2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 15 部 紫外の制御束の網・横の縮み・定理 F · Kiichi, Shiori and Rin

束の網の定理 — 横の縮みと母数の流れを一つの射影で

• 可換に制限した木の水準では、粗い一枚の角を固定した最小の配位は射影 $P$ と単位の束 $f$ だけで決まり、$\beta'/\beta$・四次の写り・横の縮み $\lambda$ がそこから全て出ます（定理 F、§02）。
• $\lambda\le\max f^2$ で、粗い面の 4 枚が対称に $\frac14$ を運ぶ箱では $1/(16d-8)\le\lambda\le1/16$。Migdal–Kadanoff の $1/16$ はこの上端です（§04）。
• 箱を広げる・周期にする・格子に埋めるほど $\sum f^2$ は上がり $\lambda$ は下がります。四次元の格子に埋めた粗い面 2×2 で $\sum f^2\approx0.73$・$\lambda\approx0.026$・源 $\approx5\times10^{-4}$ です（§05）。
• 粗い面を 4×4 にすると $\sum f^2$ は 0.29〜0.31 に下がり、反復の $(0.72)^2$ より小さい。作用は周に沿って払われ、源は $\approx8\times10^{-3}/L^4$ で薄まります（§06）。
• 全ての粗い面を同時に固定すると、粗い作用はプラケットの作用に留まらず、四次の写りは行列になり、粗い向きでは $1/16$ を超えます（定理 G、§07）。

格子。$d$ 次元の箱 $[0,n_1]\times\cdots\times[0,n_d]$ の立方複体（自由境界）か、$d$ 次元のトーラス（周期）をとります。$C_k$ を $k$ 次元の胞体（$C_1$ はリンク、$C_2$ はプラケット、$C_3$ は立方体）の上の実数値の関数の空間とし、内積は各胞体の値の積の和、$d:C_1\to C_2$ をリンクの角からプラケットの角を作る写像（余境界）とします。

可換な配位。$SU(2)$ の全てのリンクを一つの向き（$\sigma_3$）の回転に制限し、リンクの角 $A\in C_1$ で書くと、プラケットの角は $\phi=dA$ です。熱核の単一の像の作用は $\beta\sum_p\phi_p^2/2$、Wilson の作用は $\beta\sum_p(\phi_p^2/2-\phi_p^4/24+\cdots)$ です（15-04 §01 と同じ規約）。

粗い一枚。粗いループ $W$（例：$2\times2$ の正方形の外周の 8 本）と、$W$ を縁にもつ面 $s\in C_2$（その正方形の 4 枚、係数 $\pm1$、台を $S$ と書く）をとります。$W$ のホロノミーの角が $\theta$ という拘束は $\langle s,\phi\rangle=\theta$ です。

許される場と射影。$\mathcal A:=\operatorname{im}d\subset C_2$ をリンクから来るプラケットの角の空間とし、$P$ を $\mathcal A$ への直交射影、$u:=Ps\ne0$ とします。自由境界の箱は可縮なので $\mathcal A$ は「各立方体の上の向きつきの和が 0」の空間に一致し、周期では座標の 2-トーラスを貫く束が 0 という条件が加わります 初。

と置き、$f$ を束と呼びます。$f\in\mathcal A$、$\langle s,f\rangle=1$（単位の束）、$f\perp\mathcal A_0$ です。

この章の「一段」は、粗い一枚の角 $\theta$ を与えて残りの全ての自由度を積分した $\theta$ の分布（周辺分布）を、次の段の一枚の重みと読むことです。一つの粗い面の周辺分布で見る一段で、本当のブロック化の一段ではありません（粗い格子の全ての面の結合分布は §07 で一部だけ扱います）。

定理 F。上の設定で、条件 (a) 可換な配位に制限、(b) $\beta\to\infty$ の主項（木の水準。一ループの補正と $O(1/\beta)$ は含まない）、(c) 自由境界か周期かは固定、の下で次が成り立つ 初。

• (i) 各 $\theta$ について $\min\{\frac12\|\phi\|^2:\ \phi\in\mathcal A,\ \langle s,\phi\rangle=\theta\}$ の最小点はちょうど一つで $\phi^*=\theta f$、最小値は $\theta^2/(2\|u\|^2)$。
• (ii) 作用 $\beta\sum\phi^2/2$ の粗い作用は $\beta'\theta^2/2$ で $$\frac{\beta'}{\beta}=\sum_pf_p^2=\frac1{\|Ps\|^2}. \tag{2}$$ 下界 $\sum f^2\ge1/|S|$ が成り立つ。上界「$\sum f^2\le1$」は無条件ではない（$|S|=1$ で、そのプラケットが立方体の面なら $\sum f^2\gt1$）。
• (iii) 細かい作用を $V(\phi)=\sum_p(\beta\phi_p^2/2-\sigma\phi_p^4)$（$\sigma\ge0$、Wilson なら $\sigma=\beta/24$）とし、局所の粗い作用 $S'_r(\theta):=\inf\{V(\theta f+\psi):\ \psi\in\mathcal A_0,\ \|\psi\|\le r\}$ を置く。$m:=\max_p|f_p|$、$\|f^3\|:=(\sum_pf_p^6)^{1/2}$ とし、$\sigma(6\theta^2m^2+4|\theta|mr+r^2)\le\beta/4$ なら $$\frac{\beta\sum f^2}{2}\theta^2-\sigma\sum f^4\,\theta^4-\frac{16\sigma^2\|f^3\|^2}{\beta}\theta^6\ \le\ S'_r(\theta)\ \le\ \frac{\beta\sum f^2}{2}\theta^2-\sigma\sum f^4\,\theta^4. \tag{3}$$ すなわち粗い作用の $\theta^4$ の係数はちょうど $\sigma'=\sigma\sum f^4$（$\theta^6$ 以上を除く）。
• (iv) 規格化した四次の外れ $\kappa:=\sigma/\beta$ は一段で $$\kappa'=\kappa\cdot\lambda,\qquad \lambda:=\frac{\sum_pf_p^4}{\sum_pf_p^2} \tag{4}$$ に写り、 $$\frac1{|S|^3\sum_pf_p^2}\ \le\ \lambda\ \le\ \max_pf_p^2. \tag{5}$$

証明。(i) $\phi\in\mathcal A$ なら $P\phi=\phi$ と $P$ の自己共役から $\langle s,\phi\rangle=\langle Ps,\phi\rangle=\langle u,\phi\rangle$。Cauchy–Schwarz で $\theta^2\le\|u\|^2\|\phi\|^2$、よって $\|\phi\|^2\ge\theta^2/\|u\|^2$。$\phi=\theta u/\|u\|^2=\theta f$ は $\mathcal A$ に入り拘束を満たして等号を与える。拘束の集合は中点で閉じ、その上の $\|\phi\|^2$ は平行四辺形の恒等式で狭義凸なので最小点は一つ。$\psi\in\mathcal A_0$ なら $\langle f,\psi\rangle=\langle u,\psi\rangle/\|u\|^2=\langle s,\psi\rangle/\|u\|^2=0$。

(ii) 最小値 $\beta\theta^2/(2\|u\|^2)$ と $\sum f^2=\|u\|^2/\|u\|^4$ から (2)。下界は $\langle s,f\rangle=\sum_{p\in S}s_pf_p=1$ に Cauchy–Schwarz。$|S|=1$ なら $s$ 自身は閉じていない（立方体の境界の和が 0 でない）ので $u\ne s$、$\|u\|\lt\|s\|=1$、$\sum f^2\gt1$。

(iii) 拘束を満たす $\phi$ は全て $\theta f+\psi$（$\psi\in\mathcal A_0$）と一意に書ける。上界は $\psi=0$。下界：$f\perp\psi$ から $\sum(\theta f+\psi)^2=\theta^2\sum f^2+\|\psi\|^2$。四次を展開して $|\sum f^3\psi|\le\|f^3\|\|\psi\|$、$\sum f^2\psi^2\le m^2\|\psi\|^2$、$|\sum f\psi^3|\le mr\|\psi\|^2$、$\sum\psi^4\le r^2\|\psi\|^2$ で押さえると、$x=\|\psi\|$、$a=4\sigma|\theta|^3\|f^3\|$ として $V(\theta f+\psi)\ge(\text{右辺})+\frac\beta4x^2-ax\ge(\text{右辺})-a^2/\beta$。

(iv) 粗い作用は $\beta'\theta^2/2-\sigma'\theta^4+O(\theta^6)$ の同じ形なので $\sigma'/\beta'=(\sigma/\beta)\sum f^4/\sum f^2$。右の不等式は $f_p^4\le(\max f^2)f_p^2$ を足したもの。左は冪平均 $(\sum_{S}g)^4\le|S|^3\sum_Sg^4$（$g_p=s_pf_p$、Cauchy–Schwarz を二度）と $\sum_Sg=1$ から。∎

(iv) の意味。同じ $\beta'$ に来た二つの重み（Wilson 出発の $\kappa=1/24$ と熱核出発の $\kappa=0$）の $\theta^4$ の係数の差は、$\beta'$ で規格化して一段で $\lambda$ 倍になります。これが 15-03 §04 の帳簿の横の縮みの主項です。有限の $\beta$ で測った全変動距離の比（$2\times2\times1$ で $\beta_T=1,2,3,4$ に 0.0443・0.0451・0.0463・0.0469）が $7/144=0.0486$ に下から近づくことと合いますが、全変動距離の比が $\lambda$ に収束することは示していません 読。

自由境界の箱では $\mathcal A$ の直交補空間は 2-輪体で、箱が可縮なので立方体の境界の和に一致します。よって $\|Ps\|^2=\min_{c}\|s-\partial c\|^2$（$c$ は立方体の上の関数、Dirichlet の原理）です 初。三次元では立方体を節点、内部の面を抵抗 1 の辺、$S$ の面を電源 S への辺、それ以外の外面を流し口 T への辺とする双対の抵抗網を考えると、$\phi\in\mathcal A$ は各立方体で向きつきの和 0（Kirchhoff の電流則）、拘束は S から T への電流の量が $\theta$ であることで、$\sum f^2$ は S と T の間の実効抵抗、$f$ は単位の電流です（Thomson の原理）典（電気回路の標準の事実の言い換え）。

例：$2\times2\times1$ の板。各立方体が下面から電流 $\frac14$ を受け、外周の側面 2 枚（並列で抵抗 $\frac12$）と上面（抵抗 1）へ流します。柱の抵抗は $1+(\frac12\parallel1)=\frac43$、四本並列で $$\sum f^2=\frac13,\qquad \sum f^4=4\cdot\frac1{4^4}+12\cdot\frac1{12^4}=\frac7{432},\qquad \lambda=\frac7{144} \tag{6}$$ 初。束は下面 $\frac14$、上面と外周の側面 $\frac1{12}$、内壁 0 です。四次元では網は立方体でなく 3-胞体の上の電位になり、絵は描きにくくなりますが、射影の式 (1) は次元に依らずそのまま使えます。

(a) 包含の単調性。$W$ を含む複体 $K\subset K'$ について $\sum f^2(K)\le\sum f^2(K')$ 初。証明：$K'$ の上の配位を $K$ に制限しても $W$ のホロノミーは変わらず、作用（非負の項の和）は減るので、最小は大きい複体の方が大きい。∎ 三次元では Rayleigh の単調性（自由境界の箱は、周りの立方体を流し口に短絡したもので、短絡は実効抵抗を下げる）と同じ内容です。だから自由境界の小さな箱は $\beta'/\beta$ を小さく見せる。

(b) 縮みの両側。粗い面の 4 枚が対称に $f=\frac14$ を運ぶとき（粗い面のまわりの 90° 回転で箱が不変なとき。表 1 の全ての箱でそうなる）、$\sum f^4\ge4\cdot4^{-4}=\frac1{64}$。さらに試しの配位「$W$ の 8 本に $\theta/8$ ずつ、他は 0」は粗い面の各面に $\theta/4$、$W$ の各リンクを含む他の $2d-3$ 枚に $\theta/8$ を与えるので、Thomson の不等式 (i) から どの箱でも（無限の格子でも） $\sum f^2\le\frac14+\frac{2d-3}8$。合わせて $$\frac1{16d-8}\ \le\ \frac1{64\sum f^2}\ \le\ \lambda\ \le\ \max f^2=\frac1{16} \tag{7}$$ 初（右の等号 $\max f^2=\frac1{16}$ は最大の束が粗い面にあるときで、計算した全ての箱で確かめたが一般の証明は無い 読）。四次元で $1/56\le\lambda\le1/16$、三次元で $1/40\le\lambda$。等号 $\lambda=1/16$ は束が $\frac14$ の面だけに乗るときで、Migdal–Kadanoff の 16 枚（15-04 §02）がちょうどこれです。粗い面が細かい面 4 枚でできる型の一段では、Migdal–Kadanoff の $1/16$ が横の縮みの上端で、並列の道があるほど束は薄く分かれ $\lambda$ は小さくなります。

計算した箱では $\lambda\cdot\sum f^2=\sum f^4$ は $1/64$ の 1.04〜1.22 倍に留まり、$\lambda$ の動きはほぼ分母 $\sum f^2$（不変な曲線の傾き）の逆数で決まります 読（観察）。

表 1 は、粗い面 2×2 の一段の三つの数を箱ごとに並べたものです。$\sum f^2$ と $\lambda$ は束の網の主項（三次元の自由境界と外周だけ自由の箱は有理数で二つの定式化が一致 初、四次元と周期は浮動小数で二つの定式化が $10^{-12}$ 程度で一致 読）、源は熱核出発・単一の像・$\beta\to\infty$ の一ループの $\theta^4$ の係数の数値です 読。「外周だけ自由」は板の外周の外面だけを自由境界にし、粗い面のまわりに立方体を残したもの、「内部」は粗い面を箱の内部に埋めたもの、「周期」は粗い面を一枚だけ固定し他の面は自由にしたトーラスです。

表 1 から読むこと 読。

• 向き。粗い面のまわりに格子を足すほど（自由境界 → 外周だけ自由 → 内部 → 周期）、$\sum f^2$ は上がり（§04 (a) のとおり）、$\lambda$ は下がります。四次元で $\sum f^2$ は 0.44（$2^4$）から 0.73（格子に埋めた極限）へ、$\lambda$ は 0.039 から 0.026 へ。自由境界は「束の流し口」を作って $\beta'$ を小さく、$\lambda$ を大きく見せていました。
• 母数の流れ。$\beta'$ の主項は $\beta\sum f^2$ で、ずれは一ループで $\beta$ に依らない $O(1)$ です（熱核出発）：$2\times2\times1$ で $\beta/3-0.146$、$2^4$ で $180\beta/407-0.258$、$4\times4\times2$ の中央で $1023\beta/2815-0.220$（いずれも $+O(1/\beta)$）。Migdal–Kadanoff の $-\frac14$ と同じ型です。
• 源。正で $\beta$ に依らない値に収束し、四次元の箱で $4.7$〜$5.5\times10^{-4}$（Migdal–Kadanoff の 1.8〜2.1 倍）、三次元の板で $4.1$〜$6.5\times10^{-4}$ です。$U(1)$ の Villain では 0：源には、閉じた面の上で二つの円板の重みを掛ける「並列」と、非可換な群の Haar の重み $\theta/\sin\theta$ の両方が要る、と読めます。二次元の開いた領域は直列だけなので源がありません。

粗い面を $L\times L$（外周 $W$ は $4L$ 本）に広げます。$L=2$ が一段、$L=4$ は平面の方向の倍率 4 を一度に取る「本当の二段」です。これと比べる「反復の二段」は、一段の写像を粗い格子にもう一度当てる近似（一つの粗い面の周辺分布を次の段の作用として入れ直す）で、$\beta''/\beta=(\sum f_1^2)^2$、$\lambda$ は $\lambda_1^2$、源は $\sigma_1(1+\sum f_1^4)$ と数えます。

(a) 上界。試しの配位「$W$ の $4L$ 本に $\theta/(4L)$ ずつ、他は 0」は粗い面の角の 4 枚に $2\theta/(4L)$、辺の $4(L-2)$ 枚に $\theta/(4L)$、中の面に 0 を与え（粗い面の和は 1 で $W$ のホロノミーと合う）、$W$ の各リンクを含む外の面は $2d-3$ 枚以下です。よって $L\ge2$、どの箱でも（無限の格子でも） $$\sum f^2(L)\ \le\ \frac{d-1}{2L}+\frac1{2L^2},\qquad \lambda(L)\ \ge\ \frac{L^{-6}}{\sum f^2(L)}\ \ge\ \frac2{L^4\bigl((d-1)L+1\bigr)} \tag{8}$$ 初（右は Stokes で粗い面の $L^2$ 枚の $f$ の和が 1 なことと冪平均から）。四次元で $L=2$ は $7/8$ と $1/56$（§04 と同じ）、$L=4$ は $13/32$ と $1/1664$ です。

(b) 本当の二段は反復より $\beta$ を大きく下げる。包含の単調性で四次元の格子に埋めた一段は $\sum f_1^2\ge0.717961$（$4^4$ の内部の値、二つの定式化が一致 読）、よって $(\sum f_1^2)^2\ge0.5155\gt13/32\ge\sum f_2^2$ 初（入力の 0.717961 は計算の数）。反復は $L=2^k$ について $L^{-0.48}$ 程度でしか落ちず、本当の $L\times L$ は (8) で $O(1/L)$ なので、比は段数とともに 0 に向かいます。一つの粗い面の周辺分布の $\beta'/\beta$ は四次元で周の型（$O(1/L)$）で落ち、一段の二乗の繰り返しでは表せません。二次元の平面だけなら両者は一致します（粗い面 4×4 で $\sum f^2=1/16=(1/4)^2$、$\lambda=1/256=(1/16)^2$）。

(c) 周の型。計算した四次元の箱では $\sum f^2$ の 44〜51% が「$W$ に接する横の方向の面」（$W$ の 1 本あたり $2(d-2)=4$ 枚）に乗り、この割合は粗い面を 2×2 から 4×4 にしてもほぼ変わりません 読。作用は粗い面の面積でなく $W$ の周に沿って払われる、と読めます。

表 2・表 3 から読むこと 読（四点の観察・横の厚さ 4・一実装）。源は $\approx8\times10^{-3}/L^4$、$c_2$ は $\approx0.46$〜$0.50/L$ です。$\theta\sim L^2F$ と読めば $\theta^4$ は次元 8 の演算子で、係数が $L^4$ で落ちるのは Migdal–Kadanoff の $b^{d-8}=1/16$ と同じ数え方に合います。だから本当のブロック化の源は「段ごとに一定の帯で生まれ直す数」ではなく、「最も細かい尺度で生まれた $\theta^4$ のずれが段ごとに約 $1/16$ で薄まる」型に見え、反復の帳簿の固定点 $\sigma/(1-\sum f^4)\approx5\times10^{-4}$ は、この測り方では上界の側にあります。$\lambda$ は逆に、本当の二段が反復 $\lambda_1^2$ の 3.4〜3.7 倍で、反復は縮みを速く見せます。ただし $2.4$〜$2.6\times10^{-3}\ll1$ で、帳簿の分母 $1-\lambda$ はほぼ 1 のままです。

表 1 の周期の行は「粗い面を一枚だけ固定し、周りの粗い面は自由にした」網でした。本当のブロック化の一段の主項は、格子を $2^d$ のブロックに割り、粗い格子の全てのプラケットの角を同時に固定した網で、これは別の網です。この節の条件：可換な配位に制限・木の水準（$\beta\to\infty$ の主項）・周期の格子 $(\mathbb Z/L)^d$（$L$ は偶数）・$2^d$ のブロック・粗い角 $\theta_P:=\langle s_P,\phi\rangle$ は粗い面 $P$ を張る 2×2 の外周の角の線形化。

記号。$S$ を $s_P$ を並べた行列、$D_c$ を粗い格子の余境界、$C$ を粗いリンクの写像（$(CA)_\ell$ は粗いリンク $\ell$ をなす細かい 2 本の角の和）とすると $SD=D_cC$ です。$u_P:=Ps_P$、$G:=SPS^{\mathsf T}$（$G_{PQ}=\langle u_P,u_Q\rangle$）、$B:=G^+$（Moore–Penrose の擬逆）、$U$ を $u_P$ を列に並べた行列とします。

定理 G。上の条件の下で 初：

• (i) 拘束 $S\phi=\theta$（$\phi\in\mathcal A$）が空でないのは $\theta\in\operatorname{im}D_c$ のとき、かつそのときだけ（粗い立方体ごとの Bianchi の和 0 と、座標の 2-トーラスを貫く粗い束 0）。とくに粗い面を一枚だけ捻り他を 0 に保つ $\theta$ は許されない。
• (ii) $\theta\in\operatorname{im}D_c$ について最小点はただ一つで $\phi^*=F\theta$、$F:=UB$、最小値は $\frac12\theta^{\mathsf T}B\theta$。粗い作用は $$S'(\theta)=\frac\beta2\,\theta^{\mathsf T}B\,\theta,\qquad \beta'_{PQ}=\beta B_{PQ}\quad(\operatorname{im}D_c\ \text{の上の二次形式として}). \tag{9}$$
• (iii) 粗いリンクの変数 $a$ で書くと $\min\{\frac12\|dA\|^2:CA=a\}=\frac12a^{\mathsf T}Qa$、$Q=D_c^{\mathsf T}BD_c$。Lagrange の未定乗数がそのまま粗い作用の勾配（各粗いリンクの電流の湧き出し）になる。
• (iv) $\theta$ は独立な座標でないので、$B$ の非対角や四次形式の「対角／交差」の成分は表し方に依る。表し方に依らない量は：$\operatorname{im}D_c$ の上の $B$ のスペクトル、向きごとの比 $\beta'(\theta):=\theta^{\mathsf T}B\theta/\sum_P\theta_P^2$、$\mu(\theta):=\sum_q(F\theta)_q^4/\sum_P\theta_P^4$、$\lambda(\theta):=\mu(\theta)/\beta'(\theta)$（定理 F の $\lambda$ の向きつきの版）。
• (v) 全ての $\theta\in\operatorname{im}D_c$ で $\beta'(\theta)\ge\frac14$。

証明。(i) $\theta=SDA=D_c(CA)\in\operatorname{im}D_c$。逆に各粗いリンクの一本目の細かいリンクに $a_\ell$、他に 0 を置けば $CA=a$。(ii) 最小ノルムの解は $\operatorname{im}U$ に入り、$\phi=Uc$ で $Gc=\theta$。$\operatorname{im}G=S(\operatorname{im}d)=\operatorname{im}(D_cC)=\operatorname{im}D_c$ なので解があり、$c=B\theta+\ker G$、$U\ker G=0$、$\|\phi^*\|^2=\theta^{\mathsf T}BGB\theta=\theta^{\mathsf T}B\theta$。一意性は定理 F と同じ狭義凸性。(iii) 内側の最小は粗いゲージの向きに不変なので $\theta=D_ca$ を代入し、KKT の条件を読む。(v) 粗い面の 4 枚の組は互いに重ならないので $\sum_q\phi_q^2\ge\sum_P\sum_{q\in s_P}\phi_q^2\ge\sum_P\theta_P^2/4$（各粗い面で Cauchy–Schwarz）。∎

滑らかな試し。細かい場が粗い面ごとに $2^d$ 枚のプラケットで同じ値 $\theta/4$ を持つ配位では、エネルギーの比は $2^{d-4}$、$\lambda=1/16$（$d$ に依らない）です 初（算術）。この配位はトーラスの上で一様にはなれず、波長が長い極限の試しとしてだけ意味を持ちます。Migdal–Kadanoff（全ての粗い面が独立、$P$ を恒等にしたもの）では $\beta'/\beta=2^{d-4}$、$\lambda=1/16$ です。

表 4・表 5 から読むこと 読。(1) 粗い作用はプラケットの作用に留まりません。固有値は四次元で $\frac14$ から長波長の 1 近くまで広がり、二次の段で既に長さ 2 以上のループの項が生まれます（古典の固定点の作用の二次の部分に当たると思われるが、原典は照合していない）。(2) 長波長の $\beta'/\beta$ は一枚固定の 0.731 より大きく、Migdal–Kadanoff の 1 の側に寄ります。(3) 四次の写りは行列で隣と混ざり、粗い向きでは $1/16$ を超えます（一本の粗いリンクで 0.091、見つけた sup で 0.27）。滑らかな向きでは三次元で $1/16$ に向かい（$k=\pi/12$ で 0.0615）、四次元は $k=\pi/4$ まで 0.047 で収束はまだ見えていません。Migdal–Kadanoff の $\lambda=1/16$ は、本当の一段では長波長の向きの値として残るだけです。(4) 見つけた値は全て 0.3 未満ですが、擬逆の代表 $F$ は非局所で、Riesz–Thorin の上界は箱とともに増え（四次元 $16^4$ で 4.2）、体積に一様な上界は得ていません。だから「横の縮みが 1 より小さい」とは言いません。

行列で書くときの座標の候補。四次の偏差の類を「$|Q(\theta)|\le c\sum_P\theta_P^4$」（$\ell^4$ で押さえられる四次形式）に取ると、木の水準の一段は $c\mapsto c\cdot\sup\mu$ でこの類を保ちます 初（$|Q(F\theta)|\le c\sum(F\theta)^4\le c\sup\mu\sum\theta^4$）。プラケットの対角の類（Migdal–Kadanoff の類）は保たれませんが、$\ell^4$ の錐は保たれます。

15-03 §04 の帳簿は、一段の写像が類のまわりで横に縮む（$\|\rho_{k+1}\|\le\lambda\|\rho_k\|+\varepsilon(\beta_k)$、$\lambda\lt1$）なら外れは和でなく上限 $\sup_j\varepsilon(\beta_j)/(1-\lambda)$ で押さえられる、というものでした 初（二次の項を落とした線形の不等式の下で）。この章は、その $\lambda$ と、母数の流れの主項 $\beta'/\beta$ が、一つの粗い面の周辺分布では同じ射影 $P$ から前もって紙で数えられることを示しました（定理 F）。四次元の一段で問うべき数は「源の大きさ」と「$\lambda$」の二つで、前者は一ループ、後者は木の水準の量です。ただし、全ての粗い面を固定すると $\lambda$ は行列になり粗い向きで $1/16$ を超えるので（§07）、帳簿の $\lambda\lt1$ を本当の一段で示すには、表し方に依らない作用素ノルムの、体積に一様な上界が要ります 読。

(a) 定理 F・定理 G は可換な配位に制限した木の水準（$\beta\to\infty$ の主項）の文です。非可換な配位を含めた大域の最小が可換であること、一ループの補正（源・$\beta'$ の $O(1)$ のずれ）、大きな場（$\|\psi\|\le r$ の外）は含みません。

(b) 表 1〜表 3 の数は一つの粗い面の周辺分布で見る一段の数で、本当のブロック化の一段ではありません。反復の二段は一つの面の周辺分布を入れ直す近似です。

(c) 源・$c_2$・有限の $\beta$ の比は計算機の値で、源は熱核出発・単一の像・$\beta\to\infty$ の一ループです。粗い面 4×4 と大きな箱の一ループは一実装です。源 $\approx8\times10^{-3}/L^4$ は四点の観察で、極限や閉じた形はありません。

(d) (7) の右の等号 $\max f^2=1/16$ と、計算した箱で最大の束が粗い面にあることは箱ごとの確認で、一般の証明はありません。