2026-10-22 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 15 部 紫外の制御体系の試み · Kiichi, Shiori and Rin

体系の試み — 記録の繰り返しの型に名前を与える

この章は本書の検討です。本筋の証明の部品ではありません。§01〜§03 と §05 は既知の枠組みへの言い換え、§04 は見立ての水準です。

この章の読み方。第 15 部の計算の記録には、同じ形の手作業が何度も出てきました。三段の合成のノルムを測って「一段では 1 を超えるが三段では縮む」と書く、符号つきの核の絶対値をとって上界を作る、Bianchi の恒等式を満たす場の上でしか決まらない写像に局所の核を当てる、強結合の級数と弱結合の級数の主項を並べて交わる点を探す、$p$ 次の錐を段ごとに引き戻して重みつきの Stein の上界で押さえる、の五つです。この章は、それぞれに定義と公理（何を仮定すれば何が言えるか）を与える試みです。結果の多くは既知の事実の言い換えで、そのことを各節の定理の候補の行ごとに書きます。言い換えてみて残るもの——既知の枠組みに直接は当たらない量や、記録の数が示す規則性で定理にできていないもの——が、この章の問いです。§01〜§03 は互いに独立に読めます。§04 は §01〜§03 と道具を共有せず、⑦ の帯の言い直しの試みです。§05 は §01 の候補 1.4 を錐の言葉に広げたもので、§01 と並べて読めます。

塊に分けた作用素の各塊のノルムを並べた非負の行列は、作用素の冪の評価を非負行列の冪の評価に移します。非負行列の側では Perron–Frobenius の理論がそのまま使えるので、「何段で縮むか」「一段で縮むにはどの重みで測ればよいか」が行列の言葉で書けます。ここまでは全て既知で、この節の役目は記録の評価をこの枠組みにそろえることです。

定義

定義 1.1（優勢行列）.$I$ を有限集合、$E_i$（$i\in I$）をノルム空間、$T$ を $E=\bigoplus_iE_i$ 上の作用素で塊 $T_{ij}:E_j\to E_i$ に分けたものとします。非負の行列 $B\in\mathbb R_{\ge0}^{I\times I}$ が $T$ の優勢行列であるとは、全ての $i,j$ で $\|T_{ij}\|\le B_{ij}$ となることです。最小のものは塊ノルムの行列 $N(T)_{ij}=\|T_{ij}\|$ です。

• 積と冪：$N(ST)\le N(S)N(T)$（成分ごと）。よって $B,C$ が $S,T$ の優勢行列なら $BC$ は $ST$ の優勢行列で、$B^n$ は $T^n$ の優勢行列です Lean（norm_mul_apply_le・dominant_mul・dominant_pow。冪の版の仮定は単位元のノルムが 1）。
• 和と非負のスカラー倍でも閉じます 読。
• max-plus の側：$A=\log B$（成分ごと）の最大閉路平均 $\lambda_{\rm mp}(A)$ について $e^{\lambda_{\rm mp}}\le\rho(B)\le|I|\,e^{\lambda_{\rm mp}}$ 典（Friedland 1986）。記録では、max-plus の固有値が最適な重みつきノルムを下から 1〜2.5% で挟んでいました 計算。

定義 1.2（重みつきの塊ノルム）.正の重み $w\in\mathbb R_{\gt0}^I$ について $\|x\|_{w,\infty}=\max_i\|x_i\|/w_i$、$\ell^2$ の版は $\|x\|_{w,2}^2=\sum_i\|x_i\|^2/w_i^2$ です。作用素ノルムは $\|T\|_{w,\infty}=\|W^{-1}TW\|_\infty$（$W={\rm diag}(w)$）です。

定義 1.3（$k$ 段の縮み・過渡の定数）.非負の行列 $B$ について $\kappa_k(B):=\|B^k\|$ とし、ある $k$ で $\kappa_k\lt1$ となるとき「$k$ 段で縮む」と言います。過渡の定数を $C_k(B):=\max_{r\lt k}\|B^r\|$ とします。Gelfand の公式 $\rho(B)=\lim_n\|B^n\|^{1/n}$ から、$\rho(B)\lt1$ とある $k$ で $\kappa_k\lt1$ となることは同値です 典。

定義 1.4（一段の重み）.$B\ge0$・$w\ge0$・$s\gt0$・$k\ge1$ について

を、$w$ から作った一段の重みと呼びます。

定理の候補と札

候補 1.1（$k$ 段の縮みから一段で縮む重みへ）.$B\ge0$、$w\ge0$、$s\gt0$、$k\ge1$、$B^kw\le s^kw$（成分ごと）なら、$w\le w'$ かつ $Bw'\le s\,w'$ です Lean（liftWeight_step。補題 mulVec_pow_succ・pow_mulVec_nonneg）。

これに候補 1.2（一段の評価）を合わせると、「$k$ 段の合成が重み $w$ で $s^k$ 倍に縮む」なら「重み $w'$ で測れば一段ごとに $s$ 倍に縮む」となります。重みの比 $w'/w$ は $[1,\ \sum_{r\lt k}s^{-r}\max_i(B^rw)_i/w_i]$ に入るので、測り直しの定数は段数に依りません（候補 1.3）。内容は「$\rho(B)\lt s$ ⇔ $Bw'\le sw'$ となる $w'\gt0$ がある」の構成的な片側で、Varga の反復法の解析や Berman–Plemmons の M 行列の特徴づけの流れで知られています 典。

記録の数との対応

• W の座標（差を含む二次、次元 6）の有限の型の行列は、スペクトル半径 0.36、一段のノルムが 1 を超え、三段で 0.05〜0.13 でした 計算。$\rho\lt1$ で一段のノルムが 1 を超える典型で、候補 1.4 (a) の $C$ が過渡の定数に当たります。Perron の重みを取れば一段で縮む、というのが候補 1.1・1.2 の読みです（記録では Perron の重みで一段 0.546）計算。
• $\ell^4$ の錐（15-05）の重みつきの Stein の上界は、一段 4.45・三段 0.10 でした 計算。候補 1.1 の形にすれば「三段で 0.10 なら一段で $0.10^{1/3}\approx0.46$ に縮む重みが作れる」と読めますが、そのためには三段の評価が一つの線形の優勢作用素の冪から来ている必要があります。錐は Riesz–Thorin を通した四次の量で、段ごとに核 $K_k$ が違うので冪ではありません。この場合に使えるのは段ごとの積の形（weighted_iter）だけです 読。
• 有限の型と残りの戻りの組は、候補 1.5 の二×二の集約の形です。残りの塊を右下に入れて $bc\lt(1-a)(1-d)$ を確かめることは、まだしていません（F-SYS4）。
• 第 10 部の二重井戸の粗い鎖で使った Dobrushin の列和は、重み $w=\mathbf 1$ の候補 1.2 です。重みを Perron に取れば縮みの定数は良くなりえます 読。

この型に固有の問い — 符号を捨てる損

優勢行列は符号を捨てます。実際の作用素 $T$ と優勢行列 $B$ について、段 $k$ の損を

と置くと、損は段で有界とは限りません。$T=\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}$ は $|T|=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ を優勢行列に持ち、$T^2=0$ で、$|T|^{n+1}$ の全成分は $2^n$ です。よって $n\ge2$ で $L_n=+\infty$ です Lean（absEx_eq・signedEx_sq・absEx_pow）。逆に $T$ が非負（$T=|T|$）か、符号の相似 $T=S|T|S$（$S$ は $\pm1$ の対角行列）なら、Perron の重みの $\infty$ ノルムで $L_k=1$ です 読。

符号の選び方で $\rho(|A|)$ の評価にどこまで届くかは Rump の sign-real spectral radius（Rump 1997）が扱っています 読。損が段でどう振る舞うかを扱った文献は見つけていません（見つけていない、であって無いという意味ではありません）。記録の損は一段 7.6・二段 9.3 とゆっくりにしか増えておらず、これを定理にする条件は優勢行列の情報だけからは決まりません（上の例がそれを示します）。この問いを次の §02 で扱います。

記録の損をよく見ると、§01 の反例とは型が違いました。記録の Stein の上界は、段の核を合成してから上界をとっています。§01 の反例は絶対値をとってから合成する量です。前者では、冪零の例 $T^2=0$ の合成の上界も 0 になります。この節では、合成してから上界をとる損が段でほとんど動かないことを数で見て、それを一つの行の中の幾何の量（行のそろい）で押さえる不等式を書きます。

定義

定義 2.1（合成の核と損）.段の核 $K_0,K_1,\dots$ の合成を $T_k=K_0K_1\cdots K_{k-1}$ とします。真の比を $\sup_\theta\|T_k\theta\|_4^4/\|\theta\|_4^4$、Stein の上界を 15-05 の式 (11) の形の重みつきの $\ell^2$ の量（合成の核の行の $\ell^1$ ノルム $A_r$ を重みにする）とし、

と置きます。真の比は最大化の下界（準ニュートン法と周期 2 の場の最大化の大きい方）で代用するので、表の損は損の上からの見積もりです。

定義 2.2（行のそろい）.並進不変な $T$ の Stein の上界は $\sup_q\lambda_{\max}\bigl(\sum_rA_r^2\hat T_r(q)^{\rm H}\hat T_r(q)\bigr)$ の形で、その最大点を $(q^*,u^*)$ とします。$y_r=\hat T_r(q^*)u^*$、$M=\|u^*\|_\infty$ と置き、

を、最悪の向きでの行 $r$ のそろいと呼びます（$\kappa_r\le1$ は coherence_le_one Lean）。$\langle\kappa^{-2}\rangle$ は $|y_r|^4$ を重みにした平均です。

記録の数 — 損は止まり、少し下がる

真の比と Stein の上界が同じ速さで減るので（段の比はどちらも約 0.07 へ）、損が止まります。大きいトーラスでも同じ形です（表 3）。以前の記録の二段の 9.3 は、真の比の下界 0.108 が弱かった分で、周期 2 の場では下界が 0.1405 になります 計算。$k\ge2$ では真の比の最大点のエネルギーの 99.8〜100% が $|q|_\infty=\pi$ にあり、$(\pi,\pi,\pi,0)$ 型の周期 2 の点に乗っていました 計算。

右端の列は、段ごとの一段の上界（4.45・5.75・6.50・6.81）の積を真の比の下界で割ったもので、7.5 → 182 → $1.1\times10^4$ → $1.0\times10^6$ と一段ごとに 60〜90 倍で増えます 計算。指数で増えるのは、絶対値をとってから合成する側だけです。合成の核で上界をとることがどれだけ効いているかが、この列で見えます。

三つの仮説は外れ、外れ方がそろっていた

損が止まる理由として、(a) 合成で負の部分の割合が減る、(b) 打ち消しはセルの中で起きている、(c) 真の比の最大点で符号がそろう、の三つを試しました。どれも書かれた形では成り立ちませんでした。ただし三つとも「段で変わらない」という同じ外れ方を示しました。

三つの量がどれも段でほとんど動かないことは、「合成で核が正に近づく」のではなく「合成で核の輪郭（正規化した形）が一つに近づく」ことを示していると読めます 読。中心が正で周りが負の輪郭、負の割合 0.43、そろい 0.6 が段に依らず保たれます。細分割の極限関数に近い見方です 読。なお「中心が正・周りが負」の符号は向きの成分の符号の規約に依り、規約に依らないのは負の割合とそろいの方です。

成り立った不等式 — 損 ≤ そろいの逆二乗

候補 2.1.$A_r\ge0$、$\kappa\ge0$、$M\ge0$、全ての成分で $|v_a|\le M$、全ての行で $\kappa A_rM\le|y_r|$ とすると、

です Lean（stein_le_inv_sq_mul_test。補題 stein_form_le・sum_four_le）。左辺の括弧は Stein の二次形式の値、右辺は試験の値なので、「上界 ÷ 試験の値 $\le\kappa^{-2}$」と読めます。

格子の上では、最悪の向きの実の平面波 $\theta={\rm Re}(e^{i\varphi}u^*e^{-iq^*\cdot X})$ を試験に使うと、

となります。$\Phi$ は位相の因子で、$2q^*\not\equiv0$ かつ $4q^*\not\equiv0$ なら 1、周期 2 の点（$2q^*\equiv0$）でも $u^*$ を実に取れば 1 です 読（$\cos^4$ の平均 $3/8$ が分子と分母で消える。この段と Stein の式そのものは Lean に入れていません）。

• $4^4$ のトーラスの $k=2,3,4$ では、Stein の最大点が周期 2 の点で、その平面波がそのまま真の比の下界の最大点になりました（試験の値 0.1396・0.01487・0.00109）。このとき Stein ÷ 試験の値 $=\langle\kappa^{-2}\rangle=$ 5.55・5.13・5.31 で、形の因子と位相の因子はちょうど 1 でした 計算。
• 大きいトーラスでは Stein の最大点が周期 2 からずれ、$\langle\kappa^{-2}\rangle$ は 22.9・10.6・10.2（$k=1,2,3$）になります。損の上界として有界で、段で下がりますが、損そのもの（6.4 など）とは一致しません 計算。

読み方：Stein の上界は $\ell^2$ の側では符号を全部覚えていて、忘れるのは $\ell^\infty$ の側の「行の $\ell^1$」だけです。だから損は、行の中の打ち消しの量 $1/\kappa^2$ に縮みます 読。最悪の向きでのそろいが段で下に有界なら損は段で有界、という条件つきの文になりますが、そろいが下に有界であることは示していません（F-SYS1）。

当てはまらなかった型 — 正の部分が優勢

符号場 $s$ について各行の負の部分が正の部分の $\delta$ 倍以下なら $(Ts)_i\ge\frac{1-\delta}{1+\delta}r_i$（$r_i$ は行の $\ell^1$）で、$\ell^4$ の Schur の判定法 $\sum(Tx)^4\le A^3B\sum x^4$ と合わせて、損 $\le U\bigl(\frac{1+\delta}{1-\delta}\bigr)^4$（$U$ は行の $\ell^1$ の不均一の因子）です。合成では $\delta$ が足し算で劣化します（そろい $1-\delta_1-\delta_2$）Lean（coherent_of_neg_le・schur_four・loss_le_of_coherent・comp_coherent）。

定理は正しいのですが、記録の核には当てはまりません。$\ell^4$ 重みの平均のそろいから読んだ $\delta$ は約 0.46・0.39・0.39・0.35 で小さくなく、$U$ は 3.0・4.5・8.8・15.8 と増え、行ごとの最小のそろいはほぼ 0 です（全ての行で $\delta$ という仮定が満たされない）計算。Schur の判定法そのものも Stein の上界より二桁粗いものでした（Schur ÷ 下界は 437 → 745 → 1453 → 1777）計算。

W の座標 — 合成の後の絶対値は階数 1 の値で止まる

損は $\rho$ の比（$\rho(|\cdot|)/\rho$）です。合成の後に絶対値をとる側が止まる値 1.10 は、支配固有ベクトルの左右 $u,v$ から作った階数 1 の値 $\sum|u_i||v_i|/|\sum u_iv_i|=1.085$ とほぼ一致します 計算。支配固有値に隙間があれば $T^k/\rho^k\to uv^{\rm T}/(v^{\rm T}u)$ で、$|\cdot|$ と $\rho$ が連続なのでこの値に収束します 読。絶対値をとってから合成する側は、同じ行列の冪なら $(\rho(|M|)/\rho(M))^k$ で増え（ここでは 1.070 倍ずつ）、有界なのは $\rho(|M|)=\rho(M)$ のとき、既約なら $M=e^{i\alpha}D|M|D^{-1}$ のときに限ります（Wielandt）典。合成の後の絶対値が絶対値の後の合成以下であること（行の $\ell^1$）は abs_comp_le・row_l1_comp_le Lean。

粗い Bianchi の恒等式を満たす場の上でしか決まらない写像を、局所の核で表す——この手作業は 15-05 の定理 G′ の「代表」の選び方として出てきました。この節では、代表の全体の形（アフィン空間）、代表に依らない量（零モードの値と、拘束に制限した折り返しの次数）、代表に依る量（全体の折り返しの次数と尾のノルム）を分けます。中身は多重格子の転送作用素の次数と、細分割の和の規則（Strang–Fix 型の条件）の言い換えです。

定義

定義 3.1（拘束つき写像と延長）.体 $K$ 上の有限次元空間 $E,W$、部分空間 $V\le E$、線形写像 $f:V\to W$ の組 $(E,V,W,f)$ を拘束つき写像と呼び、$g:E\to W$ で $g|_V=f$ となるものを延長と呼びます。延長は存在し（制限の写像 ${\rm res}_V$ は全射）、二つの延長は $V$ の上で一致し、延長の全体は $g_0+\ker{\rm res}_V$ というアフィン空間で、その次元は $(\dim E-\dim V)\cdot\dim W$ です Lean（exists_extension・restrict_surjective・IsExtension.eqOn・isExtension_iff_mem_coset・finrank_freedom）。自由度が 0 になるのは $V=E$ のときだけです（$W\ne0$。freedom_eq_zero_iff）。

定義 3.2（格子の代表）.粗い面の場 $\theta:\mathbb Z^4\to\mathbb C^6$、拘束の部分空間 $V=\operatorname{im}D_c$（粗い Bianchi の恒等式を満たす場）、出力は細かい面の場で一つの粗いセルあたり $96=16\times6$ 成分です。並進不変な核 $K:\mathbb Z^4\to\mathbb C^{96\times6}$ で、記号が全ての $q$ で $\hat K(q)\hat D(q)=\hat R(q)$ を満たすもの（$R=FD_c$）を $F$ の代表と呼び、有限範囲・指数減衰・$\ell^1$ のどれかを満たすものを局所の代表と呼びます。$q\ne0$ では $\hat D(q)$ の階数は 3 で、各 $q$ の記号は「$E=\mathbb C^6$、$\dim V=3$、$W=\mathbb C^{96}$」の雛形になり、自由度は $(6-3)\cdot96=288$ 次元です。

定義 3.3（零モード・積率）.$\hat K(0)=\sum_ZK(Z)$ を零モード、$M_\alpha(K)=\sum_ZZ^\alpha K(Z)$ を積率と呼びます。

定義 3.4（折り返しの次数）.$\eta\in\{0,1\}^4$、$p_\eta=(q+2\pi\eta)/2$、粗いセルの中の細かい位置 $s\in\{0,1\}^4$ について、折り返しの成分を $\hat C_\eta(q)[o,a]=\sum_se^{-ip_\eta\cdot s}\hat A_{(s,o),a}(q)$ とします。$\eta\ne0$ の $\hat C_\eta(q)$ が $q\to0$ で消える次数の最小を $\mathrm{ord}(K)$、拘束の部分空間への射影 $P(q)$ を掛けた $\hat C_\eta(q)P(q)$ の次数の最小を $\mathrm{ord}^V(K)$ と書きます。

代表に依らない量

零モードは連続性だけで決まる（候補 3.1）.$K$ が $\ell^1$ の代表（記号が連続）で、$\hat D(q)=D_1(q)+O(|q|^2)$、$\hat R(q)=R_1(q)+O(|q|^2)$、$\sum_\nu\operatorname{im}D_1(e_\nu)=\mathbb C^6$ なら、$\hat K(0)$ は $\hat K(0)D_1(e_\nu)=R_1(e_\nu)$（$\nu=1,\dots,4$）の唯一の解です 読。最後の段（和が全体を張る部分空間の族の上で一致すれば等しい）は eq_of_eqOn_iSup・correction_eq_zero_of_iSup Lean。記録の値は $\hat K(0)=U/4$、$U=\mathbf 1_{16}\otimes I_6$（全ての位置に一様に $\theta/4$）で、四つの段でずれ $\le3.1\times10^{-10}$ でした 計算。トーラスでは $\hat D(0)=0$ なので零モードは拘束を受けず、有限のトーラスの対称な代表は $L_b=8,16,32$ で $\max|\hat A(0)-U/4|=0.250$・$1.47\times10^{-2}$・$2.55\times10^{-5}$ でした 計算。局所性という拘束が有限の箱では失われることの数の表れです。

最小ノルムの代表は局所でない（候補 3.2）.$\hat K_{\rm MP}(q)=\hat R(q)\hat D(q)^+$（Moore–Penrose の代表）は、射影 $P(q)$ が $q$ の 0 次斉次の関数で $q=0$ に向きの記憶を残すので、向きによる極限が一致しなければ $\ell^1$ に入りません 読。局所の代表の自由度は、この向きの記憶を連続な関数に塗り直す余地と見ることができます。核の減衰は測っていません（F-SYS9）。

拘束に制限した次数は代表に依らない（候補 3.3）.$\hat D=U\Sigma V^{\rm H}$ と特異値分解すると $\hat C_\eta(q)U(q)$ は $\hat R$ の折り返しだけで書けるので、$\mathrm{ord}^V(K)=\mathrm{ord}^V(F)$ は $F$ の不変量です。制限は零の次数を下げないので、どの代表でも $\mathrm{ord}(K)\le\mathrm{ord}^V(F)$ です 読。

A4 は $\mathrm{ord}(K)=\mathrm{ord}^V(F)=2$ を $6\times6$ の全体で達しています。つまり記録の型の範囲では、A4 は天井まで届いた代表です。

尾のノルムと次数 — D ≤ 4 が上限

候補 3.4.W の座標の $n$ 段の写り $(Tf)(q)=16^{-n}\sum_mG_m(q)^{\rm H}f(p_m)G_m(q)$（$m$ は $16^n$ 本の道、$G_m$ は折り返しの積）で、全ての段の代表が $\mathrm{ord}(K_k)\ge k_0$ を満たし、$\hat C_0(0)=4I$ とします。(a) $D\le2k_0$ なら記号の側のノルム $\|\cdot\|_D=\sup_{q\ne0}\|\cdot\|_2/|\hat q|^D$ で $T$ は有界。(b) $D\gt2k_0$ で $m\ne0$ の道の主要係数 $S$ が 0 でなければ、$q_0$ の近くの山の入力で $|q_0|^{2k_0-D}$ の速さで発散します 読（段の数に一様な定数を仮定した筋で、無限段の一様性は扱っていません）。拘束に制限した版では $k_0$ を $\mathrm{ord}^V(F)$ に置き換えます。

$R$ から（$\mathrm{ord}^V=2$）では $D=4$ で有界、$D=6$ で $q^{-2}$、$D=7$ で $q^{-3}$ でした 計算。記録の全ての場合が (a)(b) の型と合います。$\mathrm{ord}^V(F)=2$ なので、$\operatorname{im}D$ の上の $D=6$ の尾は代表をどう選んでも発散し、記録の型の範囲では sup$/|\hat q|^D$ の尾は $D\le4$ が上限と読めます 読。

「$2\cdot\mathrm{ord}$」の 2 は、W の座標の写りが同じ代表を両側に置く合同変換 $G^{\rm H}fG$ であることから来ます。多重格子では延長と制限の次数を別々に選べ、「延長の次数＋制限の次数 ≥ 方程式の次数」という規則があります（Hemker 1990）読。ここでは一つの代表が両方を兼ねています。

一次の積率を合わせた代表と和の規則

候補 3.5（次数とずらしたジェット）.$J_s(q):=e^{-iq\cdot s/2}\hat K_s(q)$（$\hat K_s$ は位置 $s$ の 6 行の記号）と置くと、$\mathrm{ord}(K)\ge k$ ⇔ $J_s(q)$ の $k-1$ 次までの Taylor 多項式が $s$ に依らない、です 読。筋は $\hat C_\eta(q)=\sum_s(-1)^{\eta\cdot s}J_s(q)$ と、$(\mathbb Z/2)^4$ の 15 個の非自明な指標の直交性（全てとの内積が 0 ⇔ 定数）です。

• $k=1$：$\hat K_s(0)$ が $s$ に依らない（$U/4$ はこの形）。
• $k=2$：一次の積率が $M_s=(s/2)\hat K_s(0)+B$（$B$ は $s$ に依らない）。$\hat K_s(0)=I/4$ から $M_{s,\mu}=s_\mu I/8+B_\mu$。これは A4 を作るときの目標の積率 $M^*_{(s,o),\mu,a}=s_\mu\delta_{oa}/8+B_\mu[o,a]$ と一致します。$8$ は（セルの中の位置 $s/2$）×（$1/4$）です。

目標の $B$ は $R$ の $q^2$ の項から決めます。一行あたり未知数 24（4 方向 × 6）に対し、$R$ から決まる部分の階数は 20、残りの自由は 4 次元でした 計算。この勘定は有限次元の「条件つきの延長」の型です：$({\rm res}_V,C)$ が全射なら、$g|_V=f$ と $C(g)=y$ を同時に満たす $g$ があり、残りの自由度は $\dim E\cdot\dim W-\dim V\cdot\dim W-\dim Y$ です Lean（exists_extension_with_conditions・finrank_freedom_with_conditions・conditions_count_le）。残りの 4 次元は $\ell^1$ の増加が最小になるよう線形計画で決め、積率は目標に $1.1\times10^{-16}$ 以内で合い、行の $\ell^1$ は 2.26 → 2.34（一段目）でした 計算。

代表の合成と整合

$(E_1,V_1,E,f_1)$ と $(E,V_2,W,f_2)$ が整合する（$f_1(V_1)\subseteq V_2$）なら、代表の合成は合成の代表で、$V_1$ の上の値は代表の選び方に依りません。整合しないと（$W\ne0$）、選び方で合成の値が変わります Lean（comp_extension_eqOn・comp_isExtension・comp_depends_of_not_le）。記録の W の座標の連鎖は代表を合成していますが、段 $k$ の代表の出力が段 $k+1$ の拘束の部分空間に入るかは確かめていません（F-SYS8）。$\operatorname{im}D$ の上の連鎖 0.3426 と $6\times6$ の連鎖 0.3446 の差が、その手がかりです 計算。代表に依るノルムの変化の例として、零モードの修正で三段の Stein の上界が 0.09743 → 0.09868、符号つきの Stein の上界が A3 の 4.25 から A4 の 4.48（一段目）でした 計算。

辞書

• $\mathrm{ord}_\eta(K)$ は、代表を延長（prolongation）と見たときの高周波の次数（Hemker 1990）に当たります。記号による定義と多項式の保存による定義が同値であることは後の注で述べられ、Toeplitz の多重格子での記号の零の条件は Donatelli（arXiv:0807.2565）にあります 読。$\hat C_\eta$ は局所フーリエ解析の調和の部分空間の 16 個の成分と同じものです 典。
• 候補 3.5 は細分割・ウェーブレットの和の規則を多項式の生成に移す標準の議論そのものです（Strang–Fix 1973、Jia 1998、Charina–Conti arXiv:1202.3931、Daubechies の消える積率）典。A4 の目標のうち $s_\mu I/8$ の部分は、次数 2 の和の規則の言い換えです。
• 和の規則に入らないのは二点です：(i) $B$ を $R$ の $q^2$ の項で決める部分（差分の一貫性の次数の条件の型）、(ii) 拘束 $V=\operatorname{im}D$ による天井 $\mathrm{ord}^V(F)$。面がスカラーでなく $96\times6$ の行列であることは、ベクトル値の細分割の和の規則の範囲です 読。

見返りの定理は未です。この節は、台帳の ⑦ 移り変わりの帯（13-06）を、強結合の展開と弱結合の展開の二つの付値の言葉で言い直す試みです。定義と主項の計算はできていますが、この見方から帯について新しく言える定理はまだありません。札は仮と計が中心です。

定義

結合の空間 $\mathcal K$：プラケットの重み $f(U)=1+\sum_rd_ra_r\chi_r(U)$ の指標係数 $(a_r)$ の空間です。座標は $\beta$ と形の座標です。

二つの付値.$v_s$（強結合）は $a_r\to0$ の側の次数（Wilson 作用では $\beta$ の次数）、$v_w$（弱結合）は $\beta\to\infty$ の側の $1/\beta$ の次数です。$e^{-c\beta}$ 型の項は $v_w=\infty$ として扱います（トランス級数の別の分枝）。

二つの座標.$[0,1]$ に値をとる観測量 $O$（$O(0)=0$、$O(\infty)=1$。プラケット $P$ など）について、強結合の側の座標は $O$、弱結合の側の座標は $1-O$ です。主係数を $O\approx s_1\beta$（強結合）、$1-O\approx w_1/\beta$（弱結合）と書きます。

同点集合.(i) 補の同点 $\{s_1\beta=w_1/\beta\}$、(ii) 同じ座標の同点 $\{s_1\beta=1-w_1/\beta\}$、(iii) 誤差の同点 $\{K$ 項までの最良の打ち切りの誤差が等しい点$\}$。(ii) の二根の間 $\{s_1\beta\le1-w_1/\beta\}$ をレンズと呼びます。

不変量 κ とレンズ

候補 4.1（目盛りに依らない量）.結合の目盛りを $\beta\mapsto c\beta$ と変えると $s_1\mapsto s_1/c$、$w_1\mapsto cw_1$ なので、

は目盛りに依りません。補の同点は $\beta^*=\sqrt{w_1/s_1}$ で、そこでの主項の値は $\sqrt\kappa$ です。同じ座標の同点は $s_1\beta^2-\beta+w_1=0$ の根で、判別式は $1-4\kappa$ なので、レンズは $\kappa\le\frac14$ のときだけ開きます。二根の幾何平均はいつも $\beta^*$ です。弦の張力 $\sigma=-\log u$ の同点は $\kappa\le1/e$ のときだけあります 読（二次式の判別式という初等的な事実）。

片側の主項だけを見ると、群の違いは目盛りに吸収されます。両側の主項を同時に見ると、目盛りの変更は $(\log O,\log(1-O))$ の平面の平行移動にすぎず、交わる高さ $\sqrt\kappa$ は動きません。群の情報が「交差の高さ」に残る、という見方です 仮。

例

比熱 $\beta^2u'$ は $U(1)$ で $\beta=2.48$ に山（0.680）があり、$SU(2)$ では単調に $3/2$ へ上がります 計算。この違いは $w_2/w_1^2$ の符号（$-1/6$ と $+1/2$）の違いと同じ向きで、群の違いは付値の主項ではなく次の項の符号に住んでいる、と読めます 仮。$SU(2)$ で $u(\sqrt6)=0.5004\approx\frac12$ となったことは $U(1)$ では成り立たない（0.446）ので、一般の法則ではありません。

四次元の主項だけのレンズ.等分配 $w_1=\dim G/d$ を使うと $\kappa=s_1\dim G/d$ です。