この道が止まる場所 — T² を広げることが帯である

この章で分かること — 小さな捩れた $T^2$ から出発する空間の方向の道が、どの段で止まるか。止まるのは $T^2$ の一辺 $L$ を相関長の尺度 $1/\Lambda$ を越えて広げる段で、これが移り変わりの帯（略して帯）です。帯の両端、つまり $L$ が小さい希薄な分数インスタントンの領域と $L$ が大きい閉じ込めの領域では、要る不等式が成り立つ見込みがあり、真ん中の $L\sim1/\Lambda$ を非摂動的に通すことだけが残ります。

前提となる章 — 12-00（この部の入口）・12-02（渦と分数インスタントン）・12-04（板の閉じ込め）・9-06（七段の表の段 5）。

先に言うこと — この章は短い案内の章で、新しい証明を置きません。帯を渡る文はどれも仮定で、両端の見込みは一ループと希薄な気体の勘定、または閉じ込めの描像の上の物理の見立てです。

この章の順序

止まる段 — 小さな $T^2$ で手にあるものと、広げる段
帯の両端と真ん中 — 希薄な領域・閉じ込めの領域・その間（表 1）
帯で示すべき文 — 正しい形と、途中の到達点
第 13 部へ

止まる段 — 小さな $T^2$ で手にあるものと、広げる段

この部の道は、四次元の問題を二つに分けるために小さな捩れた $T^2$ を経由しました（12-00）。捩れが零モードを消すので、 $T^2$ の大きさ $L$ までの尺度で理論は弱結合のままで、 $T^2$ を巻く渦の面は分数インスタントンとして局所的に閉じます。こうして、紫外の壁だけが残る中間の到達目標（小さな $T^2$ でのギャップと閉じ込め、七段の段 3・4）と、それ以外の壁が集まる段（ $T^2$ を広げる、段 5）に分かれます。

小さな $T^2$ の側で手にあるものは、どれも条件つきか、格子間隔を固定した文です。格子間隔と $T^2$ を固定すれば全ての $\beta$ で面積則が成り立ちますが、張力は細い渦のコストで決まり連続極限で 0 になります初（12-04）。挿入の恒等式と平均の評価は閉じ込めを一つの局所的な量に帰着させます初（12-05）。格子間隔を 0 に送った小さな $T^2$ の閉じ込めとギャップは、紫外の制御などの仮定の上の筋です仮（14-01 の矢印 G1・C2）。

問題文が求めるのは $\mathbb R^4$ の理論なので、 $L\to\infty$ が要ります。 $L$ を相関長 $1/\Lambda$ より十分小さい所から十分大きい所まで、全ての $L$ で同じ定数の評価を持って広げること。この段がこの道の止まる場所で、本書ではこれを移り変わりの帯（略して帯）と呼びます仮。第 10・11 部の「窓」（サイトの窓・ $\hbar$ の窓・時刻の窓）とは別の語です（13-00 の注）。

帯の両端と真ん中

帯で示すべき文は、容器の区画の偏り $\theta(R;T^2_L)$ （容器の一辺 $R$ 、横の $T^2$ の一辺 $L$ 、12-03）の言葉で、横の $T^2$ を広げても偏りが大きくならない、という形をしています（横広げの不等式、13-02）。両端と真ん中で状況が違います。

表 1　帯の両端と真ん中（ $\Lambda$ は力学的な尺度、 $L$ は横の $T^2$ の一辺）
領域	描像	横の $T^2$ を広げると	札	同じ行に書く条件
$L\ll1/\Lambda$ （希薄な領域）	渦は荷電 $\tfrac12$ の自己双対の塊（分数インスタントン）で、作用 $4\pi^2/g^2$ は $T^2$ の形に依らない。希薄な気体で $\ln(1/\theta)\propto A_D\,L^{5/3}$ （ $A_D$ は容器の面積）	$\ln(1/\theta)$ が増え、偏りは小さくなる。指数 $5/3=11/3-2$ は漸近自由の係数が横の二次元のエントロピーに勝つ余裕	読（物理：一ループと希薄な気体の勘定）。張力の式 $\Lambda^2(\Lambda L)^{5/3}$ は典	希薄な領域・一ループ・SU(2)。U(1) では同じ勘定で指数が $-2$
$L\gg1/\Lambda$ （閉じ込めの領域）	容器の渦の面の自由エネルギーは張力 $\times$ 面積で、 $T^2$ の面積への依存は渦の面の位置のエントロピー（対数）だけ	偏りの比は $s^2$ の程度に留まる	読（物理：閉じ込めの描像の上）	閉じ込めを仮定した描像。示されていない
$L\sim1/\Lambda$ （真ん中）	弱結合の描像も強結合の描像も使えない	示すべき文そのもの	仮	非摂動の入力が要る。構造的な入力（鏡映正値性・双対性・転送行列）だけでは出ない（13-04）

対照のために U(1) を置くと、 $U(1)$ の流束は一様に広がるしかなく、板の上の $U(1)$ は長距離で結合 $e^2/A_T$ （ $A_T$ は $T^2$ の面積）の二次元の $U(1)$ になるので $\ln(1/\theta)\propto A_D/A_T$ で、 $T^2$ を広げたときの偏りの比（広げた後と前の比）はいくらでも大きくなります読（物理：論文 2 の見立ての勘定）。四次元の弱結合の $\mathbb Z_2$ でも同じく破れます。非可換の流束は尺度に依らない有限作用の塊に局在できる、という点が SU(2) と U(1) を分けます（13-03）。測った記録（ $T^2$ を広げたときの渦の自由エネルギーが U(1) では上がり SU(2) では上がらない、板の張力が増えて飽和する）は 12-08 と 13-09 にあります読。

帯で示すべき文 — 正しい形と、途中の到達点

帯の目標は「偏りが 1 から一様に離れる」（ $\sup_L\theta(L;T^2_L)\le\theta_0\lt1$ ）ではありません。この形は四次元の $U(1)$ も満たし、出る張力は $\ln(1/\theta_0)/L^2\to0$ だからです（13-01）。正しい形は、容器の渦の自由エネルギーが面積の指数で小さくなること

\ln\frac1{\theta(L;T^2_L)}\ \ge\ c\,L^2\qquad(\text{物理的な単位で、格子間隔 }a\text{ に一様}) \tag{1}

で、't Hooft の閉じ込めの判定の、枠を条件づけた局所版です仮。(1) は、基点と枠の減相関と横広げの不等式があれば倍化の反復で従います（14-01 §03 の定理 1 とその前提）。チェス盤の言葉では、(1) の内容は一様な板の張力と一様な板のギャップの二つの一様性になります（13-05）。

(1) に届く前の途中の到達点として、二つの弱い文が名指されています仮。(a) 容器の渦の自由エネルギーが $L\to\infty$ で 0 に近づくこと（閉じ込めない相が無いことの言い換え）。(b) $\ln(1/\theta)\ge cL^2/\ln L$ （ほぼ面積則）。どちらも示されていません。

第 13 部へ

この道は、帯の手前まで来て止まりました。帯で何が要るかは、この部の道具で形を絞れます。正しい形 (1)、一つの不等式への還元、非可換が効く場所、構造だけでは渡れないこと、の順です。時間の方向の道（第 10・11 部）も、四次元の目標を「 $\beta\to\infty$ に一様な定数」の形で書くと同じ型の一様性に着きます（10-15 §08）。二本の道がこの帯で合流することは、第 13 部の入口で扱います。

この章が言えている範囲

言えている	言えていない
空間の方向の道が止まる段が、横の $T^2$ を相関長の尺度を越えて広げる段（帯）であること。帯で示すべき文の正しい形 (1) と、途中の到達点 (a)(b) の名指し	(1)・(a)・(b) のどれも仮
両端の見込み：希薄な領域の $5/3=11/3-2$ 、閉じ込めの領域の対数のエントロピー読（物理）	真ん中 $L\sim1/\Lambda$ を非摂動的に通すこと。両端の見込みの証明

出典と再現

もの	種別	出典・道具
小さな $T^2$ の弦の張力 $\Lambda^2(\Lambda L)^{5/3}$	典	Y. Tanizaki, M. Ünsal, arXiv:2201.06166 の式 (2.32)・(2.37)（12-02 の出典表）
希薄な領域の $5/3=11/3-2$ 、 $U(1)$ の $-2$	読（物理）	論文 2（草稿、A-07）の「不等式は理論を分ける」の命題（論文自身が見立てと明記）
正しい形 (1) と $U(1)$ の反例	仮・読	13-01。Tomboulis–Yaffe の不等式は典
途中の到達点 (a)(b)	仮	14-02 の課題 8 の行

この章で使った語 — 移り変わりの帯（帯）・横広げの不等式・区画の偏り $\theta(R;T^2_L)$ ・希薄な領域・閉じ込めの領域・途中の到達点。意味は A-02 用語集にあります。

次に読む章：13-00 入口 — 合流 — 二本の道が「全ての尺度で同じ定数」という一つの型の言明に着くこと。

改訂 2026-10-15：初版。