2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 15 部 紫外の制御入口・段の数・一段で閉じる · Kiichi, Shiori and Rin

入口 — 紫外の制御とは何か

• 紫外の制御は「一段で同じ形に戻る」を、定数を崩さずに無限個の段で示すことです（§01）。
• 一段ごとに定数が $1-\delta_k$ 倍に減るなら、$K$ 段の後に残るのは $\prod_k(1-\delta_k)$ で、損の和 $\sum_k\delta_k$ が段数に一様に有限かどうかが全てを決めます（§03）。
• 一段の評価を書いて帰納が閉じたと読む型の読み違いが繰り返し起きます。十の型に分けて、正しい扱いと並べます（§03 表 1）。
• この部の「段」は繰り込みの一段（段 $k$）で、第 10 部の「階段」の段とも、第 13 部の「帯」とも別物です（§02）。
• 十章は、難しさ（15-01）・原典（15-02）・分解の言明（15-03）・最小の系の数（15-04〜15-06）・背景依存（15-07）・閉じない四行（15-08）・索引（15-09）の順に並びます（§04）。

対象は、一辺 $L_0$ の四次元トーラスの上の $SU(2)$ の Wilson の格子で、格子間隔を $a$ とします。$L_0$ は物理の尺度で固定し、動かすのは $a$ だけです。6-05 §01 のとおり、倍率 $L$ のブロック化を重ねて、細かい尺度から順に積分します。段の数は

です 初（定義から）。例：$L=2$、$L_0/a=2^{20}$ なら $K=20$ で、$a$ を半分にするたびに段が一つ増えます。段 $k$ の後の重み（有効密度）を $\rho_k$ と書くと $Z=\int\rho_0=\int\rho_1=\cdots=\int\rho_K$ です。

同じ形。 Bałaban の方法では、各段で格子を小さな場の領域 $\Omega$ とその外に分け、全ての分け方について和を取ります（6-05 §04）。有効密度が保つべき形は、記号を略して書けば

です 典（形はスカラー場の解説 Dimock II §1 と三次元の定理の文面による。6-05 §07）。$A_\Omega$ は小さな場の領域の上の Wilson の作用（背景場で書いたもの）、$E_k(X,\cdot)$ は連結な塊 $X$ に局在した補正、$R_k$ は大きな場の領域が運ぶ因子、$g_k$ は段 $k$ の有効結合です。

三つの条件。紫外の制御とは、(2) の形を全ての段で、次の三つを満たして保つことです。定数 $r,C,\kappa,c,\gamma$ は段 $k$ にも格子間隔 $a$ にも依りません。

• (U1) 小さな場の局所性と解析性。各 $E_k(X,\cdot)$ は背景場の変数の半径 $r$ の複素近傍で解析的で、$|E_k(X)|\le C\,e^{-\kappa\,d(X)}$（$d(X)$ は $X$ を結ぶ木の長さ）。
• (U2) 大きな場の稀さ。$|R_k(\Omega^c)|\le e^{-c\,p(g_k)^2\,|\Omega^c|}$（$|\Omega^c|$ は大きな場のブロックの数、$p(g)$ は 6-05 の式 (7) の閾の倍率）。
• (U3) 結合が小さいまま留まる。有効結合の列 $g_0,g_1,\dots,g_K$ が全て $(0,\gamma]$ に入る。

三つは ① の中身を本の言葉に直したもので、どれも四次元では示されていません 仮（14-02 の台帳 ① の行）。

一段で閉じる、の形。類 $\mathcal K(g;\,r,\kappa,c)$ を「(2) の形を持ち、結合 $g$ で (U1)(U2) を定数 $r,\kappa,c$ で満たす有効密度の集まり」とすると、示すべきは

です。両側で定数 $r,\kappa,c$ が同じで、動いてよいのは結合だけ、という所が要点です。$b_0=22/(48\pi^2)$ は $SU(2)$ の一ループの係数（6-07 §01）、$r_k$ は結合の流れの剰余です。(3) を「有限個の母数で閉じる類」と「一段の剰余」に割って言明し直すのが 15-03 です。

この部では「段」という語を繰り込みの一段の意味だけで使います。この本には「段」「帯」「窓」を含む語がほかにもあり、語が一致すると同じものを指すように読めてしまうので、表 0 で分けておきます。

もう一つの注意：この部の最小の系（15-04〜15-06）では、「一つの粗い面の周辺分布」を一段の写像と呼ぶことがあります。これは一つの粗い面のホロノミーの分布だけを見る写像で、粗い格子の全ての面の同時の分布を作る本当のブロック化の一段ではありません。各章の初出で一度このことを書きます。

一段の評価と全段の証明の違いを、一つの数で見ておきます。一段の評価が「定数 $r_{k+1}\ge r_k(1-\delta_k)$」の形でしか出ないとすると、$K$ 段の後に残るのは

です 初（右の不等式は $0\le x\le\frac12$ で $\ln(1-x)\ge-2x$ から）。損の和 $\sum_k\delta_k$ が $K$ に一様に有限なら、定数は $K$ に一様に正のまま残ります。和が $K$ とともに増えれば、定数は段の数とともに崩れます。紫外の制御の中身は、この和を有限にすることです。三次元の Bałaban の定理（6-05 §07 の式 (10)）と四次元の 1989 年の定理（6-07 §03）は、この形の帰納を有限体積で行ったものです 典。四次元でこの和がなぜ素朴には有限にならないか（$\sum_kg_k^2$ が $\ln K$ で増えること）は 15-01 §01 で計算します。

紫外の制御の検討では、同じ形の読み違いが繰り返し起きます。共通の型は一段の評価を書き、それで帰納が閉じたと読むことで、積 $\prod(1-\delta_k)$ を見ずに $\delta_k$ の一つだけを見ることに当たります。表 1 は、論理の型として十に分けたものです。どの行も、一段の主張と全段の主張を別の行に置けば避けられます。

表の上の四行は同じ形です。一段の版から全段の版を出すには「定数が段で崩れない」という仮定が要り、それを規則の側に明示しないと、一段の証明が全段の証明に見えます。15-03 の規則の束は、この注意を規則の書き方に入れたものです。

表 2 は第 15 部の十章です。水準の印は〔二〕＝数学科・物理学科の二年生で読める、〔三〕＝三年生以上（測度・作用素・ノルムの評価を使う）、〔研〕＝研究の水準（検討の組み立てをそのまま追う）。

読む順は三本あります。最短：15-00 → 15-03 → 15-09（何を示せばよいかと、何が残っているか）。計算の筋：15-04 → 15-05 → 15-06（最小の系で、分解に出る数がどう測れるか）。壁の筋：15-02 → 15-07 → 15-08（原典がどこで止まり、何が閉じないか）。15-01 はどの筋の前にも読めます。

この部の全ての言明に、次の五つの札のどれかを付けます（本全体と同じ五分類）。札は「どう確かめたか」の印で、言明の重さの印ではありません。

Lean で検査した部品は札ではなく外の列に書き、15-09 の対応表にまとめます。この部の Lean の部品は、どれも実数の有限和や代数の補題で、格子・群・測度は形式化していません。

(a) ① 紫外の制御は閉じていません。この章も、この部のどの章も、(U1)(U2)(U3) を四次元でも二次元でも示していません。

(b) (4) は一段の損が掛け算で効くときの算術で、実際の有効結合の列や実際の定数についての定理ではありません。

(c) 表 1 の十の型は論理の注意で、どれかの既存の議論が誤りだという主張ではありません。

(d) 表 2 の水準の印と読む順は本の整理で、章の中身の難しさの判定ではありません。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 初 STEP   段の数 K → ∞                                    L₀ を固定
[02] 典 FORM   有効密度の形 (2)
[03] 仮 UV     (U1)(U2)(U3) と一段で閉じる形 (3) ⟸ [01][02]     a から L₀ まで
[04] 初 PROD   損の積の下界 (4)                                 0 ≤ δ ≤ 1/2
[05] 典 BAL    Bałaban の定理は (3) の型の帰納 ⟸ [02]           有限体積・(U3) 仮定
[06] 初 MIS    読み違える十の型 ⟸ [04]                          論理の注意

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。[03] は仮定の行で、① を言い直したものです。この章の節点に、① が示されたという節点はありません。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 紫外の制御（①）・段の数・同じ形・一段で閉じる類・(U1)(U2)(U3)・損の積・繰り込みの段・粗い面・五分類。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：15-01 紫外の難しさ — なぜ四次元では損の和が素朴には有限にならないか。

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