2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 13 部 移り変わりの帯区画の偏り・面積の指数・Tomboulis–Yaffe · Kiichi, Shiori and Rin

帯の正しい形

記号を 12-03 から受け取ります。格子 $(\mathbb Z/L)^2\times(\mathbb Z/M)^2$ の上の $SU(2)$ の Wilson 作用を、Mack–Petkova の捩れを和に取ったアンサンブル（リンク $U$ と、閉じた $\pm1$ の変数 $z_p$、重み $\exp(\frac\beta2\sum_pz_p\,\mathrm{tr}\,U_p)$）で書き、横の二方向 1・2 には背景の捩れ $n_{12}=1$ を固定します。平面（方向 3・4）の中の円板または正方形 $D$ に対し、容器を $D\times T^2_L$、その区画を $D$ を通る $\mathbb Z_2$ の流束 $\sigma_D=\prod_{p\in D\times\{y_0\}}z_p$、容器の外の全ての変数（枠）$\Phi$ で条件づけた区画の偏りを

とします。大きさ $R$ の容器で横が $T^2_L$ のときの典型的な枠での値を $\theta(R;T^2_L)$、とくに $\theta(L,L):=\theta(L;T^2_L)$ と書きます。枠を与えると容器の中は条件つきで独立で、平面の中のループ $C$ の内側の互いに素な容器 $D_j$ について

が成り立ちます（Mack–Petkova の容器の評価 典、12-03）。

空間の方向の道は、小さな $T^2_L$ では閉じ込めが見え（12-04）、それを $L\to\infty$ へ運べば $\mathbb R^4$ の閉じ込めになる、という筋でした。そこで最初に思いつく帯の文は、次の素朴な形です。

「容器と横のトーラスを一緒に大きくしても、区画の偏りが 1 に張り付かない」——乱れが全ての尺度で残る、という文です。

命題 1 初　ある $L$ で、平面を一辺 $L$ の正方形の容器で敷き詰めたとき、(2) の右辺の積が定数 $C_{\rm D}\ge1$ の違いを除いて各因子の積に分かれ（枠の減相関 仮）、各因子が $\theta_0$ 以下だとする。このとき、面積 $A$ の正方形のループ $C$（一辺が $L$ の倍数）について

証明　$C$ の内側に一辺 $L$ の正方形の容器を $A/L^2$ 個並べ、(2) と仮定を使うと $|\langle W(C)\rangle|\le C_{\rm D}\prod_j\theta_0=C_{\rm D}\theta_0^{A/L^2}$。指数を書き直せば (4)。∎

(4) の張力 $\sigma_L$ は各 $L$ で正です。しかし素朴な形 (3) が与えるのは 一つの 定数 $\theta_0$ だけなので、この道で得られる張力の下界は $\ln(1/\theta_0)/L^2$ で、四次元の極限（板 $T^2_L\times\mathbb R^2$ が $\mathbb R^4$ に近づく $L\to\infty$）で 0 に向かいます。物理単位で書けば、$L$ を $1/\Lambda$ の何倍にとっても下界は $\Lambda^2\ln(1/\theta_0)/(L\Lambda)^2$ で、一様な張力を与えません。

ここで言えているのは「(3) から容器の評価で出る下界は 0 に向かう」ことです。(3) が成り立つ理論が閉じ込めないことは、命題 1 からは出ません。次の節の U(1) の見立てが、その一段を埋めます。

同じ容器の言葉を四次元のコンパクトな $U(1)$ に当てはめます（捩れは $\pm1$ の値の中心の流束として同じに入ります）。以下は有効理論による見立てです 読（物理）。

弱結合の $U(1)$ はクーロン相にいて、板 $T^2_L\times\mathbb R^2$ の上では、長い距離で横を積分した二次元の $U(1)$ になり、その結合は $e^2/A_T$（$A_T=L^2$ は $T^2$ の面積）です。二次元の $U(1)$ で面積 $A_D$ の領域を通る流束 $\Phi$ の分配関数は、巻き付き $k$ についての Poisson の和で

と書けます。区画 $\sigma_D=\pm1$ は $\Phi=0$ と $\Phi=\pi$ に当たるので、$q:=e^{-e^2A_D/(2A_T)}$ が小さいとき

容器の大きさを $R=L$ にとると $A_D/A_T$ は $L$ に依らない数（正方形なら 1）なので、$\theta(L,L)$ は $L$ に依らない定数で、素朴な形 (3) を満たします。一方、弱結合の四次元 $U(1)$ が閉じ込めないことは定理です（Guth 1980・Fröhlich–Spencer 1982、Villain 型の作用 典、5-06）。二つを合わせると、(3) は閉じ込めを導けない、という結論になります。ただし (6) は見立てなので、この結論も同じ札 〔読〕（物理）を持ちます。

(6) は二次元に縮めた U(1) の弦の張力 $\sigma\sim e^2/(2L^2)$ と整合します。板の上の U(1) は閉じ込めますが、その張力は $1/L^2$ で 0 に向かいます。命題 1 の $\ln(1/\theta_0)/L^2$ は、ちょうどこの振る舞いと同じ形です。

注　最初に試した古典的なエネルギーの勘定（流束 $\pi$ を半径 $L$ の容器に一様に広げたエネルギー $(\beta/2)(\pi/L^2)^2L^4=\beta\pi^2/2$ が $L$ に依らない）も同じ結論を与えますが、巻き付き $k$ の和を落としているので、(5)・(6) の形を本文に置きます。

一様な張力を出すには、偏りが容器の面積の指数で小さくならなければなりません。物理単位で

です。これが帯の正しい形です。容器の評価の側から見れば、(7) は張力が $L$ に依らない形にそのままなります。

命題 2 初　命題 1 と同じ枠の減相関の仮定の下で、一辺 $L$ の容器で $\theta\le e^{-cL^2}$ なら、一辺が $L$ の倍数の正方形のループについて $|\langle W(C)\rangle|\le C_{\rm D}\,e^{-cA}$。

証明　命題 1 の証明で $\theta_0$ を $e^{-cL^2}$ に替えると $C_{\rm D}(e^{-cL^2})^{A/L^2}=C_{\rm D}e^{-cA}$。∎

(7) は、't Hooft の閉じ込めの判定——渦（中心の流束）の自由エネルギーが断面の面積の指数で小さくなること——を、枠で条件づけた局所の形にしたものです。大域の形は、捩れた境界条件の分配関数で書けます。トーラスの上で、ループの平面 $\mu\nu$ に捩れの流束を入れた分配関数 $Z_-$ と入れない $Z_+$ の比で渦の自由エネルギーを $e^{-F_v}:=Z_-/Z_+$ と定めると、区画の偏りの大域版は

です（定義から、初）。$\tanh x\le x$ と、$0\le\theta\le1/\sqrt2$ で $\operatorname{artanh}\theta\le\theta/(1-\theta^2)\le2\theta$ から $\theta\le F_v/2\le2\theta$ なので、$\ln(1/\theta)\ge cL^2$ と $F_v\lesssim e^{-cL^2}$ は定数の違いを除いて同じ条件です。

大域の形を面積則に結ぶのが Tomboulis–Yaffe の不等式です 典。$SU(2)$ の格子ゲージ理論で、周期 $L_\mu,L_\nu$ の方向の平面にある長方形 $C$（面積 $A_C$）について

が成り立ちます。ここで $F_v$ は $C$ と同じ平面の捩れの流束の自由エネルギーで、渦の面は残りの二方向を巻いて $C$ と一度まわります（板の背景の捩れ $n_{12}$ とは別の捩れです）。T. Kanazawa はこの不等式を $SU(N)$ と一般の古典的なスピン系へ、鏡映正値性を使って拡張しました 典。

系 3 初　(9) の下で、$F_v\le e^{-\rho L_\mu L_\nu}$（$\rho\gt0$ はトーラスの大きさに依らない）なら $\langle W(C)\rangle\le2e^{-\rho A_C}$、すなわち弦の張力は $\rho$ 以上。

証明　$1-e^{-F}\le F$ から $\tfrac12(1-e^{-F_v})\le\tfrac12e^{-\rho L_\mu L_\nu}$。$A_C/(L_\mu L_\nu)$ 乗すると $2^{-A_C/(L_\mu L_\nu)}e^{-\rho A_C}\le e^{-\rho A_C}$。∎

$\rho$ は 't Hooft の弦の張力と呼ばれます。系 3 の仮定と (7) は同じ型の条件です——前者は大域の分配関数の比、後者は枠で条件づけた容器の偏りです。大域の形は枠の減相関を要しない代わりに、基点（小さな $T^2$ での評価）も大域の分配関数で示す必要があります（13-02 の注）。

帯を渡る議論は、閉じ込めない理論では失敗しなければなりません。素朴な形 (3) はこの試金石に通らず、正しい形 (7) は通る見込みです。表 1 の振る舞いは全て見立てです 読（物理）。

素朴な形を満たすことは、閉じ込めの試金石になりません。U(1) が満たすからです。「U(1) で失敗すること」は、「$\theta$ が $L$ とともに面積の指数で小さくならないこと」として課すのが正しい言い方です。

(7) は、帯の両側をつなぐ文です。小さな $L$（希薄な分数インスタントンの領域）では、$\ln(1/\theta)$ は弦の張力 $\propto\Lambda^2(\Lambda L)^{5/3}$ と容器の面積の積で増える見込みで（13-03）、大きな $L$（閉じ込めの領域）では $\sigma L^2$ から渦の面の位置のエントロピーの対数を引いた形になる見込みです 読（物理）。(7) はその間——$L\sim1/\Lambda$——を、一つの定数 $c$ で通すことを求めます。

(7) より弱い途中の到達点も、二つ名指しできます。

• (a) $F_v(L,L)\to0$：閉じ込めない相の排除。素朴な形よりは強いが、張力の一様な下界は与えない。
• (b) $\ln(1/\theta(L,L))\ge cL^2/\ln L$：ほぼ面積則。命題 1 の形で張力の下界は $c/\ln L$ で、まだ一様ではない。

どちらも未解決です。

この章の結論は、第 12 部の道具の位置づけも変えます。流れの補題 $\theta\le1-a$（12-06）は、一段の核の反転の確率 $a$ が $\tfrac12$ 程度にしかなれないので、$\theta_0\sim\tfrac12$ の形——素朴な形 (3)——の評価しか与えません。だからその道具は帯の試験には使えず、$L$ を固定した板の張力の下界を推す用途に限られます 初。

次の章 13-02 では、(7) を、容器を固定して横のトーラスだけを広げる一つの不等式に還元します。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 典 MP     容器の評価 |W| ≤ E∏θ                                 捩れを和に取ったアンサンブル
[02] 仮 DEC    枠の減相関（定数 C_D）
[03] 初 P1     素朴な形の下界 ln(1/θ₀)/L² → 0 ⟸ [01][02]
[04] 典 U1     弱結合の四次元 U(1) は閉じ込めない                   Villain 型
[05] 読 COUL   U(1) のクーロン相の θ は L に依らない                見立て
[06] 読 NAIVE  素朴な形は閉じ込めを導けない ⟸ [03][04][05]
[07] 初 TANH   θ = tanh(F_v/2)・θ ≤ F_v/2 ≤ 2θ                      大域の形
[08] 典 TY     Tomboulis–Yaffe の不等式                             SU(2)
[09] 典 KA     SU(N) への拡張                                       要旨
[10] 初 C3     F_v ≤ e^(−ρLL) なら張力 ≥ ρ ⟸ [08]
[11] 初 P2     θ ≤ e^(−cL²) なら |W| ≤ C_D e^(−cA) ⟸ [01][02]
[12] 読 TEST   表 1 の振る舞い ⟸ [05]                               見立て
[13] 初 FLOW   流れの補題は素朴な形の評価だけ ⟸ [03]

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。この章の結論の節点のうち、紙で立つのは [03]・[10]・[11]・[13] で、どれも仮定の行 [02] か文献の行 [08] の上の初等的な操作です。「素朴な形は足りない」の全体 [06] は、見立ての行 [05] を前提に持つので「読（物理）」です。正しい形 (7) そのものの節点はありません。それは帯の文で、この章は示しません。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 容器・区画・枠・区画の偏り $\theta$・素朴な形・正しい形（面積の指数）・渦の自由エネルギー $F_v$・'t Hooft の弦の張力・枠の減相関・試金石。意味は A-02 用語集 と A-06 仮定の索引 にあります。

次に読む章：13-02 一つの不等式への還元 — 正しい形を、横を広げる一つの不等式へ。

← 13-00 入口 — 合流目次13-02 一つの不等式への還元 →