2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 15 部 紫外の制御背景依存・補題 H・局所結合 · Kiichi, Shiori and Rin

背景に依る揺らぎ η — 一段ごとの吸収

• 群に値をとる場では揺らぎの測度が背景に依り、その分 $\eta_k$ が一段の評価に因子 $1+\eta_k$ を入れます。$\sum_k\eta_k\lt\infty$ でなければ、15-01 §01 の算術どおり定数が段数とともに崩れます（§01）。
• 重みの性質 2（場の和について積に割れる）の群版は、背景 × 揺らぎの形で紙で立ちます（補題 R、§02）。性質 3・4 の群版は言明の形で置け、それを仮定すれば一段の鎖は平らな場と同じ形で閉じます（§03）。
• $\eta_k$ を背景の曲率から素朴に見積もると、和は段数の冪か対数の冪で発散し、誤差として運べません（§04）。
• 揺らぎの法則が背景に依らない場合（リンクごとの熱核の積がその例）には、鎖は $\eta=0$ でそのまま通ります（補題 H、§05）。本当の一段の揺らぎはこの型ではありません。
• $SU(2)$ の Wilson の作用では、一リンクの条件つき法則が背景に依らない一母数の族の元で、背景は局所結合と中心の向きにだけ入ります。これを使って $\eta$ を局所結合のずらしとして吸収する案を置きます（§06、案）。多段の帰納は書けていません（§07）。

段 $k$ の一段では、辺の変数を背景と揺らぎに $U_l=W_l\,e^{A_l}$（$W_l\in G$、$A_l$ はリー環 $\mathfrak{su}(N)$ の元）と分け、背景 $W$ を止めて揺らぎ $A$ を積分します。この揺らぎの法則を $\mu_{k,W}$ と書きます。Gauss の部分の共分散は、背景場の中の伝播関数 $g_k^2C_W$ です（6-07 表 1 の土台の論文の題）。

平らな場（スカラー場 $\phi=\phi_{\rm 背景}+\zeta$）では、揺らぎ $\zeta$ の法則は背景に依らない Gauss の法則で、重みの性質 3（揺らぎの期待値で一段閉じる）は揺らぎだけの関数の期待値として使われます 読（15-02 §04 の鎖を読んだもの）。群の上ではそうなりません。背景が変わると $C_W$ が変わり、揺らぎの法則そのものが変わります。この依存の大きさを $\eta_k$ と書き、一段の評価に因子 $1+\eta_k$ として入れる、というのがこの章の置き方です（式 (3)）。15-01 §01 の算術から、因子の積 $\prod_k(1+\eta_k)$ が段数 $K$ に一様に有界であるには $\sum_k\eta_k\lt\infty$ が要り、$\eta_k$ が $g_k^2$ の大きさなら足りません 初（算術）。

プラケット $p$ の縁の辺を $l_1,\dots,l_4$、向きの符号を $s_i\in\{\pm1\}$ とし、$U_{\partial p}=\prod_iU_{l_i}^{s_i}$、$W_{\partial p}$ も同様に定めます。ノルムは作用素ノルムです。

補題 R。 $G=SU(N)$ で

初 証明。(1) 各因子を $W$ の部分と揺らぎの部分に分ける。$s=+1$ なら $We^{A}=W\cdot Y$（$Y=e^{A}$）、$s=-1$ なら $(We^{A})^{-1}=W^{-1}\cdot Y$（$Y=We^{-A}W^{-1}$）。どちらも $Y$ は $e^{\pm A}$ の共役である。(2) 積 $W_1'Y_1W_2'Y_2W_3'Y_3W_4'Y_4$（$W_i'=W_{l_i}^{s_i}$）で、各 $Y_i$ をそれより右の $W'$ の右へ $YW'=W'(W'^{-1}YW')$ で移すと、$U_{\partial p}=W_{\partial p}\,Y_1''Y_2''Y_3''Y_4''$ で、各 $Y_i''$ は $e^{\pm A_{l_i}}$ の共役。(3) ユニタリ行列について $\|XY-1\|\le\|X-1\|+\|Y-1\|$ と $\|hYh^{-1}-1\|=\|Y-1\|$（6-05 の式 (8)）を繰り返して $\|U_{\partial p}-1\|\le\|W_{\partial p}-1\|+\sum_i\|e^{\pm A_{l_i}}-1\|$。(4) $A$ は反エルミートなのでユニタリに対角化でき、固有値 $e^{i\vartheta}$ について $|e^{i\vartheta}-1|=2|\sin(\vartheta/2)|\le|\vartheta|\le\|A\|$。よって $\|e^{\pm A}-1\|\le\|A\|$。(5) 二乗は $(x+y)^2\le2x^2+2y^2$ と $(\sum_{i\le4}y_i)^2\le4\sum_iy_i^2$ から。∎

系（重みの分解）。$G_c(X,U):=\exp\bigl(c\sum_{p\subset X}\|U_{\partial p}-1\|^2\bigr)$（$c\gt0$）と置くと、四次元の格子では一つの辺は高々 6 枚のプラケットに乗るので

です 初（(1) の二つ目を $p\subset X$ について足し、$8\times6=48$）。これは性質 2 の場の和を「背景 × 揺らぎ」に替えた版で、揺らぎの側は Gauss の型の重みになります。既知の初等的な事実かもしれません（連作の大きな場の論文に同じ形の評価がある可能性があるが、本文を照合していない）。

揺らぎを $Y$ で書く形。段 (1)〜(3) は $e^{A}$ を任意のユニタリ $Y$ に替えても通ります。$\|Y^{-1}-1\|=\|Y-1\|$ と共役不変性から $\|(WY)_{\partial p}-1\|\le\|W_{\partial p}-1\|+\sum_{i\le4}\|Y_{l_i}-1\|$ で、一つのリンクが乗るプラケットの最大数を $q$（四次元で 6）として $G_c(X,WY)\le G_c(X,W)^2\exp\bigl(8qc\sum_{l\in\bar X}\|Y_l-1\|^2\bigr)$ です 初（$\bar X$ は $X$ のプラケットの縁のリンク）。この形では揺らぎに小さな場の条件が要りません（段 (4) の $\|e^{A}-1\|\le\|A\|$ を使わないため）。§05 の補題 H はこの形を使います。

補題 R が言わないこと。(2) が言うのは性質 2 だけで、揺らぎの期待値で一段閉じること（性質 3）には触れません。

段 $k$ の重みを $G_k:=G_{c/h_k^2}$（$h_k$ は段 $k$ の場の尺度で、たとえば小さな場の閾 $g_kp(g_k)$。$p(g)$ は 6-05 の式 (7) の閾の倍率）、$\mathcal W_k(X)$ を $X$ の上の小さな場の（正則な）背景の集合、$B(X)$ を $X$ の中のブロックの集合とします。次の三つを言明として置きます 仮（言明だけ。定数 $c,t_0$ と $\mathcal W_k$ の定義の定数は、段にも格子間隔にも依らない）。

• (iii_G) 全ての $W\in\mathcal W_k(X)$ と $0\lt t\le t_0$ で $\mathbb E_{\mu_{k,W}}\exp\bigl(\frac{48tc}{h_k^2}\sum_{l\in X}\|A_l\|^2\bigr)\le2^{|B(X)|}$。期待値は真の揺らぎの測度についてのもので、Gauss の部分だけについてのものではありません。
• (iv_G) 背景の写像の像に入る $W$ について $G_k(X,W)^{2t}\le G_{k+1}(X,W)$（$0\lt t\le t_0$）。中身は背景の正則性（細かいプラケットの曲率が、粗いプラケットの曲率で押さえられること）です。
• (A.6.5_G) $\theta_WF(W):=F(We^{A})$ とし、$T_W(h)$ を背景のリー環の向きの微分で作った Taylor の半ノルムとする。ある $\eta_k\ge0$ で $\|\mathbb E_{\mu_{k,W}}\theta_WF\|_{T_W(h_{k+1})}\le(1+\eta_k)\,\mathbb E_{\mu_{k,W}}\|F\|_{T_{We^{A}}(h_k)}$、かつ $\sum_k\eta_k\lt\infty$。原典の期待値と半ノルムの入れ替え (A.6.5) に、測度が背景に依る分の因子 $1+\eta_k$ を許した版です。

この三つと系 (2)（$c$ を $c/h_k^2$ に替えたもの）を仮定すれば、補題 A.6.1 と同じ鎖（入れ替え → ノルムの定義 → (2) → (iii_G) → (iv_G)）で、$W\in\mathcal W_k(X)$ の上

が出ます 初（三つを仮定したときの鎖だけ）。$\mathcal W_k$ の外は (U2) の大きな場の因子が受け持ちます（15-00 §01）。性質 3 の群版そのものは、正則な背景の上で一様な伝播関数 $C_W$ の評価、$\mu_{k,W}$ の Gauss からのずれの一様な評価、$cg_k^2/h_k^2$ が小さいこと、の三つで閉じる形をしています 読（Gauss の指数モーメントを行列式で書いた式から）。

一リンクの熱核の積では、性質 3 の群版がただで立ちます。辺ごとに $Y_l=W_l^{-1}U_l$ が独立に熱核 $p_\tau$ に従うとき、Haar 測度の不変性（コンパクトな群なので左右どちらにも不変）から $Y$ の法則は $W$ に依らず、$\mathbb E\exp\bigl(s\sum_l\|Y_l-1\|^2\bigr)=\bigl(\mathbb E\exp(s\|Y-1\|^2)\bigr)^{|X|}$（$|X|$ は $X$ の辺の数）は背景に依りません 初。これが $2^{|B(X)|}$ 以下になるのは $s\tau$ が小さいときです 読（熱核の Gauss 型の上界から。数は §05 の表 1）。15-04 §01 の望遠鏡和は、この「背景に依らない揺らぎ」の別の面と読めます 読。

曲率から見積もると。測度が背景に依る分を、曲率 $\|W_{\partial p}-1\|\lesssim g_kp(g_k)$ を通して素朴に見積もると $\eta_k\sim g_kp(g_k)$ で、一ループの結合の列 $g_{K-j}^2\le1/(bj)$（15-01 §01）では $\sum_k\eta_k$ が $K^{1/2}$（対数の因子を除いて）の程度で発散します 初（算術。$\eta_k\sim g_kp(g_k)$ という素朴な見積もりの下で）。

一枚で測ると。一枚のプラケットの最小の模型（15-06 §01）では、背景の生成子の向きを抜く拘束を置くと、背景依存は結合の置き換え $\beta\mapsto\beta\cos(\theta/2)$ ひとつに正確に入ります（$\mu_W^\beta=\mu_1^{\beta\cos(\theta/2)}$）初。共分散の比で測った $\eta$ は $\theta^2/8$ で、閾 $\theta\le\varepsilon_k=g_kp(g_k)$ の下で $\eta_k\lesssim g_k^2p(g_k)^2$、一ループの流れの下で $\sum_{k\le K}\eta_k$ は $\ln K$ の冪で発散します 初（素朴な見積もりの算術）。拘束を置かない（背景を臨界点に取らない）と、共分散の比は $\beta\theta^2/12$ で $\beta$ とともに増えます 読。どちらの見積もりでも、$\eta$ は誤差として運べる大きさではなく、母数への吸収が要ります。一枚の例はその吸収が正確に起きる最小の例です。

どの $\eta$ か。$\eta$ を一つの数で測ると型が変わります（共分散の比は $\theta^2$、Kullback–Leibler の量は $\theta^4$、スコア＝背景を動かしたときの期待値の一次の変化の率は $\theta$）読。(iii_G) が使うのは偶の量、入れ替えの不等式 (A.6.5_G) が使うのは一次の量で、言明には「どの $\eta$ か」を書き込む必要があります。スカラーの場では測度が背景に依らないので $\eta_k=0$ で、この問題そのものがありません。

§03 の鎖が仮定なしに通る場合が一つあります。揺らぎの法則が背景に依らない場合です。

設定。$G=SU(N)$、作用素ノルム。リンクの有限集合 $\Lambda$、ブロックへの分割、$X$ はブロックの和集合、$B(X)$ はその中のブロック、$\bar X$ は $X$ のプラケットの縁のリンク。重み $G_h(X,U):=\exp\bigl((c/h^2)\sum_{p\in X}\|U_{\partial p}-1\|^2\bigr)$。Taylor の半ノルムは $\|F\|_{T_U(h)}:=\sum_{n\ge0}\frac{h^n}{n!}\|D^nF(U)\|$、ここで $\|D^nF(U)\|$ は右掛け $F(U e^{t_1X_1}\cdots e^{t_nX_n})$ の $t=0$ での偏微分の、$|X_j|\le1$ についての上限。重みつきノルムは $\|K(X)\|_{G_h}:=\sup_U\|K(X)\|_{T_U(h)}/G_h(X,U)$。揺らぎは $G^\Lambda$ の上の確率測度 $\nu$ で、一段は $\theta_\nu K(W):=\int K(WY)\,d\nu(Y)$。$M_\nu(s,X):=\mathbb E_\nu\exp\bigl(s\sum_{l\in\bar X}\|Y_l-1\|^2\bigr)$。

補題 H。次の三つを仮定する。(H1) $\nu$ は背景 $W$ に依らない。(H2) $h_+^2\le h^2/2$。(H3) $M_\nu(8qc/h^2,X)\le2^{|B(X)|}$。このとき全ての背景 $W\in G^\Lambda$ と滑らかな $K(X)$ について

さらに次が成り立つ 初（条件：(H1)〜(H3)・一段だけ）。

• (a) 入れ替えは $\eta=0$：全ての滑らかな $F$ で $\|\theta_\nu F\|_{T_W(h)}\le\mathbb E_\nu\|F\|_{T_{WY}(h)}$。
• (b) 局所性：$\nu=\otimes_l\nu_l$（リンクごとに独立）なら $\theta_\nu K(X)$ は $W$ の $\bar X$ への制限だけに依り、$\bar X\cap\bar X'=\emptyset$ なら積に割れる。台は一段で広がらない。
• (c) リンクごとの熱核の積 $\nu=p_\tau^{\otimes\Lambda}$ では $M_\nu(s,X)=m(s,\tau)^{|\bar X|}$、$m(s,\tau):=\mathbb E_{p_\tau}e^{s\|Y-1\|^2}$ で、背景に依らない。初等的な上界 $m(s,\tau)\le1+(e^{4s}-1)\,\mathbb E_{p_\tau}\|Y-1\|^2/4$。$SU(2)$（指標の係数 $(n+1)e^{-n(n+2)/(2\beta)}$ の規約）では $\mathbb E\|Y-1\|^2=2(1-e^{-3/(2\beta)})\le3/\beta$。
• (d) 小さな場：$\nu=\otimes\nu_l$ を $\{\|Y_l-1\|\le h'\ \forall l\}$ で条件づけた $\nu'$ も (H1) を満たし $M_{\nu'}\le M_\nu$。背景を $\mathcal U_\varepsilon:=\{\max_{p\in X}\|W_{\partial p}-1\|\le\varepsilon\}$ に取れば、右辺のノルムの上限は $\mathcal U_{\varepsilon+4h'}$ の上だけでよい。

初 証明。段 1（性質 2）：§02 の「揺らぎを $Y$ で書く形」から $G_h(X,WY)\le G_h(X,W)^2\exp\bigl((8qc/h^2)\sum_{l\in\bar X}\|Y_l-1\|^2\bigr)$。段 2（(a)）：$Y^{-1}e^{tX}Y=e^{t\,{\rm Ad}_{Y^{-1}}X}$ を因子の間に挟むと $F(We^{t_1X_1}\cdots e^{t_nX_n}Y)=F(WYe^{t_1X_1'}\cdots e^{t_nX_n'})$、$X_j':={\rm Ad}_{Y^{-1}}X_j$、$|X_j'|=|X_j|$。右掛けで微分の向きが随伴で回るだけで、随伴は作用素ノルムを保つ。$F$ はコンパクトな群の積の上で滑らかなので積分の下で微分でき（優収束）、$\nu$ が $W$ に依らないので微分は被積分関数にだけ掛かる。よって $n$ 階の微分は $\int\|D^nF(WY)\|d\nu(Y)$ 以下で、$h^n/n!$ を掛けて足す。段 3（鎖）：(a) → ノルムの定義 → 段 1 → (H3) → (H2) の順に $\|\theta_\nu K(X)\|_{T_W(h)}\le\|K(X)\|_{G_h}\,G_h(X,W)^2\,2^{|B(X)|}\le\|K(X)\|_{G_h}\,G_{h_+}(X,W)\,2^{|B(X)|}$。最後は (H2) から $G_h^2\le G_{h_+}$。(b) は Fubini と独立性、(c) は独立性と Haar の左右の不変性、$z=\|Y-1\|^2\in[0,4]$ の上の $e^{sz}$ の凸性（弦の不等式）、$\|Y-1\|^2=2-\operatorname{tr}Y$ と $\mathbb E\operatorname{tr}Y=2e^{-3/(2\beta)}$。(d) は各座標について増加な関数を下の集合で条件づけると期待値が増えないこと（座標ごとに独立）と、段 1 の一つ目の不等式から。∎

表 1 は本書の検討の数値の記録です（角の方向の台形の求積と指標の和。陽性対照として $\mathbb E\|Y-1\|^2$ の閉じた形と 9 桁一致）。Gauss の見立て $(1-2s/\beta)^{-3/2}$ からの $\ln2/(3n_b)\approx0.0024$ と合います。$s=8qc/h^2$、$\beta=4/g^2$ と読むと条件は $c\,g^2/h^2\lesssim1.7\times10^{-4}$（$q=6$・$n_b=96$）です 読。$h=g\,p(g)$ なら $c/p(g)^2\lesssim1.7\times10^{-4}$ で、$p(g)$ は対数の冪で増えるので細かい段では満たされます。

補題 H に入っていないもの。これが「閉じられる部分」の正確な縁です 読。

1. 揺らぎの法則が背景に依らない (H1) こと全部。本当の一段の $\mu_{k,W}$ は、作用の非二次性（Wilson の作用：一枚で $\mu_W^\beta=\mu_1^{\beta\cos(\theta/2)}$）・ブロック平均の拘束（拘束面が $W$ に依る）・背景場の伝播関数 $C_W$（隣のリンクの揺らぎが $W$ に依るプラケットの項で結合）の三つで $W$ に依ります。段 2 の「微分は被積分関数にだけ掛かる」が崩れる所が $\eta$ そのものです。
2. 熱核の作用との関係。補題 H の揺らぎは「リンクごとの熱核の畳み込み」で、プラケットごとの熱核の作用は、プラケットの変数が独立な座標になる場合（二次元・軸ゲージ）に限って辺ごとの積の形になります。三次元以上では立方体の制約がプラケットを結びます（その現れが 15-05 の源）。
3. 一段だけ。(H2) を $k$ 段重ねると $h_k\le2^{-k/2}h_0$ で重みが潰れます。多段にはブロック化の因子・(iv_G)・$2^{|B(X)|}$ を打ち消す多体のノルムの縮みが要ります（§07）。
4. 大きな場の稀さは出ません。$G_h(X,U)\le e^{4c|X|/h^2}$ なので、このノルムは (U2) の $e^{-c\,p(g)^2|\Omega^c|}$ を作りません。(d) は「小さな場の背景が一段で $\varepsilon\to\varepsilon+4h'$ にしか広がらない」ことだけです。
5. Wilson の作用は扱いません（非二次性の $\eta$）。
6. (U1) との対応。(U1) の「局在した補正の解析性と減衰」のうち、一段で台が広がらないこと（(b)）と、半径 $h$ の Taylor ノルムが $2^{|B(X)|}$ 倍で保たれること（(4)）が補題 H の中身で、減衰 $e^{-\kappa d(X)}$ の一様性と段に一様な定数は含みません。

補題 H は (H1) が崩れると使えません。そこで、本当の $\mu_{k,W}$ を「背景に依らない法則 $\nu_k$（補題 H が当たる）× 密度 $\rho_{k,W}$」に割り、密度の背景依存のうち母数に吸収できる部分を抜き出す、という方向を考えます。この節の言明は、事実の一つ（熱浴法の基礎）と恒等式の一つを除いて案です。

事実：一リンクの条件つき法則は一母数の族の元。$SU(2)$ の Wilson の作用で、リンク $U$ を除いた各プラケットの積（staple）を四元数として足したものを $Q(W)$ とし、$Q=|Q|\hat q$（$\hat q\in SU(2)$）と書きます。他のリンクを止めた $U$ の条件つき法則は $\exp(\beta\langle Q,U\rangle)\,dU$ で、$U=\hat qY$ と置けば Haar の左不変性から $Y$ の法則は $\exp(\beta|Q|\operatorname{Re}Y)\,dY=\mu_1^{\beta|Q|}$ です。条件つき法則は背景に依らない一母数の族 $\{\mu_1^b\}$ の元で、背景は局所結合 $b(W)=\beta|Q(W)|$ と中心の向き $\hat q(W)$ にだけ入ります 典（$SU(2)$ の熱浴法の基礎の事実。書誌は Creutz 1980・Kennedy–Pendleton 1985 を挙げるが、本文は照合していない＝未確認）。一枚の $\beta\mapsto\beta\cos(\theta/2)$（§04）も、二枚・三枚の重みの閉じた形（15-06 §02・§03）も、この一文の例と読めます 読。

恒等式：多リンクの作用の割り方。補題 R の並べ替え $U_{\partial p}=W_{\partial p}Y_p$（$Y_p$ は揺らぎの部分の積）に、単位四元数の恒等式 $\operatorname{Re}(ab)=\operatorname{Re}a\operatorname{Re}b-\operatorname{Im}a\cdot\operatorname{Im}b$ を当てると、$W_{\partial p}$ の回転角を $\theta_p$、軸を $n_p$ として

です 初（$\frac12\operatorname{tr}=\operatorname{Re}$ の規約、四元数の代数）。第一項は局所結合 $b_p(W)$ を持つ、背景に依らない形の作用、第二項はリー環の揺らぎで一次が主の項です。ほかに、同じ $Y_l$ が隣のプラケットで別の背景の部分積で共役されることから来る「共役のずれ」の項が残ります（三重積の型）。

案 η-1：スコアを $\theta$ の次数で選別する。密度 $\rho_{k,W}$ の背景微分（スコア）を背景の角 $\theta$ の次数で分けます 仮（選別の読み。多枚の真の臨界点のまわりでの確認は未）。

• $\theta^0$ の項（背景に依らない一次の項）：背景の中心を拘束つきの真の臨界点に置き直せば消える。二枚では真の臨界点のまわりで作用が揺らぎについて偶になり、三枚では重みが $|1+W_a+W_b|$ の関数になる（15-06 §02・§03、どちらも〔初〕）。
• $\theta^1$ の項：$b_p(W)$ の微分（結合微分）と、再中心化の後に残る揺らぎの二次形式の異方的な部分。前者は案 η-2 で吸収し、後者も局所の異方的な結合の微分として同じ型で吸収できる見込み。
• $\theta^2$ 以上の項：吸収できない残り。Taylor の重み $h_k\sim\varepsilon_k$ を掛けて $\eta_k^{\rm res}=O(\varepsilon_k^3)=O(g_k^3p(g_k)^3)$ で、和は 15-01 §01 の $g^{2+\delta}$ の型（$\delta=1$）で収束する。

案 η-2：結合 $b$ を Taylor ノルムの零番目の変数にする。活動 $K(X;W,b)$ を背景と結合の両方の関数とみなし、半ノルムを $T_{W,b}(h,h_b):=\sum_{n,m}\frac{h^n}{n!}\frac{h_b^m}{m!}\|D_W^n\partial_b^mK\|$（$h_b\propto b$）に広げます。揺らぎの法則が $\mu^{b(W)}$ の形なら、背景微分は被積分関数と $b(W)$ に掛かり、後者は $\partial_Wb\cdot\partial_b\mathbb E_bF=\partial_Wb\cdot{\rm Cov}_b(F,\operatorname{Re}Y)$、すなわち背景微分の余りは結合微分です。結合微分をノルムに入れておけば、(A.6.5_G) は因子 $1+\eta_k$ なしで立つ、という見込みです 仮（仮定：指数型族の統計量の中心モーメントが $b$ について一様に押さえられること。多変数の局所結合の組 $\{b_p\}$ でのノルムと $2^{|B(X)|}$ の整合は未）。この形なら補題 F の (C)（15-03 §03）も $b$ についての解析性から出る筋になります。「$\eta$ を母数に吸収する」の正確な意味は「母数を場の成分として数える」こと、という読みです 読。

留保。(5) は $SU(2)$ に固有です（staple の和が群の元の定数倍になるのは $SU(2)$ だけ）。$SU(N)$ では $\operatorname{tr}(WY)$ は $W$ と $Y$ の双線形形式で、局所結合は数でなく行列になり、条件つき法則は一母数の族に入りません（$SU(2)$ の部分群ごとにはなる）。また基本＋随伴の作用は (5) の第一項の形を壊します（$\cos^2$ の展開に揺らぎの背景の向きの成分だけに掛かる異方的な二次形式が出る）初（四元数の代数）。

補題 H も案 η-1・η-2 も一段の文です。段を重ねるには次の三つが要り、どれも書けていません 仮。

• (iv_G)：背景場の写像の像に入る $W$ について、細かいプラケットの曲率が粗いプラケットの曲率の $L^{-2}$ 倍＋$O(\varepsilon_k^2)$ で押さえられること（背景の正則性）。
• 多体のノルムの縮み：一段の損 $2^{|B(X)|}$ を、活動の無関係な部分の縮み（平らな場の付録の縮小の評価の群版）が打ち消すこと。
• $\eta$ の吸収後の残りが段に一様に $g_k^{2+\delta}$ の型に留まること。15-03 §04 の横の縮みの帳簿に乗せれば、残りは和でなく上限で押さえられる見込みです。

局所結合のずらしが最小の系（一列四枚の同時の積分）でどの次数まで残るかの数は、本書の検討でまだ記録が無く、次の検査として問いの形にします（表 2）。

(a) ① 紫外の制御は閉じていません。この章の文は全て一段の文か、言明か、案です。

(b) 補題 R は重みの四性質のうち性質 2 の群版だけで、本題の性質 3 に触れません。既知の初等的な事実かもしれません。

(c) 性質 3・4 の群版と入れ替えの不等式は言明だけで、示していません。(3) はそれらを仮定したときの鎖にすぎません。

(d) $\eta_k\sim g_kp(g_k)$ と $\eta_k\lesssim g_k^2p(g_k)^2$ は素朴な見積もりで、実際の揺らぎの測度について評価していません。

(e) 補題 H は揺らぎの法則が背景に依らない場合の一段だけの文で、Bałaban の $\mu_{k,W}$・Wilson の作用・多段・大きな場の稀さについて何も示しません。表 1 の数は $SU(2)$・$n_b=96$ の目安での数値の読みです。

(f) 熱浴法の事実は書誌を記憶から挙げたもので、本文を照合していません。案 η-1・η-2 は検証前の案で、$\eta^{\rm res}=O(g^3p^3)$ は選別の読みです。$SU(N)$ には (5) の形がありません。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 初 PROD   積が一様 ⟺ 和が有限                                     一ループの流れ
[02] 初 R      補題 R・系 (2)・Y の形                                   SU(N)
[03] 仮 G3     性質 3・4 の群版と入れ替え ⟸ [02]                        言明だけ
[04] 初 CHAIN  一段の鎖 (3) ⟸ [02][03]                                 [03] を仮定
[05] 初 HAAR   熱核の積で揺らぎの法則が背景に依らない
[06] 初 ETA    素朴な η で和が発散 ⟸ [01]                               素朴な見積もり
[07] 読 TYPE   η の型は測り方で変わる ⟸ [06]                            一枚
[08] 初 H      補題 H ⟸ [02][05]                                       (H1)〜(H3)・一段
[09] 読 H3     (H3) の数 ⟸ [08]                                        SU(2)・n_b = 96
[10] 典 HB     一リンクの条件つき法則は μ₁^{β|Q|}                        SU(2)・書誌未確認
[11] 初 QUAT   四元数の恒等式 (5) ⟸ [02]                                SU(2)
[12] 仮 ABS    案 η-1・η-2 ⟸ [06][08][10][11]                           案
[13] 仮 MULTI  多段の三つの要件 ⟸ [04][08][12]                          言明だけ

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。[03]・[12]・[13] は仮定の行で、どれも ① を言い直すか割った問いの形です。この章の節点に、① が示されたという節点はありません。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 揺らぎの測度 $\mu_{k,W}$・背景依存 $\eta_k$・重みの四性質・補題 R・性質 3・4 の群版・入れ替えの不等式・補題 H・背景に依らない揺らぎ・局所結合のずらし・熱浴法の事実・スコア・多段の帰納。意味は A-02 用語集 にあります。

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