2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 12 部 二本目の道駆動した挿入の仕事・渦の自由エネルギー・板の弦の張力 · Kiichi, Shiori and Rin

測った記録

1. 駆動した挿入。 $SU(2)$ の板で、渦を一度に挿入する費用（段数 0）は $T^2$ の面積に比例して 11.8・24.2・44.9（$N_T=2,3,4$、$\beta=2.3$）と大きいのに、256 段で駆動すると 0.50〜0.63 まで下がりました 読（表 1 の行 A・B・C。条件の違う行 G・H では、256 段の仕事は 3.64・6.67 と高いままです）。容器（円板）が渦の大きさより小さいと、段数を増やしても下がりきりません。
2. 容器の半径 4 を固定して $N_T=4,6,8$（$\beta=2.5$、1024 段）と広げても、仕事は 1.1〜1.6 で、$N_T$ についてはっきりした増加はありませんでした 読（10 配位 × 3 位置）。
3. 渦の自由エネルギー。 大域の流束の区画の自由エネルギー $\Delta F$ は、$T^2$ を広げると $U(1)$（$\beta=1.5$）では増え、$SU(2)$（$\beta=2.4,2.5$）では増えないか減りました 読（$M=8$ と $12$、誤差は $U(1)$ で 0.04〜0.78、$SU(2)$ で 0.1〜0.36）。
4. 板の弦の張力。 $SU(2)$、$\beta=2.5$、$M=16$ の Creutz 比 $\chi(4)$ は、$N_T=4\to8$ で増え、$N_T=10$ でほぼ飽和しました。有意な行き過ぎは見えません 読（2000 測定）。
5. 同時の反転。 容器を同時に駆動した測定は、移り変わりの帯の数値的な姿としては使えないことが分かり、その位置づけは撤回されました（12-06 §07）。$T^2$ を固定した板の張力の下界の道具としてだけ残ります。

• 格子。 板 $(\mathbb Z/N_T)^2\times(\mathbb Z/M)^2$。方向 1・2 が捩れた $T^2$（捩れ $n_{12}=1$）、方向 3・4 が平面です。$SU(2)$ は Wilson 作用、$U(1)$ は対照として同じ形の作用。
• 駆動した挿入。 平面の円板（半径 $r$）× $T^2$ の容器の中だけを熱浴で更新し、渦の面の結合を $m$ 段で $1\to-1$ に変えたときの仕事 $W$（12-06 の (2)）。受理率は $\min(1,e^{-W})$ の平均です。
• 渦の自由エネルギー。 平面の $(3,4)$ トーラス全体を通る流束 $n_{34}\in\{0,1\}$ の二つの区画の $\Delta F=\ln(Z(1,0)/Z(1,1))$ を、結合を補間するレプリカ交換と Bennett の受理率の比（BAR）で推定したもの。偏りは $\theta=\tanh(\Delta F/2)$。誤差は記録の推定値です。
• 弦の張力。 平面の中の $R\times R$ の Wilson ループから作った Creutz 比 $\chi(R)$。小さな $R$ ではクーロンの項を含み、張力を過大に見積もります。
• 物理の大きさ。 記録では、$\beta=2.5$ の $N_T=8$ は $L\sqrt\sigma\approx1.5$、$\beta=2.4$ の $N_T=8$ は $L\sqrt\sigma\approx2.2$、$\beta=2.7$ の $N_T=4$ は $L\sqrt\sigma\approx0.4$ と見積もられています 読（既知の $a\sqrt\sigma$ の値からの換算）。小さな $T^2$ の半古典の領域にいるのは最後のものだけです。
• $N_T=2$。 $T^2$ が格子の単位で 2 の行は、格子の人工物が大きい領域です。傾向を読むときには外します。

全て $SU(2)$、捩れ $n_{12}=1$。標本の数は「配位の数 × 一つの配位あたりの挿入の位置の数」です。$W$ の括弧の中は標本の標準偏差（実行の出力の記録から）で、平均の誤差ではありません。同じ配位の異なる位置の標本は独立でないので、平均の誤差は標準偏差を標本の数の平方根で割ったものより大きいと見るべきです。

行 P は 12-06 §04 で引いた測定です。行 P・A・D は $N_T=2$（格子の人工物の領域）です。

読み 読：(i) 段数 0 の費用は $N_T^2$ にほぼ比例します（A・B・C で 11.8・24.2・44.9）。(ii) 容器が十分大きければ、駆動した挿入の仕事は 0 近くまで下がります。(iii) 必要な容器の半径は、格子間隔が半分になるごとに約 2 倍に見えます（$\beta=2.3$ で 2、$2.5$ で 4、$2.7$ では 4 で不足、8 でも 0 近くには届かない）。渦の太さが物理的な長さで決まっていることと整合します。(iv) H（$N_T=8$）の 1024 段の仕事 0.51 は E（$N_T=4$）の 0.44 とほぼ同じですが、256 段では 6.67 と高く、駆動の速さに強く依存します。

読み 読：(i) I：容器の半径 4 を固定して $N_T=4,6,8$ と広げても、仕事は 1.1〜1.6 で、$N_T$ についてはっきりした増加はありません（平均の誤差は標準偏差 $/\sqrt{30}$ で 0.2〜0.3 程度）。表 1 の E・H の 0.44・0.51 は少ない統計の揺らぎでした。(ii) J：$\beta=2.7$、$r=8$ で駆動を G の 4 倍遅くしても $W\approx2.8$（G の 1024 段で 2.7）で、Jarzynski の推定は 2.4。仕事の大部分は駆動の速さによる散逸ではなく、本当の自由エネルギーと読めます。$\beta=2.7$ の $N_T=4$ は物理的に小さな $T^2$（$L\sqrt\sigma\approx0.4$）で、希薄な領域の側にいるので渦が実際に高い、という読みです（物理）。

Jarzynski の推定について。 $-\ln\langle e^{-W}\rangle$ は 12-06 の系 3 から区画の自由エネルギーの推定ですが、稀な小さい $W$ に支配されるので、少ない標本では大きく揺らぎます。表 1 には載せていない列ですが、負の値も出ています（例：E の半径 4、1024 段で $-0.30$。A の 64 段で $-0.085$）。この列は検算の目安で、値そのものは信頼できません。

この系列の限界。 R⁴ の閉じ込めに要るのは、偏りが $L$ とともに面積の指数で小さくなること（13-01）で、それはこの測定では見えません。$\beta$ は 2.3〜2.7 の数点で、誤差の評価もまだ粗いままです。

容器は平面の全体（$M\times M$）で、$T^2=N_T\times N_T$ を広げます。横広げの不等式（13-02）の符号の試験です。全てレプリカ交換 + BAR、捩れ $n_{12}=1$、レプリカの数 24（断りの無い限り）。反復の数は記録にありません。

読み 読：(i) $U(1)$ は $T^2$ を広げると $\Delta F$ が増えます（$M=8$ で $\theta$ が $0\to0.39\to0.78\to0.99$、$M=12$ で $0.20\to1.35\to1.72$）。(ii) $SU(2)$ は三つの設定（$\beta=2.5$ の $M=8$・$12$、$\beta=2.4$ の $M=8$）で、広げても増えないか減ります。例外は $\beta=2.5$、$M=8$ の $N_T=8=M$（対称なトーラス $T^4_8$）の 1.51 です。(iii) $N_T=4\to8$ で $\ln(1/\theta)$ は $U(1)$ で 0.93 → 0.012（約 80 分の 1）、$SU(2)$ で 1.18 → 0.45（約 2.6 分の 1）（$M=8$）。横広げの不等式の符号の、数値的な兆候と読めます。(iv) $\beta=2.4$ の $N_T=8$ が $\beta=2.5$ より小さいのは、同じ格子が物理的に大きい（$L\sqrt\sigma\approx2.2$ と 1.5）ことと整合します。

限界。 $\theta$ が 1 に近くない（$O(1)$ の）領域なので、$\theta\le1$ のために $U(1)$ の比も抑えられ、この幾何では横広げの不等式の判別力は弱いです。誤差は $U(1)$ で 0.04〜0.78、$SU(2)$ で 0.1〜0.36 と大きく、$\beta$ は一点か二点です。$U(1)$ の $\beta=1.5$ と $SU(2)$ の $\beta=2.5$ は「同じ物理」に合わせたものではありません。$N_T=2$ の列は格子の人工物の領域です。

$SU(2)$、$\beta=2.5$、平面 $M=16$、捩れ $n_{12}=1$。平面の中の Wilson ループの Creutz 比 $\chi(R)$ を $T^2$ の大きさ $N_T$ ごとに測りました。13-02 の強い形の横広げの不等式が含む「縮めた二次元の弦の張力 $\sigma_{\rm eff}(N_T)$ の単調性」と、$L\sim1/\Lambda$ で張力が一度大きくなる「行き過ぎ」の試験です。記録では、四次元の $\beta=2.5$ の値は $\sigma a^2\approx0.036$ とされています 読。

読み 読：(i) 400 測定で $\chi(4)$ は $N_T=6$ が最大（0.089）で、$N_T=8$ との差は約 2.3 標準偏差でした。行き過ぎの兆候に見えましたが、2000 測定では $N_T=6$ は $0.061\pm0.004$ で、統計の揺らぎでした。(ii) 2000 測定の $\chi(4)$ は $N_T=4\to8$ で増え、$N_T=10$ で 0.071（$N_T=8$ との差 1.7 標準偏差）とほぼ飽和します。有意な行き過ぎは見えません。張力の単調性（13-02 の必要条件）と整合します。(iii) $\chi(4)$ はクーロンの項を含むので、四次元の $\sigma a^2\approx0.036$ より大きく出ます。絶対値ではなく、$N_T$ についての傾向だけを読みます。(iv) $N_T=2$ の行（表 6）は格子の人工物の領域で、400 測定だけです。

限界。 $\beta$ は 2.5 の一点、平面は $M=16$ の一つです。$\chi(5)$ 以上は誤差が大きく、張力の値そのものは決まりません。$N_T=10$ は $L\sqrt\sigma$ で 2 程度で、$L\to\infty$ の傾向は外挿になります。

12-06 の定理 10（$\mathbb E\prod\theta\le\mathbb P(\text{どの容器も反転しない})$）を数値に使った測定です。$SU(2)$、$\beta=2.5$、容器を間隔 $B$ で並べ、一つの配位あたり 4 つの容器で同時に、受理 $\min(1,e^{-W})$ の駆動した挿入（512 段）を行いました。受理率の平均を $\bar a$ と書きます。

読み 読：(i) 表 8：半径を固定して $T^2$ を広げると、仕事は $N_T^2$ にほぼ比例して増え、受理率は落ちます。渦の大きさは $T^2$ の大きさで決まるので、半径 $r\lt L$ の容器には渦が収まらず、細い管の中の面として面積に比例した費用を払う、と読めます。横広げの不等式は容器の大きさが $L$ 以上の範囲の主張なので、これは反例ではありません。保証つきの張力（$-\ln\mathbb P(\text{反転なし})$ を容器の数と $B^2$ で割ったもの）は $N_T=4$ で約 0.005 でした。(ii) 表 9：容器を $L$ とともに大きくすると、受理率は $N_T=4\to6$ でほぼ一定です（$N_T=8$ は 3 配位で判断できません）。

撤回された位置づけ。 この測定は当初「一様な板の張力（移り変わりの帯）の数値的な姿」として設計されましたが、その位置づけは撤回されています。理由は 12-06 §07 のとおりです：流れの補題の保証は $\theta\le1-a$ で、一段の核の $a$ は $\tfrac12$ 程度で頭打ちになる（表 1・表 2・表 8・表 9 の受理率は全て 0.46 以下）ので、言えるのは「大きさ $L$ の容器で $\theta\le\theta_0$、$\theta_0\sim\tfrac12$」だけで、そこから出る $\sigma\ge\ln(1/\theta_0)/L^2$ は $U(1)$ も満たす弱い形です（13-01）。帯の形 $\theta\le e^{-cL^2}$ を確かめるには $a\to1$ の核が要ります。この測定は、$T^2$ を固定した板の張力の下界を測る道具としてだけ使えます。表 9 の $N_T=6,8$ の続きは止められています。

(a) 証明。この章の数はどれも証明ではなく、どの不等式の仮定も確かめていません。

(b) 帯。表 2・表 3〜5・表 7 の傾向は、移り変わりの帯（$L$ に一様な $\theta\le e^{-cL^2}$）を数値で示すものではありません。測った $T^2$ は $L\sqrt\sigma\approx2$ 程度までで、$L\to\infty$ は外挿です。

(c) 誤差。駆動した挿入の誤差の評価はまだ粗く（標本の標準偏差だけ）、レプリカ交換の誤差は記録の推定値で、自己相関の扱いは記録にありません。

(d) 格子の人工物。$N_T=2$ の行は格子の人工物の領域です。$N_T=4$ でも小さな格子の補正は残ります。

(e) 対照の釣り合い。$U(1)$ の $\beta=1.5$ と $SU(2)$ の $\beta=2.5$ は、物理の大きさを揃えた比較ではありません。

(f) 同時の反転。表 8・表 9 を帯の数値的な姿として読むことは撤回されています。

[13] だけは数値でなく論理の行です：$\theta\le1-a$ から出るのは弱い形だけ、という 12-06 の [16] の当てはめで、[12] の読みはそれがどの程度効くかを示します。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 読 COST0    段数 0 の費用 ∝ N_T²                        β = 2.3・M = 8
[02] 読 DRIVE    大きな容器で駆動した仕事 → 0 近く             β = 2.3〜2.5
[03] 読 RADIUS   要る半径は格子間隔の半分ごとに約 2 倍 ⟸ [02]
[04] 読 FIXR     半径 4 で N_T を広げても仕事は増えない        β = 2.5・10 配位 × 3
[05] 読 FREE     β = 2.7 の仕事は自由エネルギー（物理）        Jarzynski は揺らぐ
[06] 読 U1UP     U(1) の ΔF は T² とともに増える               β = 1.5
[07] 読 SU2FLAT  SU(2) の ΔF は増えない                        β = 2.4, 2.5
[08] 読 SIGN     横広げの不等式の符号の兆候（物理）⟸ [06][07]
[09] 読 NOOVER   N_T = 6 の行き過ぎは揺らぎ                    2000 測定
[10] 読 SATUR    χ(4) は増えて飽和 ⟸ [09]                     クーロンの項を含む
[11] 読 AREA     半径固定の同時の反転は面積に比例
[12] 読 HALF     一段の核の受理率 ≤ 0.46（測った範囲）
[13] 初 RETRACT  同時の反転は帯の試験に使えない ⟸ [12]        12-06 の流れの補題

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。仮定（仮）の行はありません。閉じ込めの節点も、質量ギャップの節点もありません。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 駆動した挿入・段数・仕事・受理率・大域の流束の自由エネルギー・レプリカ交換・BAR・Creutz 比・行き過ぎ・同時の反転・保証つきの張力。意味は A-02 用語集 にあります（第 12 部の語は追加の予定）。第 13 部の数値（格子全体を 2 倍にした試験・階段関数・柱の偏り）は 13-09 にあります。

次に読む章：12-09 この道が止まる場所 — $T^2$ を広げることが、そのまま移り変わりの帯であることを確かめ、空間の方向の道の到達点をまとめます。

← 12-07 なぜ決まった写像は失敗するか目次12-09 この道が止まる場所 — T² を広げることが帯である →