2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 15 部 紫外の制御無次元の結合・群値の場・ゲージ · Kiichi, Shiori and Rin

紫外の難しさ — 無次元の結合・群値の場・ゲージ

• 四次元では一段の損 $g_k^2$ の和が $\ln K$ で発散するので、その部分は結合の流れに正確に吸収し、残りを和の有限な大きさ（$g_k^{2+\delta}$ の型か幾何級数）に閉じ込める必要があります（§01）。
• 三次元では $\sum_kg_k^2$ が有限で、一段の損を誤差として運べます（§01）。
• 群に値をとる場では、重みの四性質のうち「揺らぎの期待値で一段閉じる」（性質 3）が無く、揺らぎの測度が背景に依ります（§02）。
• ゲージ不変な関数の最小点では軌道の向きの Hesse 形式が 0 で、凸性の道具はゲージを消さないと使えません。ゲージはブロックの大きさでしか効かず、尺度ごとに張り替える境目も評価に入ります（§03）。
• 壁の核は「群値の場 × 無次元の結合 × 大きな場」にあり、ゲージの無い二次元 $O(N)$ σ 模型（$N\ge3$）でも紫外の構成は止まっています（§04）。

四次元では結合 $g$ に長さの次元が無く、細かい尺度で結合を弱めるのは漸近自由だけです（11-07 §01）。一ループの流れを段に刻むと、$b:=2b_0\ln L\gt0$ として

です 典（6-05 §06 の式 (9)。一ループだけを残した式）。以下、(1) を正確な式と見なして、損の和を一行ずつ数えます。

(a) 結合の列。最も粗い段の結合を $g_K=g_*$ に止め、粗い端から数えた段 $j=K-k$（$j=1,\dots,K$）で書くと、(1) を $j$ 回使って

です 初。左の不等式は $1/g_*^2+bj\le(1/g_*^2+b)j$（$j\ge1$）から、右は $1/g_*^2\gt0$ を落としただけです。細かい側ほど結合は小さいが、$1/j$ でしか小さくなりません。

(b) 和。$1/x$ の積分と比べて $\ln(K+1)\le\sum_{j=1}^K\frac1j\le1+\ln K$ なので、(2) を足して

です 初。一段ごとに $g_k^2$ の大きさの損があると、その和は段数の対数で増え続けます。例：$SU(3)$・$L=2$ なら $1/b=1/(2b_0\ln2)\approx10.4$ で、$K$ を倍にするたびに上界が $(\ln2)/b\approx7.2$ 増えます。6-05 表 4 の部分和が $K$ の倍ごとに約 7.2 増えるのと合います（算術）。

(c) 積。一段ごとに定数（解析性の半径・減衰の率・Hesse 行列の下界など）が $1-cg_k^2$ 倍に減るとすると、$1-x\le e^{-x}$ と (3) の左から

です 初（$cg_k^2\le1$ の範囲で）。$K=\log_L(L_0/a)$ なので、定数は $\ln(1/a)$ の冪で 0 に向かいます。ゆっくりですが、一様ではありません。

(d) 和が有限になる大きさ。損が $g_k^{2+\delta}$（$\delta\gt0$）の大きさなら、(2) の右から

で、$K$ に一様に有限です 初。$\delta=2$（損が $g_k^4$、一ループの次の大きさ）なら $\pi^2/(6b^2)$ です。

だから要ること。(4) と (5) を合わせると、一段の後に $g_k^2$ の大きさで動く部分を「誤差」として運ぶことはできません。その部分は類の母数そのものの動きにしなければなりません。具体的には、類 $\mathcal K$ を結合 $g$ を母数に持つ形で定義し、一段の後の有効作用から主要な項（Wilson の項、$F^2$ の向き）の係数を読み取って $g_{k+1}$ と定めます。こうすると $g_k^2$ の大きさの部分は、15-00 の (3) の結合の流れに正確に吸収されます。吸収した後に残る損（局在した補正 $E_k$ の定数の劣化など）は、(5) の型の和の有限な大きさ——代表的には $O(g_k^4)$、または尺度について幾何級数で縮む無関係な項——に閉じ込めなければなりません 初（(4)(5) の算術から出る要請。一段の損が掛け算で効く場合）。この要請を言明の形に書き直したのが 15-03 の分解 です。

結合の流れの側は事情が違います。15-00 の (3) の剰余 $r_k$ は $1/g^2$ の変数で $|r_k|\le Cg_k^2$ の大きさ（二ループの大きさ）を許してよく、その和は (3) のとおり $\ln K$ で増えますが、$1/g_k^2$ 自身が $bK$ の大きさで増えるので結合の列は崩れません。必要なのは列が $(0,\gamma]$ に留まることで、それを 15-03 の補題 F で扱います。

三次元との対比。三次元では $g^2$ が長さの $-1$ 乗の次元を持ち、段 $k$ の無次元の結合は $g^2L^ka$ の形で細かい側に幾何級数で小さく、$\sum_kg_k^2$ は有限です（6-05 表 4 で 2 に収まる）典。発散しうる型は有限個で、要る相殺項は定数一つ、半単純性から有効作用に育つ変数（relevant な変数）が無い、と Bałaban 1985 は書きます（6-06 §05）典。三次元では一段の $g_k^2$ の損を誤差として運べ、結合の流れを追う必要がありません。四次元では $F^2$ の項がちょうど marginal で、追わなければなりません。これが 11-07 表 3 の根 (R1) の、紫外の側の正確な形です。

「吸収」が最も小さな場でどう見えるか——一リンクの熱核の類では損が望遠鏡和になること——は 15-04 §01 で見ます。

格子の辺の変数 $U_l$ は群 $G$ の元です。群の元は拡大縮小できず、足して割ることもできません（6-05 §05 の (i)(ii)）典。群はコンパクトなので場は有界ですが、「大きな場」は群の遠い側（単位元から遠い所）で、そこでは一リンクの Wilson の重みの曲率が負になります（11-06 §03 の命題 3）初（11-06 に証明）。大きな場は凸性でなく稀さで払うしかありません。

平らな場の道具。スカラー場の繰り込みでは、大きな場の稀さを重み（regulator）$\tilde G(X,\phi)$ のノルムに入れ、一段の期待値で閉じることを次の四つの性質から出します 典（Bauerschmidt–Brydges–Slade の本の付録 A.6（補題 A.6.1）。四性質は §A.6.2 の regulator の望ましい性質として並ぶもの。11-06 §07。原典の鎖は 15-02 §04）。

1. 交わらない集合の上で積に分かれる。
2. $\tilde G(X,\phi+\phi')\le\tilde G^2(X,\phi)\,\tilde G^2(X,\phi')$（場の和について）。
3. $\mathbb E_+\tilde G^t(X)\le2^{|B(X)|}$（揺らぎの期待値で一段閉じる）。
4. $\tilde G^t\le\tilde G_+$（次の段の重みで押さえられる）。

ここから一段の評価 $\|\mathbb E_+\theta K(X)\|_{\tilde G_+}\le2^{|B(X)|}\|K(X)\|_{\tilde G}$（補題 A.6.1）が出ます。性質 2 は場の加法 $\phi+\phi'$ を、性質 3 は揺らぎが背景に依らない Gauss 変数であることを使っています。補題の証明で性質 3 は揺らぎだけの関数の期待値として使われ、その測度は背景 $\phi$ に依りません 読（証明の鎖を読んだもの）。

群の上で何が残り、何が足りないか。性質 2 は、場の和 $\phi+\phi'$ を「背景 × 揺らぎ」$U_l=W_le^{A_l}$ に替えた版が三角不等式と共役不変性だけで立ちます（補題 R とその系。15-07 §02）初。足りないのは性質 3 です。群では揺らぎの測度が背景に依ります（背景場の中の伝播関数、6-07 表 1 の土台の論文の題）。だから $\mathbb E_+G^t$ の評価に背景の正則性が要り、背景が群の遠い側にある大きな場の領域では、揺らぎは背景の小さな摂動になりません。測度が背景に依る分を $\eta_k$ と書き、性質 3・4 の群版を言明の形で置き、$\eta_k$ をどう吸収するかを見るのが 15-07 です。スカラーの場では測度が背景に依らないので $\eta_k=0$ で、この問題そのものがありません。

軌道の向きには凸性が無い。ゲージ変換の群は有限の格子ではコンパクトな群の積で、作用 $V$ はゲージ不変、つまり軌道に沿って一定です。

命題 O。$V$ を配位の空間（コンパクトな多様体）の上の滑らかなゲージ不変な関数、$x_0$ を $V$ の最小点とする。$x_0$ を通る軌道の接ベクトル $\xi\ne0$ について $\operatorname{Hess}V(x_0)(\xi,\xi)=0$。とくに、そのような $\xi$ が一つでも在れば、$\operatorname{Hess}V\ge m\,g$（$m\gt0$）は成り立たない。

初 証明。$\gamma(t)=e^{t\eta}\cdot x_0$（$\eta$ はゲージ変換のリー環の元で $\gamma'(0)=\xi$）とすると $V(\gamma(t))=V(x_0)$ が全ての $t$ で成り立つ。$dV(x_0)=0$ なので $\frac{d^2}{dt^2}V(\gamma(t))|_{t=0}=\operatorname{Hess}V(x_0)(\xi,\xi)+dV(x_0)(\nabla_{\gamma'}\gamma')=\operatorname{Hess}V(x_0)(\xi,\xi)$、左辺は 0。∎

凸性に頼る道具（Bakry–Émery・Brascamp–Lieb）は、軌道の向きを消さないと使えません 読（物理の見立て。11-07 §05 の「理論」の段落と同じ）。消すにはゲージを固定しますが、全ての配位で同時に効く連続な大域のゲージ固定は存在しません（Gribov 1978・Singer 1978）典（書誌のみ。6-05 §05）。

ゲージはブロックの大きさでしか効かない。二次元の一辺 $\ell$ のブロックで完全軸性ゲージをとると、プラケットの条件 $\|U_{\partial p}-1\|\lt\varepsilon$ から辺について $\|U_b-1\|\lt\ell\,\varepsilon$ しか出ません（6-05 §05）初（6-05 に証明）。$\ell\varepsilon$ が 2 を越えると何も言わないので、ゲージはブロックの大きさの範囲で、尺度ごとに選び直すことになります。三次元の Bałaban の定理は、ブロックごとの軸ゲージを Faddeev–Popov の方法で入れています（6-06 §05）典。四次元の論文での具体的な選び方は、本文で確かめていません（6-07 表 3）。

張り替えの境目。段 $k$ のゲージと段 $k+1$ のゲージは別のもので、張り替えは場に依るゲージ変換です。その Jacobian（Faddeev–Popov の行列式）と、隣り合うブロックの境目に出る項も有効作用に入り、15-00 の (3) の類の中で、§01 の意味で和の有限な損として評価しなければなりません 読（物理の見立て。要る評価の形を述べたもの）。連続の切断で構成した MRS も、大きな場の領域の軸ゲージと小さな場の領域の背景場に依るゲージを継いでいて、同じ型の継ぎ目を持ちます（6-07 §06）典。木のゲージでは張り替えの Jacobian が定数になり、費用が別の所（ゴースト行列式と境目の結合）に移る、という整理は 15-08 の行 4 にあります。

三つの難しさを 11-07 表 3 の根の言葉に写すと表 1 になります。紫外だけを扱うこの部では、全ての段で結合が小さいので根 (R2) は現れません 読（物理の見立て）。

ゲージの無い模型でも止まっている。二次元の $O(N)$ σ 模型（$N\ge3$）は、ゲージが無く、結合が無次元で漸近自由な模型ですが、紫外の極限の構成は未解決問題に挙げられています 典（Rivasseau 2000 の総説の本文 §II.1.1。多くの専門家が試みて成功していない、と書かれる）。同じ所で、この模型の階層版の構成は済んでいるとされます（Gawędzki–Kupiainen, Comm. Math. Phys. 106 (1986) 533）典（総説の文献表）。有限体積に限っても構成が無いこと、漸近自由な $N\ge3$ に限ることは、原文の語ではなく本書の読みです 読。$O(4)$ の場合は場が $S^3=SU(2)$ に値をとる主カイラル模型です。Bałaban の方法の移植は、2024 年の時点で変分問題と背景場の段までです（Goswami、二次元の非線形 σ 模型の一族。Dybalski–Stottmeister–Tanimoto、二次元 $O(4)$：Lie 群上の変分法で臨界点の方程式を出し、縮小写像で解く）典（どちらも抄録）。一方、フェルミオンの二次元 Gross–Neveu（質量のある場合）は構成されています（11-07 表 3）典。この模型を試験台に使う案は 15-02 §05 にあります。

対比からの読み 読（物理の見立て）：壁の核は「群（非線形の多様体）に値をとる場」「無次元の結合（根 (R1)）」「大きな場」の組にあり、ゲージ不変性はその上に乗る層と読めます。ゲージ不変性が本質的な困難でないとは言いません。

(a) §01 の (1)〜(5) は一ループの流れ (1) を正確な式と見なした算術で、実際の有効結合の列についての定理ではありません。「損を流れに吸収した類が要る」は、損が一段ごとに掛け算で効く場合の要請です。

(b) §02 は重みの四性質のうち性質 3 が群で足りないことを述べるだけで、性質 3 の群版を示していません。

(c) 「壁の核は群値の場 × 無次元の結合 × 大きな場」は二次元の模型の既知の状況からの見立てで、ゲージ不変性が本質的な困難でないとは言いません。

(d) 張り替えの境目が和の有限な損として評価できるかは、示していません（要る評価の形を述べただけ）。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 典 FLOW   一ループの流れ (1)
[02] 初 RUN    結合の列 (2)・和の対数 (3) ⟸ [01]               一ループの流れ
[03] 初 LOSS   積 → 0 (4)・和は有限 (5) ⟸ [02]                cg² ≤ 1・δ > 0
[04] 典 3D     三次元では和が有限
[05] 典 BBS    重みの四性質
[06] 初 CURV   遠い側で曲率が負                                 一リンク
[07] 初 ORB    命題 O
[08] 典 GRIB   大域のゲージ固定は無い
[09] 読 SEAM   張り替えの境目 ⟸ [03][07][08]
[10] 典 SIGMA  二次元 O(N) は未構成
[11] 読 CORE   壁の核 ⟸ [03][04][06][10]

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。この章の節点に、① が示されたという節点はありません。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 無次元の結合・損の和・吸収・marginal・重みの四性質・性質 3・命題 O・張り替えの境目・根 (R1)(R2)(R3)。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：15-02 原典の地図 — Bałaban の連作がどこまで行き、どこで止まったか。

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