2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 12 部 二本目の道挿入比・tanh の形・二次モーメント · Kiichi, Shiori and Rin

渦の挿入の恒等式

1. 区画の和のアンサンブル（12-03）では、ある領域に渦が通っているかどうかが符号 $\sigma=\pm1$ で表されます。渦を一本入れる（あるいは抜く）写像 $T$ は $\sigma$ を反転します。
2. 配位 $x$ で渦を入れたときの重みの比を挿入比 $\rho(x)$ と呼びます。$\rho$ が 1 より小さいほど、渦を入れるのは高くつきます。
3. 挿入比の平均はいつでもちょうど 1 です（恒等式 1）。これは「写像で配位を付け替えても、全体の重みの和は変わらない」という帳尻の式にすぎません。同じ帳尻から $\mathbb E[\rho\sigma]=-\mathbb E[\sigma]$ も出ます 初。
4. 二つを組み合わせると、区画の偏り $|\mathbb E[\sigma]|$ は、挿入比の揺らぎ（分散）の半分の平方根以下です（定理 2）。たくさんの位置で挿入して挿入比を平均すると、揺らぎは小さくなりえます。位置について平均することが、エントロピーの役を果たします 初。
5. 挿入比は大きな値を取りうる（重い裾）ので、扱いやすい有界な形も用意します。$\tanh(\Delta S/2)$ は常に $[-1,1]$ に入り、$\mathbb E[H]=\mathbb E[H\tanh(\Delta S/2)]$ が成り立ちます（恒等式 3）。$1-\mathbb E[\tanh]$ は、渦を挿入するモンテカルロの一手の受理率の平均の 2 倍です（補題 4）初。
6. $\sqrt\rho$ を使う形は、二次モーメントがいつでも 1 以下なので裾の心配がありません（恒等式 6・定理 7）初。
7. 細い渦の面の反転（12-04）を挿入に取ると、板の閉じ込めの定理がこの章の特別な場合として出ます（§06）。
8. これらは閉じ込めの証明ではありません。面積則には、多数の領域で同時に偏りが小さいこと（大偏差）と、挿入の費用の格子間隔に一様な評価（紫外）が要り、どちらもこの章の外です。

この章を通して次の三つを置きます。

• (F) 有限の配位空間 $X$（有限集合）。
• (W) 正の重み $w:X\to(0,\infty)$。期待値は $\mathbb E[f]=\sum_xw(x)f(x)/\sum_xw(x)$。
• (T) 区画を反転する全単射：区画の符号 $\sigma:X\to\{\pm1\}$ と全単射 $T:X\to X$ で、$\sigma(Tx)=-\sigma(x)$。

(T) は、区画の和のアンサンブルで「Haar 測度を保ち、ある領域の区画の符号を反転する写像」（例：渦の面の $z$ の反転と、領域の内側に台を持つ滑らかな左からの掛け算の合成）の有限版です。対合であること・互いに可換であること・最悪の場合の評価は、§03 では使いません。(F) から連続の配位空間（$SU(2)^{\text{リンク}}$ と余閉な $z$）へ移すには、和を Haar 測度と数え上げの積分に置き換え、$T$ が測度を保つこと（保たないならヤコビアンを重みに入れること）が要ります。証明は同じ変数の付け替えで通りますが、その版は Lean の外です。

挿入比を

と置きます。$\sigma=+1$ の配位には $T$ で渦を入れ、$\sigma=-1$ の配位には $T^{-1}$ で戻す、という向きの合わせ方です。作用 $S=-\ln w$ で書けば $\rho=e^{-\Delta S}$ です。

初 証明。$X_\pm=\{\sigma=\pm1\}$ と置きます。$T$ は $X_+$ を $X_-$ に、$X_-$ を $X_+$ に写し、全単射なので $T(X_+)=X_-$、$T^{-1}(X_-)=X_+$ です。よって

足すと $\sum w\rho=\sum w$、$\sigma$ を掛けて足すと $\sum w\rho\sigma=\sum_{X_-}w-\sum_{X_+}w=-\sum w\sigma$ です。∎

Lean InsertionIdentity（Insertion.mean_one・Insertion.mean_rho_sigma）（仮定：$X$ は有限・$w\gt0$・$T$ は $X$ の全単射・$\sigma(Tx)=-\sigma(x)$・$\sigma=\pm1$。結論：$\sum w\rho=\sum w$、$\sum w\rho\sigma=-\sum w\sigma$）。対合・可換性・測度の構造は使っていません。

初 証明。恒等式 1 を各 $T_k$ に使って平均すると $\mathbb E[\bar\rho]=1$、$\mathbb E[\bar\rho\sigma]=-\mathbb E[\sigma]$。よって $\mathbb E[(\bar\rho-1)\sigma]=-2\mathbb E[\sigma]$。Cauchy–Schwarz と $\sigma^2=1$ から $4\mathbb E[\sigma]^2\le\mathbb E[(\bar\rho-1)^2]\mathbb E[\sigma^2]=\mathrm{Var}(\bar\rho)$。∎

Lean InsertionIdentity（Insertion.sector_bias_le）（仮定：$X$ は有限・族の添字集合は有限で空でない・$w\gt0$・各 $T_k$ は全単射で $\sigma(T_kx)=-\sigma(x)$・$\sigma=\pm1$。結論：$4(\sum w\sigma)^2\le(\sum w)\sum w(\bar\rho-1)^2$）。

容器（12-03）に当てるには、枠を止めた条件つきの測度の上で定理 2 を使います。容器の内側だけを動かす全単射なら枠は変わらないので、$\theta_j(\Phi)=|\mathbb E[\sigma_j\,|\,\Phi]|\le\tfrac12\sqrt{\mathrm{Var}(\bar\rho\,|\,\Phi)}$ です 初。補題 5 の因子 $\tanh(|\Delta F_j|/2)$ が、容器の中の多数の位置への挿入の、挿入比の平均の揺らぎで上から押さえられる、という読み方になります。

挿入比 $\rho=e^{-\Delta S}$ は大きな値を取りうるので、$\mathrm{Var}(\bar\rho)$ は大きくなりえます。そこで有界な因子に取り替えます。(T) の $T$ から、区画に向きを合わせた写像

を作ると、$\tau$ は対合（$\tau\circ\tau=\mathrm{id}$）です（$\sigma(x)=+1$ なら $\tau x=Tx\in X_-$ なので $\tau(\tau x)=T^{-1}Tx=x$。逆も同じ）初。$\Delta S=S\circ\tau-S$、$\rho=w\circ\tau/w=e^{-\Delta S}$、そして

と置きます。

初 証明。$1-t=2w\circ\tau/(w+w\circ\tau)$ なので $\mathbb E[H]-\mathbb E[Ht]$ は $2\sum_xg(x)/\sum w$、$g(x)=w(x)H(x)w(\tau x)/(w(x)+w(\tau x))$ に比例します。$g(\tau x)=-g(x)$（$H$ が奇で、残りは $x\leftrightarrow\tau x$ で対称）なので、和を $\tau$ で付け替えると $\sum g=-\sum g$、よって 0 です。∎

Lean BoundedInsertion（Bounded.single）（仮定：$X$ は有限・$\tau$ は全単射で $\tau\circ\tau=\mathrm{id}$・$w\gt0$・$H\circ\tau=-H$。結論：$\sum wHt=\sum wH$）。

初 証明。付け替えで任意の $g$ について $\mathbb E[g]=\mathbb E[(g\circ\tau)\,\rho]$。$\Delta S\circ\tau=-\Delta S$ なので $g=\mathbf 1\{\Delta S=s\}$ と取ると $g\circ\tau=\mathbf 1\{\Delta S=-s\}$ で、集合 $\{\Delta S=-s\}$ の上では $\rho=e^{-\Delta S}=e^{s}$ なので第一式。$s$ と $-s$ を組にすると $\mathbb P(s)\tanh\frac s2+\mathbb P(-s)\tanh\frac{-s}2=\mathbb P(-s)(e^{s}-1)\tanh\frac s2\ge0$ なので $\mathbb E[t]\ge0$。最後に $1-\tanh(\Delta S/2)=2/(1+e^{\Delta S})$。∎ この補題には Lean の検査がありません。

(6) の読み方。Barker 型の一手は「渦を挿入した配位を確率 $w(\tau x)/(w(x)+w(\tau x))$ で受け入れる」モンテカルロの一手です。挿入がほとんど断られる（費用が高い）なら $\mathbb E[t]\approx1$、よく通るなら $\mathbb E[t]$ は 1 から離れます。第一式は、非平衡の統計力学で Crooks の揺らぎの関係式と呼ばれるものと同じ形です（原典との照合と、力学で駆動した版は 12-06）。

多数の細胞と位置の平均。 互いに離れた細胞 $c$ ごとに、細胞の中の位置 $p\in P$（$P$ は空でない有限集合）の挿入の対合 $\tau_{c,p}$ を取り、$t_{c,p}$ を (5) で作り、$\bar t_c=\frac1{|P|}\sum_pt_{c,p}$ と置きます。

初 証明。まず各細胞から一つずつ位置を選んだ $\prod_ct_{c,p_c}$ について、細胞を一つずつ足す帰納で $\mathbb E[H\prod_ct_{c,p_c}]=\mathbb E[H]$：細胞 $d$ を足す段では、それまでの積 $G=\prod_{c\ne d}t_{c,p_c}$ が $\tau_{d,p_d}$ で動かないので $HG$ は奇で、恒等式 3 が使えます。$\prod_c\bar t_c$ を展開すると、選び方 $|P|^{\#\text{細胞}}$ 通りの平均なので第一式。$|H|\le1$ で絶対値を取れば第二式です。∎ 各因子は $[-1,1]$ に入り、モーメントの仮定は要りません。

Lean BoundedInsertion（Bounded.averaged・Bounded.averaged_bound）（仮定：$X$ と細胞の集合と位置の集合 $P$ は有限・$P$ は空でない・全ての $\tau_{c,p}$ が対合・$w\gt0$・$H$ は全ての $\tau_{c,p}$ で奇・$c\ne d$ なら $t_{d,q}\circ\tau_{c,p}=t_{d,q}$・後者は $|H|\le1$ も。結論：(7)）。帰納の一段は BoundedInsertion（Bounded.multi）。

tanh の形は有界ですが、指数の平均（自由エネルギー）をそのまま捉えません。もう一つの有界な形が $\sqrt\rho$ です。

初 証明。$w\sqrt\rho=\sqrt{w\cdot w\circ\tau}$ は $x\leftrightarrow\tau x$ で対称、$H$ は反対称なので、$\sum_xw(x)H(x)\sqrt{\rho(x)}$ は $\tau$ で付け替えると符号を変え、0 です。∎

Lean SecondMoment（SecondMoment.sqrt_identity）（仮定：$X$ は有限・$\tau$ は全単射で $\tau\circ\tau=\mathrm{id}$・$w\gt0$・$H\circ\tau=-H$。結論：$\sum wH\sqrt{w\circ\tau/w}=0$）。

初 証明。恒等式 6 を平均して $\mathbb E[HY]=0$。$C=\mathbb E[Y^2]$、$B=\mathbb E[Y]$ と置くと $\mathbb E[H(C-BY)]=C\,\mathbb E[H]$。Cauchy–Schwarz と $H^2\le1$ から $C^2\mathbb E[H]^2\le\mathbb E[(C-BY)^2]=C^2-2CB^2+B^2C=C(C-B^2)$。$C\gt0$（$\rho_p\gt0$）で割って第一式です。最後の不等式は、$Y^2\le\frac1{|P|}\sum_p\rho_p$（Cauchy–Schwarz）と、対合については $\mathbb E[\rho_p]=\sum_xw(\tau_px)/\sum w=1$ から出ます。∎

Lean SecondMoment（SecondMoment.pz_bound）（仮定：$X$ と $P$ は有限・$P$ は空でない・全ての $\tau_p$ が対合・$w\gt0$・$H$ は全ての $\tau_p$ で奇・$|H|\le1$。結論：$(\sum wH)^2(\sum wY^2)\le(\sum w)\bigl((\sum wY^2)(\sum w)-(\sum wY)^2\bigr)$、正規化すると (8) の第一式）。$\mathbb E[Y^2]\le1$ には Lean の検査がありません。

(8) は、$Y$ が二次モーメントの意味で集中している（$\mathbb E[Y^2]$ が $\mathbb E[Y]^2$ に近い）ほど偏りが小さいことを言います。二次モーメントはいつでも 1 以下なので、$\rho$ の分散の形のような重い裾の心配がありません。

多数の細胞。 細胞ごとの挿入比の積を扱う形も置いておきます。

初 証明。$\prod_c(1-r_c)=\sum_{S\subseteq C}(-1)^{|S|}\prod_{c\in S}r_c$ と展開し、仮定を使うと各項が $\mathbb E[H]$ になり、$2^{|C|}$ 個の和です。Cauchy–Schwarz と $H^2\le1$ で第二式。∎

Lean MultiCell（MultiCell.bound）（仮定：$X$ と $C$ は有限・$w\gt0$・$|H|\le1$・上の「挿入で奇」の等式を全ての $S\subseteq C$ で。結論：(9) の第二式）と MultiCell（MultiCell.expand_identity）（第一式）。「挿入で奇」は Lean の中では仮定として置かれた等式です。一つの全単射については押し出しの等式 $\sum w\,(w\circ T/w)\,F=\sum w\,F\circ T^{-1}$（MultiCell（MultiCell.pushforward）、仮定：有限・$w\gt0$）から出ますが、別々の細胞の挿入を合成したときにこの等式が成り立つことは、写像の可換性と比の不変性に依り、Lean の外です。

12-04 の細い挿入を取ります。細胞をループの内側の平面のプラケット $p\in S(C)$ とし、位置は一つ（$|P|=1$）、$\tau_p$ を渦の面 $S_p$ の上の $z$ の反転とします。$\tau_p$ はそれ自身が対合で、リンクを変えないので Haar × 数え上げの測度を保ちます。$H=W(C)$ は各 $\tau_p$ で奇、$t_p=(1-r_p)/(1+r_p)$ は $S_p$ の上の値だけで決まるので $q\ne p$ の $\tau_q$ で動きません。定理 5 から

（$|t_p|\le\tanh(\beta N^2)$ は 12-04 の一枚の不等式）初。これは 12-04 の手順 4 の (4) そのもので、固定した区画への射影は 12-04 の手順 5 と同じです。板の閉じ込めの定理は、定理 5 の「細い挿入・位置一つ」の特別な場合です。連続の配位空間での (10) は、和を積分に置き換えた同じ議論で、Lean の外です。

位置の平均はエントロピー。 定理 2 の $\mathrm{Var}(\bar\rho)$ は、$n$ 個の位置のうち互いに相関の届く位置の数を $K$、一つの挿入比の分散を $V$ とすれば $\approx VK/n$ の程度と見込まれます 読（物理）。位置の数 $n$ を増やすことがエントロピーの役を、位置どうしの相関の減衰（質量ギャップ）が $K$ を小さく保つ役を果たします。滑らかな分数インスタントン型の挿入では $V\sim e^{S_{\rm inst}}$ の程度と見込まれ、要る領域の面積は $V$ に比例し、弦の張力は $\sigma\sim e^{-S_{\rm inst}}/L^2$ 程度と、希薄な渦の気体の公式と同じ形になります 読（物理・半古典の見積もり。証明ではない）。

チェス盤への集約。 平面の方向の鏡映正値性があれば、チェス盤の評価で $\mathbb E[\prod_{c\in\text{内側}}|\bar t_c|]\le\Lambda^{n}$、$\Lambda:=(\mathbb E[\prod_{\text{全ての細胞}}|\bar t_c|])^{1/\#\text{細胞}}$ と、並進不変な一つの量に集約され、$\Lambda\lt1$ なら面積則が出る、という筋があります 仮（根拠の在りか：鏡映正値性の扱いは 13-04・13-05。同じ構造は Kovács–Tomboulis の (13)(21) にある 典）。

足りないもの。 (i) 大偏差の段：$\Lambda\lt1$ には、全ての細胞で同時に挿入がよく断られる事象が、細胞の数について指数的に稀であることが要ります。(ii) 紫外の段：受理率の下界が格子間隔に一様であることが要り、細い反転（12-04）では $N$ とともに悪くなります。滑らかな挿入にすると、決まった写像は紫外で余分の費用を払うことが分かっています（12-07）。(iii) 二次モーメントの上界：定理 2 の $V$ の上界。三つともこの本では示していません。

陰性対照。 四次元の $U(1)$ は弱結合で閉じ込めないので、この章の評価をそこに当てれば、必ずどこかで評価が効かなくなるはずです（例えば $V$ が大きくなる）。その確かめは、この本ではまだ行っていません。

(a) 閉じ込め。この章の恒等式と不等式は、どれも閉じ込めを導きません。§07 の (i)〜(iii) が残ります。

(b) 連続の配位空間。定理は全て (F)(W)(T) の有限版で、$SU(2)$ の Haar 測度の上の版は、写像が測度を保つこと（あるいはヤコビアン）を足した同じ議論ですが、Lean の外です。

(c) 定理 8 の仮定。「挿入で奇」の等式は、別々の細胞の挿入を合成した写像について、この章では示していません（Lean でも仮定）。

(d) 新しさ。どれも変数の付け替えと Cauchy–Schwarz の初等的な組み合わせで、先行文献との照合は済んでいません。和のアンサンブル・容器の恒等式は Mack–Petkova、Wilson ループを捩れた分配関数で押さえる形は Tomboulis–Yaffe、チェス盤の積は Kovács–Tomboulis の枠組みの中にあります。位置について平均した挿入と Cauchy–Schwarz の組み合わせは、Mermin–Wagner の型の証明で標準的な手法と記録されており、ゲージ理論では Chatterjee（arXiv:2602.00436）にも現れる、とされています（照合未了）。この章の結果に新しさは主張しません。

(e) §07 の見積もり。$\mathrm{Var}(\bar\rho)\approx VK/n$・$V\sim e^{S_{\rm inst}}$・$\sigma\sim e^{-S_{\rm inst}}/L^2$ は物理の見立てで、どれも証明ではありません。

(f) 陰性対照。四次元の $U(1)$ で評価が効かなくなることは、まだ確かめていません。

機械検査の欄の束は、本体の再検査で sorry を含まず、公理が標準の三つの部分集合であることが確かめられたものです。保証されるのは有限集合の上の和の代数だけです（10-13）。Lean の名は全ての章で「ファイル（名前空間.定理）」の形で書きます。名前空間 Insertion の定理はファイル InsertionIdentity に、Bounded の定理はファイル BoundedInsertion にあります。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 初 MEAN   E[ρ] = 1・E[ρσ] = −E[σ]                         (F)(W)(T)
[02] 初 BIAS   4E[σ]² ≤ Var(ρ̄) ⟸ [01]                          Lean sector_bias_le
[03] 初 INV    向きを合わせた τ は対合                          (T)
[04] 初 TANH   E[H] = E[H t] ⟸ [03]                             Lean Bounded.single
[05] 初 CROOKS 揺らぎの関係式・受理率 ⟸ [03]
[06] 初 AVG    位置の平均 (7) ⟸ [04]                            Lean averaged_bound
[07] 初 SQRT   E[H√ρ] = 0 ⟸ [03]                                Lean sqrt_identity
[08] 初 PZ     Paley–Zygmund (8) ⟸ [07]                         Lean pz_bound
[09] 初 Y2     E[Y²] ≤ 1 ⟸ [01][03]
[10] 初 MULTI  多数の細胞 (9)（「挿入で奇」を仮定）              Lean MultiCell.bound
[11] 初 SLAB   細い挿入で板の閉じ込め ⟸ [06]                    板・N 固定
[12] 読 HEUR   VK/n・e^(−S_inst)/L²（物理）⟸ [02]
[13] 典 KT     チェス盤の積の構造
[14] 仮 CHESS  Λ に集約・Λ < 1 なら面積則 ⟸ [06][13]          鏡映正値性の下

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。仮定の行は [14] だけで、どの行の前提にも入りません。[10] の「挿入で奇」は定理の言明の中の仮定で、別の行から来るものではありません。この章には閉じ込めの節点も、質量ギャップの節点もありません。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 挿入写像・挿入比 $\rho$・区画に向きを合わせた対合 $\tau$・tanh の因子 $t$・受理率・位置の平均・$\sqrt\rho$ の形・Paley–Zygmund の形・挿入で奇。意味は A-02 用語集 にあります（第 12 部の語は追加の予定）。

次に読む章：12-06 力学で駆動した挿入と流れの補題 — 写像を一度に当てる代わりに、熱浴の力学でゆっくり渦を入れると、恒等式 3 が仕事 $W$ の形になります。

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