2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 15 部 紫外の制御母数・ループの形・引き込む先の類 · Kiichi, Shiori and Rin

母数の数え方 — ループの形ごとの結合と引き込む先の類

• (Cls) の母数を数える座標は「$F^2$ の係数と交換子の係数」ではなく、ループの形ごとの結合です。交換子の係数は合成のループの結合の BCH の像として後から付いてきます（§02・§03）。
• 一列四枚では二つ目の座標（比 $\kappa_{ab}/\kappa_a$）が $O(1/\beta)$ で動き、その一部 $2/(3\beta)$ は作用を熱核に替えても消えない群の曲がりの分です（§04・§05）。
• 比を全ての $\beta$ で 2 に保つには指数の四次がガウスより急な作用（$q/B=-1/12$）が要り、前因子の冪の族には根が無く、基本＋随伴の族には $\beta\ge12$ で根があります（§06）。
• その根の曲線は一段の流れで閉じず、ずれは $O(1)$（$9/89$）に留まります。一段の写像は作用の形の座標を全て縮めるからです（§07）。
• 前因子の冪は一次の縮小写像に従い、一意の固定点 $\gamma^*=37/76$（$\psi^4$）に引き込まれ、そこでの比は $2+(2/3)/B$ です。(Cls) は「引き込む先の一母数の類 ＋ 縮む形」として言明できます（§08・§09）。

規約：$SU(2)$ を単位四元数で書き、$\frac12\operatorname{tr}U=\operatorname{Re}U$、背景 $W=\exp(i\,a\cdot\sigma/2)$（$a\in\mathbb R^3$、角 $\theta=|a|$）。数値は $\beta=4$〜$32$、$\theta\le0.3$ で測ったものです。

一枚のプラケット（四リンク）の上で、背景のホロノミー $W$ のまわりの揺らぎの測度 $\mu_W$ を考えます。15-07 の $\eta_k$ の最小の模型です。四リンクの 12 次元のうち、ゲージの向きの 9 次元の条件つき法則は $W$ に依らず、背景依存はホロノミーの 3 次元に集まります 初（Haar 測度の不変性）。揺らぎ $X=i\,x\cdot\sigma/2$（$r=|x|$）に背景の生成子の向きを抜く拘束 $x_3=0$ を置くと（背景場の拘束の最も小さな代用）、$\frac12\operatorname{tr}(We^X)=\cos\frac\theta2\cos\frac r2$ なので

が正確に成り立ちます 初。背景依存は結合の置き換え $\beta\mapsto\beta\cos(\theta/2)$ ひとつに全部入ります。共分散の比で測った $\eta$ は $\theta^2/8$、スコアは $\theta/4$ で、どちらも $\beta$ に依りません（主項 初。求積と Monte Carlo の二経路で主項との比 0.98〜1.00 読）。

• 拘束が無いと小さくない。背景を臨界点に取らないと、共分散の比は $\beta\theta^2/12$ で $\beta$ とともに増えます 読。背景依存が背景に一様に小さいための最小の条件は「背景が拘束つきの臨界点であること」と、この一枚で読めます。
• 一段の結合の写像。揺らぎを積分した背景の重みは、拘束つきで $\beta_{\rm eff}=\beta-d/2+O(1/\beta)$（$d$ は揺らぎの次元。$d=2$・$\beta=64$ で $\beta-\beta_{\rm eff}=1.005$）です 読（揺らぎの次元の数え上げとしては 初・一ループの水準）。
• $\eta$ の源は非可換性ではない。$U(1)$ の対照では二次の作用（ガウス）でだけ $\eta=0$ で、$\cos$ の作用では同じ $\theta^2$ の型の $\eta$ が出ます 読。源は作用の非二次性（群のコンパクトさ）です。$\eta$ を一つの数で測ると型が変わる（共分散の比は $\theta^2$、Kullback–Leibler の量は $\theta^4$、スコアは $\theta$）ので、言明には「どの $\eta$ か」を書き込む必要があります 読。

共有リンク一本の $2\times1$ の長方形で、外周のループ $W=P_1P_2$ を固定します（$P_1,P_2$ は二枚のホロノミーで、木のゲージの後は独立な Haar）。拘束つきの最小点は二枚が同じ向きに半分ずつ傾く $P_1=P_2=W^{1/2}$ で、$P_1=W^{1/2}e^X$、$P_2=e^{-X}W^{1/2}$ と置くと

が正確に成り立ちます 初。作用は揺らぎについて偶で、一枚で「一次を引く」代用をしたときに出た奇の三次の項は、真の拘束つき最小点では消えます（数値でスコアの奇の部分 $\le3\times10^{-12}$）読。揺らぎを積分した重みは $W$ の類だけの関数 $Z_1(\beta|1+W|)$、$Z_1(b)=2I_1(b)/b$（熱浴法の一リンクの分布と同じ積分）で 初、一段の結合は $\beta_{\rm eff}=\beta-\frac34+O(1/\beta)$ です（初・一ループの水準。$\beta=4\to32$ で $\beta-\beta_{\rm eff}=0.723\to0.747$ 読）。背景の二枚の場の強さ $a,b$ の交換子は、群の積 $e^{F_1}e^{F_2}$ の BCH を通してだけ入ります：

初（BCH の三次までの切り詰めの下の代数）。だから重みの $|a\times b|^2$ の係数 $c$ は $F^2$ の係数 $k$ の $1/12$ に縛られ、$\beta=4$〜$32$ で $c/k=1/12$ が $10^{-8}$ まで成り立ちます 読。交換子はこの段で新しい母数ではありません。

一列三枚で、重なった二つの $2\times1$ のループ $W_a=P_1P_2$、$W_b=P_2P_3$ を固定し中央の $P_2$ を積分すると、重みは $Z_1(\beta|Q|)$、$Q=1+W_a+W_b$ で

です 初（直接の求積と $3.5\times10^{-15}$ で一致 読）。単独のループ二つと合成のループ $W_aW_b^{-1}$ を 1:1:1 で含みます。$SU(2)$ の二元の組の同時共役の不変量は三つの跡 $\operatorname{Re}W_a,\operatorname{Re}W_b,\operatorname{Re}(W_aW_b^{-1})$ で決まるので 初（二つの虚部のベクトルは長さと内積で回転を除いて決まる）、ゲージ不変な二ループの重みはどれも三つの類の角の関数です。合成のループの類の角を参照にとると、交換子の係数は合成のループの二次の結合 $\kappa_{ab}$ の $1/12$ に必ずなります 初（(3) がそのまま入る）。一段の結合は $12k=\beta-\frac12+O(1/\beta)$ です 読。単項式の基底で測った「交換子の係数」は $\beta$ で動いて見えますが、交換子を持たない合成関数でも同じ大きさで出るので、交換子の量ではありません 読。

一列四枚で、重なった二つの $3\times1$ のループ $W_a=P_1P_2P_3$、$W_b=P_2P_3P_4$ を固定し、中の二枚を積分します。$U=P_2P_3$ と置くと

です 初。$w$ は $\operatorname{Re}W_a+\operatorname{Re}W_b$ と $\operatorname{Re}(W_aW_b^{-1})$ の二変数の関数で、三枚の $|Q|$ の一変数には潰れません（同じ $|Q|$ の背景で $\log w$ が $1.8\times10^{-2}$ 動く、$\beta=4$）読。二次の結合を

で定めます（$\theta_{ab}$ は合成のループ $W_aW_b^{-1}$ の類の角）。木（可換化したガウスの最小化）は比 $\kappa_{ab}/\kappa_a=2$ 初、一ループの主項は $\kappa_a,\kappa_{ab}$ ともに $-\frac1{40}$ で比 1 です。合わせて

（はじめの二つは $+O(1/\beta)$）初・一ループの水準。数値は $\kappa_{ab}/\kappa_a=2.3211,\ 2.1409,\ 2.0662,\ 2.0322$（$\beta=4,8,16,32$、二経路が $7.8\times10^{-12}$ で一致）読。比が動く理由は「木の形 ≠ 一ループの形」です。木の二次形式は格子の幾何で 1:2、一ループの二次形式は測度で 1:1 に決まり、二つが平行でないので合計の向きが $\beta$ で回ります。$U(1)$ の $\cos$ の作用でも比は $2+0.2/\beta$ で動き、$U(1)$ の Villain の作用では全ての $\beta$ で 2 です 読。ブロック化の一段で大きなループの項が生まれその係数が結合に依ること自体は、改良作用の考え方と同じ向きの既知の型と思われます（原典は照合していない）。

各プラケットの重みを $SU(2)$ の熱核 $p_t$（指標の係数 $(n+1)e^{-tn(n+2)/2}$）に替えると、内側の二枚は半群性 $p_t*p_t=p_{2t}$ でまとまり

です 初。それでも比は $2.2090,\ 2.0927,\ 2.0439,\ 2.0214$（$t=1/4,\dots,1/32$、二経路が $7.6\times10^{-12}$ で一致）読、一ループで $2+\frac{2t}3+O(t^2)$ です 初・一ループの水準。$U(1)$ の熱核（Villain）では全ての $t$ で 2 です 初。

理由は一行の判定式に書けます。外側の核を $e^{F(\psi)}$、内側の核を $G(\psi)$（どちらも類関数、$\psi$ は単位四元数の角）とし、測度 $\sin^2\psi\,G\,e^{2F}d\psi$ の期待値を $E$ と書くと、部分積分で

です 初（$F,G$ が $[0,\pi]$ で滑らかな類関数で、端の項が消える条件の下で）。各点の十分条件は内側が外側の平方根 $G\propto e^{F/2}$ です。平坦なガウスでは半群 $p_{2t}$ と平方根 $p_t^{1/2}$ が同じものなので比は 2 に留まり、曲がった群では二つが割れます。$SU(2)$ の熱核は半群ですが、Van Vleck の前因子 $P(\psi):=\psi/\sin\psi$ が $p_t$ と $p_{2t}$ に同じ冪で入るので平方根になりません。測地距離のガウス $e^{-\psi^2/(2t)}$ は平方根の関係を満たしますが半群ではありません 初（数値でも比が全ての $t$ で 2、$3\times10^{-12}$ 読）。$t$ と $\beta$ を基本表現の係数で合わせると、比のずれの主項は Wilson で $1/\beta$、熱核で $2/(3\beta)$。熱核に替えても消えない $2/(3\beta)$ が群の曲がりの分、残り $1/(3\beta)$ が作用の非二次性の分と読めます 読（主項・この系・二次）。

判定式 (9) を全ての $\beta$ で満たす作用（一列四枚で一母数で閉じる作用）は在るか。恒等元に集中する作用を $\log f=\text{定数}-B\psi^2/2+q\psi^4+\cdots$（$B$ は木の結合、$q=O(B)$）と書き、内側の核の補正を Brown 橋の平均（平坦の近似）で数えると

です 初・一ループの水準。$\frac25$ は群の曲がり（Van Vleck の前因子 $\log P=\psi^2/6+\cdots$）から、$\frac{24}5q/B$ は指数の四次（非ガウス性）から来ます。$\psi^2$ の乗法的な補正は木の結合 $B$ のずらしに吸収され $D$ に入りません 初。較正：Wilson（$q=\beta/24$）で $D=\frac35$・比 $2+1/\beta$、熱核（$q=0$）で $D=\frac25$・比 $2+2t/3$、$U(1)$ では $D=\frac{24}{25}q/B$（$\cos$ で $\frac1{25}$、Villain で 0）で、§04・§05 の値を全て再現します 読。

• 前因子の冪の族に根は無い。$f=e^{\beta\cos\psi}(\psi/\sin\psi)^\gamma$ では、二次の結合が在る $\gamma\lt\frac12$ で、測った格子 $\gamma\in[-2,0.45]$・$\beta\in\{4,8,16,32\}$ の全点で $D\in[0.534,0.600]$、延長 $\gamma\ge-128$ でも $D\ge0.343$、$\gamma$ について単調増加で符号の変化はありません 読（二経路が $\le6.5\times10^{-9}$）。一ループでも $\gamma=c\beta$（$c\lt3$）の全てで $D\gt8/25$ です 初・一ループの水準。$\gamma\ge\frac12$ では $\psi=\pi$ の特異点が重なり二次の結合そのものが無く、$\gamma\ge\frac32$ では重み自体が発散します 初。前因子の冪は $\psi^2$ の補正で $B$ に吸収され、曲がりの $\frac25$ は動かない、というのが理由です。
• 基本＋随伴の族には根がある。(10) から $D=0$ には $q/B=-\frac1{12}$（ガウスより急な四次）が要ります。$F=\beta\cos\psi+\rho\beta\cos^2\psi$ は $B=\beta(1+2\rho)$、$q=\beta(\frac1{24}+\frac\rho3)$ で $$D=\frac25+\frac15\,\frac{1+8\rho}{1+2\rho}+O\Bigl(\frac1B\Bigr),\qquad \text{一ループの根}\ \rho=-\tfrac14 \tag{11}$$ 初・一ループの水準。数値の根は $\rho^*(\beta)=-0.318,\,-0.279,\,-0.264,\dots,-0.2516$（$\beta=16,32,64,\dots,512$、二分法と二経路で比 2 を $3\times10^{-10}$）、$\rho^*=-\frac14-0.84/\beta+O(\beta^{-2})$ です 読。$\beta\le10$ では測った格子に根が無く（最小 $D=+0.029$）、根は $\beta=10$ と 12 の間で現れます 読。
• 一段だけ一母数。どちらの族でも $f*f$ は同じ族に入りません（当てはめの残差が熱核の対照の $10^5$ 倍以上）読。根の作用を取っても、一段の後の内側の核が族の外に出るので、次の段に同じ判定を使えません。各点の平方根の関係 $f*f\propto f^{1/2}$ は、集中した類関数では一ループの水準で満たせません 初（$\psi$ の係数 $-\frac13$ が残る）。

根の曲線 $\rho^*(\beta)$ が一段の写像で自分に戻るかを見ます。一段後の外側の核を対角で $f'(\psi):=w(W,W)^{1/2}=[(f*f)*f^2]^{1/2}(W)$ と定め（対角の定義：$W_a=W_b$ では合成のループの角が 0 なので）、$\psi^2$ と $\psi^4$ の Taylor 係数で基本＋随伴の族に当て直して $(\beta',\rho')$ を読みます。

木の写像。外側を $F=-Bx^2/2+qx^4+\cdots$ とすると、平坦・共線の鞍点（$1$ と $W$ を結ぶ測地線の上、$u_0=4w/5$）で

です 初・木（鞍点の主項）。鞍点が共線なので交換子と群の曲がりは木に入らず、一ループの $O(1/B)$ にだけ入ります。(10) と合わせると、比 2 の曲線 $q/B=-\frac1{12}$ の像は $q/B=-\frac{17}{1500}$、基本＋随伴では

です 初・木（代入の代数）。数値は $\rho'-\rho^*(\beta')=0.160,\ 0.127,\ 0.113$（$\beta=128,256,512$ から出発、$\beta'=17.8,36.1,72.5$）で $9/89$ に $O(1/\beta')$ で寄ります 読（二経路が $q'$ で $\le6\times10^{-9}$）。三つ目の座標 $\sigma\beta\cos^3\psi$ を足しても、$D$ は 0 に戻りません（$\sigma$ は $D$ に $O(1/B')$ でしか入らない）読。一段は形の座標 $q/B$ を縮め、流れをガウスの側へ引き込む。比 2 の条件は $\mathrm{SU}(2)$ では縮む方向の上の $O(1)$ 離れた点にあるので、曲線は閉じない、と読めます。$U(1)$ では比 2 の線 $q/B=0$ が木の写像の固定点そのもの（Villain）なので閉じます 読。

では流れはどこへ引き込むのか。類関数を $f=\exp(-B\psi^2/2+h(\psi))$（$h=O(1)$）と書き、$B\to\infty$ で引数を止めた Laplace の方法の主項で一段を追います。$SU(2)$ を半径 1 の $S^3$ と見ると、二つの核の畳み込みの鞍点は 1 と $W$ を結ぶ測地線の上にあり、横の二方向の Hessian の行列式から前因子 $P$ の比が出て

です（$a,b$ は鞍点の分け目）初・Laplace の主項。$g:=h-\log P$ と書けば、$g$ は畳み込みで平坦な木と同じに運ばれます。熱核（$g=0$）が保たれるのはこれで、半群性の言い換えです。積（同じ点の二乗）は前因子を一つ余らせ、平方根はそれを半分にします。一段 $f'^2=(f*f)*f^2$ を代入すると、$\psi^{2k}$ から読む前因子の冪 $\gamma_k:=h_k/p_k$（$\log P=\sum p_k\psi^{2k}$、$p_2=\frac1{180}$）は

という一次の縮小写像に従います 初・Laplace の主項（係数の代数）。一意の固定点は

です 初。熱核の冪 1 は一段で $313/625$ に移り、前因子の冪が 1 から約 $\frac12$ に変わって見えることの説明になります。縮み率は $\frac12$ ではなく $\frac{17}{625}$（$\psi^4$）で、$\frac12$ は固定点の値です。数値：$\gamma'_2,\gamma'_3$ の $B=32$〜$256$ からの外挿が (15) と $\le10^{-7}$、$B$ を保った反復で四つの出発（$\gamma=0,\frac12,1,2$）と $q/B=-\frac1{12}$ の出発が $17/625$ の比で同じ点へ集まり、(16) の $h^*$ を入れた一段の外挿が $37/76$ と $1.4\times10^{-8}$ です 読（二経路：指標の級数と一次元の重積分）。

引き込む先の比。(10) に $(q/B)^*=O(1/B)$ を入れると、引き込む先の類の上で

$\kappa_{ab}/\kappa_a=2+c/B+O(B^{-2}),\qquad c=\dfrac{2/5}{3/5}=\dfrac23$

です 初・一ループの水準（数値の外挿 0.666667、二経路 $1.8\times10^{-9}$ 読）。$c$ は $h^*$ に依らず熱核と同じで、引き込む先の類は二次の比の主項では熱核と区別がつきません。$U(1)$ では非斉次項が無く、固定点は Villain（$h=0$）、$c=0$ です 初。

§01〜§08 をまとめると 読（一列四枚・二本のループ・対角の定義・主項に限る）：(Cls) の母数の座標はループの形ごとの結合で、交換子はその BCH の像です。一段は形の座標を全て縮め（表 2）、族は「$B$ 一つ ＋ 群の曲がりで決まる $O(1/B)$ の形 $h^*$」に引き込まれます。比 2 は母数で調整できる座標ではなく、引き込む先で $2+2/(3B)$ となる一ループの量です。だから (Cls) は「比 2 を保つ類」ではなく、「引き込む先の一母数の類 ＋ (Rem-shape) で運ぶ縮む形」として言明するのがこの模型と整合します。形のずれ $r_n$ が一段で $r_{n+1}\le\lambda r_n+C/B_n$（$B_n=B_0/5^n$）を満たすと仮定すれば $r_n\le\lambda^nr_0+C/((5-\lambda)B_n)$ で、15-03 §04 の幾何級数の型で閉じます 初（一段の不等式は仮定。定数 $C$ の存在は数値で見ただけ）。

(a) この章の系は $SU(2)$ の一枚〜一列四枚・$\theta\le0.3$・$F$ の二次（§07・§08 は四次の Taylor 係数まで）で、四次元の格子に埋めたブロック・ゲージの張り替え・大きな場を含む一段の数ではありません。

(b) 「二次の水準で二つの座標が要る」は一列四枚・二つのループを固定した読みで、四次（交換子の向き）とブロック変数が三つ以上の系は見ていません。

(c) 前因子の冪の族に根が無いことは、測った格子の上の数値と一ループの水準の不等式で、全ての作用についての文ではありません。基本＋随伴の根は $\beta\ge12$ の数値で、$-0.84/\beta$ の係数は外挿です。

(d) §07・§08 の写像は対角の定義 $f'=[(f*f)*f^2]^{1/2}$ と主項（$B\to\infty$）の写像で、混じった四次は入らず、$B=O(1)$ の強結合の域には使えません。(Rem-shape) の一段の不等式は仮定です。

(e) 「一母数で閉じる作用は無い」とも、「(Cls) が有限個の母数で閉じる」とも言っていません。言っているのは、この模型で形の座標が全て縮み、引き込む先が一つに定まる、という主項の文です。

(f) この章は紫外の制御 ① を示しません。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 初 ONE    一枚：(1)                                    拘束 x₃ = 0
[02] 読 BEFF   β_eff = β − d/2 ⟸ [01]
[03] 初 BCH    二枚・三枚：交換子は合成のループの像 ⟸ [01]
[04] 初 FOUR   四枚：比が β で動く ⟸ [03]                 一ループの水準
[05] 初 CRIT   熱核 2 + 2t/3・判定式 (9) ⟸ [04]
[06] 初 D1     一ループの一般式 (10)(11) ⟸ [05]           集中した作用
[07] 読 ROOT   前因子の族に根なし・基本＋随伴の根 ⟸ [06]
[08] 初 TREE   木の写像 (12)・ずれ 9/89 (13) ⟸ [06]       対角の定義
[09] 読 GAP    ずれの数値 ⟸ [07][08]
[10] 初 FIX    前因子の冪の固定点 37/76・c = 2/3 ⟸ [06][08]   Laplace の主項
[11] 読 FIXN   固定点の数値 ⟸ [10]
[12] 仮 CLS    引き込む先の類の言明・F-UV8・F-UV9 ⟸ [09][10][11]

全ての「⟸」の右の番号は左より小さく、円はありません。仮定の行は [12] だけで、言明の形と問いです。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — ループの形ごとの結合・合成のループ・判定式・群の曲がり・Van Vleck の前因子・一段だけ一母数・対角の定義・木の写像・前因子の冪・引き込む先の類・(Cls)。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：15-07 背景に依る揺らぎ — §01 の一枚の $\eta$ を、一段ごとの吸収と多段の帰納の問題として。

← 15-05 束の網の定理 — 横の縮みと母数の流れを一つの射影で目次15-07 背景に依る揺らぎ η — 一段ごとの吸収 →