2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ付録論文の一覧・主定理の札と条件 · Kiichi, Shiori and Rin

この本から出た論文

表 1 の「段階」は、公開（このサイトの論文の頁に PDF と LaTeX 源を置いた）か、草稿（本の検討の材料で、公開していない）かです。頁数は PDF の頁数です。著者表記は刊行の形による。

論文 2 の原題の “window” は、この本の語では「移り変わりの帯」です。第 10・11 部の窓（サイトの区間・$\hbar$ の範囲・時刻の区間）とは別物で、本文では帯と書きます（13-00 §02）。論文 3 の原題の “rigorous” は原題の語で、本の札とは独立です。

要旨。有限次元の配位空間（コンパクトな連結 Riemann 多様体、または $\mathbb R^n$ に定数の計量と滑らかで閉じ込めるポテンシャル）の上の $H=-(\hbar^2/2)\Delta_M+V$ で、離散スペクトル・単純な正の基底状態 $\psi_0$・隙間 $\Delta=E_1-E_0\gt0$ を仮定する。時間の全体で定常な Euclid の経路の測度について、時間で均した滑らかな汎関数の上の確率量子化（Langevin）の Dirichlet 形の Poincaré 定数は $C_P\ge\kappa(\hbar/\Delta)^2$ を満たす。試験関数は $F=\psi_1/\psi_0$ の時間積分で、時刻に局所な汎関数の中ではこれが最良。逆向きは一般に偽で、円の上の自由な粒子では $\Delta\gt0$ のまま $C_P=\infty$。四次元にもゲージ場にも触れない。

範囲。Wilson の時間を刻む格子・ゲージ場・無限体積・連続極限は、論文の言明の外です。四次元の格子ゲージ理論で使うには、時間を刻む格子での仮定 (D) が残ります（11-04 §08）。

要旨。$(\mathbb Z/L)^4$ の上の $SU(2)$ の Wilson 作用で、どのプラケットもちょうど一本だけ含む「完全な族」のリンクを先に積分すると、Haar 積分は星ごとに分かれ、残りのリンクの周辺密度は $e^{-\Phi}$ の形になる。$\Phi$ の測地線に沿う二階微分は、全ての $\beta$ と全ての配位で $-27\beta^2\sum_e\|X_e\|^2$ 以上。単位 $S^3$ の Ricci 曲率 2 と合わせて Bakry–Émery の曲率 $2-27\beta^2$、閾値 $\beta\lt\sqrt{2/27}=0.2722$ になる。完全な族が $\mathbb Z^d$ に在るのは $d\le4$ のときに限る。質量ギャップの段は Lean の定理ではなく、紙で、しかも概略。

範囲。言えるのは「Bakry–Émery の方法の中で定数が良くなる」ことだけで、強結合の範囲を広げたとは言っていません。連続極限については何も言いません（5-11）。

要旨（草稿）。$SU(2)$ の Wilson 格子ゲージ理論を Mack–Petkova の捩れの和のアンサンブルで書き、局所的な中心渦の挿入について、近似を含まない恒等式の族を示す。区画に向きを合わせた対合の挿入 $\tau$（作用の変化 $\Delta S$）と、$\tau$ で奇な観測量 $H$ について、$\mathbb E[H]=\mathbb E[H\tanh(\Delta S/2)]$ と $\mathbb E[H\sqrt\rho]=0$（$\rho=e^{-\Delta S}$）。離れた細胞の挿入を合わせ、挿入の位置で平均すると、$|\langle W(C)\rangle|\le\mathbb E\prod_c|\bar t_c|$（各因子は $[-1,1]$）。可逆な熱浴の力学で駆動した挿入では、仕事 $W$ について Crooks 型の恒等式 $\mathbb E[H]=\mathbb E[H\tanh(W/2)]$。全ての $\beta$ の板の閉じ込めの定理は細い挿入の特別な場合として戻る。草稿は、これらを Tomboulis–Yaffe・Mack–Petkova・Kovács–Tomboulis の枠組みの中の書き直しと位置づけ、連続極限についても問題そのものについても何も言わない。

新しさ。草稿は「捩れの和のアンサンブルでの局所の恒等式」などを自らの寄与に挙げていますが、本は先行文献との照合が済んでいないので、新しさを主張しません（12-05 §08 (d)）。

要旨（草稿）。小さな捩れたトーラス $T^2_L$ を通る板 $T^2_L\times\mathbb Z^2$ の道で、四次元 $SU(2)$ の格子の閉じ込めに向かう。四点を述べる。(i) 「$\theta(L,L)\le\theta_0\lt1$ が $L$ に一様」という素朴な条件は四次元の $U(1)$ も満たすので閉じ込めを導かず、正しい目標は $\ln(1/\theta(L,L))\ge cL^2$（'t Hooft の判定の局所の形）。(ii) 平面の方向の入れ子と合わせると、目標は一つの横広げの不等式に還元される。この不等式は $U(1)$ と $\mathbb Z_2$ で破れ、希薄な領域の $SU(2)$ では符号が $11/3-2=5/3\gt0$ で決まる。(iii) 鏡映正値性・中心と双対の恒等式・転送行列の正値性は $\mathbb Z_2$ と $U(1)$ でもそのまま成り立つので、構造の入力だけでは横広げの不等式を示せない。(iv) 板の Monte Carlo は予測された対照を示す。一ループで、揺らぎについて等長的な写像からの比較は $U(1)$ の向き $\beta'\ge\beta+0.023$ しか出せず、揺らぎを整形する写像は $\beta-\beta'=0.258$ を出す。連続極限での閉じ込めも質量ギャップも示さない。

記録の上の追記の予定。階段関数の走査と $U(1)$ の対照（$\beta_c\approx1.01$ での符号の反転）を論文 2 に足すことが、取り組む順の一行として挙がっています（14-03 §06）。

要旨（草稿）。小さなトーラス $T^2_N$ に 't Hooft の捩れ $n_{12}=1$ を入れた $T^2_N\times T^2_M$ の上の四次元 $SU(2)$ の Wilson 格子ゲージ理論で、流束 $n_{34}$ の偏り $\theta(N,M,\beta)$ を考える（Tomboulis–Yaffe の不等式で大きな平面の Wilson ループを押さえる量）。固定した $N$ では細い $\mathbb Z_2$ の渦の面のコストから率 $\approx e^{-2\beta N^2}$ の面積則が初等的に出る。草稿は、率を、真空に凍らせた枠の中の分数インスタントンの最小作用 $S_*(N,\ell)$ に置き換える下界を示す。固定した $M$ では逆向きの評価も示し、指数の率を $S_{\min}(N,M)$ と $S_*(N,M/2)$ の間に挟む。$N$ に一様でなく、連続極限については何も言わない。

開いている所。$M$ に一様な逆向きの評価（希薄な気体の上界）と、$S_*=S_{\min}$ の一致です。草稿は前者を一つの正値性の補題に還元しています（14-03 問 12a・12b）。$N$ を増やす向きは、帯の真ん中と同じ問題です。

表 7 は、各論文の機械検査の部分を、束（Lean のファイルの組）の単位で並べたものです。どの束も、保証するのは仮定の並びから結論への有限和と実数の代数だけで、Haar 測度・経路の測度・区画の位相・$\theta$ が区画の偏りであること・転送行列の正値性は Lean の外です。束の置き場と名前の付け方は付録 A-04 に揃えます。

第 12・13 部の束は合わせて 11 ファイル・32 の定理と補題です。ほかに、板の閉じ込めの定理と容器の補題（SlabConfine・SlabAverage・FrameLemma・CommutingFlips ほか）を含む別の束（150 の定理）があり、12-03・12-04 が引きます。こちらは論文の束ではなく、同じ再検査を通っています。束の名と置き場は、付録 A-04 の束の表に足すときに決めます。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 公開・草稿・主定理・札・束・捩れの和のアンサンブル・移り変わりの帯・横広げの不等式・分数インスタントン・容器。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む頁：目次。論文の言明が本のどの条件の行に掛かるかは 14-02 条件の台帳 にあります。

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