。定理 A は草稿の言明で、この本の札は「仮」です。草稿の証明を一行ずつ確かめて本文に置くまで、上げません。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 典 BPS    S ≥ 8π²|Q|/g²                                     連続
[02] 典 HALF   捩れで Q ∈ 1/2 + ℤ・下限 π²β ⟸ [01]               SU(2)・n₁₂ = n₃₄ = 1
[03] 典 LOC    塊は平面に局在・中心渦・大きさ L 程度
[04] 典 NOAN   解析的な存在は知られていない
[05] 仮 NAHM   同変性の仮定の下の存在の筋                         照合未了
[06] 典 FUG    一つの塊の重み K e^(−π²β)
[07] 典 AF     K e^(−π²β) ~ Λ²(ΛL)^(5/3)                          一ループ
[08] 初 POIS   Poisson の模型で 〈W〉 = e^(−2ρA)
[09] 典 TR     T_R ~ Λ²(ΛL)^(5/3) sin²(π|R|/N)                    θ = 0
[10] 読 SIG    σ = 4K e^(−π²β) ~ Λ²(ΛL)^(5/3) ⟸ [06][07][08][09]  希薄・一ループ
[11] 読 THETA  −ln θ ≈ 4K e^(−π²β)(Ma)² ⟸ [08][10]
[12] 典 BGAS   格子の気体の数値（要旨）
[13] 読 53     5/3 = 11/3 − 2 の読み ⟸ [10]
[14] 読 COOL   冷却の値・局在の割合                                上界
[15] 初 SPROP  S_* の性質 (a)〜(d)
[16] 機 CERT   S_* ≤ 0.6762π², 0.9193π², 0.9707π²                 上界・N = 4 未収束
[17] 読 ELL    ℓ 依存・e^(−m_N ℓ)/ℓ
[18] 読 BELOW  π² に下から近づく ⟸ [14][15][16][17]
[19] 仮 THMA   論文 3 の定理 A                                    N 固定・草稿

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。証明を本文に置いた節点は [08] と [15] だけで、どちらも模型の中か有限の格子の上の一行の議論です。[05] と [19] の「仮」はどの節点の前提にも入っていません。この章の結論の側の節点 [10]・[11]・[13]・[18] は全て「読」で、閉じ込めの節点も質量ギャップの節点もありません。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 分数インスタントン・位相電荷 $\tfrac12$・BPS の下限・中心渦・希薄な気体・前因子 $K$・弦の張力・$5/3=11/3-2$・冷却・柱に閉じ込めた塊 $S_*(N,\ell)$・証明書つきの上界・捩れの質量 $m_N$。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：12-03 容器 — 枠を条件づけると独立になる — 平面をブロックに分け、偏りを柱ごとの量の積で押さえる。

← 12-01 捩れた T² と 't Hooft の流束目次12-03 容器 — 枠を条件づけると独立になる →