2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 15 部 紫外の制御分解・補題 F・横の縮みの帳簿 · Kiichi, Shiori and Rin

分解の言明 — 有限個の母数で閉じる類と三つの剰余

• 紫外の壁は「有限個の母数で閉じる類 (Cls)」と「流れの剰余・形の剰余・連続性」に割る形で言明できます（§02、言明だけ）。
• (U3)「有効結合が $(0,\gamma]$ に留まる」は、一段の剰余の評価 (S) と定義域の中の連続性 (C) から、単調性と中間値の議論だけで出ます（補題 F、§03）。本当の中身は (S) です。
• 一段の写像が類のまわりで横に $\lambda\lt1$ で縮めば、類からの外れは $\sup_j\varepsilon(\beta_j)/(1-\lambda)$ で押さえられ、段数に一様です（§04）。
• 類は「引き込む先の一母数の類」に取り、$O(1/B)$ の形のずれは (Rem-shape) で運びます。二次の結合の比を 2 に保つ類としては言明しません（§02、根拠は 15-06）。
• 帯の分解と割る形は同じで、紫外には一段の損を払う相手が無い、という違いがあります（§06）。

紫外の制御の目標は、15-00 §01 の式 (3)——段 $k$ の有効密度が類 $\mathcal K(g_k;r,\kappa,c)$ に入るなら段 $k+1$ の有効密度も同じ定数の類 $\mathcal K(g_{k+1};r,\kappa,c)$ に入る——を全ての段で示すことでした。15-01 §01 で見たとおり、四次元では一段に $g_k^2$ の大きさで動く部分を誤差として運べず、類の母数の動きにしなければなりません。この節では、その「母数の動き」と「残り」を分けて書く枠を置きます。

有限個の母数 $\theta=(\theta^1,\dots,\theta^m)\in\Theta\subset\mathbb R^m$ で番号づけた重みの族 $\mathcal C=\{w_\theta:\theta\in\Theta\}$ をとり、ブロック化の一段 $T$ が

の形をとるとします。$\Phi:\Theta\to\Theta$ は母数の流れ、$r_\theta[\rho]$ は剰余（局在した無関係な項と大きな場の因子をまとめたもの）で、剰余の大きさは 15-07 の重み $G_k$ のノルムで測ります。(1) は定義の形で、どんな $T$ でも $\Phi$ と $r$ の選び方を決めれば書けます。中身は「$\Phi$ と $r$ が段に一様な評価を持つように選べるか」にあります。

母数の数え方の目安。四次元の純ゲージでは、ゲージ不変性と格子の対称性の下で冪の数え方で残る局所の項は、真空のエネルギー（定数）と $F^2$ の係数の二つで、$m=2$、$\theta=(E,\beta)$、$\beta=4/g^2$ と読みます 読（冪の数え方。三次元で「相殺項は定数一つ」とする 15-01 §01 の文の四次元版）。ただし最小の系では、一段の後の作用は一本の二次形式の定数倍に収まらず、ループの形ごとの結合の比などの「形の座標」が動きます（15-06）。この座標は冪の数え方では格子間隔の二乗で効く無関係な向きに当たり、一段の写像で縮むなら母数は実質 $\beta$ ひとつで、形のずれは横の縮み $\lambda$ が払う、という読みになります 読。§02 の (Cls) はこの読みを言明の形にしたものです。

次の四つから、(U1)(U2)(U3) が段数に一様に従う、という形の言明を置きます 仮（言明の形だけ。四つのどれも四次元で示していない）。

• (Cls) 類が閉じる。母数の個数 $m$ が段に依らず有限で、$T$ の主要部が族の中に戻る（主要部の変化は全て $\Phi$ に入る）。類は熱核や Wilson の作用の定数倍の族でなく、一段の写像が引き込む先の一母数の類——結合 $B$（$\beta$ の向き）ひとつと、群の曲がりで決まる $O(1/B)$ の固定された形——に取る。形の座標（作用の $\psi^4$ 以上の係数・ループの形ごとの結合の比など）は一段ごとに縮む向きで、類からの形のずれは (Rem-shape) で運ぶ。
• (Rem-flow) 流れの剰余。$\Phi$ の $\beta$ 成分が $\beta_{k+1}=\beta_k-8b_0\ln L+O(1/\beta_k)$。§03 の (S) を $\beta$ の変数で書いたもの。
• (Rem-shape) 形の剰余。$\|r_{\theta_k}[\rho_k]\|_{G_{k+1}}\le(1+\eta_k)\,2^{|B|}\,\|\rho_k\|_{G_k}$ の型で $\sum_k\eta_k\lt\infty$、かつ $\rho_k$ 自身が横の縮みで上限に押さえられる（§04）か、和の有限な大きさに留まる。
• (C) 定義域の中の連続性（§03）。

含意のうち、(Rem-flow) と (C) から (U3) が出るのは補題 F 初、(Rem-shape) から定数の積 $\prod_k(1+\eta_k)$ が有界なのは積の算術 初（$1+x\le e^x$）、横の縮みから外れが段数に一様なのは等比級数 初（§04、一段の不等式を仮定）、局在と稀さが重みのノルムから従う部分は平らな場の付録 A の枠からの読み 読（15-02 §04）です。部品と条件の対応は、(Cls) の母数 $\beta$ が (U3) の「結合」そのもの（§05 の規則 4）、(Rem-flow) が (U3)（規則 6）、(Rem-shape) の局在した部分が (U1)（規則 3）、大きな場の部分が (U2)（規則 5）です。

なぜ「比 2 を保つ類」としては言明しないか。最小の系（一列四枚のプラケット、15-06）では、二次の二つの結合の比を木の値 2 に保つ作用の曲線（基本表現と随伴表現の混合の作用で、随伴の結合が $\rho\approx-1/4$ のもの）が見つかります。しかし一段の写像は形の座標を縮める向きに働き、その曲線を一段で $O(1)$ 離れた所に写すので、曲線は流れで閉じません（15-06、SU(2)・一列四枚・対角で定義した一段・主項の水準）読。流れが引き込む先の類の上で、比は $2+\frac2{3B}+O(B^{-2})$ で、ずれの主項は群の曲がりから来る一ループの量です 初（一ループの水準・同じ系）。だから比 2 は母数で調整できる座標ではなく、引き込む先に残る量です。(Cls) は「比 2 を保つ類」でなく「引き込む先の一母数の類＋縮む形」として言明する方が、測った最小の系と整合します 読（この系に限る）。

剰余 0 の例。15-04 §01 の一リンクの熱核の類 $\{p_\tau\}$（母数一つ）では $T(p_\tau)=p_{\tau+t}$ ちょうどで剰余は 0 です 初（半群の性質）。損が望遠鏡和になるのはこの「剰余 0」の言い換えで、背景に依らない揺らぎ（15-07 の補題 H）と同じ事実の別の面と読めます 読。

Bałaban の仮定 (U3)「有効結合が $(0,\gamma]$ に留まる」（15-02 §02）は、裸の結合 $g_0$ をうまく選べば満たせる、という形の文です。ただし有効結合 $g_{k+1}$ は、それまでの段が小さい間しか定義されません（有効作用から読み取る係数なので）。このことを定義域で明示すると、(U3) は二つの条件に割れます。

補題 F。 $b\gt0$、$C\ge0$、$\gamma_1\gt0$ が $C\gamma_1^2\le b/2$ と $\gamma_1^2\lt2/(3b)$ を満たすとし、$n\ge1$ を固定する。各 $g_0\in(0,\gamma_1]$ について、列 $g_0,g_1,\dots$ が「$g_k\in(0,\gamma_1]$ なら $g_{k+1}$ が定まる」形で帰納的に定義され、次の二つを満たすとする。

• (S) 一段の剰余。$\dfrac1{g_{k+1}^2}=\dfrac1{g_k^2}-b+r_k$、$|r_k|\le C\,g_k^2$。
• (C) 定義域の中の連続性。$D_k:=\{g_0:\ g_0,\dots,g_k\in(0,\gamma_1]\}$ の上で $g_0\mapsto g_{k+1}(g_0)$ は連続。

このとき全ての $\gamma_0\in(0,\gamma_1)$ について、ある $g_0$ があって $g_0\lt g_1\lt\cdots\lt g_n=\gamma_0$（全て定義される）。

初 証明。(i) $g_k\le\gamma_1$ なら (S) と $Cg_k^2\le b/2$ から

左辺は $1/\gamma_1^2-3b/2\gt0$ 以上なので $g_{k+1}$ は正の有限の数で、右から $g_{k+1}\gt g_k$。(ii) $J:=\{g_0\in(0,\gamma_0]:\ g_0,\dots,g_n\ \text{が定義され全て}\le\gamma_0\}$ と置く。(i) の単調性から $J=\{g_0\le\gamma_0:\ g_n\ \text{が定義され}\ g_n\le\gamma_0\}$。$g_0^2\le(1/\gamma_0^2+3bn/2)^{-1}$ なら、(2) の左を繰り返して $1/g_k^2\ge1/g_0^2-3bk/2\ge1/\gamma_0^2$（$k\le n$）なので $J$ は空でない。(iii) $s:=\sup J$ とし、$J$ の点列 $g_0^{(j)}\to s$ をとる。$s\le\gamma_0\lt\gamma_1$ なので $g_1(s)$ が定まり、(C) で $g_1(s)=\lim_jg_1(g_0^{(j)})\le\gamma_0$。同じことを $k=2,\dots,n$ と繰り返して $s\in J$。(iv) もし $g_n(s)\lt\gamma_0$ なら、$n\ge1$ と (i) から全ての $g_k(s)\lt\gamma_0\lt\gamma_1$。(C) から $s$ の右の近傍でも $g_0,\dots,g_n$ が定義され $\lt\gamma_0$ で、$s=\sup J$ に反する。よって $g_n(s)=\gamma_0$、単調性から $g_0\lt\cdots\lt g_n=\gamma_0$。∎

変種：(S) を $|r_k|\le Cg_k^2+\eta_k$（$0\le\eta_k\le b/4$）に替えても、(2) の定数を $7b/4$ と $b/4$ に、正値の条件を $\gamma_1^2\lt4/(7b)$ に替えれば同じ証明が通ります 初。尺度に依る非普遍の項は、$1/g^2$ の定数のずれとして吸収されます。

補題 F が言うこと。(U3) は、一段の剰余の評価 (S) と定義域の中の連続性 (C) に割れ、それ以外の部分（単調性と中間値の議論）は初等的です。(S) は「$g_k^2$ の大きさの部分を流れに吸収し、剰余を $1/g^2$ の変数で $O(g_k^2)$ に閉じ込める」ことの、結合の流れの側の文です。

補題 F が言わないこと。(S) は、四次元の非可換で大きな場の寄与を含めて示されていません。これが未発表の Theorem 2 の中身に当たります 仮（Theorem 2 の本文が無いので、対応は序文の一文からの読み）。(C) は「各段の有効作用が裸の結合に連続に依り、有効結合がその連続な汎関数として取り出される」ことです。有限個のコンパクト群の上の積分なので優収束定理で筋は通りますが、有効結合の取り出し方が小さな場の展開の中で決まる以上、その展開の解析性 (U1) に依ります 仮（筋だけ）。補題 F で (U3) が易しくなったとは言いません。帳簿の部分と本体の部分を分けただけです。(S) の大きな場込みの評価の案は 15-08 にあります。

(Rem-shape) の「$\rho_k$ が段数に一様に留まる」を、測る量の言葉で書きます。重みの空間 $X$、一段 $T:X\to X$、測る量 $\Phi_{\rm obs}:X\to\mathbb R$（例：層の外の曲率 $\kappa/\beta$、全変動距離）を置き、類 $\{w_\beta\}$ と読み取り $b:X\to\mathbb R$（$b(w_\beta)=\beta$）をとって、類の関数 $F(\beta):=\Phi_{\rm obs}(w_\beta)$ と定めます。$u_k:=T^k(u_0)$、$\beta_k:=b(u_k)$、類からの外れ $\delta_k:=\Phi_{\rm obs}(u_k)-F(\beta_k)$ とすると、恒等式

が成り立ちます 初（定義から）。第一項は母数の動きに吸収される分で、端の値の差だけが残ります（望遠鏡和）。第二項が損で、$r_k\ge|\delta_{k+1}-\delta_k|$ なら $|\delta_K-\delta_0|\le\sum_{k\lt K}r_k$ です 初。

横に縮む場合。$T(w_\beta)=w_{\tau(\beta)}(1+r_\beta)$、$\|r_\beta\|\le\varepsilon(\beta)$ とし、横の安定性 $T(w_\beta(1+\rho))=T(w_\beta)(1+\rho')$、$\|\rho'\|\le\lambda\|\rho\|$（二次の項を落とした線形の不等式）を仮定します。$u_k=w_{\beta_k}(1+\rho_k)$ と書けば $\|\rho_{k+1}\|\le\lambda\|\rho_k\|+\varepsilon(\beta_k)$ で、

です 初（等比級数。上の線形の不等式の下で）。剰余が $O(1/\beta)$ でも、外れは和でなく上限で押さえられ、段数に一様です。$\lambda=1$ なら $\|\rho_K\|\le\|\rho_0\|+\sum_{k\lt K}\varepsilon(\beta_k)$ で、$\varepsilon(\beta)=C/\beta^2$ と $\beta_k\ge\beta_*+ck$（細かい側へ一ループで一次に増える、15-01 §01）なら

で有限です 初（$1/(u+c)^2\le1/(cu)-1/(c(u+c))$ の望遠鏡和）。$\varepsilon(\beta)=C/\beta$ では和が $\ln K$ で増え、一様ではありません（15-01 の対数の発散と同じ型）。だから「一段の損が $O(1/\beta^2)$ なら一様」と「固定の形へ幾何級数で縮むなら $O(1/\beta)$ の剰余でも一様」の二通りがあり、後者の方が弱い仮定で通ります。

流れが結合を小さくする場合の形のずれ。最小の系の一段（15-06）では、木の結合が一段で $B_{n+1}=B_n/5$ と変わり、形の座標（$q/B$ の単位）の外れ $r_n$ が

を満たします 初（帰納法。一段の不等式は仮定で、その定数 $C$ の存在は最小の系の数値で見ただけ）。$\lambda\lt1$ なら出発のずれは幾何級数で消え、残りは常にその段の $O(1/B_n)$ です。最小の系の $\lambda$ は形の座標で最大 $17/125$ でした（15-06、一列四枚・主項）読。(6) で $B_n$ が細かい側へ減る向きに書いてあるのはその系の約束で、紫外の向き（細かい側ほど $B$ が大きい）では $C/B_n$ は細かい段ほど小さくなります。

分解への含意：(Cls) の類を引き込む先の曲線に取れば、四次元の一段で問うべきは「源の大きさ $\varepsilon$」と「横の縮み $\lambda$」の二つの数になります 読。最小の系でこの二つがどう測れるかは 15-04（階層模型）と 15-05（束の網）にあります。

15-00 §01 の一段で閉じる形を、規則の束として書き直します。表 1 の各行は「一段で閉じる類」を作るのに要る規則の候補で、11-08 表 2 の規則の候補 N1（尺度の公理化）・N4（稀さで払う測度の類）・N5（漸近自由の公理）・N6（曲率の規則）のどこを埋めるかを並べました。どの行も候補で、無矛盾性も既存の結果を言い直せることも確かめていません 読（物理の見立て）。

根との対応 読（物理の見立て）：(R1)（無次元の結合）は規則 4・6、(R3)（大域のゲージ固定が無く、大きな場が凸性で制御できない）は規則 1・2・3・5（15-01 §03）。紫外だけの ① には (R2)（紫外と赤外をつなぐ展開が無い）が現れません。

規則にするときの注意（15-00 の読み違える型から）。

• 規則には「一段」の版と「全段」の版を別に書き、一段の版から全段の版を出す仮定（定数が段で崩れない）を規則の側に明示する。
• 規則の入力を、同じ規則の出力から取らない（「循環」の型）。
• 不等式の向き（上界か下界か）を規則ごとに一つ書く。

移り変わりの帯は 13-06 §01 で、β 単調性（渦の自由エネルギーが $\beta$ について単調）と繰り込みの比較（格子を倍にした比較）に割られました 仮。表 2 は二つの分解を並べたものです。

表 2 から読むこと 読（物理の見立て）。二つの分解は同じ型（群を区別する一段の比較と、群を区別しない調整）で、割る形は同じです。違いは一段の損を払う相手の有無にあります。帯は強結合の端に二重指数の小ささがあるので一段の定数 $K$ が粗くてもよく、紫外は払う相手が無いので、一段の損そのものを和の有限な大きさか、母数の動きか、横の縮みの上限に閉じ込めるしかありません。

表 3 は、この分解から出る問いを 11-08 表 1 の形で並べたものです。番号は 13-11 の表 4″ のものを引き継ぎます。第 15 部の他の章の問い（F-UV4〜）と全体の索引は 15-09 にあります。

(a) ① 紫外の制御は閉じていません。分解の言明 (Cls)・(Rem-flow)・(Rem-shape)・(C) のどれも、四次元で示していません。

(b) 補題 F は (U3) を (S) と (C) に割っただけで、(S)（未発表の Theorem 2 の中身）を示していません。

(c) §04 の帳簿は、二次の項を落とした線形の不等式と一段の不等式を仮定したときの算術です。四次元の一段で $\lambda\lt1$ と剰余の評価が立つことは示していません。

(d) $m=2$ は冪の数え方の読みで、非摂動の類について示していません。「引き込む先の一母数の類」は一列四枚・対角の定義・主項（結合が大きい極限）の最小の系の読みで、四次元のブロック化について言っていません。

(e) 規則の束は候補で、無矛盾性も既存の結果を言い直せることも確かめていません。帯との対照は見立てで、帯の β 単調性・繰り込みの比較と紫外の剰余のどれも示していません。

依存グラフ（前提の番号は結論の番号より小さい）：

[01] 読 CLS    類と一段の写像・m = 2                              冪の数え方
[02] 初 F      補題 F                                              (S)(C) の下
[03] 仮 S      (S) が本体 ⟸ [02]                                   四次元の非可換
[04] 初 TEL    恒等式と望遠鏡和
[05] 初 LEDG   横の縮みの帳簿 ⟸ [04]                               一段の不等式を仮定
[06] 読 ATTR   比 2 の曲線は閉じない・引き込む先の比 ⟸ [01]         一列四枚・主項
[07] 仮 DEC    紫外の壁の分解 ⟸ [01][02][05][06]                   言明の形
[08] 読 RULE   規則の束 ⟸ [02][07]
[09] 読 BAND   帯との対照 ⟸ [07]
[10] 仮 Q      問い F-UV1〜3 ⟸ [03][05][07]

確かめ方は、全ての「⟸」の右の番号が左の番号より小さいことを目で見ることです。円はありません。[03]・[07]・[10] は仮定の行で、どれも ① を割った問いの形です。この章の節点に、① が示されたという節点はありません。

この章が言えている範囲

出典と再現

この章で使った語 — 類・母数の流れ $\Phi$・剰余・(Cls)・(Rem-flow)・(Rem-shape)・定義域の中の連続性 (C)・一段の剰余 (S)・補題 F・横の縮みの帳簿・横の縮み $\lambda$・源・引き込む先の類・規則の束・払う相手。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：15-04 一リンクの熱核の類と階層模型 — この章の分解が最も小さな場でどう見えるか。

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