2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 13 部 移り変わりの帯チェス盤の密度 κ_cb・同時の反転・二つの一様性 · Kiichi, Shiori and Rin

チェス盤と同時の反転

記号は 13-01 §01 のとおりです。容器 $D\times T^2_L$ の区画の偏り $\theta_D(\Phi)=|\mathbb E[\sigma_D\mid\Phi]|$ は枠 $\Phi$ の関数で、平面の中の互いに素な容器 $D_j$ がループ $C$ の内側にあれば

でした（Mack–Petkova 典）。右辺は同じ枠を共有する因子の積の平均です。因子が独立なら $\prod_j\mathbb E\theta_{D_j}$ に分かれますが、枠の場は容器の間でつながっているので、そうはなりません。Hölder の不等式で $\mathbb E\prod_{j=1}^n\theta_j\le\prod_j(\mathbb E\theta_j^n)^{1/n}$ とすると、右辺の各因子は $\theta$ の $n$ 乗の平均の $n$ 乗根で、典型的な値 $\theta$ の積にはならず、面積に比例する冪が失われます（入れ子の形では $\mathbb E\theta_{2R}^4\le\mathbb E\theta_R^4$ しか出ない）。

そこで 13-02 §02 は、枠の減相関

を仮定として置きました 仮。(2) は二つの役を担っていました——入れ子の冪（13-02 の定理 1 の段 1・段 2）と、偏りから Wilson ループへの橋（13-01 の命題 2）です。この章は、$L$ を固定した板の上で、積を分けるという役を、一つの並進不変な量に移します。

設定。格子 $(\mathbb Z/L)^2\times(\mathbb Z/M)^2$ の、捩れ $n_{12}=1$ を固定した z のアンサンブル（13-04 の (4)）を考えます。平面 (3,4) を一辺 $B$ の正方形のブロック $Q_t$（$t\in\mathcal T$、境界の格子点を含む）に分け、$M$ は $2B$ の倍数とします。各ブロックの内部に容器 $D_t\times T^2_L$ を一つずつ、互いに鏡映で移り合う位置に置きます。

定理 1（チェス盤の評価） 典　測度が平面の方向 3・4 の、全てのブロックの境界の格子平面を通る鏡映について鏡映正値であるとする。各 $t$ について $f_t$ をブロック $Q_t$ の変数（境界を含む）だけに依る有界な実関数とし、$f_t^{(s)}$ を、$f_t$ を鏡映の合成でブロック $Q_s$ に運んだ関数とする。このとき

これは Fröhlich–Israel–Lieb–Simon の標準の議論で、鏡映の Cauchy–Schwarz の形（13-04 §03、Lean の ReflPos（ReflPos.refl_cs） はその因子に分けた後の代数）を繰り返し使って得られます（原論文は Fröhlich–Israel–Lieb–Simon（1978）。この本では、鏡映正値性からチェス盤の評価を得る標準の形であることを M. Biskup の講義録 arXiv:math-ph/0610025 の要旨で確かめました）。

z のアンサンブルでは、鏡映正値性は 13-04 の定理 3 が与えます。定理 3 は $x_3=0$ と $x_3=M/2$ を通る鏡映について述べていますが、測度は方向 3 の平行移動で不変なので、任意の格子平面 $x_3=c$ を通る鏡映でも同じです。方向 4 も同様です。

次に、偏りがブロックの関数であることを確かめます。容器 $D_t\times T^2_L$ の内部は、枠を与えると条件つきで独立で、条件つきの分布は容器のすぐ外側の殻の変数だけに依ります（Markov 性）。容器がブロックの内部にあるので、殻はブロックの中にあり、$\theta_t:=\theta_{D_t}$ は $Q_t$ の変数の関数です。また、鏡映は測度を保ち、区画 $\sigma_D=\prod_{p\in D\times\{y_0\}}z_p$ を鏡映した容器の区画に移すので、$\theta_t$ を鏡映でブロック $Q_s$ に運んだ関数は $\theta_s$ です。

系 2（$L$ を固定したチェス盤） 初　$L$ と $M$ を固定する。上の設定で

とおくと、全ての部分集合 $S\subset\mathcal T$ について $\mathbb E\prod_{t\in S}\theta_t\le\kappa_{\rm cb}^{\,|S|}$。とくに、ループ $C$ の内側に容器が丸ごと入るブロックの数を $n(C)$ とすると

証明　(3) で $t\in S$ なら $f_t=\theta_t$、$t\notin S$ なら $f_t=1$ とおく。$\theta_t\ge0$ なので左辺は $\mathbb E\prod_{t\in S}\theta_t$。右辺の $t\in S$ の因子は、上で見たとおり $\theta_t^{(s)}=\theta_s$ なので $\bigl(\mathbb E\prod_{s\in\mathcal T}\theta_s\bigr)^{1/|\mathcal T|}=\kappa_{\rm cb}$、$t\notin S$ の因子は $1$。よって $\mathbb E\prod_{t\in S}\theta_t\le\kappa_{\rm cb}^{\,|S|}$。(5) は (1) で $D_j$ を $C$ の内側の容器にとり、この評価を使えばよい。∎

(5) は、一辺 $B$ のブロックが面積 $B^2$ を占めるので、張力の下界 $\ln(1/\kappa_{\rm cb})/B^2$ を与えます（一辺が $B$ の倍数の正方形のループについて）。$L$ を固定すれば、z の鏡映正値性が閉じたので、板の上の面積則までの隙間は $\kappa_{\rm cb}\lt1$ の評価だけになりました 初（$L$・$M$ を固定した文）。枠の減相関 (2) のような、枠の分布についての仮定は要りません。

$\kappa_{\rm cb}$ は、全てのブロックに同時に容器を置いたときの偏りの積の、一ブロックあたりの幾何平均です。「典型的な一つの容器の偏り」ではなく「全ての容器を一度に見た量」なので、枠の相関は $\kappa_{\rm cb}$ の中に吸収されています。その代わり、$\kappa_{\rm cb}$ が小さいことは、もはや一つの容器の性質としては読めません。

(i) 板の評価。容器の各面 $p\in D$ について、面 $\{p\}\times T^2_L$ の $z$ を反転する操作は互いに可換で、どれも区画を反転し、枠を変えません。その軌道で条件づけると $\mathbb E[\sigma_D\mid\text{軌道}]=\pm\prod_{p\in D}\tanh X_p$、$|X_p|\le\beta L^2$ なので、$\sup_\Phi\theta_D(\Phi)\le\tanh(\beta L^2)^{|D|}$ です（12-04 初）。$\theta_t\le\sup\theta$ から

これで、$L$ を固定した板の上の面積則は既に出ています。ただし張力は $-\ln\tanh(\beta L^2)\approx2e^{-2\beta L^2}$（面積あたり）で、$\beta=2.5$、$L=4$ なら $2e^{-80}$ です。枠の上限（sup）を通る評価は、$L$ について超指数的に悪くなるので、$L$ に一様な評価は平均の形——$\kappa_{\rm cb}$ のような量——からしか来ません。

(ii) 同時の反転。流れの補題（12-06）は、容器の内部の、条件つきの分布 $\mu(\cdot\mid\Phi)$ を保つ任意の Markov 核 $K$ について、一歩で区画が変わる確率を $a(\Phi)$ とすると $\theta_D(\Phi)\le1-a(\Phi)$ と言います 初（定常性だけを使い、可逆性は要らない）。

系 3（同時の反転） 初　枠を固定したまま、互いに素な容器 $D_t$（$t\in S$）の内部でそれぞれ定常な核を独立に一歩走らせる（出発は条件つきの分布から）。このとき

証明　枠 $\Phi$ を固定する。容器の内部は条件つきで独立で、核も独立に走らせるので、どの容器も変わらない条件つきの確率は $\prod_{t\in S}(1-a_t(\Phi))$。流れの補題から $\theta_t(\Phi)\le1-a_t(\Phi)$ なので $\prod_t\theta_t(\Phi)\le\mathbb P(\text{どれも変わらない}\mid\Phi)$。$\Phi$ について平均をとれば (7)。∎

(7) の右辺はモンテカルロで測れる量なので、$S=\mathcal T$ とおけば $\kappa_{\rm cb}\le\mathbb P(\text{どれも変わらない})^{1/|\mathcal T|}$ は、Wilson ループの上界を正しい向きに推定する道具になります。自然な核は、力学で駆動した挿入（12-06、受理の確率 $\min(1,e^{-W})$）です。

(iii) 限界。一歩の核の反転の確率 $a$ は、実際には $\tfrac12$ 程度で頭打ちになります（駆動した挿入の核での測定、12-08 読）。そのため (7) で保証できるのは $\theta_t\lesssim\theta_0\sim\tfrac12$ の形で、$\kappa_{\rm cb}$ も $\tfrac12$ 程度までしか下げられません。大きさ $B\sim L$ のブロックでそれが $L$ に一様でも、出る張力の下界は $\ln(1/\theta_0)/L^2\to0$ で、13-01 の命題 1 の素朴な形——U(1) も満たす形——にしかなりません 初（論理）。同時の反転は帯の試験には使えません。正しい形 $\theta\le e^{-cL^2}$ を確かめるには $a\to1$ となる核が要り、一歩の核では作れないからです。同時の反転の測定を「帯の数値的な姿」とする位置づけは撤回されており（12-08）、この道具の正しい用途は、$L$ を固定した板の張力の下界——$\kappa_{\rm cb}$ の推定——です。

系 2 は $L$ を固定した文でした。$L$ を動かすと、$\kappa_{\rm cb}\lt1$ を示すのに必要なブロックの大きさ $B$ と、評価の質が、尺度ごとに変わります。以下は全て見立てです 読（物理）。

• 希薄な領域（$\Lambda L\ll1$）。一辺 $\ell$ の容器で $\mathbb E[-\ln\theta_D]\approx\sigma_{\rm TU}\ell^2$、$\sigma_{\rm TU}\propto\Lambda^2(\Lambda L)^{5/3}$（13-03 §04）。枠の影響は $L/\pi$ 程度の距離で減衰します。判定は成り立ちますが、要るブロックは $B\gtrsim\sigma_{\rm TU}^{-1/2}$ で、その体積は $1/g^2(L)$ について指数的に大きくなります。
• 閉じ込めの領域（$\Lambda L\gg1$）。電場の流束の形（13-04 の補題 1）で $\theta\approx Y(1)/Y(0)\approx c\,\sigma L^2e^{-\sigma\ell^2}$（因子 $L^2$ は電場の弦の横の位置のエントロピー）。要るブロックの大きさは $\sqrt{\ln L}$ でしか増えません。
• その間（$\Lambda L\sim1$）——帯。二つの一様性が要ります（§05）。

$a\to0$ では、$B$ も $L$ も格子の単位で無限大になるので、有限個の箱を確かめるだけでは足りません。尺度をつなぐ不等式が要り、それが帯の問題です。

なぜ通常の Dobrushin 型の判定が使えないか。枠を固定すると区画どうしは相互作用しません。依存は全て枠の場にあり、連続な場は境界に追随するので、全変動で測った影響の係数はほぼ 1 になります。Dobrushin、Dobrushin–Shlosman、van den Berg–Maes の型の条件はそのままでは満たされず、良いブロックでの縮小（Bałaban の多重尺度の解析の型）のような別の入力が要ると見込まれます 読（物理）。これらの判定の原論文はこの本では照合していません。

チェス盤の言葉では、帯は次の二つの一様性の文に集約されます。どちらも示されておらず、仮定として置きます。

一様な板の張力 仮　横を $T^2_L$ に縮めた二次元の理論の弦の張力（板の張力、13-02 の (11)）が、$L$ に一様に正：

容器の言葉では $\inf_L\mathbb E[-\ln\theta_D]/(\ell\Lambda)^2\gt0$ の形で、13-02 の弱い形 (C′) の内容に当たります。チェス盤の判定は、これを面積則へ運ぶだけです。U(1) は全ての $L$ で張力 $\sim e^2/L^2$ で、ここでだけ失敗する見込みです 読（物理）。

一様な板のギャップ 仮　$\kappa_{\rm cb}$ を尺度をまたいで比べられること：偏りどうしの相関、悪いブロックの確率、殻の揺らぎの評価が $L$ に一様であること（板の質量ギャップが $L$ に一様であることに当たる）。これが、13-02 の枠の減相関 (2) を $L$ に一様にした形の正体です。

こうして、帯の非可換の内容は一様な板の張力の側に、尺度をまたぐ確率論の内容は一様な板のギャップの側に、と分かれて置かれます。二つの文の間の論理的な関係（一方から他方が出るか）は調べられていません。

この本は $\kappa$ をいくつもの意味で使ってきました。この章のチェス盤の密度は $\kappa_{\rm cb}$ と書き、添え字を落としません。表 2 は、同じ字の別の量の一覧です。量どうしに関係はありません。

記号の対応の全体は A-01 に置きます。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 典 MP     容器の評価 |W| ≤ E∏θ                                 捩れを和に取ったアンサンブル
[02] 仮 DEC    枠の減相関（この章で L を固定して置き換える対象）
[03] 初 RP     z の鏡映正値性（13-04 定理 3）                       Lean refl_pos・refl_cs（代数）
[04] 典 CB     チェス盤の評価                                        Fröhlich–Israel–Lieb–Simon
[05] 初 LOC    θ_t はブロックの関数、鏡映で θ_s に移る              Markov 性
[06] 初 KCB    系 2：|W| ≤ κ_cb^n(C) ⟸ [01][03][04][05]           L を固定すれば
[07] 初 SLAB   κ_cb ≤ tanh(βL²)^|D| < 1                           L を固定・張力は極小
[08] 初 FLUX   θ ≤ 1 − a                                             Lean flip_le_one_sub_abs
[09] 初 SIM    系 3：E∏θ ≤ P(どれも変わらない) ⟸ [08]
[10] 読 HALF   一歩の反転の確率は ½ 程度で頭打ち                     測定
[11] 初 NOTEST 同時の反転は帯の試験に使えない ⟸ [09][10]           13-01 命題 1
[12] 読 ENDS   両端の領域での判定とブロックの大きさ                  見立て
[13] 読 DOB    Dobrushin 型はそのままでは使えない                    見立て
[14] 仮 UST    一様な板の張力
[15] 仮 UGAP   一様な板のギャップ
[16] 読 U1     U(1) は一様な板の張力でだけ失敗 ⟸ [14][15]          見立て

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。この章の主な結論 [06] は紙で立ち、前提は文献の行 [01]・[04] と紙の行 [03]・[05] だけです。仮定の行 [02] は [06] の前提に入っていません——それがこの章の要点です。[11] は論理の行ですが、前提に測定の行 [10] を持つので、[10] の頭打ちが成り立つ範囲の文です。帯の二つの仮定 [14]・[15] は結論の量（$L$ を固定した $\kappa_{\rm cb}$）を含まず、第 14 部の台帳（14-02）に置かれます。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 枠の減相関・チェス盤の評価・チェス盤の密度 $\kappa_{\rm cb}$・ブロック・同時の反転・流れの補題・一様な板の張力・一様な板のギャップ・移り変わりの帯（帯）。意味は A-02 用語集 と A-06 仮定の索引 にあります。

次に読む章：13-06 繰り込みの比較 — 群を区別する比較 — 帯を β 単調性と繰り込みの比較に分ける、もう一つの還元。

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