computo ergo sum

2026-10-15 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 9 部 現在地と課題道具の表・家と使い方・限界 · Kiichi, Shiori and Rin

この本の全体　目次と読む順
  1. 第 0 部 入口 — この本の読み方
  2. 0-01 この本の読み方
  3. 0-02 一枚の絵
  4. 0-03 問題文を一語ずつ読む
  5. 0-04 数学の四次元と物理の四次元
  6. 第 1 部 数学の準備
  7. 1-01 ベクトル空間と線形写像
  8. 1-02 群とは何か
  9. 1-03 リー群とリー環
  10. 1-04 SU(2) と SU(3)
  11. 1-05 多様体と接空間
  12. 1-06 微分形式と外微分
  13. 1-07 ベクトル束と接続
  14. 1-08 確率と測度
  15. 1-09 無限次元の確率
  16. 1-10 ヒルベルト空間と自己共役作用素
  17. 1-11 フーリエ解析と分布
  18. 1-12 寄り道：四次元でだけ起きること
  19. 第 2 部 物理の準備
  20. 2-01 ラグランジアンと作用
  21. 2-02 場という考え
  22. 2-03 電磁気学はゲージ理論である
  23. 2-04 特殊相対論と時空
  24. 2-05 量子力学の骨
  25. 2-06 調和振動子と生成消滅
  26. 2-07 経路積分の考え方
  27. 2-08 統計力学と相転移
  28. 2-09 寄り道：イジング模型で見るギャップと相関長
  29. 2-10 緩和の時間と動的指数 z
  30. 第 3 部 ヤン–ミルズ理論（古典）
  31. 3-01 ゲージ原理
  32. 3-02 非可換ゲージ場
  33. 3-03 作用と方程式
  34. 3-04 幾何としてのゲージ理論
  35. 3-05 インスタントンと位相
  36. 3-06 寄り道：Donaldson とエキゾチック R⁴
  37. 3-07 標準模型の中のヤン–ミルズ
  38. 第 4 部 量子化
  39. 4-01 正準量子化とハミルトニアン
  40. 4-02 経路積分とユークリッド化
  41. 4-03 摂動論と Feynman ダイアグラム
  42. 4-04 発散と繰り込み
  43. 4-05 発散の代数
  44. 4-06 漸近自由
  45. 4-07 次元転移と Λ
  46. 4-08 ゲージ固定と Faddeev–Popov
  47. 4-09 場の量子論の公理
  48. 4-10 Osterwalder–Schrader の公理と再構成
  49. 4-11 質量ギャップの定義
  50. 4-12 寄り道：摂動級数は発散する
  51. 第 5 部 格子ゲージ理論
  52. 5-01 Wilson の格子
  53. 5-02 強結合展開
  54. 5-03 反射正値性と転送行列
  55. 5-04 無限体積極限とクラスター展開
  56. 5-05 弱結合と連続極限
  57. 5-06 U(1) と非可換の違い
  58. 5-07 モンテカルロ法
  59. 5-08 グルーボールと弦張力の測定
  60. 5-09 何を固定して極限を取るか
  61. 5-10 有限群の格子ゲージ理論
  62. 5-11 寄り道：Bakry–Émery と一リンク積分
  63. 第 6 部 構成的場の理論
  64. 6-01 構成的場の理論とは
  65. 6-02 二次元の可解性とヤン–ミルズ測度
  66. 6-03 スカラー場の構成
  67. 6-04 クラスター展開
  68. 6-05 繰り込み群の段の列
  69. 6-06 三次元ヤン–ミルズの紫外安定性
  70. 6-07 四次元
  71. 6-08 四次元の φ⁴ の自明性
  72. 6-09 確率量子化と正則性構造
  73. 6-10 四次元で止まる場所
  74. 6-11 発散以外の障害
  75. 6-12 寄り道：「1/0 に記号を与えれば」
  76. 第 7 部 物理の側から
  77. 7-01 物理はどう見ているか
  78. 7-02 閉じ込めの機構
  79. 7-03 弦の絵
  80. 7-04 大 N
  81. 7-05 ひも理論と余剰次元
  82. 7-06 余剰次元が見えなくなる仕組み
  83. 7-07 ゲージ場はどこから来るか
  84. 7-08 ホログラフィー
  85. 7-09 質量ギャップが幾何になる
  86. 7-10 四次元に戻す
  87. 7-11 超対称と Seiberg–Witten
  88. 7-12 等価原理に当たる一文
  89. 7-13 物理の掘り方が数学と離れる場所
  90. 第 8 部 二つの言葉の辞書 — 物理の視点と数学の視点
  91. 8-01 辞書の読み方
  92. 8-02 辞書 A
  93. 8-03 辞書 B
  94. 8-04 辞書 C
  95. 8-05 私たちの仮定の物理側の対応
  96. 地図
  97. 第 9 部 現在地と課題
  98. 9-01 世界はどこまで来ているか
  99. 9-02 二つの掘り方の切れ目
  100. 9-03 新しい概念の候補
  101. 9-04 課題の一覧
  102. 9-05 よくある誤解
  103. 9-06 証明が含むべき段 — 七段の表
  104. 9-07 道具の地図 — 本書の検討が使う既知の道具の在りか
  105. 一本目の道 — 時間の方向から
  106. 第 10 部 一本目の道（前半）— 時間の方向から：質量ギャップと拡散型緩和時間の仮定
  107. 10-00 入口 — 階段と、酔歩・物差し・時計
  108. 10-01 構成の筋と仮定 ξ²
  109. 10-02 四次元格子で試した道と壁
  110. 10-03 階段の四段 — なぜ 0+1 次元から始めるか
  111. 10-04 二重井戸の経路の測度とキンク
  112. 10-05 一段目の言明 — 四条件と命題 4.5
  113. 10-06 (H1) 相の中の局所 Poincaré
  114. 10-07 (H2) の地図 — 七つの道筋と環の継ぎ目
  115. 10-08 計算機援用とは何か — 窓の中の鎖の条件
  116. 10-09 区画の枠組みと道筋 5 の三本の筋
  117. 10-10 迂回策の一覧 — 壊れ方の型
  118. 10-11 (H3)(H4) と芯の定数
  119. 10-12 統合表と依存グラフ
  120. 10-13 Lean の言明と機械検査の限界
  121. 10-14 突き合わせ — 記録の数と既知の数
  122. 10-15 残件と費用 — 定理までの距離
  123. 10-16 主張しないこと
  124. 10-17 ひらめきと小さな問い
  125. 第 11 部 一本目の道（後半）— 仮定の形を直し、時間を連続にする
  126. 11-00 今後の考察 — 入口
  127. 11-01 仮定 ξ² を妨げる一つの形 — ほぼ保存される大域の量
  128. 11-02 物差しと座標を選び直す — 保存が壊れる長さ
  129. 11-03 仮定 ξ² を直す二つの形 — 区画の仮定 ξ² と局所の仮定 ξ²
  130. 11-04 片側の橋はどの仮定 ξ² を要るか
  131. 11-05 時間を連続にする — Hamiltonian 格子と真空の測度
  132. 11-06 凸性の代わりに稀さで払う — 群の上の繰り込みと対数 Sobolev
  133. 11-07 四次元だからこそ — 無次元の結合と位相
  134. 11-08 問いと、主張しないこと
  135. 11-A1 第 11 部の記号の対応表
  136. 二本目の道 — 空間の方向から
  137. 第 12 部 二本目の道：空間の方向から — 小さな捩れた T² と閉じ込め
  138. 12-00 入口 — 時間でなく空間を
  139. 12-01 捩れた T² と 't Hooft の流束
  140. 12-02 渦と分数インスタントン
  141. 12-03 容器 — 枠を条件づけると独立になる
  142. 12-04 板の閉じ込め
  143. 12-05 渦の挿入の恒等式
  144. 12-06 力学で駆動した挿入と流れの補題
  145. 12-07 なぜ決まった写像は失敗するか
  146. 12-08 測った記録
  147. 12-09 この道が止まる場所 — T² を広げることが帯である
  148. 移り変わりの帯 — 二本の道が同じ壁に着く
  149. 第 13 部 移り変わりの帯 — 二本の道が同じ壁に着く
  150. 13-00 入口 — 合流
  151. 13-01 帯の正しい形
  152. 13-02 一つの不等式への還元
  153. 13-03 非可換が効く唯一の場所
  154. 13-04 構造だけでは渡れない
  155. 13-05 チェス盤と同時の反転
  156. 13-06 繰り込みの比較 — 群を区別する比較
  157. 13-07 時間の側から見た帯
  158. 13-08 試して止まった道の地図
  159. 13-09 測った記録
  160. 13-10 新しい見方の候補
  161. 13-11 紫外の制御 — 無限個の段で閉じるとは何か
  162. 閉じる
  163. 第 14 部 閉じる — 条件つきの言明
  164. 14-00 入口 — この部の約束
  165. 14-01 条件つきの言明 — 質量ギャップと閉じ込めを矢印ごとに
  166. 14-02 条件の台帳
  167. 14-03 問いの表（横断の索引）
  168. 14-04 主張しないこと（横断の索引）
  169. 紫外の壁 — 二本の道の下にある土台
  170. 第 15 部 紫外の制御 — 無限個の段で閉じるとは何か
  171. 15-00 入口 — 紫外の制御とは何か
  172. 15-01 紫外の難しさ — 無次元の結合・群値の場・ゲージ
  173. 15-02 原典の地図 — Bałaban の計画・BBS の鎖・原典に無い二行
  174. 15-03 分解の言明 — 有限個の母数で閉じる類と三つの剰余
  175. 15-04 一リンクの熱核の類と階層模型
  176. 15-05 束の網の定理 — 横の縮みと母数の流れを一つの射影で
  177. 15-06 母数の数え方 — ループの形ごとの結合と引き込む先の類
  178. 15-07 背景に依る揺らぎ η — 一段ごとの吸収
  179. 15-08 閉じない四行と、その案
  180. 15-09 言えないこと・問いの索引・依存の図
  181. 付録
  182. A-01 記号表
  183. A-02 用語集
  184. A-03 文献案内
  185. A-04 Lean と機械検査
  186. A-05 この本の作り方
  187. A-06 仮定の索引
  188. A-07 この本から出た論文
  189. A-08 私達の研究における証明までの道標

道具の地図 — 本書の検討が使う既知の道具の在りか

この章は案内です（道具の地図）。本書の検討が使う既知の道具の家と、止まった所を一覧にします。

この章で分かること — 第 10 部以降の検討が使う二十二の道具（Poincaré 不等式・Bakry–Émery・対数 Sobolev・鏡映正値性・強結合展開・繰り込みの一段・Migdal–Kadanoff・一ループの摂動・区間演算・Lean など）を一つの表にし、道具ごとに、(1) 家＝最初に定義と既知の結果を置いた章（第 1〜8 部）と原典、(2) 本書での使い方＝第 10 部以降のどの章で何に使うか、(3) 群に写して止まった所・注意、を札つきで並べます。同じ話が二つ以上の部にあるときにどちらを先に読むか、読む順の三本、道具どうしの依存、道具の限界の一覧も置きます。

前提となる章 — 9-06 証明が含むべき段 — 七段の表（段と札）と 0-01 §03 札の凡例。

先に言うこと — この章は案内の章で、新しい主張を置きません。表の各欄の主張は、そこに挙げた章のものをその章の札のまま写しています（条件は各章の本文にあります）。「止まった所」の欄は、その道具が使えないという主張ではなく、本書の検討の範囲でその使い方が届かなかった所の記録です。このサイトは質量ギャップの存在も連続極限の構成も示していません。

この章の順序
  1. この章の役割 — 五行で
  2. 道具の表 — 家・使い方・止まった所（表 1）と、二か所にある話の割り振り（表 2）
  3. 読む順の三本 — 道具から・結果から・地図から
  4. 道具どうしの依存 — 先に要る道具と、後で使う道具（表 3）
  5. 言えないこと — 道具の限界の一覧
00

この章の役割

(1) 第 10 部以降の章は、第 1〜8 部の道具を「群の上の格子ゲージ理論」に持ち込んで使います。道具の定義と既知の結果がどこにあるかを、一つの表で引けるようにします。

(2) 同じ道具が二つ以上の部に出てくるとき（例：Bakry–Émery は 5-11 と 11-06 と第 10 部、Migdal–Kadanoff は 8-04 と 13-08 と 15-04）、「家」と「使い方」に割り振って、先に読む章を一つに決めます。

(3) 道具を群に写したときに止まった所を、道具の側から並べます。どの部の章で止まったかは、表の第三列から引けます。

(4) 札は 9-06 と同じ五分類です。初＝本書が紙で証明を置いた、典＝原典で確かめた既知、機＝計算機援用（区間演算）、読＝数値の読み・物理の見立て、仮＝仮定。第 1〜8 部の章の札（Lean・紙・計算・既知・物理）との対応は 0-01 §03 にあります。

(5) 読み方は三通りあります（§02）。道具から入る、結果から入る、地図から入る、のどれでも、この表に戻れば家の章へ行けます。

01

道具の表 — 家・使い方・止まった所

表 1 は一行一道具です。第一列の「家」は、その道具の定義と既知の結果を最初に置いた章で、二年生が最初に読む場所です。第二列は第 10 部以降でその道具を使う章と、使う目的です。第三列は、その道具を群 SU(2)SU(2) の上の格子に写したときに止まった所と、読むときの注意です。数と条件は同じ行に書き、詳しい条件は挙げた章にあります。

表 1　本書の検討が使う道具（家・使い方・止まった所。札は欄の中の主張ごと）
道具家（第 1〜8 部・原典）本書での使い方（第 10 部以降）群に写して止まった所・注意
1 Poincaré 不等式と隙間
分散を勾配の二乗で押さえる定数 CPC_P。隙間は 1/CP1/C_P		1-10 §08（直線上で V′′≥κ>0V''\ge\kappa\gt0 なら CP≤1/κC_P\le1/\kappa）典。緩和の時間としての読みは 2-1010-06（相の中の局所 Poincaré＝条件 (H1)）。11-05（時間を連続にした格子で隙間 Δ=ℏ2/(2CP(ν))\Delta=\hbar^2/(2C_P(\nu))、ν\nu は真空の測度）初Langevin の時間の隙間と転送行列の隙間は別の量（8-03）。11-05 の恒等式は言い換えで、真空の測度の CPC_P を結合に一様に押さえる道具はありません
2 Bakry–Émery の判定法
曲率＋ポテンシャルの二階微分 ≥K>0\ge K\gt0 なら隙間 ≥K\ge K		5-11 §02（判定法と証明の筋）典。5-04 §08 は結論だけを使う5-11 §05〜§07（完全な族を先に積分し、曲率の下界 2−27β22-27\beta^2）初。10-02（四次元格子の族）。11-06 §02一本のリンクでは判定法が言えるのは κ<2\kappa\lt2 だけで、本当の隙間は κ\kappa とともに増えます 読。格子全体で β<1/12\beta\lt1/12 典、先に積分して β<2/27≈0.272\beta\lt\sqrt{2/27}\approx0.272（格子間隔を固定した強結合側）。群の曲率は β\beta で動かないので閾は O(1)O(1) を超えません。弱結合の尺度では群の上の凸性そのものが立ちません（11-06 §03 の補題 1）初
3 対数 Sobolev 不等式
エントロピーを勾配で押さえる。Poincaré より強い		5-11 §02（判定法から対数 Sobolev も出る）典。測度の言葉は 1-0811-06 §06（凸性の代わりに稀さで払う道具。エントロピーの通貨）。10-10 型 4Poincaré は出口の速さの通貨で、稀さを払えるのはエントロピーの通貨、という整理は見立てです 読。「稀さで払う測度の類」は候補の規則で、三段目を閉じる見込みを約束しません 仮
4 Brascamp–Lieb と階層模型の帰納
各尺度で条件つきの測度が一様に凸、を入口にする帰納		第 1〜8 部に家はありません。定義と原典の条件は 11-06 §02（Bauerschmidt–Bodineau）典11-06 §05（帰納を群に写すと、当たる・変わる・当たらない）凸性の仮定は群の上で弱結合の尺度に原理的に立ちません 初。凸でない場所が平らな ϕ4\phi^4 と逆（群では単位元から遠い半球）で、壁は確率 e−cβe^{-c\beta} の所へ押し込まれるだけです 初。階層模型の結果は四次元のヤン–ミルズに何も含意しません
5 鏡映正値性と転送行列5-03（Osterwalder–Seiler）・4-10（再構成）典13-04（捩れの和の集団 z の、格子点を通る鏡映での正値性）初。13-05（チェス盤の評価の入力）。9-06 段 1横向きの鏡映は捩れで崩れます（13-04 補題 4）初。構造の入力（鏡映正値性・双対・転送行列・中心の恒等式）は Z2\mathbb Z_2 と U(1)U(1) でもそのまま成り立ち、この組だけでは横広げの不等式は出ません（否定の補題。最後の一段は 13-03 の 読 を引き継ぐ）
6 Kogut–Susskind のハミルトニアン格子
空間だけを格子にし、時間は連続		5-03・4-01 典11-05 §04（隙間を直接扱う道）。色の一重項で真空の測度の Poincaré 定数が主項で半分 初局所から大域への隙間の定理は、この格子ではそのまま当たりません（理由は 11-05 §04）。11-05 の Kogut–Susskind の形の定義は 5-03 を先に読みます
7 強結合展開とクラスター展開
弱い結びつきを補正として足し込み、収束を判定条件で保証する		5-02・5-04・6-04（Kotecký–Preiss・Dobrushin・Fernández–Procacci の条件）典13-06（強結合の端）。15-04 §05（階層模型の鎖の出口＝強結合の判定領域）機届くのは格子間隔を固定した強結合の岸だけです。帯（中程度の結合）には届きません。強結合の範囲の比べ方は 5-11 §07
8 指標展開と類関数
群の上の重みを既約表現の指標で展開する。共役で不変な関数＝類関数		5-02（指標展開）・6-02（二次元の熱核）・1-04 典15-04 §01（一リンクの熱核の類は半群で、母数一つで閉じる）初。15-06（ループの形ごとの結合と引き込む先の類）閉じるのは一枚の重みが一段で一枚の重みに戻る模型だからです。多リンクの結合・ゲージの張り替え・大きな場の剰余が構造的に無く、四次元の超立方格子の一段について何も含意しません（15-04 の先に言うこと）
9 Dobrushin の影響係数
一サイトへの隣の影響の和が 1 未満なら相関が減衰する型の判定		6-04（Dobrushin の条件、気体の例で 4/274/27）典13-07 §03（一段目の頂上の一サイト）。13-05 §04。13-10 顔 2一段目の頂上では、条件つきの一サイトの測度が 154\tfrac{15}4-凸で隣への結合が 2 なので、影響は二つの隣で 1615>1\tfrac{16}{15}\gt1 になり、154\tfrac{15}4 対 44 の不足に戻ります 初。枠を固定すると連続な場が境界に追随し、影響係数がほぼ 1 になります 読（物理・原論文は照合未了）
10 繰り込み群の一段（ブロック化）
細かい変数を積分して、粗い尺度の作用を作る		6-05（段の列・ブロック化・小さい場と大きい場）典。到達点は 6-0715-03（分解の言明・横の縮みの帳簿）。15-05。15-07（背景に依る揺らぎ η\eta）15-05 の数は一つの粗い面の周辺で見た一段で、本当のブロック化の一段ではありません。本当の二段は反復した二段と合いません（縮み λ\lambda が 3.4〜3.7 倍）読。全ての粗い面を同時に固定すると縮みは行列になり、粗い向きで 1/161/16 を超えます（定理 G。可換な配位・木の水準）初。η\eta の多段の帰納は書けていません 仮
11 Migdal–Kadanoff と階層模型
ブロック化を一枚の重みの写像に近似した再帰		8-04 図 1（近似の再帰・近似の性格）典15-04 §02〜§05（不変な曲線に一段ごと 1/161/16 で引き寄せられ、位置は源と縮みの釣り合い 1/36001/3600：鞍点の主項 初。管の不変性 β∈[2.46,64]\beta\in[2.46,64] 機）。13-08 道 30MK の流れは群がアーベルか非可換かに依らず強結合へ向かい、U(1)U(1) と SU(2)SU(2) を区別しません（Kanazawa）典。Tomboulis の補間は、捩れの無い区画と捩れた区画で共通の t∗t^* が取れることに頼り、それは Ito–Seiler の (3.5) に帰着して強結合の外で示されていません 典。階層模型は U(1)U(1) でも閉じ込める模型で、非可換性の検査になりません
12 一ループの摂動と係数 11/3
背景の場のまわりのガウスの揺らぎ。113=4−13\tfrac{11}3=4-\tfrac13		4-03・4-06（漸近自由と係数の内訳）典12-07（等長的な写像は β′≥β+0.023\beta'\ge\beta+0.023 しか出せず、揺らぎを整形する写像は β−β′=0.258\beta-\beta'=0.258 を再現）初。13-03・13-06・15-06全て一ループ（ガウス）の水準の文です。中程度の結合と大きな場で、整形した写像の誤差を押さえることは開いています。表の頭の 113\tfrac{11}3 は 4-06 の再掲で、内訳の説明は 4-06 を先に読みます
13 次元転移と Λ\Lambda
無次元の結合から質量の尺度 Λ\Lambda が生まれる		4-07 典11-07（四次元だからこそ）。13-00・13-07（帯の位置 L∼1/ΛL\sim1/\Lambda）帯の位置を L∼1/ΛL\sim1/\Lambda に置くのは物理の尺度の読みです 読。11-07 の大部分は既知の整理で、第 4・6 部だけで読めます
14 Gibbs の変分原理と相対エントロピー
写像で測度を運ぶと、自由エネルギーの差の評価の余りが相対エントロピーになる。Crooks・Jarzynski もこの型		2-08（自由エネルギー・相対エントロピー）典12-06（力学で駆動した挿入）。12-07 命題 1（向きの原理）初決まった写像の挟み撃ちでは、余りの相対エントロピーが渦の面の面積とともに増え、e−σAe^{-\sigma A} の形は出ません 読（物理。13-08 の C3）。使えるのは定性的な目標 ΔF(L,L)→0\Delta F(L,L)\to0 です
15 捩れた境界条件・中心・'t Hooft の流束3-05（位相）・5-01（格子）・1-04（中心）典。捩れの定義そのものは 12-01 典12-01（捩れを食う真空の一意性など三つの事実）初。12-04・13-01・13-04中心が自明な群（G2G_2 など）では、中心を使う矢印が消えます（9-06 段 7）典。第 12・13 部は SU(2)SU(2) で書きます
16 中心渦と分数インスタントン7-02（閉じ込めの絵）・3-05（インスタントン）典12-02（定義と作用・格子の最小作用の上界）。13-03（非可換が効く場所の見立て）希薄な気体の勘定は物理の読みです 読。13-03 の渦は 12-02 の定義を先に読みます
17 容器の恒等式と Tomboulis–Yaffe の不等式
枠を止めると容器どうしが独立になる。't Hooft の判定から面積則へ		土台は 5-02・5-04（面の和）。恒等式は 12-03 §03（Mack–Petkova）、不等式は 13-01 典12-03〜12-05（区画の和のアンサンブルでの書き直し・入れ子）初。13-02（一つの不等式への還元）長さの決まった容器を独立に並べると、四次元では V(R)≳R/ln⁡RV(R)\gtrsim R/\ln R までしか出ません（Kovács–Tomboulis）典。面積則にはループの大きさの容器が一つ要り、それは帯を渡ることと同じ条件です。区画の偏り θ\theta が 1 から離れるだけでは足りません（13-01）初
18 束の網 — Thomson の原理・Kirchhoff の法則・直交射影1-01（線形写像と射影）典。電気回路の標準の事実は 15-05 の出典表15-05 定理 F（最小点は射影で決まり、縮み λ≤max⁡f2\lambda\le\max f^2、1/(16d−8)≤λ≤1/161/(16d-8)\le\lambda\le1/16）初可換な配位に制限した木の水準（β→∞\beta\to\infty の主項）の文です。非可換な配位・一ループの源・大きな場・ゲージの張り替えを含みません
19 BCH の公式と四元数
log⁡(eXeY)\log(e^Xe^Y) の交換子の級数。SU(2)SU(2) は長さ 1 の四元数		1-03（BCH の三次まで）・1-02・1-04 典5-11（四元数の内積と一リンク積分）。15-06（交換子は BCH の像）。15-07（群の幾何の部分＝BCH の三次の係数 1/91/9、Gauss の主項・二リンク）初SU(2)SU(2) の群の幾何の部分は背景そのものに乗って縮まず、その予算は閾をどう選んでも発散します（一ループの流れを正確な式と見なした算術）初。U(1)U(1) では BCH の三次は恒等的に 0 です
20 計算機援用 — 区間演算・証明書・倍精度の規律
全ての数を真の値を含む区間で持ち、丸めを外向きに取る		第 1〜8 部に家はありません。一般論は 10-08 §01〜§03（丸めの規約・区間で持つ・陽性と陰性の対照）典10-07・10-08（ℏ\hbar の窓の全ての点で鎖の条件 q<1q\lt1）機。15-04 §05（階層模型の管）機。10-15区間演算で不等式を囲えたのは、一段目の窓と、一枚の重みの写像である階層模型です（ほかに 12-02 の具体的な配位の作用の上界 機。上界の向きだけ）。階層模型でも β>64\beta\gt64（格子間隔 0 の極限）は閉じていません。有限個の LL を区間演算で確かめる道は、四次元では計算の規模が届きません（13-08 道 3）読。計算機援用は窓の外について何も言いません（10-08 §10）
21 Lean による形式化
言明を型、証明を項として、小さな核が検査する		A-04（核の検査・標準の三つの公理の基準）典5-11（曲がりの下界と族の組合せ）。10-13（一段目の束）。9-06 表 1 の Lean の欄保証されるのは、書いてある仮定から書いてある結論への矢印だけです。物理の測度は形式化されていません。区間演算の層は Lean の外にあります（10-13 §04）。一般論は A-04、束の一覧と例は 10-13
22 Monte Carlo の読み
格子の配位を確率的に作って平均を測る		5-07・5-08 典12-08・13-09（測った記録）読。15-05・15-07 の数 読測った数は全て「読」の札で、定理の根拠にしません。格子の大きさ・β\beta・種・誤差は各章の同じ行にあります。測り方を変えると数が動く例があります（15-05 の本当の二段と反復の二段）

表 1 から読むこと。(a) 第 1〜8 部に家の無い道具が二つあります（階層模型の帰納と計算機援用）。どちらも第 10 部以降の章（11-06 §02・10-08 §01〜§03）が家を兼ねています。(b) 第三列の止まり方には型があります。曲率と凸性の道具（行 2〜4・9）は群の閉じた形と頂上の一サイトで止まり、繰り込みの道具（行 10・11・19）は一段を多段に重ねる所で止まり、構造の道具（行 5・17）は U(1)U(1) と区別できない所で止まります。(c) 計算機援用と Lean（行 20・21）は、どちらも書いた範囲の外について何も言いません。

二か所以上にある話の割り振り

同じ道具が複数の部に出てくるとき、表 2 の「家」を先に読み、「使い方」は家を読んだ後で読みます。家の章だけで定義と既知の結果は揃います。

表 2　同じ話が二か所以上にあるもの（家＝先に読む章、使い方＝後で読む章）
話家使い方表 1 の行
Bakry–Émery の判定法5-11（判定法と一リンクの例）11-06 §02〜§03（群の上で弱結合で立たない理由）・10-02・10-062
Migdal–Kadanoff8-04 図 1（近似の性格）15-04（不変な曲線と区間演算）・13-08 道 30（Tomboulis の主張と批判）11
Kogut–Susskind の格子5-0311-05（隙間と真空の測度）6
鏡映正値性と転送行列5-0313-04・13-05（Z2\mathbb Z_2・U(1)U(1) で確かめる）5
一ループの係数 113\tfrac{11}34-0612-07・13-03・13-0612
次元転移4-0711-07・13-00・13-0713
渦（中心渦・分数インスタントン）絵は 7-02、定義と作用は 12-0213-03（見立て）16
繰り込みの段と Bałaban の連作6-05・6-07（到達点）15-02（連作の内部と BBS の鎖）・15-0310
区間演算10-08 §01〜§0310-07・10-15・15-0420
LeanA-04（一般論）10-13（一段目の束と二つの型の例）21
02

読む順の三本 — 道具から・結果から・地図から

三本とも、途中で表 1 に戻って家の章を引けば、前提が欠けずに読めます。0-01 §07 の読む順と並べて使えます。

読む順の三本（矢印の順に読む。〔 〕は表 1 の行）
入り方読む順読み終えたときに分かっていること
道具から入る
数学の側の読者		1-10 → 5-03 → 5-11 → 6-04 → 6-05 → 8-04 → 10-08 §01〜§03 → A-04 → 11-06 → 15-04 → 15-05
〔1・2・5・7・10・11・20・21・3・4・18〕		各道具が何を要り、群の上の格子のどこで止まったか。止まり方の三つの型（表 1 の後の (b)）
結果から入る
本書の条件つきの言明から		9-06 → 14-01 → 14-02 → 12-04 → 13-02 → 15-03、読みながら表 1 の「本書での使い方」の列から家の章へ戻る条件つきの言明の各矢印がどの道具に頼っているか。条件の台帳の行と道具の対応
地図から入る
未解決の全体を先に見る		0-02 → 9-02 → 9-04 → 9-06 → この章 → 13-08 → 15-08 → 14-04七段のどこが開いていて、どの道具がどこで止まり、本書が何を主張しないか
03

道具どうしの依存 — 先に要る道具と、後で使う道具

表 3 は、表 1 の道具を「先に要る道具」でつないだものです。番号は表 1 の行です。先に要る道具の番号が後の行に来ることがありますが、輪はありません。家の章を読む順は、この列を左から辿れば決まります。

表 3　道具の依存（この本の整理。「後で使う」は第 10 部以降で組み合わせて使う所）
道具（表 1 の行）先に要る道具組み合わせて使う所
1 Poincaré 不等式—（1-10 の線形代数とスペクトル）2・3 の結論の形。11-05 の恒等式
2 Bakry–Émery1、19（群の曲率は SU(2)SU(2) が三次元の球面であることから）3 を出す。4 の入口。5-11 で 21 と組む
3 対数 Sobolev211-06 の稀さで払う道具
4 階層模型の帰納2・1011-06 §05 で 11 と比べる
5 鏡映正値性—（4-10 の公理）13-05 のチェス盤。15・17 と組んで 13-04 の否定の補題
6 Kogut–Susskind の格子511-05 で 1 と組む
7 強結合展開815-04 の鎖の出口。9 と同じ型の判定
8 指標展開と類関数1915-04・15-06 で 10・11 と組む
9 Dobrushin の影響係数713-07 で 2 と並べる（同じ不足に戻る）
10 繰り込みの一段1211・18 の枠。15-03 の分解
11 Migdal–Kadanoff10・815-04 で 20 と組む。13-08 道 30
12 一ループ—（4-03 の摂動論）12-07 で 14 と組む。13-06・15-06
13 次元転移12帯の位置の読み（13-07）
14 Gibbs の変分原理—（2-08）12-06・12-07 で 12 と組む
15 捩れ・中心・流束—（3-05・5-01）16・17 の舞台。13-04
16 渦1512-02・13-03
17 容器と Tomboulis–Yaffe15・712-03〜12-05・13-02
18 束の網10・11（1/161/16 との比べ）15-05 の定理 F・G
19 BCH と四元数—（1-03・1-04）15-07 の群の幾何の部分
20 区間演算—（10-08 §01〜§03）10-07・10-08・15-04 で、11 などの写像の不等式を囲う
21 Lean—（A-04）2・5・17・19 などの代数の段を確かめる。20 の出力は仮定に置く
22 Monte Carlo—（5-07）12-08・13-09・15-05・15-07 の数（読）

表 3 から読むこと。先に要る道具の無い行（1・5・12・14・15・19・20・21・22）が、二年生が最初に読める家です。そのうち 20 と 21 は家が第 10 部と付録にあるので、表 2 の割り振りで先に読みます。

04

言えないこと — 道具の限界の一覧

道具ごとの限界を、表 1 の第三列から一行ずつ抜き出します。部ごとの「主張しないこと」は 14-04 主張しないこと（横断の索引）に、第 15 部の紫外の道具の限界は 15-09 言えないことにあります。

  1. 曲率の道具（Bakry–Émery・Brascamp–Lieb・Dobrushin）は、格子間隔を固定した強結合の側と一段目の窓でだけ効きます。弱結合の尺度では群の上の凸性そのものが立たず（11-06 §03）、一段目の頂上では同じ 154\tfrac{15}4 対 44 の不足に戻ります（13-07 §03）。
  2. 強結合展開とクラスター展開は強結合の岸の道具で、帯（中程度の結合）を渡りません。
  3. 繰り込みの一段の文（15-04・15-05・15-06）は、一枚の重みの写像・一つの粗い面の周辺・可換な配位の木の水準のどれかに限られ、四次元の超立方格子の本当の一段を多段に重ねる文ではありません（15-09）。
  4. Migdal–Kadanoff の流れと階層模型は U(1)U(1) と SU(2)SU(2) を区別しません。そこで閉じることは非可換性の検査になりません。
  5. 構造の入力（鏡映正値性・双対・転送行列・中心の恒等式）だけでは横広げの不等式は出ません（13-04 の否定の補題、「この入力の組だけでは」の形）。
  6. 一ループの道具と Gibbs の変分原理の比べは一ループ（ガウス）の水準の文で、非摂動の評価ではありません。
  7. 区間演算は書いた区間の外について何も言いません。Lean は書いた仮定から書いた結論への矢印だけを保証し、物理の測度は形式化されていません（10-13・A-04）。
  8. Monte Carlo の数は読みで、定理の根拠にしません。
  9. この表のどの道具を組み合わせても、質量ギャップの存在と連続極限の構成は示されていません（14-04）。

この章が言えている範囲

言えている言えていない
典 表 1 の「家」の列の既知の結果（原典の範囲は各章の出典表）表 1 の二十二で本書の道具が尽きること。道具の分け方はこの本の整理
初 機 読 仮 表 1 の第二・第三列の主張（挙げた章の札と条件のまま）第三列の「止まった所」が、その道具の原理的な限界であること（本書の使い方の範囲の記録）
表 2 の割り振りと表 3 の依存（この本の整理）依存の表が論理の含意の全てを尽くすこと
全体このサイトは質量ギャップの存在も連続極限の構成も示していない

出典と再現

もの種別出典・道具
表 1 の各行の主張と数各章の札のまま行に挙げた章の本文と出典表（この章は写しで、新しい計算はしていない）
Bakry–Émery の判定法典D. Bakry, M. Émery, Diffusions hypercontractives, Séminaire de Probabilités XIX (1985) 177–206（書誌は 5-11 の出典表）
格子全体の閾 1/121/12典H. Shen, R. Zhu, X. Zhu, Commun. Math. Phys. 400 (2023) 805–851（5-11 の出典表）
階層模型の帰納の仮定典Bauerschmidt–Bodineau（11-06 の出典表）
Tomboulis の補間とその批判典E. T. Tomboulis, arXiv:0707.2179。K. R. Ito, E. Seiler, arXiv:0711.4930（(3.5)）。T. Kanazawa, arXiv:0805.2742（13-08 の出典表）
容器の恒等式と R/ln⁡RR/\ln R典Mack–Petkova（1980）、Kovács–Tomboulis hep-lat/0108017（12-03 の出典表）
Thomson の原理・Kirchhoff の法則典電気回路の標準の事実（15-05 の出典表）
Dobrushin の条件典6-04 の出典表。13-05 の判定の原論文は照合未了
表 2・表 3・読む順の三本本書章の前提の段落と本文の参照から整理した（数値の計算は無い）

この章で使った語 — 家（道具の定義と既知の結果を最初に置いた章）・使い方・止まった所・Bakry–Émery の判定法・対数 Sobolev 不等式・階層模型・鏡映正値性・類関数・影響係数・ブロック化・Migdal–Kadanoff・束の網・BCH・区間演算・証明書。意味は A-02 用語集 にあります。

次に読む章：10-00 入口 — 一本目の道（時間の方向から）。道具から読むなら 5-11 寄り道：Bakry–Émery と一リンク積分。

← 9-06 証明が含むべき段 — 七段の表目次10-00 入口 — 階段と、酔歩・物差し・時計 →

改訂 2026-10-15：初版。