2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 13 部 移り変わりの帯渦の自由エネルギー・板の張力・階段関数・柱の偏り · Kiichi, Shiori and Rin

測った記録

格子。板の格子は $(\mathbb Z/N_T)^2\times(\mathbb Z/M)^2$ で、最初の二方向（大きさ $N_T$）が小さな $T^2$、残りの二方向（大きさ $M$）が平面 $\mathbb R^2$ の代わりです。$T^2$ には 't Hooft の捩れ $n_{12}=1$ を入れます（12-01）。対称なトーラスは $N^4$ と書きます。作用は Wilson 作用 $-\frac\beta2\sum_pz_p\,\mathrm{tr}\,U_p$（$SU(2)$）と、その $U(1)$ 版です。

渦の自由エネルギー。平面の方向の流束 $n_{34}$ を変えた区画との自由エネルギーの差を

と書き、区画の偏りを $\theta=\tanh(\Delta F/2)$ とします（13-01 §04 の $F_v$ と同じ量）。$\Delta F$ が大きいほど渦は高く（入りにくく）、$\theta$ は 1 に近づきます。閉じ込めの領域では $\Delta F\to0$ と期待されます。

測り方。$\Delta F$ は、レプリカ交換（結合を補間した複製の間で配位を交換し、区画をまたぐ標本を作る）と、Bennett の受理比の方法（BAR）で求めます。誤差は統計誤差です。種を替えた二本の差が、表示した誤差の 1〜2 倍になる点があり、誤差は小さめに出ている可能性があります。板の弦の張力は Creutz 比

で読みます（$W(R,T)$ は $R\times T$ の Wilson ループ）。小さな $R$ の Creutz 比は Coulomb の項を含んで張力を大きめに見積もるので、絶対値でなく傾向だけを読みます。

人工物の注（先に）。どの表にも共通の注意を、§09 に一覧にします。特に $N_T=2$ は格子の人工物の領域で、$2^4$ は一ループの振る舞いを見るには小さすぎ、柱の偏りの 0.1 程度の値は統計の底です。

平面の方向の大きさ $M$ を止めて、$T^2$ の大きさ $N_T$ だけを広げます。横広げの不等式（13-02 §02）の符号を見る試験です。

表 1　$\Delta F(N_T)$、$M=8$（$n_{12}=1$、レプリカ交換＋BAR。種の数は記載なし） 読 — 数は 12-08 表 3 に載せた同じ測定です。数はここに写しません。

$U(1)$ では $T^2$ を広げると $\Delta F$ が急に増え、$\theta$ は $0\to0.39\to0.78\to0.99$ です。$SU(2)$ は $0\to0.63\to0.33\to1.51$ と、ずっと緩やかです（$\theta$ は $0\to0.31\to0.16\to0.64$）。$N_T=4\to8$ で $\ln(1/\theta)$ は、$U(1)$ が $0.93\to0.012$（約 80 分の 1）、$SU(2)$ が $1.18\to0.45$（約 2.6 分の 1）です。ただしこの幾何では $\theta$ が 1 の程度で、$\theta\le1$ の天井のために判別力が弱く、$SU(2)$ の $N_T=8=M$ は対称なトーラス $8^4$（物理の大きさ $L\sqrt\sigma\approx1.5$）です。$U(1)$ の $\beta=1.5$ と $SU(2)$ の $\beta=2.5$ は、同じ物理の大きさに合わせたものではありません。

表 2　$\Delta F(N_T)$、$M=12$（容器を大きくした再測定） 読 — 数は 12-08 表 4 に載せた同じ測定です。数はここに写しません。

$U(1)$ の $N_T=8$ は、レプリカ 24 では $0.54\pm0.53$ で混ざりが悪く、40 に増やした値を載せています。種の数は記載なしです。

表 3　$SU(2)$、$\beta=2.4$、$M=8$ 読 — 数は 12-08 表 5 に載せた同じ測定です。数はここに写しません。

読み 読。三つの設定（$\beta=2.5$ の $M=8$・$12$、$\beta=2.4$ の $M=8$）で、$SU(2)$ は横の $T^2$ を広げても渦の自由エネルギーが増えません（$\beta=2.5$・$M=8$ の対称点 $N_T=M=8$ を除く）。$U(1)$ は二つの $M$ で増えます。横広げの不等式の符号の、数値の兆候です。誤差は 0.1〜0.5 と大きく、$\beta$ も二点だけです。$\beta=2.4$ の $N_T=8$ が $\beta=2.5$ の同じ点より小さいのは、$\beta=2.4$ では同じ格子が物理的に大きい（$L\sqrt\sigma\approx2.2$ と $1.5$）ことと合います。

一様な板の張力（13-02）の必要条件の一つは、板の弦の張力 $\sigma_{\rm eff}(N_T)$ が $N_T$ について大きく行き過ぎないことです。$SU(2)$、$\beta=2.5$、$M=16$ で、Creutz 比 (2) を測りました。四次元の値は $\sigma a^2\approx0.036$ です。

表 4　板の Creutz 比、400 測定（$SU(2)$、$\beta=2.5$、$N_T\times N_T\times16\times16$、種の数は記載なし） 読 — 数は 12-08 表 6 に載せた同じ測定です。数はここに写しません。

表 5　同じ設定で 5 倍の統計（2000 測定）と $N_T=10$ 読 — 数は 12-08 表 7 に載せた同じ測定です。数はここに写しません。

読み 読。400 測定で見えた $N_T=6$ の $\chi(4)$ の山（$0.089\pm0.013$、$N_T=8$ との差は約 2.3σ）は、2000 測定では $0.061\pm0.004$ になり、統計の揺らぎでした。$\chi(4)$ は $N_T=4\to8$ で増え、$N_T=10$ で $0.071$（$N_T=8$ との差 1.7σ）とほぼ飽和します。有意な行き過ぎは見えません。$\chi(4)$ は Coulomb の項を含むので、四次元の $\sigma a^2\approx0.036$ より大きく出ます。読むのは $N_T$ についての傾向だけで、$\beta$ は一点です。

読み 読。誤差の範囲で $\beta$ について単調に増えます。β 単調性（13-06 §02）と矛盾しない、という読みです（β 単調性は $SU(2)$ で示されていません）。$\beta\le2.3$ で渦はほぼ自由（$\theta\approx0$）、$\beta=2.6$〜$2.7$ で急に高くなります。固定した格子 $4\times4\times8\times8$ が物理的に小さくなり、希薄な領域（$\theta\to1$）に入るためと読めます。2.45 と 2.55 の点は、§05 の当てはめのために足した補間点です。

繰り込みの比較（13-06 §05）を直接に試します。細かい格子（全ての方向を 2 倍）の $\Delta F$ を測り、それと同じ値を与える粗い格子の $\beta'$ を、粗い格子の曲線（表 6 など）から読みます。漸近自由の予言は、$SU(2)$ で $\beta'\lt\beta$、走らない $U(1)$ で $\beta'\ge\beta$ です。

$U(1)$ の粗い格子の曲線は $\Delta F(4,8,\beta')=0.42,0.55,0.83,0.92,1.46$（$\beta'=1.3,1.4,1.5,1.6,1.7$）です。$U(1)$ の最初の実行（レプリカ 32）は $-0.18\pm0.12$ でしたが、交換の受理率の最小が 0.03 で混ざりが悪く、使っていません。

読み 読。$SU(2)$ は 2 倍にすると渦の自由エネルギーが下がり（$\beta=2.7$ で $2.97\to0.92$）、一致する $\beta'$ は $\beta$ より小さい。$U(1)$ は上がり（$0.83\to2.32$、約 3σ）、$\beta'\gt\beta$ です。比較の向きが二つの群で分かれました。$\beta=2.7$ の $+0.13$ は、一ループの 0.258 と、既知の $a\sqrt\sigma$ の値から見込まれる約 0.23 より小さめです（約 1.5σ）。$U(1)$ の逆向きには、格子の小ささの人工物も含まれうる、と記録は注しています。

次は対称なトーラス $N^4$ で、$2^4\to4^4$ と $4^4\to8^4$ の二段を見ます。

誤差は $2^4$ で 0.01〜0.08、$4^4$ で 0.03〜0.26 です。$2^4\to4^4$ の一段の $\beta'$（$4^4$ の値を $2^4$ の曲線に当てはめる）は表 9 のとおりです。

読める全ての $\beta$（1.75〜3.0）で $\beta-\beta'\gt0$、つまり一段の階段関数に固定点がありません。強結合へ向かうほど一段の動きが大きく、弱結合の側で 0.07 まで小さくなるのは、$2^4$ が一ループの領域には小さすぎるための人工物と見られます。

読み 読。$4^4\to8^4$ でも、測った全ての $\beta$ で $\beta-\beta'\gt0$ で、平均は約 $+0.2$ です。一ループの漸近値 0.258 と、既知の $a\sqrt\sigma$ の値から見込まれる約 0.23 に近い値です。種の差が表示の誤差の 1〜2 倍になる点があり（$\beta=2.9$ の $8^4$ は 5.68 と 3.52）、誤差は小さめに出ている可能性が高い、と読みます。種一本だけの読み（$+0.08$〜$+0.13$）より、種を足した読みのほうが漸近的な振る舞いに近づきました。$\beta=2.7$ の $8\times16$ の板の読み（表 7、$+0.13$）とも合います。

同じ $2^4\to4^4$ の走査を、$U(1)$ で行いました。四次元の $U(1)$ は $\beta_c\approx1.01$ に、閉じ込めの相から Coulomb の相への相転移を持ちます。

読み 読。$U(1)$ の $\beta-\beta'$ は、$\beta=1.0$ と $1.1$ の間で符号が反転します。既知の相転移 $\beta_c\approx1.01$ の位置です。閉じ込めの相では $\beta'\lt\beta$、Coulomb の相では $\beta'\gt\beta$ です。$SU(2)$ は同じ走査で、測った全ての $\beta$ で $\beta-\beta'\gt0$ でした（表 9・表 10）。一段の階段関数の符号は、相転移の有無を見分ける診断として働いています。これは帯を閉じる議論が満たすべき基準 (m)（13-06 §08）の、数値の姿です。

この符号の試験から言えるのは、$8^4$ までの格子と、表の $\beta$ の点の上で、$SU(2)$ の符号が変わらなかったことだけです。$SU(2)$ に相転移が無いことの証拠ではありません。

関連して、速さを問わず $\Delta F(L,L)\to0$ を見る中間の目標（13-06 §08）について、二つの読みがあります 読。$U(1)$（$\beta=1.2$）の $2^4\to4^4$ は $3.10\to3.68$ と横ばいで、Coulomb の相で古典的な半磁束の値へ向かう描像と矛盾しません。$SU(2)$（$\beta=2.75$）は $5.95\to5.10$ と下がります。

柱の顔 $f(\ell)$（13-10 §02）を測ります。柱 $T^2_N\times\ell\times\ell$ の外枠を平衡な配位から取って止め、柱の中に $n_{34}$ の面を入れたときの条件つきの自由エネルギー $\Delta F_B=\ln Z_B(+)/Z_B(-)$ と偏り $\theta_B=\tanh(\Delta F_B/2)$ を、枠ごとにレプリカ交換＋BAR で求め、枠について $\mathbb E|\theta_B|$ を取ります。チェス盤の評価（13-05）に入るのは、この $\mathbb E|\theta_B|$ です。$SU(2)$ は $\beta=2.3$、$U(1)$ は Coulomb の相の $\beta=1.3$ です。

$\ell\ge5$ で、$SU(2)$ の柱の偏りは $U(1)$ の 1/5〜1/7 です。$U(1)$ はゆっくり減り（$\ell=5\to8$ で約 $\ell^{-1.4}$）、$SU(2)$ は $\ell=4\to5$ で 1/3 に落ちます。ただし $SU(2)$ の $\ell\ge5$ の値は、枠ごとの統計誤差がつくる底（$|\theta_B|$ を正に偏らせる）に近く、$e^{-\sigma\ell^2}$ か冪かは、この大きさでは決められません。枠によって符号が変わることもあります（$\ell=4$ の $SU(2)$ で $\Delta F_B$ の平均は $-0.05$）。ブロックを回るホロノミーが $-1$ に近い枠では、面のある区画のほうが好まれます。

$\ell$ を止めると、どちらの群でも偏りは $N$ とともに 1 に近づきます。偏りが小さいうちは、およそ $N^2$ に比例して増え（$\Delta F_B\propto N^2f(\ell)$）、比例の係数は $SU(2)$ が $U(1)$ の約 1/7 です。群の違いは、$\theta$ を小さく保つのに要る $\ell$ の伸び方に出るはずなので、$\ell$ と $N$ の両方を変えました。

読み 読。$SU(2)$ は $N=4,6,8$ のどれでも、$\ell\approx6$〜$7$ で統計の底（約 0.1）まで下がり、要る $\ell$ は $N$ とともにほとんど伸びません。$U(1)$ は $N=4$ でも $\ell=10$ で 0.27 に留まり、$N=6$ では $\ell=10$ でも 0.45 で、要る $\ell$ が $N$ とともに伸び、下がり方も遅い。$N=8$・$\ell=7$ の 0.29 は 3 枠だけ（時間の上限で打ち切り）で、$\ell=6$ の 0.13 より大きいのは枠の少なさによる揺らぎと見ます（3 枠とも $\Delta F_B\gt0$、0.43〜0.85）。予想（$SU(2)$ は $\ell\sim\sqrt{\ln N}$、$U(1)$ は $\ell\propto N$）と矛盾しませんが、格子が小さく枠も少ないので、伸び方の形までは決められません。

$U=\sigma V$（$\sigma\in\mathbb Z_2$、$V$ は $SO(3)$ の切断）と書くと、捩れの区画は「$SO(3)$ の背景の上の $\mathbb Z_2$ のランダムな面のゲージ模型」になります（13-10 §03）。面ごとの実効的な $\mathbb Z_2$ 結合は $K_p=(\beta/2)|\mathrm{tr}\,U_p|$、フラストレーション（$\mathbb Z_2$ の単極子）は $\prod_{p\in\partial c}\mathrm{sign}\,\mathrm{tr}\,U_p=-1$ となる立方体 $c$ です。

$p_{\rm eff}$ は、立方体のフラストレーションの密度 $\rho$ を、独立な符号の反転の確率に $(1-2p_{\rm eff})^6=1-2\rho$ で換算した値です。$K_c$ は純 $\mathbb Z_2$ のゲージ理論の転移点、比べる値は四次元のランダムな面のゲージ模型の Nishimori 多重臨界点 $p_c\approx0.11$ です（照合未了）。

読み 読。$\beta\gtrsim2.0$ では、平均の結合 $\langle K\rangle$ が $K_c$ の 3〜4 倍で、$p_{\rm eff}\lt0.11$ です。$\mathbb Z_2$ のガラスは秩序相の側にある見込みです。$\beta\lesssim1.5$ では $p_{\rm eff}\ge0.16$、柔らかい面（$K\lt K_c$）は 28〜49% で、無秩序の側です。独立な符号への換算は粗い（柔らかい面とフラストレーションは相関している）ので、境は目安です。この診断から、ガラスの道は帯の下半分に限られます（13-08 §05 の C4）。

• $N_T=2$（および $2^4$）は格子の人工物の領域。$N_T=2$ では $T^2$ の一辺が格子二つで、捩れのフラストレーションが大きく、連続の描像（分数インスタントンの気体）からは遠い。$2^4\to4^4$ の一段の $\beta-\beta'$ が弱結合の側で 0.07 まで下がる（表 9）のも、$2^4$ が一ループの領域に小さすぎるためと見られます。$N_T=2$ の値は「向きの参考」にとどめます。
• $\theta$ の天井。$\theta$ が 1 の程度の幾何（表 1 の $M=8$）では、$\theta\le1$ のために比が抑えられ、群の違いの判別力が弱くなります。
• 統計の底。柱の偏り $\mathbb E|\theta_B|$ は、枠ごとの統計誤差で正に偏ります。0.1 程度の値は底に近く、面積の指数か冪かは決められません（表 12・表 14）。
• Coulomb の項。小さな $R$ の Creutz 比は Coulomb の項を含み、張力を大きめに見積もります（表 4・表 5）。
• 混ざりの悪さ。レプリカ交換の受理率の最小が小さい実行（$U(1)$ のレプリカ 24・32、$SU(2)$ の 2 本目の 0.10）は、値が大きく揺れます。使わなかった実行は表の注に書きました。
• 種の数と誤差。種は 1〜3 本です。種を替えた二本の差が表示の誤差の 1〜2 倍になる点があり、誤差は小さめに出ている可能性が高い。
• $\beta$ の合わせ方。$U(1)$ と $SU(2)$ の $\beta$ は、同じ物理の大きさに合わせたものではありません。比べているのは、それぞれの群の中での向き（符号）だけです。
• 撤回した測定。容器を同時に反転させる測定を「帯の数値の姿」として読むことは撤回しました。一段の核の反転の確率が 1/2 程度で頭打ちになり、出るのは $U(1)$ も満たす弱い形だけだからです（13-08 §05 の C5）。測定そのものは 12-08 にあります。

この頁の行は全て数値の読みです。札は「読」で、物理の見立てを含む読みには「（物理）」を添えます。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 読 WID     T² を広げる：U(1) は上がり SU(2) は上がらない         M = 8, 12
[02] 読 SLAB    板の張力は増えて飽和                                 β = 2.5・2000 測定
[03] 読 BETA    ΔF は β について増える                               4×4×8×8
[04] 読 DBL     2 倍の試験：SU(2) は β′ < β、U(1) は逆 ⟸ [03]       種 1〜3 本
[05] 読 ASY     4⁴ → 8⁴ の β − β′ ≈ +0.2 ⟸ [04]                      種 1〜3 本
[06] 読 SIGN    階段関数の符号：U(1) は β_c で反転 ⟸ [04]            2⁴ → 4⁴
[07] 読 COL     柱の偏りの ℓ × N                                     N ≤ 8・ℓ ≤ 10
[08] 読 GLASS   Z₂ のガラスの診断                                    8⁴
[09] 読 FIT     向きの整合 ⟸ [01][02][04][06][07]                    傾向

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。この頁には「初」「典」「仮」の行がありません。帯を渡る文（一様な板の張力・横広げの不等式・繰り込みの比較）の節点も無く、それらは仮定として第 14 部の台帳（14-02）に置かれています。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 渦の自由エネルギー $\Delta F$・区画の偏り $\theta$・Creutz 比・レプリカ交換・BAR・階段関数・柱の偏り $\mathbb E|\theta_B|$・$\mathbb Z_2$ のガラス・フラストレーション。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：13-10 新しい見方の候補 — これらの傾向を、どの局所量の不等式に育てるか。

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