2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 12 部 二本目の道向きの原理・揺らぎの整形・一ループの表 · Kiichi, Shiori and Rin

なぜ決まった写像は失敗するか

1. 閉じ込めには、渦のある区画が無い区画に比べて高くつきすぎないこと、つまり区画の自由エネルギー $\Delta F=\ln(Z_+/Z_-)$ の上からの評価が要ります（$\theta=\tanh(\Delta F/2)$ を小さくするため）。
2. その向きの評価を与えるのは、区画 $+$ の測度を区画 $-$ へ運ぶ写像 $T$ による Gibbs の変分原理です：$\Delta F=\mathbb E_+[S\circ T-S-\ln J_T]-\mathrm{KL}$。KL（相対エントロピー）を捨てれば上界になります 初。
3. 捨てた KL が評価の損失です。ガウスの模型で計算すると、揺らぎの形を変えない写像（恒等写像・群の平行移動・ゲージ変換・間引き）の損失は、自由度を増やしても減りません。体積を保ったまま揺らぎを伸び縮みさせる写像なら、損失は $\Delta F^2/n$（$n$ は自由度の数）まで下がります 初。
4. 漸近自由の係数 $\tfrac{11}3$ は、一ループの水準で、軌道の部分 $-\tfrac13$ とスピンの項の $+4$ に分かれます。スピンの項は偏極についてトレース 0 なので、揺らぎの形を変えない写像の評価（一次のトレース）には現れません 初（一ループの水準）。
5. その結果、一ループの水準で、等長的な写像で作った繰り込みの比較は 2 倍あたり $\beta'\ge\beta+0.023$（$U(1)$ と同じ向き）しか出せず、揺らぎを整形する写像は漸近自由の $\beta-\beta'=0.258$ を再現します 初（一ループの水準）。
6. 決まった点ごとの写像は、二次元の模型で、捩れの方向の格子の大きさ $N_T$ について線形以上に増える余分の費用を払いました。揺らぎを新しい背景で引き直す試行では、この増加が消えます 読。
7. 決定論的な写像の余りの KL が面の面積とともに増えるなら、変分の評価から面積則は出ません 初（その仮定の下で）。輸送の道の役割は、帯の形そのものより弱い定性的な目標にあります。

区画 $+$ と区画 $-$ の配位の集合を $X_+$・$X_-$、それぞれの上の Gibbs 測度を $\mu_\pm=e^{-S}/Z_\pm$ とし、区画の自由エネルギーを $\Delta F=\ln(Z_+/Z_-)$ と置きます（12-06 の $\Delta F_D$ と同じ向き）。区画の偏りは $\theta=\tanh(|\Delta F|/2)$ なので、閉じ込めの向きに要るのは $\Delta F$ の上界、言い換えると $Z_-/Z_+$ の下界です。

初 標準の計算です。証明。$\nu=T_\#\mu_+$ の密度は $y=Tx$ で $\nu(y)=\mu_+(x)/J_T(x)$。よって

移項すれば (1)。KL $\ge0$ から不等式。∎ 有限の配位空間（12-05 の (F)）で $T$ が全単射なら $J_T=1$ で、(1) の右辺の第一項は 12-05 の $\mathbb E_+[\Delta S]$ です。

もう一方の向き。 この本で使う構造的な道具は、$\Delta F$ を上から押さえません。鏡映正値性からは $Z_-\le Z_+$（$\theta\ge0$、$\Delta F\ge0$）が出ますが、これは $\Delta F$ の下界で、閉じ込めと逆の向きです（13-04）初。チェス盤の評価は $\mathbb E\prod\theta$ を一つの密度 $\kappa_{cb}$ に置き換えますが、$\kappa_{cb}\lt1$ を言うにはやはり $\Delta F$ の上界が要ります（13-05）。Tomboulis–Yaffe の不等式は $\theta$ の評価を Wilson ループに運ぶもので、$\theta$ 自身は押さえません（13-01）。この本の道具の範囲では、$\Delta F$ の上界は (1) の型の変分（試行の写像・試行の測度）と、明示的な構成からしか出ていません 読（道具の一覧についての整理の判断で、定理ではありません）。これを向きの原理と呼びます。帯を渡る道具の候補は、まずこの向きの評価を与えるものでなければなりません。

(1) の KL がどれだけ大きいかを、全てが計算できるガウスの模型で見ます。$\mathbb R^n$ の上の二つのガウス測度 $\mu_0=N(0,\Delta_0^{-1})$・$\mu_B=N(0,\Delta_B^{-1})$（作用 $S_0=\tfrac12x^{\mathsf T}\Delta_0x$・$S_B=\tfrac12x^{\mathsf T}\Delta_Bx$、$\Delta_0,\Delta_B$ は正定値）を取ります。$\mu_0$ が「区画 $+$（背景なし）の揺らぎ」、$\mu_B$ が「区画 $-$（渦の背景 $B$ のまわり）の揺らぎ」の役です。正確な値は

$\lambda_k$ は $\Delta_0^{-1/2}\Delta_B\Delta_0^{-1/2}$ の固有値です。線形写像 $T$ を (1) に入れると、$M:=\Delta_0^{-1/2}T^{\mathsf T}\Delta_BT\Delta_0^{-1/2}$ を使って評価は

です（$\mathbb E_0[x^{\mathsf T}Ax]=\mathrm{tr}(A\Delta_0^{-1})$ から）。

揺らぎについて等長的な写像とは、$T^{\mathsf T}\Delta_0T=\Delta_0$（$\mu_0$ の揺らぎの形を変えない、$\mu_0$ を保つ）線形写像のことです。恒等写像、群の平行移動やゲージ変換の線形化、間引き（細かい自由度の一部を捨て、残りをそのまま粗い格子の自由度とする操作）の線形化がこの類に入ります（間引きの扱いは §08 (b)）。

初 証明。$O:=\Delta_0^{1/2}T\Delta_0^{-1/2}$ は $O^{\mathsf T}O=1$ を満たす直交行列で、$M=O^{\mathsf T}(\Delta_0^{-1/2}\Delta_B\Delta_0^{-1/2})O$。よって $\mathrm{tr}\,M=\sum_k\lambda_k$、$|\det T|=1$。差は $t-1-\ln t\ge0$ を足したもの。∎ (4) は二つのガウス測度の相対エントロピー $\mathrm{KL}(\mu_0\|\mu_B)$ そのものです。背景が揺らぎを変えるのが少数の方向（固有値が 1 でない $\lambda_k$ が有限個）なら、(4) は $n$ を大きくしても減りません。

初 証明。$\det T=1$ なら $\det M=r$ で、逆に $\det M=r$ の任意の正定値行列 $M$ は $T=\Delta_B^{-1/2}M^{1/2}\Delta_0^{1/2}$（に直交行列を掛けたもの、$\det T=r^{-1/2}r^{1/2}=1$）で実現できます。相加相乗平均で $\mathrm{tr}\,M\ge n(\det M)^{1/n}=nr^{1/n}$、等号は $M=r^{1/n}\cdot1$。差の評価は $u=2\Delta F/n$ として $e^u-1-u\le\tfrac{u^2}2e^{|u|}$ から。∎

命題 3 の写像は体積を保ち（$\ln J_T=0$）、背景が変える少数の方向の揺らぎを伸び縮みさせ、その体積の変化を残りの多数の方向に一つあたり $\Delta F/n$ ずつ薄く負わせます。要るのはヤコビアン（エントロピー）を持つことではなく、揺らぎの形を変えることです。

初（(2)・(4)・(5) の閉じた式の値）。小さい固有値と大きい固有値が混じると、一次のトレース $\tfrac12\sum(\lambda_k-1)$ と $\tfrac12\sum\ln\lambda_k$ は逆の符号になりえます。この例では正確には区画の変更が安い（$\Delta F\lt0$）のに、等長的な写像の評価は高い（$+1.75$）と言います。次節のスピンの項がちょうどこの形をしています。

(1,2) 平面の一定の可換な磁場 $B$ を背景に置き、そのまわりの $SU(2)$ のグルーオンの揺らぎを Feynman ゲージで考えます。揺らぎの二次の作用の演算子は

で、第一項が軌道の部分（共変微分の二乗）、第二項がスピンの項です。ゴーストの演算子は $-D^2$ です。熱核のトレース（体積あたり。共通の因子 $1/(16\pi^2s^2)$ と、群の因子 $C_A=2$＝電荷を持つ成分の数を除く）は、固有時 $s$ の関数として

です。$x=Bs$ として $x/\sinh x=1-x^2/6+O(x^4)$、$\cosh2x=1+2x^2+O(x^4)$ を使って $x^2$ の係数を拾うと、次の表になります。

初（一ループの水準。展開は二行の計算です：軌道は $2(1-x^2/6)=2-x^2/3$、スピンは $(1-x^2/6)\cdot4x^2=4x^2+O(x^4)$。）この勘定の規約では、係数 $+\tfrac{11}3$ が漸近自由の向き、$-\tfrac13$ が逆の向きです。

初（一ループの水準）証明。$M_0^{-1}$ は偏極の添字について $\delta_{\mu\nu}$ に比例し、$F_{\mu\nu}$ は反対称なので、$\mathrm{tr}_{\mu\nu}(F_{\mu\nu})=0$。よってスピンの項の一次のトレースは 0 で、評価は $\tfrac12\mathrm{tr}((M_{\rm orb}-M_0)M_0^{-1})$ に等しく、命題 2 の不等式 $t-1\ge\ln t$ から $\tfrac12\ln\det(M_{\rm orb}M_0^{-1})$ 以上。∎ スピンの項は二次（表 2 の $\cosh2Bs-1=O(B^2)$）になって効き、反遮蔽の $+4$ を与えます。一次のトレースしか見ない評価は、それを完全に失います。（無限次元の演算子のトレースと行列式は、一ループの計算で通常行う正則化のもとでの文です。）

第 13 部の繰り込みの比較（13-06）は、格子全体を 2 倍にした $(2N,\beta)$ の渦の自由エネルギーを、元の大きさ $(N,\beta')$ のそれで上から押さえ、$\beta'\lt\beta$（結合が強くなる向き、漸近自由）を言いたいものです。一ループの水準では、渦の背景のまわりの係数 $c$ が 2 倍あたりの結合の移動を決め、$\beta=4/g^2$、$b_0=c\,C_A/(16\pi^2)$ として $\beta-\beta'=8b_0\ln2$ です。

初（一ループの水準）証明。(a) は命題 4 と、評価が上界であること（命題 1）から。数は $8\cdot\tfrac{-1/3\cdot2}{16\pi^2}\ln2=-\tfrac{0.2575}{11}\approx-0.0234$。(b) は命題 3 を殻ごとの揺らぎに当てたもので、数は $8\cdot\tfrac{22}{48\pi^2}\ln2\approx0.2575$。∎

Migdal–Kadanoff 型の間引きで繰り込みの比較を作る試み（Tomboulis 2007）は、同じ議論が $U(1)$ でも強結合へ流れてしまう点で批判されました 典（Ito–Seiler・Kanazawa、出典の表）。間引きは揺らぎの形を変えない側に入るので、命題 5 (a) はこの批判に一ループの水準の説明を与えている、と読めます 読（物理。非摂動の議論の穴を一ループの計算が言い当てる、という解釈で、批判そのものの証明ではありません）。

選別の基準。 帯を渡る方法の候補は、試行の写像の線形化が揺らぎについて非等長的でなければならない——これが一ループの水準での必要条件です 初（命題 5 (a) の言い換え。一ループの水準）。非摂動の水準でも同じ条件が要るという見方は 読（物理）です。12-06 の駆動した挿入が安いのは、熱浴が揺らぎの形を新しい結合に合わせて緩めるからで、この基準と整合します 読（物理）。

命題 2 は「等長的な写像の損失は自由度で薄まらない」と言いました。格子の上で決まった点ごとの写像を使うと、損失はさらに、格子間隔を細かくするほど増えることが数値で見えています。

二次元の模型。 二次元の $O(3)$ 模型（スピン $s_x\in S^2$、作用 $-\beta\sum s_x\cdot s_y$）を、帯 $\mathbb Z\times(\mathbb Z/N_T)$ の上で、周期の方向に $z$ 軸まわりの $\pi$ 回転の捩れを入れて置きます。古典的な真空は北極と南極で、二つを結ぶキンク（分数インスタントンの二次元版）の作用は $2\pi\beta$ に下から近づきます。四次元の小さな捩れた $T^2$ の、軽い試験台です。

読 余分の費用は $\beta$ にほとんど依らず、$N_T$ について線形以上に増えます。期待された「走る結合による $\ln N_T$ の減少」とは逆です。

一方、揺らぎを古い背景のまま運ぶのでなく、新しい背景（キンク）のまわりのガウス測度から引き直す試行では、評価の差は一ループの行列式の比 $\tfrac12\ln[\det' H_{\rm kink}/\det H_{\rm vac}]$ になります。その値（集団座標の二本を除く）は $N_T=3,4,6,8,10$ で $-3.68,-2.94,-2.43,-2.11,-1.88$ と対数的にしか変わらず、回転と並進の集団座標の測度を入れた量は $N_T=4$〜$12$ で $-4.91$〜$-4.85$ とほぼ一定でした 読（固有値の数値計算。誤差の評価なし）。線形以上の増加は消えています。

四次元の板。 $SU(2)$、$\beta=2.3$、板 $2\times2\times8\times8$ で、流束を決まった色の向き（$\sigma_3$）に滑らかに広げる挿入は、費用を下げるどころか上げました：$\Delta S$ の平均は広げる半径 1 で 21.9、半径 2 で 36.0 読。ゲージを固定していない配位では、決まった向きの場が各点の色の向きと揃わないためと読めます 読（物理）。同じ板で、駆動した挿入（12-06）は 16 段で仕事の平均を 2.9 まで下げました。

読み方。 決まった点ごとの写像は、揺らぎを「固定した背景の上で」動かすので、新しい背景での揺らぎのエントロピーの差を取り損ねます。命題 2 の損失が、格子の細かい自由度ごとに積み上がる、という描像です 読（物理。$N_T$ に比例するかどうかは三点の数値からの読みで、一般の評価はありません）。挿入の平均（12-05）・駆動した挿入（12-06）・揺らぎの引き直しは、どれもこの費用を避けるための道具です。

帯の正しい形は $\theta(L,L)\le e^{-cL^2}$（13-01）でした。$\theta=\tanh(\Delta F/2)\le\Delta F/2$ なので、変分でこれを示すには $\Delta F(L,L)$ の上界が $2e^{-cL^2}$ の程度まで小さくなければなりません。

初 証明。(1) から $\mathbb E_+[\cdots]=\Delta F+\mathrm{KL}\ge\mathrm{KL}\ge c'A$（区画の向きを $\Delta F\ge0$ に取る）。$\tanh$ は単調。∎ これは仮定の下の文で、仮定が成り立つかどうかは写像ごとに確かめる必要があります。

初 積の測度の相対エントロピーは各因子の相対エントロピーの和、という標準の事実です。∎

決まった（揺らぎに合わせない）写像では、各容器の余りが $c_0\gt0$ で下から押さえられ、命題 6 の仮定が成り立つ、というのが構成的場の理論と確率論の二つの視点からの検討の共通の判断です 読（物理・見立て。三角な写像の上限は周長型、という判断も同じ）。この判断の下では、輸送の道は帯の形そのものを示す道具ではなく、より弱い定性的な目標——$\Delta F(L,L)\to0$（速さを問わない）——のための道具になります。$\Delta F(L,L)\to0$ は、$U(1)$ のクーロン相（$\Delta F(L,L)$ は正の定数に近づく）や $\mathbb Z_2$ の非閉じ込め相を排除するには足りますが、閉じ込めも質量ギャップも出しません 読（物理。数値は 13-06）。

(a) 非摂動の水準。命題 4・命題 5 と表 3 の上三行は全て一ループ（ガウス）の水準の文です。中程度の結合や大きな場で、揺らぎを整形する写像の誤差（渦の面の近くの局所的な相対エントロピーと高次のループ）を押さえることは開いた問題で、この本は示していません。

(b) 等長的な写像の分類。恒等写像・群の平行移動・ゲージ変換の線形化は定義どおり等長的です。間引きを等長的な側に入れるのは、残す自由度の揺らぎをそのまま運ぶ、という意味での分類で、間引きは全単射ではないので命題 2 の文字どおりの適用ではありません。

(c) 向きの原理。「$\Delta F$ の上界は変分と明示的な構成からしか出ない」は、この本の道具の一覧についての判断で、定理ではありません。

(d) 紫外の余分の費用。表 4 は二次元の模型の三点の数値で、四次元のゲージ理論で同じ増え方をすることは示していません。四次元では Ward 恒等式による打ち消しがありうるとされ、それが起きるかはゲージ固定と写像の共変性に依ります。

(e) 命題 6 の仮定。決まった写像の余りの KL が面積に比例することは、命題 7 の積の場合に、各容器の余りが下から押さえられることを仮定して言えるだけで、一般の写像については見立てです。

(f) 新しさ。Gibbs の変分原理・ガウス測度の相対エントロピー・背景場の一ループの計算はどれも標準です。それらを「揺らぎの形を変えるかどうか」の選別の基準として並べた見方の新しさは主張しません。スカラー場では Polchinski 流の輸送写像（Bauerschmidt–Bodineau–Dagallier）が知られており、ゲージ場の例は探した範囲で見当たりません（照合未了）。

この章に機械検査の束はありません。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 初 GIBBS   ΔF = E₊[S∘T − S − ln J] − KL                    全単射・ヤコビアン
[02] 初 RP      鏡映正値性は ΔF ≥ 0 だけ                          13-04
[03] 読 DIR     向きの原理（道具の一覧の判断）⟸ [01][02]
[04] 初 ISO     等長的な写像の損失は n で薄まらない ⟸ [01]       ガウス
[05] 初 RESHAPE 行列式 1 の整形で損失 ~ ΔF²/n ⟸ [01]             ガウス
[06] 初 EX      表 1 の例 ⟸ [04][05]
[07] 初 1LOOP   11/3 = −1/3 + 4                                   一ループの水準
[08] 初 TRACE   スピンの項は一次のトレースに出ない ⟸ [04][07]    一ループの水準
[09] 初 ISO-RG  等長的な比較は β′ ≥ β + 0.023 ⟸ [01][08]        一ループの水準
[10] 初 SH-RG   整形する比較は β − β′ = 0.258 ⟸ [05][07]         一ループの水準
[11] 読 NUM     2 倍の試験の符号（SU(2) 正・U(1) 負）             小さな格子
[12] 典 MK      Migdal–Kadanoff の補間への批判
[13] 読 WHY-MK  [12] の一ループの説明（物理）⟸ [09][12]
[14] 初 CRIT    選別の基準：非等長的であること ⟸ [09]           一ループの水準
[15] 読 UV2D    決まった写像の余分の費用（二次元）
[16] 読 RESAMP  引き直しで増加が消える（二次元）
[17] 読 UV4D    決まった向きの挿入は高い（四次元の板）
[18] 初 NOAREA  余りの KL ≥ c′A なら面積則は出ない ⟸ [01]       仮定つき
[19] 初 ADD     独立な容器で KL は足し算
[20] 読 KLAREA  決まった写像の余りは容器ごとに下から（見立て）⟸ [19]
[21] 読 WEAKGOAL ΔF(L,L) → 0 の役割（物理）⟸ [18][20]

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。仮定（仮）の行はありません。[18] の結論は [20] の見立てが正しいときにだけ決まった写像に当てはまり、その区別は [21] の行の分類（読）に表しています。この章には閉じ込めの節点も、質量ギャップの節点も、非摂動の節点もありません。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 輸送の恒等式・Gibbs の変分原理・向きの原理・揺らぎについて等長的な写像・揺らぎの整形・スピンの項・反遮蔽・余りの相対エントロピー・選別の基準。意味は A-02 用語集 にあります（第 12 部の語は追加の予定）。

次に読む章：12-08 測った記録 — 第 12 部の数値（駆動した挿入の仕事・$T^2$ を広げたときの渦の自由エネルギー・板の弦の張力）を、条件つきで一か所にまとめます。

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