2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 15 部 紫外の制御閉じない四行・案・依存 · Kiichi, Shiori and Rin

閉じない四行と、その案

• 閉じない部分は四行に書けます：(S)・(T-Obs)・$\eta$ の吸収と多段・張り替えの境目（§01）。
• 行 1 の (U2)（大きな場の稀さ）は、性質 3 の群版 (iii_G) が立てば Chebyshev の不等式の系で、独立の評価は要りません（§02、〔初〕・(iii_G) を仮定）。
• 行 2 の源は、ブロック変数の関数に取れば細かい段では積分と可換で、損が出ません（§03、〔初〕・自明）。
• 行 4 では、木のゲージの直積分解から張り替えの場に依る Jacobian は無く、費用はゴースト行列式と境目の結合に移る、という読みです（§05）。
• 四行は行 3 に集まり、還元されない芯は (S_small)（小さな場の背景に一様な二ループの剰余、Bałaban の未発表の Theorem 2 の中身と読む）と多段の (iv_G) です（§06）。

記号は 15-00 §01 と 15-07 のまま：段 $k$ の有効結合 $g_k$、$\beta_k=4/g_k^2$、小さな場の閾 $\varepsilon_k=g_kp(g_k)$、重み $G_k$、揺らぎの測度 $\mu_{k,W}$、ブロックの集合 $B(X)$。表 1 の「一行」は、それが示せればその行が閉じる、という条件つきの文です 仮。

閉じる部分と閉じない部分の境は、二つの問いで引けます 読：「揺らぎの法則が背景に依るか」と「木の水準か、一ループ以上か」。閉じた部品は、背景に依らない揺らぎ（補題 H）か、木の水準（定理 F・補題 F の帳簿）のどちらかにあります。

案 1-a：(U2) は (iii_G) の Chebyshev の系。$X$ の上で性質 3 の群版 (iii_G) が $s=tc/h_k^2$ で立つ、すなわち $\mathbb E_{\mu_{k,W}}\exp\bigl(s\sum_{l\in\bar X}\|A_l\|^2\bigr)\le2^{|B(X)|}$ なら、Chebyshev の不等式で

です 初（(iii_G) を仮定したときの一行）。閾を $\varepsilon=h_k\,p(g_k)$ の型に取れば右辺は $2^{|B(X)|}e^{-tc\,p(g_k)^2|\bar X|}$、すなわち (U2) の形です。大きな場の稀さに独立の評価は要らず、(iii_G) の指数モーメントがそのまま稀さになります。平らな場の付録で大きな場の重みがこの役を持つのは既知の構造で 典（15-02 §04）、群の上で足したのは「(iii_G) が立てば」の一言だけです。補題 H の熱核の積では $M=m^{|\bar X|}$ から直ちに $P\le m^{|\bar X|}e^{-s\varepsilon^2|\bar X|}$ です 初。留保：(iii_G) そのものが行 3 に依るので、行 1 の (U2) は行 3 に従属します。

案 1-b：(S) を (S_small) と (S_large) に割る。読み取り写像 $b$（有効密度から $\beta_{k+1}$ を読む写像。候補は粗い一枚の二次の係数）が全変動距離について Lipschitz で、定数が $L_b\le C\beta^2$（一リンクで $\mathbb E[\frac12\operatorname{tr}U]\approx1-3/(4\beta)$ から $db/dE\approx\frac43\beta^2$）、大きな場の領域を一つ入れた密度と入れない密度の全変動の差が $e^{-c\,p(g)^2}$ なら、大きな場の分の剰余は $|r_k^{\rm large}|\le C\beta_k^2e^{-c\,p(g_k)^2}$ で、$p(g)=c_0(1+\log g^{-1})^{p_0}$（$p_0\ge\frac12$、$cc_0^2$ が十分大きい）なら $\le C'g_k^2$ です 仮（二つの仮定の下の算術）。残る芯は (S_small)＝小さな場の背景に一様な二ループの剰余で、これが未発表の Theorem 2 の中身に当たる、と読みます 仮（15-02 §02 の序文の一文からの読み）。留保：読み取りを二次の係数に取ると、二次の水準で座標が二つ要る（15-06）ので、Lipschitz は組の上で言う必要があります。

案 1-c：臨界点の偶性で、背景依存を $\theta^4$ の係数へ送る。拘束つきの真の臨界点のまわりで揺らぎの作用が揺らぎについて偶なら（二枚で確かめた事実、15-06 §02）、$\beta'$ の読み取りに $O(\theta)$ の寄与は無く、背景依存は $\theta^2$ の係数（$F^2$ の読み取りそのもの）と $\theta^4$ 以上（源）に全部入ります。すると (S_small) の「背景に一様」の要請は「$\theta^4$ の係数が有界」に弱まり、その分は横の縮みが払います（15-03 §04）仮（偶性は二枚で確かめた事実、三枚では自明、四枚では未）。

案 1-d：大きな場を中心の分布の母数 $z$ として類に入れる。一枚の重み $f$ を中心 $\mathbb Z_2$ の指標の偶奇で $f=f_e+f_o$ に割り、遠い半球の相対的な重さ $z:=f(\pi)/f(0)$ を大きな場の母数と呼ぶ案です（Wilson では $z=e^{-2\beta}$、熱核では像の和の主項で $e^{-\beta\pi^2/2}$ の程度）。大きな場の領域を類の外でなく $z^{|\Omega^c|}$ の寄与として数えれば、(U2) は類の中の文になります 仮。留保：一枚の類関数の上の話で、多リンクでは中心のずれは中心の渦（プラケットの $\mathbb Z_2$ の符号の面）になり、一枚の $z$ では数え切れません（15-04 §01 の留保）。

案 2-a：源をブロック変数の関数に取る。観測量 $J$ を段 $k_J$ のブロック変数 $V$ の関数（粗い格子の Wilson ループ・ブロック化した場の滑らかな汎関数）として定義すると、$k\lt k_J$ では段 $k$ の揺らぎの積分は $V$ を止めて行うので $\int\rho_ke^{sJ(V)}d\mu=e^{sJ(V)}\int\rho_k\,d\mu$ がちょうど成り立ち、(U1)(U2) の定数は変わりません（損 0）初（自明）。$k\ge k_J$ では $J$ は粗い格子の局所関数（ループの形ごとの項）になり、$e^{sJ}$ は作用のループの形ごとの結合を $s$ だけずらします。(T-Obs) は「(Cls) の座標にループの形ごとの結合が含まれ、一段の写像がその座標について Lipschitz であること」に帰着する、という筋です 仮（15-06 の母数の座標）。留保：物理の観測量は細かい格子のループで、ブロック化したループとの差は観測量の繰り込みです。ブロック化した観測量で (T-Obs) を言明し直すのは言明の選び直しで、細かいループの (T-Obs) ではありません。Bałaban の序文の「ループの期待値」がどちらを指すかは本文で照合していません。

案 2-b：位置に依る結合 $\beta(x)$ の類。プラケット密度型の源 $J=\sum_pf(p)(1-\frac12\operatorname{tr}U_p)$（$f$ は尺度 $L_0/M$ で緩やか）は、Wilson の作用の $\beta$ を $\beta(x)=\beta+sf(x)$ に替えたものです。一段の写像が各点で $\beta$ の写像を当てたもの＋勾配の補正 $O(|\nabla\beta|\,a_k/L_0)$ なら、勾配の項は $a_k/L_0=2^{-(K-k)}$ の幾何級数で和は有限です 仮。可換な $U(1)$ の Villain の作用では紙で確かめられる形です（一段後が $\beta'(X)=\sum_qf_q^2\beta(q)$ の局所平均になるか）。ループ型の観測量（面積則の源）には使えず、局所の観測量向きです。

却下：Hölder だけで源を剥がす。評価を $(\mathbb EG^2)^{1/2}(\mathbb Ee^{2sJ})^{1/2}$ に割る道は、細かい段で $J$ の台がループの長さ／格子間隔のブロックに広がる非局所な活動になり、一段の損 $2^{|B(X_J)|}$ をブロックあたりの小さな因子で払えず、段を重ねると積み上がるので閉じません（表 2）。

行 3 の中身は 15-07 §06・§07 にあります。要点だけ書きます。$SU(2)$ の Wilson の作用では一リンクの条件つき法則が背景に依らない一母数の族の元で、背景は局所結合と中心の向きにだけ入ります 典（熱浴法の事実、書誌は未確認）。多リンクでは四元数の恒等式で作用が「局所結合 × 背景に依らない形」＋一次＋共役のずれに割れ 初、密度のスコアを $\theta$ の次数で選別すると、$\theta^0$ は再中心化で消え、$\theta^1$ は結合微分として吸収され、$\theta^2$ 以上が $O(g^3p^3)$ で残る、という見込みです 仮。

横の縮みの帳簿に乗せる。吸収後の残り（$\theta^2$ 以上と、$b_p=\beta\cos(\theta_p/2)$ の $\theta^4$ 以上の展開＝源）は横の座標の小さなずらしで、15-03 §04 の帳簿で $\lambda\lt1$ なら外れは和でなく上限 $\sup_k\varepsilon(\beta_k)/(1-\lambda)$ で押さえられます 初（一段の不等式を仮定したときの等比級数）。多段の (iv_G) は「背景場の像の細かい角が粗い角の $L^{-2}$ 倍＋横の座標の $O(g^2)$」の形で要ります 仮。横の縮みは可換な木の水準で測ったもの（15-05）で、非可換の配位・一ループでの値は未です。

案 4-a：張り替えの Jacobian は無い — 木のゲージの直積分解。各ブロック $B$ に生成木 $T_B$（根 $r_B$）を取り、ゲージ群 $G^\Lambda=\prod_xG$ を根でない点の因子 $G_{\rm int}:=\prod_{x\ne\text{根}}G$ と根の因子 $G_{\rm coarse}:=\prod_BG$ に割ります（点ごとの直積なので自明に直積）。木のリンクを 1 に固定する写像は $G_{\rm int}$ の作用の切断で、各点から根へ向かう木のリンクが一本ずつあるので一意に解け、軸（木）ゲージは完全で Gribov の多重性が無く、Faddeev–Popov の行列式は定数です。$G_{\rm coarse}$ はブロック平均がゲージ共変なら粗い格子のゲージ群と同型で、段 $k+1$ の木のゲージはそれを固定します。すなわち段 $k$ と段 $k+1$ のゲージ固定は同じ群の直積の二つの因子をそれぞれ固定するもので、張り替えの場に依る Jacobian はありません 初（既知の構造の言い換え。軸ゲージの Faddeev–Popov の行列式が定数であることは標準の事実）。

これで 15-01 §03 の「Jacobian（Faddeev–Popov の行列式）が有効作用に入る」は、軸ゲージについては空になります。費用は別の二か所に移ります 読：(i) 木の長さ $\ell$ による小さな場の条件の劣化 $\|U_l-1\|\le\ell\varepsilon$（6-05 §05）、(ii) 揺らぎに背景共変なゲージを使うならそのゴースト行列式。Bałaban の四次元の論文でどのゲージを使ったかは本文で照合していません（三次元ではブロックごとの軸ゲージを Faddeev–Popov の方法で入れている）。

案 4-b：ゴースト行列式を局所結合の座標で吸収する。背景 $W$ の中のゴースト作用素 $\Delta_W^{\rm gh}=d_W^*d_W$（格子の共変ラプラシアン・随伴表現）について、$\log\det\Delta_W^{\rm gh}-\log\det\Delta_1^{\rm gh}$ が小さな場の背景の上で局所汎関数に展開でき、主項は $\sum_pc_{\rm gh}\|F_p\|^2$（$F^2$ の係数＝一ループの係数へのゴーストの寄与）、残りは $\theta^4$ 以上（源）と指数で減衰する非局所の項で、定数は $k$ に依らない、という見込みです 仮（格子の熱核の展開の型。局所展開の一様な収束は示していない）。そうなら $F^2$ の分は行 3 の局所結合のずらしに合流し、$\theta^4$ 以上は横の座標に入り、境目は新しい種類の損でなく一ループの係数の一部になります。陰性対照として $U(1)$ ではゴーストは背景に依りません。

案 4-c：境目を一つの行列にする。全ての粗い面の角を同時に固定した木の水準の網（15-05 の定理 G）では、粗い作用は二次形式 $\theta^{\rm T}B\theta$ で、隣り合う粗い面の結合と四次の写りの混ざりが境目の結合に当たります。行 4 の「境目の項が和の有限な損か」は「四次の写りの行列のノルムが 1 を割るか」の一つの数になる、という読みです 読。定理 G の下では $\ell^4$ で測った写りは粗い向きで 1/16 を超え（四次元で見つけた値の最大が約 0.15）、体積に一様な上界は得ていません 読（15-05）。

類関数だけで進む道の壁。粗い面ごとのホロノミーの類の角だけを座標にする道（Migdal–Kadanoff はこれ）では、四次元の超立方格子で粗いゲージ場を復元するのに要る粗い Bianchi 恒等式（粗い立方体の六面のホロノミーの積＝1）が書けません。非可換ではそれは共通の基点と接続の道があってようやく書け、類の角だけでは隣の面の相対的な向きが落ちるからです。類関数だけで進む道は階層格子の近似を越えられない、と読みます 読。

Haar の不変性は張り替えの代わりになるか。補題 H の設定で揺らぎの法則が各リンクで共役不変なら、分解 $U=WY$ はゲージ共変で、ゲージ固定は一切要りません。ただしこれは揺らぎの法則を熱核の畳み込みで「与える」型の繰り込み（群の上の Polchinski 流）に限られ、熱核の畳み込みは自由度を減らさないので、ブロック変数を作る四次元のブロック化の張り替えの代わりにはなりません 読。

四行は独立ではありません。左が閉じると右が軽くなる、という向きで書くと次の図になります 読（案の間の論理の見立て）。

行 3（η の吸収：背景依存 ＝ 局所結合のずらし）
  ├─→ (iii_G)・(A.6.5_G) が段に依らない定数で立つ
  │      └─→ 行 1 の (U2)（案 1-a：Chebyshev の系）
  │             └─→ 行 1 の (S_large)（案 1-b：読み取りの Lipschitz × 稀さ）
  ├─→ (Cls) の座標（β・ループの形ごとの結合・形の座標）
  │      └─→ 行 2（案 2-a：源は座標のずらし）
  └←── 行 4 のゴースト行列式（案 4-b：局所結合に合流）
         ↑
       行 4 の Jacobian は無い（案 4-a：木のゲージの直積分解）

還元されない芯：
  (S_small) ＝ 小さな場の背景に一様な二ループの剰余（Theorem 2 の中身と読む）
                → 案 1-c で「θ⁴ の係数の有界性」に弱まる可能性
  多段の (iv_G) ＝ 背景場の正則性（細かい曲率 ≤ L⁻² × 粗い曲率 ＋ 小さな項）

図から読むこと 読：行 1 の (U2) と (S_large)、行 2、行 4 のゴーストは、どれも行 3 の吸収の座標が定まれば、その系か、その座標のずらしとして書ける形をしています。行 3 から独立に残るのは (S_small) と多段の (iv_G) の二つで、前者は Bałaban の連作が仮定 (U3) を外すのに要った未発表の部分、後者は背景場の正則性の多段の版です。

「計算資源があれば定数が陽になる」の型の案（区間演算で定数を陽にする）は、四行の芯でないのでこの表に入れていません。

表 3 は、① に向けて試されている方向を十行に並べたものです（13-11 の表 3 を移し、この部で足した部品を「いま言えること」に書き加えた）。「最小の場」は、その方向を最初に試せる一番小さな対象、「いま言えること」は札つきの現状、最後の列は、その方向が結局は既知のことの言い換えに終わる危険です。見込みの数は付けません。どの行も ① を閉じていません。

表 3 から読むこと 読（物理の見立て）。紙で閉じた部品があるのは方向 3・4（補題 R・補題 H）と方向 6（補題 F）で、どれも本題の外側（性質 2、背景に依らない揺らぎ、帳簿の部分）です。本題——本当の $\mu_{k,W}$ での性質 3 の群版と、大きな場込みの一段の剰余 (S)——は、方向 3・4 と方向 6 がそれぞれ向かう一点で、揺らぎの測度が背景に依ることが効く所で合流します。これが §06 の「行 3 が芯」と同じ所です。

この章から出る問い。表 4 は四行に一つずつ、次に試せる最小の問いを置いたものです。

(a) ① 紫外の制御は閉じていません。四行のどれも閉じていません。この章の案は全て案で、結果ではありません。

(b) 表 1 の「一行」は、それが示せれば閉じる、という条件つきの言明で、どれも示していません。(S_small) が Theorem 2 の中身に当たるというのは、序文の一文からの読みです。

(c) 案 1-a は (iii_G) を仮定したときの一行で、(iii_G) は示していません。案 1-b の Lipschitz 定数と全変動の差は仮定で、評価していません。

(d) 案 2-a の可換性はブロック変数の関数に限った自明な事実で、細かい格子のループの観測量については何も言いません。

(e) 案 4-a の「Jacobian は無い」は軸（木）ゲージに限った構造の言い換えで、Bałaban の四次元の論文のゲージの選び方は照合していません。ゴースト行列式の局所展開は見込みです。

(f) 「行 3 が芯」は案の間の論理の見立てで、どの含意も示していません。表 3 の方向は候補で、無矛盾性も見込みも評価していません。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 仮 ROWS   閉じない四行の一行                                      定数は k, a に依らない
[02] 読 EDGE   閉じた部品の位置 ⟸ [01]
[03] 初 CHEB   (U2) ⟸ (iii_G) の Chebyshev                              (iii_G) を仮定
[04] 仮 SPLIT  (S) = (S_small) + (S_large) ⟸ [01][03]                  二つの仮定
[05] 仮 EVEN   偶性で θ⁴ へ・母数 z ⟸ [04]                              四枚は未
[06] 初 BLOCK  源はブロック変数の関数で可換                              ブロック化した観測量
[07] 仮 SHIFT  源は座標のずらし ⟸ [06]
[08] 初 TREE   木のゲージに Jacobian は無い                              軸ゲージ
[09] 仮 GHOST  ゴースト行列式は局所結合へ ⟸ [08]
[10] 読 CLASS  類関数だけの道の壁・Haar の限り ⟸ [08]
[11] 読 CORE   行 3 が芯 ⟸ [03][04][07][09]
[12] 初 DOM    熱核の優越に Wilson は入らない                           一リンク
[13] 読 DIR    十の方向 ⟸ [11]

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。[01]・[04]・[05]・[07]・[09] は仮定の行で、どれも ① を割った問いの形です。この章の節点に、① が示されたという節点はありません。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 閉じない四行・(S_small)・(S_large)・読み取り写像・大きな場の母数 $z$・ブロック変数の関数の源・位置に依る結合・木のゲージの直積分解・ゴースト行列式・境目の結合・行 3 が芯。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：15-09 言えないこと・問いの索引・依存の図 — この部の問い F-UV1〜15 と五分類の要約。

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