2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 13 部 移り変わりの帯第 10 部の道・一段目の壁・共役点 · Kiichi, Shiori and Rin

時間の側から見た帯

第 10 部は、四次元格子の質量ギャップの目標を三つの水準に割りました（10-15 表 5）。(T1) 格子の各 $\beta$ で相関長が有限、(T2) 格子の質量を物理の単位で測った $m_{\rm lat}(\beta)/a(\beta)$ が正の有限値 $\Delta_\infty$ へ向かう、(T3) 連続の理論で隙間が正、です。時間の側の道で帯に当たるのは (T2) です。

(T2) の下の半分（質量が 0 に潰れないこと）は、二つの言明から一行の代数で出ます。拡散型緩和時間の仮定の上側 $\xi^2\!\uparrow$（旧称 H↑、10-01 §05 の (14)）と、片側の橋（10-01 §06 の命題 B の形）です。

初 証明。(1) の二つから $\kappa\,\xi^2a^2\le a^2C_P\le C$、両辺の平方根の逆数を取れば (2) です。∎（10-01 §06 の (16) と同じ代数。$C_P$ は Wilson 測度の Langevin の Poincaré 定数、$\xi=1/m_{\rm lat}$ は格子の単位の相関長、$a(\beta)$ は格子間隔）

(1) の中身は二つの量化子の順にあります。$C$ と $\kappa$ が $\beta$ に依らないこと、つまり $\beta\to\infty$ の全ての格子で同じ定数で成り立つことです。片側の橋は、連続の時間と有限の空間格子では仮定を名指した命題として示せますが（命題 B）、四次元の格子への持ち上げは形の見込みだけです 仮（11-07 表 2 の四段目の行）。$\xi^2\!\uparrow$ は四次元では仮定です 仮。

なぜこの言明は帯を渡るか 読（物理の見立て）。$\beta$ を大きくすると格子間隔 $a(\beta)$ は 0 へ向かい、相関長は格子の単位で $\xi(\beta)\propto e^{3\pi^2\beta/11}$ の型で伸びます（一ループの記帳、10-03 表 2）。$\beta$ を一つ止めた Wilson 測度の中には、格子の一目盛りから $\xi(\beta)$ までの全ての尺度が入っていて、長さ $L$ の尺度の実効的な結合は、$L\ll1/\Lambda$ では小さく、$L\sim1/\Lambda$ で $O(1)$ になり、その先で強結合の振る舞いに入ります。$C_P(\beta)$ は全ての試験関数の上限なので、最も遅い緩和、すなわち最も長い尺度の振る舞いまでを含みます。だから (1) を $\beta$ に依らない $C$ で示すことは、どの $\beta$ でも、実効的な結合が $O(1)$ になる尺度——移り変わりの帯——を同じ定数で通り抜けることを含みます。空間の側の道の目標（一様な板の張力：$L$ に一様に正の張力、13-00）も同じ型の文です。二本の道が「全ての尺度で同じ定数」という一つの型の言明に着く、というのが第 13 部の合流の意味です。

この一様性は第 10 部が既に述べたことの受け直しです。10-15 §07 の末尾は、足りないのは段の数ではなく全ての尺度で同じ定数で成り立つという一様性で、それが一段目では $\hbar\to0$ で一様な形に、四次元格子では $\beta\to\infty$ で一様な形に現れる、と書きました。この章の問いは、その一段目の版が四次元の帯と同じものか、ということです。

場所を確かめます。一段目は 0+1 次元の二重井戸の経路の測度 $\mu\propto e^{-S/\hbar}$ で、

です（10-04）。壁が現れるのは、経路が頂上 $z=0$ と井戸の間にとどまる区間（芯）$Q_k=[-x_c,0]^k$（$x_c=0.89$、面は Neumann）の条件つきの測度で、目標は、その Poincaré 定数が芯の長さ $k$・端の値・$\hbar$ に一様なこと（行 (T0′_P)、10-15 §02）です。

頂上の配位 $z\equiv0$ での Hessian は三重対角 $\mathrm{tridiag}(-2,\tfrac{15}4,-2)$ で、一つの行の対角 $\tfrac{15}4$ が結合の和 $4$ に $\tfrac14$ 届きません（10-09 §06）。この不足を、変分法の言葉で読み直します。

頂上の Jacobi の方程式。 $S$ の Euler–Lagrange の方程式を頂上 $z\equiv0$ で線形化すると、変位 $u_n$ について

です。一般の $\varepsilon$ では対角が $2/\varepsilon+\varepsilon V''(0)=2/\varepsilon-\varepsilon/2$、隣との結合が $1/\varepsilon$ で、(4) は $u_{n-1}+u_{n+1}=(2-\varepsilon^2/2)u_n$ と書けます。$u_n=e^{\pm in\theta}$ を入れると特性の式は $2\cos\theta=2-\varepsilon^2/2$、すなわち

で、$|\cos\theta|\lt1$ なので解は回転 $u_n=\sin(n\theta)$（$u_0=0$）です。頂上は、Euclid の運動方程式 $\ddot z=V'(z)$ の線形化 $\ddot u=V''(0)u=-\tfrac12u$ で見ても、指数的に離れる点ではなく回転の点です。

最初の共役点。 $u_0=0$ から出た解が次に 0 になる位置 $n=\pi/\theta$ が最初の共役点です。$\varepsilon=\tfrac12$ で

です 初（$\theta=\arccos(15/16)$ の数値。独立な確かめとして、漸化式 (4) を $u_0=0,u_1=1$ から回すと $u_8=0.844\gt0$、$u_9=-0.164\lt0$ で、線形補間の零点は $8.837$）。

凸性の閾＝共役点。 両端を止めた長さ $k$ の塊の頂上での Hessian $\mathrm{tridiag}(-2,\tfrac{15}4,-2)$ の最小固有値は

で（三重対角の固有値の閉じた式）、これが正になるのは $\pi/(k+1)\gt\theta$、すなわち $k+1\lt\pi/\theta$ のときだけです。(6) から $k\le7$ で正、$k\ge8$ で負です 初（$\kappa_{\rm C7}(7)=0.0545$、$\kappa_{\rm C7}(8)=-0.0088$。数値の対角化と (7) の差は $k=5$〜$10$ で $10^{-15}$ の程度）。「長さ 7 までは凸、8 から壊れる」（10-11 §05 段 1 の補題 BV）は、区間 $[0,k+1]$ に共役点が入るかどうかという、変分法の Jacobi の判定の離散版そのものです。

この長さは古典的で、$\hbar$ に依らない。 (4)〜(7) に $\hbar$ は一度も現れません。現れるのは作用 $S$ の形（運動項の係数 $1/\varepsilon$ と頂上の曲率 $V''(0)=-\tfrac12$）だけです。一段目で取る極限は $\varepsilon=\tfrac12$ を止めた $\hbar\to0$ なので、移り変わる長さは極限の全体で約 7.84 サイトに留まり、格子の単位で有限です。時間の単位に直すと $\varepsilon\cdot\pi/\theta\approx4.42$ で、時間を連続にした極限の値 $\pi/\sqrt{|V''(0)|}=\pi\sqrt2\approx4.44$（頂上の回転の半周期）に近い値です。$\varepsilon$ を 0 に送ればサイトの数は $1/\varepsilon$ で伸びますが、それは一段目の問題が取る極限ではありません。

例。$\varepsilon=\tfrac14$ なら $\pi/\theta-1\approx16.75$ サイトで、時間の単位では $\approx4.44$ です。長さはサイトの数としては刻みで変わり、物理の時間としては作用の中の数 $V''(0)$ で決まっています。

混合の長さとの数値の一致（仕組みは別）。 最悪の端の値（頂上）からの影響が全変動で $10^{-2}$ 未満になるサイトの数は、$\hbar=10^{-2}$〜$10^{-5}$ でほぼ動かず約 9 で、刻みを $\varepsilon=0.35,0.5,0.7,0.9$ と変えると $12,9,7,5$ と、$\pi/\theta=12.7,8.8,6.3,4.9$ に数値で近い値になります 読。ただし仕組みは「頂上の近くに半周期とどまる」ことではありません。$\hbar\to0$ の最適な道は頂上からすぐ下り始め、箱の角 $-x_c$ に有限のステップ（$\varepsilon=\tfrac12$ で 7）で着き、混合の長さはおよそそのステップ数に 2 を足したものです 読。二つが近い値になる理由は分かっていません。この章が共役点について主張するのは、(7) の凸性の閾だけです。

二つの壁を並べると、同じ型が見えます 読（物理の見立て。型の比較で、どちらの側の言明も含意しない）。

両端に別の道具がある。 一段目では、短い塊（$k\le7$）は (7) の凸性で端の値と $\hbar$ に一様に押さえられ（補題 BV 初）、井戸の中では相の中の局所 Poincaré（条件 (H1)、10-06）が効きます。四次元の帯では、強結合の端で展開が、弱結合の端で一ループの比較が効きます（13-06 §03。強結合の側は $u\le u_0\approx10^{-80}$ の筋、弱結合の側は一ループの水準）。

真ん中で、最悪の配位の評価が止まる。 一段目で最悪の配位を入口に持つ道具は、どれも同じ一行の不足 $\tfrac{15}4\lt4$ に戻ります 初（各行は二行の計算）。

• 一サイトの Dobrushin の影響係数：条件つきの一サイトの測度は $\tfrac{15}4$-凸で、隣への結合 $1/\varepsilon=2$ から一つの隣への影響は $\le2/\tfrac{15}4=\tfrac8{15}$、二つで $\tfrac{16}{15}\gt1$。
• 長さ 7 のブロックの影響：Brascamp–Lieb と M-行列の成分ごとの比較で、左の端から右の端への影響は $2\,(M_7^{-1})_{71}=2\cdot2^6/\det M_7\approx1.18\gt1$（$M_7=\mathrm{tridiag}(-2,\tfrac{15}4,-2)$ の $7\times7$、$\det M_7=1770735/16384\approx108.08$）。
• Otto–Reznikoff の判定：$\mathrm{tridiag}(-2,\tfrac{15}4,-2)$ の正値性が要り、無限の鎖では下端 $-\tfrac14$ で失敗。

四次元の帯では、最悪の枠で評価する道が同じ役をします。板の閉じ込めの評価 $\sup_\Phi\theta\le\tanh(\beta L^2)^{\ell^2}$（12-04）から出る張力は $\sigma\ge-\ln\tanh(\beta L^2)\approx2e^{-2\beta L^2}$ で、$L$ について超指数的に悪くなります（$\beta=2.5$・$L=4$ で $2e^{-80}$）。構造だけの入力（鏡映正値性・双対性・転送行列）は $\mathbb Z_2$・$U(1)$ でも同じ形で成り立ち、帯を渡れません（13-04）。どちらの側にも「最悪の一点」があります。一段目では全てのサイトが頂上にいる面 $x\equiv0$、四次元ではプラケットが中心の元 $-1$ にある所です。

平均の道具に移ると、一様性が出る見込みがある。 一段目では、転送作用素の相関長は $\hbar$ を小さくすると短くなり（$\hbar=0.1$ から $3\times10^{-4}$ で $1.68$ から $0.48$）読、最悪の端の値からの影響も $\hbar$ にほぼ依らない長さで消えます（§02）。頂上に近い配位の稀さ（$\hbar=3\times10^{-4}$ で $P(z\gt-0.5)\approx10^{-252}$）読 が、転送作用素の中で自動的に払われているからです（11-06 §06 の「稀さで払う」）。四次元の側では、$L$ を止めれば、枠の減相関がチェス盤の一つの密度 $\kappa_{\rm cb}$（平均の量）に置き換わります（13-05）。尺度をまたぐ評価は、四つの顔のどれかに託されています（13-06 §07）仮。

平均の道具の一段目の版は、具体的な形まで提案されています（§06）。その入口にある一意性の命題を、証明つきで置きます。

命題 K′（隠れた凸性）。 任意の $\varepsilon\gt0$、$c\gt0$、$l\ge1$、端の値 $a,b\in[-c,0]$ について、作用 $S$（(3) の $V$ で、両端を $a,b$ に止めたもの）は箱 $[-c,0]^l$ の上で局所的な極小をちょうど一つ持ち、それは大域的な最小である。

初 証明。$z_i=-\sqrt{\rho_i}$（$\rho_i\in[0,c^2]$）と置きます。(i) $(z_{i+1}-z_i)^2=\rho_{i+1}+\rho_i-2\sqrt{\rho_i\rho_{i+1}}$ で、幾何平均 $\sqrt{xy}$ は $[0,\infty)^2$ の上で凹なので、$-\sqrt{\rho_i\rho_{i+1}}$ は凸です。(ii) 端の項 $(z_1-a)^2=\rho_1+a^2-2|a|\sqrt{\rho_1}$ も、$-\sqrt{\rho_1}$ が凸なので凸です（右端も同じ）。(iii) $V(z)=(z^2-1)^2/8=(\rho-1)^2/8$ は $\rho$ について二階微分 $\tfrac14$ の狭義凸です。よって $\tilde S(\rho):=S(-\sqrt\rho)$ は凸な集合 $[0,c^2]^l$ の上で $\nabla^2\tilde S\ge(\varepsilon/4)I$ の狭義凸で、局所的な極小は一つで大域的です。$\rho\mapsto-\sqrt\rho$ は $[0,c^2]^l$ から $[-c,0]^l$ への同相写像なので、局所的な極小は互いに対応します。∎

命題 K′ が言うのは極小の一意性で、Poincaré 不等式ではありません。Dirichlet 形は $z$ の平らな計量で書かれているので、$\rho$ の座標での凸性はそのまま Bakry–Émery を与えません。測度を $\rho$ で書くと密度に $\prod_i(2\sqrt{\rho_i})^{-1}$ が付き、その対数の凹性が、$\rho_i\lesssim\sqrt{2\hbar/\varepsilon}$（頂上のごく近くの薄い層）でだけ凸性を壊します（$\tfrac{\varepsilon}{4\hbar}$ と $\tfrac1{2\rho^2}$ の比べ）。「15/4 対 4」の非凸性は、$z$ の座標で長さ 8 以上の頂上の塊に見えていたものが、$\rho$ の座標では一サイトごとの稀な薄い層に移る、という読みができます 仮（この層を稀さで払う議論は組んでいない）。

型が同じでも、壁の重さを決める三点が違います 読（物理の見立て）。

(i) 移り変わる長さの起源。 一段目の移り変わる長さは最初の共役点（約 7.84 サイト）で、作用 $S$ に書かれた数（運動項の係数と頂上の曲率）だけから決まる古典的な長さです。$\hbar\to0$ の極限の全体で、格子の単位で有限に留まります（§02）。四次元の帯の長さは $1/\Lambda$ で、作用は長さの物差しを持ちません（四次元で結合は無次元、11-07 §01）。長さは量子化で、一ループの記帳では $\Lambda=\mu\exp(-1/(2b_0g^2(\mu)))$ の形で生まれ（次元転移、4-07）典、格子の単位では $1/(a\Lambda)$ が $\beta\to\infty$ で $e^{3\pi^2\beta/11}$ の型で発散します。$\exp(-1/g^2)$ は $g=0$ で全ての導関数が消えるので、この長さは結合の展開のどの次数にも現れません。

(ii) 悪い配位が稀か、典型か。 一段目では頂上の近くの配位は稀で（§03 の $10^{-252}$）、11-06 の「稀さで払う」通貨が効きます。四次元の帯では、悪い配位（太い中心渦・分数インスタントン）は閉じ込めの機構そのもので、典型です。稀さの率は帯で尽きています。これは 11-07 §05 の根 (R2) の行（赤外では Gauss 近似の効かない配位が典型になり、稀さという通貨が無い）と同じ指摘です。

(iii) 相転移があり得るか。 一段目の芯は、コンパクトな一サイトの空間の上の最近接の一次元の鎖です。転送作用素は正の積分核なので、鎖の長さに一様な評価を妨げる相転移はありません 仮（正の積分核の主固有値の事実。10-15 表 1 の [001] と同じ書誌で、原典は要取得）。四次元の固定した $\beta$ では、体積に一様な評価は「相転移が無いこと」と同じ重さで、$U(1)$ は帯の中（$\beta\approx1.01$）で実際に転移します。帯を閉じる議論は $U(1)$ と区別しなければならない、という基準 (m) です（13-06 §08）。

(i) から、決定的な違いが一つ出ます。一段目では、移り変わる長さを越える有限のブロック（長さ 12）を選べば、ブロックの中は一つの極小の周りの解析で、ブロックの間は強い混合で、という二段の道が立ちます（§06）。四次元では、移り変わる長さ $1/\Lambda$ が格子の単位で発散するので、それを越える有限のブロックがありません。だから一段目の道具がそのまま帯を渡ることは期待できません。 11-07 §01 の「結合が無次元＝古典的な長さが無い」が、この違いの理由です。

補足。13-06 §06 の還元の補題を通すと、帯の中は「固定した $\beta$ での、体積に一様な評価」になり、一段目の壁（固定した $\hbar$ での、長さ $k$ に一様な評価）と同じ形の文になります。固定したパラメータ・体積に一様・凸でない領域を通る、の三つが共通です。それでも重さが違うのは (ii)(iii) のためです。そして尺度をまたぐ難しさは、還元の後には帯の上端と紫外の制御の継ぎ目に寄ります（同 §06）。一段目には結合の流れが無い（根 (R1) が無い）ので、この継ぎ目に当たるものがありません。

表 1 は §02〜§04 を六つの列にまとめたものです。各欄の札は欄の中に書きます。型の比較（行をまたぐ読み）は全て見立てです 読。

表 1 の読み方。列 (3)〜(5) を横に読むと型が同じで（両端に別の道具、真ん中で最悪の評価が止まり、平均の道具に移る）、列 (2) と (6) を縦に比べると中身が違います（長さの起源が古典か量子か、相転移があり得るか）。「15/4 対 4 を帯と同じ言葉で書けるか」という問いへの答えは、型は同じ言葉で書け、中身（移り変わる長さの起源）は違う、です。

次の道は、行 (T0′_P) を、サイトの窓の LSI 定数 $A_W$（10-09）を経由せずに支える候補として提案されています。第 10 部の分かれ道（10-15 §02）の第三の枝「道 C」として、10-15 の道 C の小節に行の表と依存グラフを置きます。ここでは、帯との関係に要る骨組みだけを書きます。

1. ブロックの LSI 仮：長さ $\ell_B\ge12$（共役点 $\approx7.84$ と、凸性の壊れる長さ 8 を避ける）のブロックで、端の値と $\hbar$ に一様。入口は命題 K′（§03）初、最悪の端の値での最小点の曲率 $\lambda_*(12)\ge0.255$ 読（四隅の最小点の区間演算が残る）、一つの非退化な極小から指数的に小さい固有値が無いことを出す Witten の Morse 理論と Menz–Schlichting の分解（Neumann の箱の角での形は照合未了）。
2. 強い混合 仮：$\hbar\to0$ の最適な道は全ての出発点から 7 ステップ以内で箱の角に着き（記録は 50 桁の KKT の証明書と命題 K′ と Topkis の単調性。外向きの丸めの区間演算かを確かめるまで 読）、幅 $\approx0.8\sqrt\hbar$ に集中し、角の境界層で Doeblin の重なりを持つ、という三段で $\mathrm{TV}(n)\le(1-\delta)^{\lfloor n/10\rfloor}$、$\delta$ は $\hbar$ に依らない。第二段・第三段は拘束つきの Laplace の方法の筋です。
3. 一次元の鎖の標準の定理 仮：ブロックの LSI と強い混合から、鎖の長さに一様な LSI（Zegarlinski、Martinelli–Olivieri の型。コンパクトな連続スピンの版は照合未了）。LSI から Poincaré が出て (T0′_P) に届く。

位置づけ。道 C が閉じても一段目は閉じません。二つの道に共通の行（管・縮約したキンクの気体・交差項・(H1) の延長ほか、10-15 表 1 の共通の 13 行）は道 C でも残ります。混合の長さに $\ln(1/\hbar)$ の緩い依存が残る場合、冪の文（$\ln C_P/\ln\xi\to2$）は影響を受けない見込みですが、定数が $\hbar$ に一様であることを要る行は影響を受けます（詳しくは 10-15 の道 C の小節）。

帯との関係。道 C は、§03 の型の「平均の道具に移る」段の一段目の版です。そして §04 (i) のとおり、その要は「移り変わる長さを越える有限のブロック」があることでした。四次元の帯には、その有限のブロックがありません。道 C が一段目で成功しても、帯を渡る道具を与えるとは言えません。四次元に写した形（境界を止めた箱の判定＋強い混合、顔 $\delta(L_0)$）では、その「強い混合」こそが $U(1)$ で破れる場所です 読（物理の見立て）。

(a) 帯を渡る言明 (1) は、どちらの半分も四次元では示していません。(2) は (1) の上の一行の代数です。

(b) 二つの壁の型の比較（§03・§04・表 1 の行をまたぐ読み）は見立てで、一段目の結果が四次元の何かを含意するとは言いません。持ち上がるのは文の形だけです（10-03 §06）。

(c) 共役点について主張するのは、(7) の凸性の閾が最初の共役点で決まることだけです。混合の長さとの数値の一致の理由は分かっていません。

(d) 道 C の行は、命題 K′ を除いて「仮」と「読」です。道 C が一段目を閉じるとは言いません。

(e) 一次元の鎖に相転移が無いことは、原典を取得していない書誌の上の文です。

(f) 四次元に「有限のブロックが無い」ことは、ブロックの道が四次元で不可能だという主張ではありません。一段目の道具の形がそのまま写らない、という意味です。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 初 ALG    (1) ⟹ m_lat/a ≥ √(κ/C)
[02] 初 BRG    片側の橋（命題 B）                                 連続の時間・有限の空間格子
[03] 仮 BRG4   橋の四次元への持ち上げ ⟸ [02]
[04] 仮 XIUP   ξ²↑（C が β に依らない）                            四次元
[05] 読 CROSS  (1) を同じ定数で示すことは帯を渡る ⟸ [01][03][04]
[06] 初 JAC    頂上の Jacobi の方程式・cos θ = 1 − ε²/4
[07] 初 CONJ   最初の共役点 π/θ − 1 ≈ 7.84 ⟸ [06]                  ε = ½
[08] 初 THR    凸性の閾 k ≤ 7 ＝ 共役点 ⟸ [06][07]
[09] 初 CLS    移り変わる長さは ħ に依らず有限 ⟸ [06][07]          ε を止めた ħ → 0
[10] 読 MIX    混合の長さ ≈ 9 と π/θ の数値の近さ
[11] 初 WORST  最悪の配位の道具は 15/4 対 4 に戻る ⟸ [08]
[12] 初 SUP    最悪の枠は L について超指数的に悪い（12-04）
[13] 初 KP     命題 K′
[14] 仮 RHO    非凸性は ρ の薄い層へ ⟸ [13]
[15] 典 DT     1/Λ は次元転移・格子の単位で発散
[16] 仮 NOPT   一次元の芯の鎖に相転移は無い
[17] 読 TYPE   型は同じ・中身は違う ⟸ [09][11][12][15][16]
[18] 仮 WAYC   道 C ⟹ (T0′_P) ⟸ [13]
[19] 読 NOBLK  四次元に有限のブロックは無い ⟸ [09][15][18]

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。この章で「初」の節点は、一行の代数 [01]、頂上の線形の計算 [06]〜[09]・[11]、命題 K′ [13] で、帯を渡る言明 [04][05] は「仮」と「読」です。質量ギャップの節点はありません。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 移り変わりの帯・拡散型緩和時間の仮定（$\xi^2\!\uparrow$、旧称 H↑）・片側の橋・Jacobi の方程式・共役点・隠れた凸性・ブロックの LSI・強い混合・道 C・基準 (m)。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：13-08 試して止まった道の地図 — 試して止まった道と、止まった理由の一覧。四次元で効いていることの二点は 11-07 四次元だからこそ。

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