2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 15 部 紫外の制御熱核の類・Migdal–Kadanoff・不変な曲線 · Kiichi, Shiori and Rin

一リンクの熱核の類と階層模型 — 母数一つで閉じる類と引き寄せる曲線

• 一リンクの熱核の類は半群で母数一つ $\tau$ で閉じ、一段の剰余は 0、量の段の変化は端の値の差だけが残る望遠鏡和です（§01）。
• Migdal–Kadanoff の一段では、像は熱核 $\times\exp(\theta^4/3600+\cdots)$ の形の曲線に一段ごとに $1/16$ で引き寄せられ、曲線の上の結合は $\beta\mapsto\beta-\frac14-c/\beta$ と流れます（§02・§03）。
• $\theta^{2m}$ の係数の縮みは $b^{d-4m}$（$d=4$・$b=2$ で $m=2$ が $1/16$）で、次元の数え方と同じ形です（§03、鞍点の主項）。
• この模型では、$\beta\in[2.46,64]$ で熱核の類のまわりの管が写像で不変、$\beta\in[15.26,64]$ で管の中の全ての軌道が一本の曲線に寄ることが区間演算で確かめられています（§05）。$\beta\gt64$（格子間隔 0 の極限）は閉じていません。

「損を結合の流れに吸収する」（15-01 §01）が最も小さな場でどう見えるかを、$SU(2)$ の一リンクの類関数（単位元からの角 $\theta$ だけの関数）を重みとし、熱核と一段ずつ畳み込む流れで見ます（11-06 §07 の候補と、11-08 の問 F7）。この節の全ての文は一リンク・熱核の類・下に書く範囲の文で、多リンク・プラケットの間の結合を含む四次元の一段については何も言いません。

熱核 $p_\tau$ は半群で

なので、熱核の族の中では一段の後もまた熱核で、母数 $\tau$（実効の結合の逆数に当たる）が $t$ だけ動くだけです 初（半群の性質だけ）。だから熱核の重みから計算する量はどれもその時点の母数だけの関数で、段を重ねた変化は足し合わせると端の値の差だけが残ります（望遠鏡和）。積にはなりません 初。15-03 §04 の恒等式で言えば、類からの外れ $\delta_k$ が恒等的に 0 の場合です。

中心 $\mathbb Z_2$ で割った座標（$SO(3)$、$\theta\in[0,\pi/2]$、分岐の集合 $\operatorname{tr}U=0$ は $\theta=\pi/2$）で、層 $|\theta-\pi/2|\lt h$ の外の Bakry–Émery の曲率の最小を $\kappa$ と書きます。Wilson の重みから出発して熱核で畳み込んだ重みについて、層の外の曲率は $\beta\in\{2,3,4,6,8\}$・$t\in\{0,0.05,0.1,0.2,0.5\}$・層の半幅 $h=\beta'^{-1/2}$ の全ての点で正でした（割らない $SU(2)$ では同じ範囲の全ての点で負）読（指標の級数と位置の空間の二つの独立な実装で一致）。層の外の曲率は

の形をとり、Wilson の重みでは $A=\sin h$・$B=2$ です 読（熱核の重みでは数値と一致）。

この形を四次元の一段 $\beta'=\beta-8b_0\ln L$（一ループの流れを $\beta=4/g^2$ で書いたもの）に当てると、主項 $A\beta$ は結合とともに動き（吸収される部分）、$\kappa/\beta$ の一段の変化は $B\,(1/\beta'-1/\beta)=O(1/\beta^2)=O(g^4)$ で、和の有限な損です 読（上の形を当てはめた読み）。11-06 §07 が候補に置いた $\kappa_{j+1}\ge\kappa_j(1-c/\beta_j)$ は積の型で、段数の冪で 0 に向かいますが、この類の中では悲観に過ぎます。

ただし三つの留保があります。(i) 層の稀さの率は $\beta$ に比例し、一段ごとに $O(1)$ ずつ下がって $\beta=O(1)$ で尽きます 読。これは 11-06 §07 が結合の届く範囲の限界として述べたものの一リンクでの姿で、紫外の側の新しい障害ではありません。(ii) 割った座標の凸性が払えるのは中心で不変な（随伴の）部分だけで、各リンクの $\mathbb Z_2$ の符号には別の通貨が要ります。多リンクでは、この符号の部分が中心の渦にあたります 読（物理の見立て）。(iii) 四次元の繰り込みの一段は一リンクの熱核の畳み込みではなく、多リンク・プラケットの間の結合が入ります。そこで $A+B/\beta$ の形が保たれるかは調べていません。

曲線から外れる向きがこの類には無いので、横の縮みも源も現れません。分解の言葉で言えば、熱核の類は「剰余 0」の類で、15-03 の (Rem-shape) が空になる場合です。

写像。$SU(2)$ の一枚のプラケットの重み（類関数）$w=\sum_nc_n\chi_n$（$\chi_n$ はスピン $n/2$ の指標、$a_n=c_n/(n+1)$）に、Migdal–Kadanoff の一段（$d=4$・$b=2$）を当てます。規約は 8-04 と同じで、

です。ボンド移動は平行な四枚を一枚に束ねる操作（重みの積）、決定化は直列の四枚を畳み込む操作です。この写像は階層格子の上では近似でなく写像そのものですが、四次元の超立方格子の繰り込みの一段ではありません 典（Migdal–Kadanoff の近似の定義。8-04）。

不変な曲線。熱核の類はこの一段でちょうどには閉じませんが、像は一母数の曲線（熱核 $\times\exp(\theta^4/3600+\cdots)$）に一段ごとに $1/16$ の割合で引き寄せられます。同じ $\beta'$ に違う段数で来た重みの差（全変動距離）の比は $j=1:2:3$ で $16.06$・$17.00$（$1/16$ ずつの縮みの予測 $16.0$・$17.0$）で、出発の $\beta_T\in\{3.5,7,15,30\}$ のどれでも同じでした（Wilson から出発で $15.8$・$16.7$）読（本書の検討の数値。一枚の類関数・階層格子の写像・$\beta\le32$・層の半幅 $h\in\{\pi/4,\pi/8\}$）。曲線の上では層の外の $\kappa/\beta$ はその時点の $\beta$ だけの関数で、望遠鏡和が成り立ちます。

結合の流れ。熱核から出発した一段で

でした 読（$\beta=4,8,16$ の三点で係数 0.022・0.022・0.021）。$\frac14$ は 8-04 の $(1-b^{-2})/3$ と一致します。補題 F の (S) の形（15-03 §03）で書くと、この模型では $b=1/16$（$1/g^2$ の単位）、$|r_k|\approx0.0054/\beta_k\approx0.0013\,g_k^2$ です 読（$\beta\in[2,32]$）。熱核の類に対する剰余は $\kappa/\beta$ で $O(1/\beta)$（$\beta$ に依らない形のずれ）ですが、段を重ねても積み上がりません 読。陰性対照として各段で Wilson の係数に取り替えると、外れは $\delta\approx-0.04$（$\beta\approx16$）を保って減りません（検出の力がある）読。

帳簿への当てはめ。15-03 §04 の言葉で、横の安定性は $\lambda\approx1/16$ で成り立ち、剰余は熱核の類に対して $O(1)$ の形の補正です。したがって「横に縮む場合」の形で一様で、熱核の類からの外れは $|\delta|\le1.6\times10^{-3}$（$\beta\ge2$、$h=\pi/4$）、$\beta\ge8$ では $\le6.0\times10^{-5}$ でした 読（測った範囲）。

大きな $\beta$ の鞍点で、一段の写像を作用の係数の写像として見積もります 初（鞍点の主項。揺らぎの高次と、像の和の他の項 $e^{-\pi\beta h}$ の程度を落とす。誤差の定数は出していない）。

• 熱核（像を一つだけ取る）：$\mathrm{HK}_\beta(\theta)\propto(\theta/\sin\theta)\,e^{-\beta\theta^2/2}$。$\log(\theta/\sin\theta)=\theta^2/6+\theta^4/180+\theta^6/2835+\cdots$。
• 重み $w=\mathrm{HK}_\beta\cdot e^{R(\theta)}$、$R=\sigma\theta^4+\tau\theta^6+\cdots$ と置く。ボンド移動は $$w^4=\mathrm{HK}_{4\beta}\Bigl(\frac\theta{\sin\theta}\Bigr)^3e^{4R}=\mathrm{HK}_{4\beta-1}\,e^{\rho+4R},\qquad \rho:=3\log\frac\theta{\sin\theta}-\frac{\theta^2}2=\frac{\theta^4}{60}+\frac{\theta^6}{945}+\cdots \tag{5}$$ で、$\beta\mapsto4\beta-1$ は 8-04 の $b^2\beta-(b^2-1)/3$ です。$\rho$ が源で、前因子 $\theta/\sin\theta$（Haar の重みの名残）を四枚束ねたときの余りです。
• 決定化（四枚の畳み込み）：大きな $\beta$ では、四つの群の元が単位元から $U$ へ測地線に沿って等分に並ぶ配位（各々 $\theta/4$）が主で、補正 $S$ は $4S(\theta/4)$ に写ります。熱核の部分は半群で $\mathrm{HK}_{(4\beta-1)/4}=\mathrm{HK}_{\beta-1/4}$。

帰結として、$\theta^4$ と $\theta^6$ の係数の写像は

です。縮みは $1/16$、熱核から一段で源 $1/3840$、固定点は源と縮みの釣り合い

で決まります 初（(6) の上の等比級数の算術）。一般に $\theta^{2m}$ の係数の縮みは $b^{d-2}\cdot b^2\cdot b^{-4m}=b^{d-4m}$（$d=4$・$b=2$ で $4^{2-2m}$）：$m=1$ は 1（marginal、$\beta$ そのもの）、$m=2$ は $1/16$、$m=3$ は $1/256$ です 初（鞍点の主項）。$\theta\sim a^2F$ と読むと $\theta^{2m}$ は次元 $4m$ の演算子に当たり、$b^{d-4m}$ はその次元の数え方と同じです 読（見立て）。

照合。$\theta^4$ の係数は一段で $2.615\times10^{-4}$（$\beta=60$）対 $1/3840=2.604\times10^{-4}$、引き寄せる曲線の上で $2.789\times10^{-4}$ 対 $1/3600=2.778\times10^{-4}$。差は $6.5\times10^{-5}/\beta$ の形（揺らぎの補正）。$\theta^6$ は $1.06\times10^{-6}$ 対 $1.04\times10^{-6}$ でした 読（同じ系の数値）。§02 の比 $16.06$・$17.00$ は縮み $1/16$ の直接の測定です。

曲率への影響。$V=-\log w$ に $-\sigma_*\theta^4$ が入るので、層の端 $\theta=\pi/2-h$ での接の向きの曲率は $-4\sigma_*\theta^3\cot\theta$ だけ動きます。$h=\pi/4$ で $-4(\pi/4)^3/3600=-5.4\times10^{-4}$ 初（算術）。測った $\kappa/\beta$ の外れ $\delta\cdot\beta$ は $-2.6\times10^{-4}$（$\beta=16$）・$-3.6\times10^{-4}$（24）・$-4.1\times10^{-4}$（32）と、この値に近づいています 読。

読み 読：この模型で源と縮みは別々の仕組みから来ます。源はボンド移動（平行に束ねる操作）が前因子から注ぐ $\theta^4/60$ で、$d\gt2$ でだけ在ります。縮みは決定化（直列にまとめる操作）が $\theta^4$ の係数を $1/64$、結合の目盛りの縮みで割って $1/16$ にするものです。15-03 §04 の言葉では、問うべき二つの数（源の大きさと $\lambda$）がこの模型では $1/3840$ と $1/16$ です。四次元の小さな箱で同じ二つの数を測った値は 15-05 にあります（$\lambda$ は $0.026$〜$0.049$、源は $4$〜$6\times10^{-4}$ の帯）。

二次元の開いた帯（幅の狭い帯状の格子）を、二枚ずつまとめてブロック化する一段を考えます。軸ゲージをとると開いた帯ではプラケットの変数が独立なので、二枚をまとめる一段は一リンクの畳み込み $w*w$ そのもので、粗い二枚も独立です 初（既知の構造。独立な標本 20 万で指標の平均が $1\sigma$ 前後で一致、相関 $0.003\pm0.002$ 読）。だからこの設定は多リンクの検査になりません（新しい結合が生まれない）。

そのうえで、まとめる枚数 $m$ の決定化は $\theta^4$ の係数を $1/m^3$ 倍にし、$\beta'=\beta/m$ で測った外れを $1/m^2$ 倍にします。二枚なら $\lambda=1/4$ で、ボンド移動が無いので源の項も無く、固定の形は熱核そのものです 初（鞍点の主項）。Wilson から出発した経路依存は観測量によって次数が違い、低い表現の係数で $O(1/\beta^3)$、全変動距離で $O(1/\beta)$、層の外の $\kappa/\beta'$ で $O(1)$（どれも $m$ について $1/m^2$）でした 読（$\beta_T=8$〜$64$、$m=1,2,4$）。熱核と $U(1)$ の Villain は経路に依らず、外れは $10^{-8}$ 以下です 読。

多リンクの最小例は、立方体の制約でプラケットが独立でない三次元の $2\times2\times1$ の板です。そこから先の数は 15-05 にあります。

§02・§03 は数値と鞍点の見積もりでした。この模型の中で、紫外の分解（15-03 §02）の各行を有限の結合の範囲で確かめた結果を、条件と一緒に並べます。全て MK の写像 $T$（(3)）・$SU(2)$ の一枚の重み・$d=4$・$b=2$ についての文です。

座標と管。結合の読み取りを $s(w):=1/b(w):=-\frac23\log a_1$ とします（熱核 $\mathrm{HK}_\beta$ では $a_n=e^{-q_n/(2\beta)}$、$q_n:=n(n+2)$ なので $b(\mathrm{HK}_\beta)=\beta$）。横の座標を

と置くと、熱核の類で $e\equiv0$ で、決定化は $e\mapsto4e$・$s\mapsto4s$ をちょうど与えます 初（定義から）。管 $U$ は「$b(w)\in[\beta_{\min},\beta_{\max}]$、$|e_n(w)|\le R\,(q_n^2s^4+10\,q_ns^3)$（$2\le n\le N$、$R=10^{-3}$）、高い $n$ の裾を重みつきの係数の和で押さえる」重みの集合です。$q_n^2s^4$ は $\theta^4$ 型の形の大きさに当たります（$w=\mathrm{HK}\cdot e^{\sigma\theta^4}$ なら $e_n\approx\sigma q_n(q_n-3)s^4$）。

(6) の $\sigma\mapsto\sigma/16+1/3840$ は、表 1 の形の係数の流れの $k=2$ の場合です（$\ell_2=1/180$、$(16\sigma+12/180)/256=\sigma/16+1/3840$）。

この模型での紫外の意味。出発の $\beta$ を有限の範囲で大きくして $K$ 段流しても、最後の尺度の重みは曲線の上の一点から $\Lambda^K$×（出発の距離）以内にあり、誤差は $K$ に一様です 機（$\beta\in[15.26,64]$ の範囲の文。$\beta$ は一段に約 $1/4$ ずつ下がるので、例えば終わりの $\beta=16$ から 64 までで $K\approx190$ 段）。15-03 §04 の (4) の形が、この模型の有限の範囲で計算機援用の不等式として立った、ということです。

届かない範囲（同じ行に）。$\beta\gt64$——格子間隔 0 の極限そのもの——は鞍点の主項だけで、誤差の定数つきの評価はありません 仮。層の外の曲率と層の重さの区間演算、$c_*=1/60$ を区間演算で $1/48$ から分けること（管の全体の $\beta'$ の幅は $\beta=64$ で $\pm0.0007$ で粗い）、$\beta\lt2.46$ も届いていません。そして何より、ここで閉じるのは一枚の重みが一段で一枚の重みに戻る模型だからです。多リンクの結合・ゲージの張り替え・大きな場の剰余が構造的に無く、15-02 の「原典に無い二行」（大きな場込みの一段の剰余・観測量の源）はこの模型では空です。階層模型は $U(1)$ でも閉じ込めが起きる模型で、非可換性の検査にもなりません。$\frac14$ は四次元の一ループの値（倍率 2 で $8b_0\ln2\approx0.258$）に近いですが、$c_*=1/60$ を四次元の二ループの係数と比べる根拠はありません 読。

問い。この章から出る問いを二つ置きます（番号は第 15 部の通し。索引は 15-09）。

表 3 は、三つの最小の系で分解の各部品がどう見えるかを並べたものです。

表 3 から読むこと 読。15-03 の (Cls) の類は、熱核の類そのもの（剰余 0）か、熱核から $O(1)$ の形だけずれた不変な曲線（剰余は横の縮みで上限に押さえられる）で、どちらも母数は結合ひとつです。源は平行に束ねる操作から、縮みは直列にまとめる操作から来ます。二次元の開いた帯には平行に束ねる操作が無いので源がなく、Migdal–Kadanoff にはあります。四次元の格子の一段にはどちらの操作も入り、しかも多リンクの結合が生まれます。その最小の系が 15-05 の束の網です。

(a) この章の結果は全て一枚の重みに当てる写像（一リンクの熱核の畳み込み・二次元の開いた帯・階層格子の写像）の文で、多リンク・プラケットの間の結合・ゲージの張り替え・大きな場を含む四次元の一段には何も含意しません。

(b) 一リンクの熱核の類の曲率の形 (2) は、登録した $\beta$ と $t$ の範囲の数値の読みです。

(c) (5)〜(7) と $b^{d-4m}$ は鞍点の主項の見積もりで、揺らぎの高次と像の和の他の項を落としています。誤差の定数は出していません。

(d) 階層模型の管と引き寄せる曲線は $\beta\le64$ の有限の範囲の計算機援用の文で、格子間隔 0 の極限（$\beta\to\infty$）は閉じていません。層の外の曲率と層の重さ、$c_*=1/60$ の分離は区間演算で確かめていません。

(e) 階層模型は $U(1)$ でも閉じ込めが起きるので、ここで閉じたことは非可換性の検査になりません。$c_*=1/60$ を四次元の二ループの係数と比べることはしていません。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 初 SEMI   熱核の類で望遠鏡和                                    一リンク
[02] 読 HK1    層の外の曲率 A + B/β ⟸ [01]                           一リンク・登録範囲
[03] 読 MK     不変な曲線・1/16・β の流れ ⟸ [01]                     階層格子・β ≤ 32
[04] 初 SADDLE 源 1/3840・縮み 1/16・1/3600 ⟸ [01]                   鞍点の主項
[05] 初 STRIP  開いた帯は一リンクの畳み込み ⟸ [01][04]
[06] 機 TUBE   管の不変性・縮み・β の流れ ⟸ [03][04]                 β ∈ [2.46, 64]
[07] 機 CURVE  引き寄せる曲線 ⟸ [06]                                 β ∈ [15.26, 64]
[08] 初 FLOW   形の係数の流れ・c* = 1/60 ⟸ [04]                      主項
[09] 仮 MKUV   β > 64 と曲率・層の重さ ⟸ [02][07][08]                問い

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。[09] は仮定の行で、問いの形です。この章の節点に、四次元の ① が示されたという節点はありません。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 熱核の類・半群・望遠鏡和・Migdal–Kadanoff の一段（ボンド移動・決定化）・不変な曲線・横の縮み $\lambda$・源・釣り合い・管・引き寄せる曲線。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：15-05 束の網の定理 — 多リンクの最小の系で、源と縮みの二つの数がどう決まるか。

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