2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 13 部 移り変わりの帯二本の道・尺度のはしご・帯の内訳 · Kiichi, Shiori and Rin

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この本は第 10 部から、質量ギャップの問題に二つの方向から近づいてきました。

一本目は時間の方向の道です（第 10・11 部）。揺らぎが均される時間が相関長の二乗で伸びるという拡散型緩和時間の仮定（記号 仮定 ξ²、上側 ξ²↑・下側 ξ²↓。旧称 仮定 H、10-01 §05）を軸に、格子の上の緩和の時間と相関長を比べました。四次元格子で目指す文は、10-15 §07 の表 5 の水準 (T2)——格子の物理単位の質量 $m_{\rm lat}(\beta)/a(\beta)$ が正の有限値に向かう——です。片側の橋（10-01 §06）と ξ²↑ を合わせてそこへ行くには、ξ²↑ の定数 $K$ が $\beta\to\infty$ で一様でなければなりません。

二本目は空間の方向の道です（第 12 部）。空間の二方向を、't Hooft の捩れ $n_{12}=1$ のある小さなトーラス $T^2_L$ に巻き、残りの平面 $\mathbb R^2$ の上で閉じ込めを見ます。$T^2_L$ が十分小さければ、捩れが零モードを消し、理論は $L$ の尺度まで弱結合のままで、渦は分数インスタントンとして扱えます（12-00・12-02）。この道の目標は、横を $T^2_L$ に縮めた二次元の理論の弦の張力 $\sigma_{\rm eff}(L)$ が$L$ に一様に正であること、すなわち

です（一様な板の張力。定義は 13-02）。

二つの目標は、形が同じです。どちらも「ある尺度で成り立つ」ではなく「全ての尺度で、同じ定数で成り立つ」という文で、格子間隔 $a$ から物理的な長さ $1/\Lambda$ を越えて大きな尺度まで、途中のどの尺度でも定数が崩れないことを求めます。10-15 §08 の一行——足りないのは段の数ではなく、全ての尺度で同じ定数で成り立つという一様性——は、一本目の道の側から書いたこの型の文でした。一段目（0+1 次元）では $\hbar\to0$ で一様、四次元格子では $\beta\to\infty$ で一様、と形を変えて現れることも、10-15 §07 の末尾で見ました。

四次元では、弱結合の尺度と強結合の尺度の間に、結合の大きさが 1 の程度になる尺度 $L\sim1/\Lambda$ があります。$\Lambda$ は次元転移（4-07）で量子的に生まれる尺度で、格子の単位で測ると $a\to0$ で発散します。二つの目標の文はどちらも、この尺度を一様な定数で通り抜けなければ成り立ちません。この部では、$L\sim1/\Lambda$ の前後の尺度の区間を移り変わりの帯と呼び、二本の道が着く文を「帯を渡る文」と呼びます。

この合流は、検討の外の整理とも合っています。連続の課題の分け方（9-04 の K3）では、一様なギャップ $\inf_L\Delta_L\gt0$ を一つの課題に置きますが、二本の道はそれを二つの言葉で攻める形になっています。9-06 の七段の表では、帯は段 5 です。

第 10・11 部は「窓」という語を、少なくとも三つの意味で使ってきました。この部の「帯」は、そのどれとも別物です。語が一致すると、二本の道が同じ所で止まっているように読めてしまうので、ここで分けておきます。

ほかにも記号の衝突があるので、この部では次の約束で書きます。

• 渦の自由エネルギーが $\beta$ について単調に増えるという性質は「β 単調性」、二倍の格子と粗い格子の渦の自由エネルギーを比べる不等式は「繰り込みの比較」と名で呼びます。記号 (P)・(R) は使いません（第 10 部の射影の仮定 (P)（10-02）と、比 $R$（10-05）に既に使われているため）。
• 仮定は名だけで呼びます：小さな T² の基点・枠の減相関・横広げの不等式（強い形・弱い形）・一様な板の張力・一様な板のギャップ。旧い記号との対応は A-06 に置きます。
• チェス盤の密度は $\kappa_{\rm cb}$ と書きます（第 10 部の $\kappa$ と区別するため）。

図 2 は、空間の方向の道の言葉で、尺度 $L$（小さなトーラス $T^2_L$ の大きさ、または比べる箱の大きさ）を縦に並べたものです。下が短い距離（格子間隔 $a$）、上が長い距離です。各行の右端に札を付けます。図 1（論理の流れ）は 9-06 にあります。図 2 の番号と題は 12-00 の図 2 と同じです。

 尺度 L
   ∞ ┤ 閉じ込めの領域：T² を広げても失うのは渦の面の位置のエントロピー（対数）だけ   〔読〕物理の見立て
     │   強結合の端：面積則は既知                                                   〔典〕強結合の展開
     │   強結合の端の繰り込みの比較：定数は粗い（記帳は概略）                       〔仮〕
 1/Λ ┤▓▓▓▓ 移り変わりの帯 ▓▓▓▓  繰り込みの比較：(2N, β) の渦の自由エネルギー ≤ K·(N, β′)、β′ < β
     │   一ループ：揺らぎを整形する比較なら β′ = β − 0.258（二倍あたり）            〔初〕一ループの水準
     │   一ループ：揺らぎについて等長的な比較では β′ ≥ β + 0.023 の向きしか出ない   〔初〕一ループの水準
     │   数値：SU(2) は β′ ≈ β − 0.2、U(1) は β′ > β                              〔読〕条件は本文
     │   非摂動の誤差の評価 ← 空いている所                                         （開）
     │ 希薄な分数インスタントンの気体：弦の張力 ∝ Λ²(ΛL)^(5/3)                      〔典〕Tanizaki–Ünsal 式 (2.37)
     │   余裕 5/3 = 11/3 − 2（漸近自由の係数 − 横の二次元のエントロピー）           〔読〕物理（一ループ・希薄な領域）
  L₀ ┤
     │ 紫外：Bałaban の多重尺度の解析                                               〔仮〕紫外の制御
   a ┤

図 2　尺度のはしご。弱結合の道具（下）と強結合の道具（上）はそれぞれの端で効き、帯（L ~ 1/Λ）の非摂動の評価だけが空いている。札は行ごと。

図の読み方を三点だけ書きます。

(i) 二倍あたりの β の移動。「β′ = β − 0.258」は、背景の磁場の中の揺らぎの一ループの熱核の係数 $11/3=-1/3+4$ から出る値で、$\beta=4/g^2$ の慣例で $\beta-\beta'=8b_0\ln2$、$b_0=22/(48\pi^2)$ です。揺らぎを整形する比較ならこの値を再現し、揺らぎについて等長的な比較（恒等写像・平行移動・ゲージ変換・Migdal–Kadanoff 型の間引き）ではスピンの項 $+4$ が一次の評価に寄与せず、$-1/3$ の側の $\beta'\ge\beta+0.023$（U(1) と同じ向き）しか出ません。どちらも一ループの水準の文で、非摂動の比較ではありません。表の分解と計算は 12-07 に置き、比較そのものは 13-06 で扱います。

(ii) 数値の「β′ ≈ β − 0.2」の条件。$SU(2)$、捩れ $n_{12}=1$、レプリカ交換と Bennett の受理率の方法による渦の自由エネルギー $\Delta F$ の測定で、格子全体を二倍にし（$N_T\times M=4\times8\to8\times16$ と $4^4\to8^4$）、大きい格子の値を小さい格子の $\beta'$ の曲線に当てはめて読んだ値です。$\beta=2.5$〜$3.0$、種は 1〜3 本で、読んだ $\beta-\beta'$ は $+0.13$〜$+0.25$（読みの幅は $\pm0.05$〜$0.1$ の程度、種の間の差から誤差は過小評価気味）。$U(1)$ は $\beta=1.5$、$4\times8\to8\times16$ で $\beta-\beta'\lt-0.2$（逆向き）。格子は小さく、統計も少ないので、向きの読みであって値の決定ではありません 〔読〕。表は 13-09 に置きます。

(iii) 空いている所。強結合の端と一ループの端は、それぞれ別の道具で押さえられます。真ん中の帯で、比較の誤差を非摂動的に（中程度の結合で、大きな場も含めて）評価する道具がありません。図の「▓」の行が、この部の全体の主題です。

表 1 は、帯を渡る文に関わる部品を、空間の方向の道の言葉で並べたものです。札は行ごと、条件は同じ行に書きます。札の意味は第 10 部の五分類のとおりです：〔初〕紙で証明を置いた・〔典〕原典で確認した既知・〔機〕計算機援用・〔読〕数値の読み（物理の見立ては「物理」と注記）・〔仮〕仮定。Lean の欄は札の外で、名と仮定を並べます。

Lean の欄が保証するのは、有限和と実数の代数だけです。θ が区画の偏りであること、Haar 測度、転送行列の正値性は Lean の外にあります。名と仮定は各章の分類表に書きます。

表 1 の行のうち、非可換の力学が入るのは「横広げの不等式」と「一様な板の張力」に関わる行だけです（還元の第三の仮定・非可換の場所・繰り込みの比較）。そこは U(1) と $\mathbb Z_2$ で破れる形をしています。他の行は、どの群でも成り立つ構造的な事実か、論理の整理です。

「二本の道が同じ壁に着く」という言い方は、目標の水準では正しく、いま止まっている壁の水準では正確ではありません。

正しい部分は §01 のとおりです。第 10 部の四次元の目標（10-15 の水準 (T2)：ξ²↑ と片側の橋が $\beta\to\infty$ で同じ定数）も、空間の方向の道の目標 (1) も、帯を必ず渡る文です。

正確でない部分は、第 10 部のいまの壁です。10-09 §06 の「15/4 対 4」の壁（頂上の一サイトの対角 $15/4$ と結合の和 $4$ が釣り合わないこと）は、0+1 次元の二重井戸の上の、階段の一段目の壁でした。そこで移り変わる長さは、頂上の Jacobi の方程式の最初の共役点で決まる古典的な長さで、$\hbar$ に依らず、格子の単位で有限です。帯で移り変わる長さ $1/\Lambda$ は量子的に生まれ、格子の単位で発散します。表 2 に違いを並べます。

だから、一段目の壁は帯の縮図ではあっても、帯そのものではありません。一段目では、移り変わる長さを越える有限のブロックと強い混合で渡る道が考えられますが（札は〔仮〕）、四次元では「移り変わる長さを越える有限のブロック」がありません。この違いと、型の同じところを、13-07 で時間の側から書きます。違いの理由——四次元の結合が無次元で、古典的な長さを持たないこと——は 11-07 §01 にあります。

読む順は番号どおりを勧めます。13-01 と 13-02 で帯を一つの不等式まで絞り、13-03〜13-05 でその不等式のどこに何が入るかを見て、13-06 と 13-07 で二つの方向から帯そのものを眺めます。13-08〜13-10 は記録と候補です。13-11 は二本の道の下にある土台（紫外の制御）で、台帳の ① の中身です。条件つきの言明全体は第 14 部（14-01）でまとめます。

表 1 と表 3 の行の札は、それぞれの章の分類表で確定します。この頁が自分で置く行は次の十二です。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 典 DT     次元転移：Λ は量子的・格子の単位で発散              4-07
[02] 初 SH     整形した比較で β − β′ = 0.258                        一ループの水準
[03] 初 ISO    等長的な比較は β′ ≥ β + 0.023 の向き                 一ループの水準
[04] 読 DBL    二倍の試験：SU(2) は β′ < β、U(1) は逆              小さな格子・種 1〜3 本
[05] 典 TU     弦の張力 ∝ Λ²(ΛL)^(5/3)                             希薄・一ループ
[06] 読 MAR    余裕 5/3 = 11/3 − 2 ⟸ [05]                         物理
[07] 典 SC     強結合の面積則                                       小さな β
[08] 仮 SCR    強結合の端の繰り込みの比較                           記帳は概略
[09] 仮 UV     紫外の制御                                           a から L₀
[10] 読 ONE    二本の道の目標は同じ型で帯を渡る ⟸ [01]             目標の水準
[11] 初 CL     一段目の移り変わる長さは古典的・有限                 13-07 §02
[12] 読 MIN    一段目の壁は帯の縮図で帯ではない ⟸ [01][10][11]

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。図 2 の行は [02]〜[09] の並べ直しで、図そのものは新しい節点を作りません。結論の側の節点 [10]・[12] は「読（物理）」で、帯を渡る文そのもの（一様な板の張力、ξ²↑ の一様性）の節点はこの頁にありません。それは仮定として第 14 部の台帳に置かれます。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 移り変わりの帯（帯）・尺度のはしご・一様な板の張力・横広げの不等式・枠の減相関・小さな T² の基点・β 単調性・繰り込みの比較・チェス盤の密度 $\kappa_{\rm cb}$・拡散型緩和時間の仮定（旧称 仮定 H）。意味は A-02 用語集 と A-06 仮定の索引 にあります。

次に読む章：13-01 帯の正しい形 — 「θ が 1 から離れる」では足りない理由。

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